苏教版高一数学下册必修第二册-直观图的斜二测画法

13.13直观图的斜二测画法

课标要求素养要求

在应用斜二测画法画几何体的直观图的

能用斜二测画法画出水平放置的平面图

过程中，经历由空间到平面，再由平面

形及简单空间图形（长方体、球、圆柱、

到空间的转换过程，发展学生的数学抽

圆锥、棱柱及其简单组合体）的直观图.

象素养和直观想象素养.

课前预习知识探究

自主梳理

1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

2.空间几何体直观图的画法规则

画空间几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y

轴都垂直的Z轴，并且使平行于Z轴的线段的平行性和长度都不变.

点哈

斜二测画法的再理解

⑴“斜”：把直角坐标系X。》变为斜坐标系＜0了，使Nx'oy=45。（或135。）.

（2）“二测”：平行于不轴、z轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原

来的一半，即“两种测度”.

自主检验

1.思考辨析，判断正误

(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，原来相交的线段仍相交.(J)

(2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平

行，且长度不变.(X)

提示平行的线段在直观图中仍平行，但长度可能改变.

⑶在斜二测画法中平行于)，轴的线段在直观图中长度保持不变.(X)

提示在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.

(4)建立z轴的一般原则是让z轴过空间图形的顶点.(J)

2.下列命题中正确的个数是()

①水平放置的角的直观图一定是角；

②相等的角在直观图中仍然相等；

③相等的线段在直观图中仍然相等；

④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行.

A.lB.2

C.3D.4

答案B

解析①正确；正方形的直观图为平行四边形，角度不一定相等，②错；因为平

行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，所以③错；

平行性不会改变，所以④正确.

3.利用斜一测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的()

3[IL5口\、口

3333

ABCD

答案c

解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2：1.

4.如图，平行四边形是四边形OPQR的直观图，若OP=3,O'R'=1,则

原四边形OPQR的周长为.

p?

答案10

解析由四边形OPQA的直观图可知原四边形是矩形，且OP=3,OR=2,所以

原四边形OPQR的周长为2X(3+2)—1().

-----------课堂互动*------------------------------------------------题型剖析一­

题型一平面图形的直观图的画法

【例1】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.

r\

AB

解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角

坐标系，画对应的坐标系voy,使NVOy=45。.

AO|BxA'7aB'x'

(2)以。为中点在V轴上取在y轴上取OfEf=^OE,以E为中点画

czr〃v轴，并使CO=CD

(3)连接"C,所得的四边形49就是水平放置的等腰梯形A5CQ的直

观图.

思维升华画水平放置的平面图形的直观图的技巧：

(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得

平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.

(2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都

比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就

需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上

来确定.

(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.

【训练1】用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.

解(1)如图①所示，以边所在的直线为x轴，以3C边上的高线40所在的直

线为y轴.

(2)画对应的V轴、y轴，使NVOy=45。.

在V轴上截取0方=077=2cm,在V轴上截取OW=；OA=4§cm,连接A0,A，C,

则三角形A夕C即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.

题型二空间几何体的直观图的画法

【例2】用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABC。

-的直观图.

解画法步骤:

(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点。，使NxOy=45。，ZxOz=90°.

(2)画底面.以点。为中点，在x轴上取线段MN,使MN=4cm；在)，轴上取线段

13

PQ,使PQ=3cm.

分别过点M和N作了轴的平行线，过点P和。作x轴的平行线，设它们的交点

分别为4,B,C,D,四边形A8C。就是长方体的底面ABCD的直观图.

⑶画侧棱.过A,B,C,。各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取

2cm

长的线段AH,BB\CC,DD\

(4)成图.顺次连接4,8,C,并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为

虚线)，就得到长方体的直观图.

思维升华1.空间几何体的直观图的画法：

(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，

以便可以较快较准确地画出.

(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z'轴，表示竖直

方向.

(31轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.

2.当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图，注意用实线

表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验.

【训练2】画出底面是边长为1.2cm的正方形、侧棱均相等且高为1.5cm的四

棱锥的直观图.

解(1)画轴.画x轴、y轴、z轴，

/无。)=45。(或135。)，ZxOz=90°f如图①.

⑵画底面.以0为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图A8CO,使A8=1.2

cm,E77=0.6cm.

(3)画顶点.在Oz轴上截取OP,使OP=1.5cm.

(4)成图.顺次连接以，PB,PC,PD,并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线,

得四棱锥的直观图，如图②.

题型三直观图的有关应用

角度1把直观图恢复成原图形

【例3】如图所示，△/1’夕C是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复

成原图形.

解（1）画直角坐标系X。），，在x轴上取。4=。0，即CA=CA.

（2）过夕作夕0〃y轴，交犬轴于。，在x轴上取。。=。77,过。作。8〃y轴,

并使DB=2DR

（3）连接A3,BC,△ABC即为△A7TC原来的图形•，如图.

角度2由原图形求直观图的面积

[例4]已知等边三角形ABC的边长为。，那么等边三角形ABC的直观图

△4夕C的面积为（）

旦

坐

、2

广8

塞L

^

AC.2aj2

案16

净D

解析法一建立如图①所示的平面直角坐标系工0），.

如图②所示，建立坐标系voy,使Nfoy=45c,由直观图画法，知AB=AB

=〃，oe=：oc=坐a过点C作CO_LOY于点。，则。77=乎。，（7=乎%所以

△45C的面积是S=：AB.CD，a.坐a=索（/.

注一c_近，而S/W8C巾_正_啦乂齿。—Wo

法一S^ABC—4。，而S小BC—4，朋以S^A,BC—4SMBC—4X4。—16。,

角度3由直观图求原图形的面积

【例5】如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45。，腰和上底

长均为1的等腰梯形，求原图形的面积.

A，D'

8，C，

解一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45。，腰和上底长均为1的

等腰梯形，所以其直观图的面积s=3x（i+i+/）x^=矮I因此由直观图

早L

面积是原图形面积的6半倍，可得原平面图形的面积是5=方=2+也.

4

思维升华由直观图还原为平面图形的关键是我与v轴、y轴平行的直线或线段，

且平行于v轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中

相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由此可得：直观困

面积是原图形面积的当倍.

【训练3】（1）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三

角形A'夕。，若00=1,那么原三角形人30的面积是（）

O'B'

I八也

A，2B.

C.V2D.2V2

⑵如图所示，矩形。4夕。是水平放置的一个平面图形的直观图，其中04=6

cm,CDf=2cm,则原图形是_______(填四边形的形状).

答案(1)C(2)菱形

解析(1)直观图中等腰直角三角形直角边长为1,因此面积为;，又直观图与原平

面图形面积比为正：4,所以原图形的面积为啦，故选C.

(2)如图所示，在原图形048。中，应有。4=OW=6cm,

。。=209=2X2吸=4^2(001),

CD=CD=2cm,

：.OC=y/OD2-hCD2(4^/2)2+22=6(cm),

：.OA=OCf又O4〃3C,OA=BC,

故四边形O4AC是菱形.

•课堂小结，

一、牢记3个知识点

1.水平放置的平面图形的直观图的画法.

2.空间几何体直观图的画法.

3.直观图的还原与计算.

二、掌握1种方法----化归与转化

三、注意1个易错点

同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.

分层训练素养提升

基础达标

一、选择题

1.（多选题）关于斜二测画法所得直观图，以下说法不正确的是（）

A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形

B.正方形的直观图为平行四边形

C.梯形的直观图不是梯形

D.正三角形的直观图一定为等腰三角形

答案ACD

解析由斜二测画法规则知只有B正确，其它都错误.

2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若NA的两边分别平行于x轴、y轴，

则在直观图中NA，等于］）

A.45°B.135°

C.90°D.45。或135°

答案D

解析因NA的两边分别平行于“轴、y轴，故NA=90。，在直观图中，按斜二

测画法规则知NfO'y'=45。或135°,即N4=45。或135°.

3.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4,则此正方形的

面积为（）

A.I6B.64

C.16或64D.无法确定

答案C

解析等于4的一边在原图形中可能等于4,也可能等于8,所以正方形的面积为

16或64.

4.如图所示，△A7TC是水平放置的△A3C的直观图，则在原△A8C的三边及中

线4。中，最长的线段是（）

A]

（oy//

/B'D'a?

NABB.AD

C.BCD.AC

答案D

解析还原△ABC,即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边4c最长.

5.下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是

答案C

解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论.

二、填空题

6.利用斜二测画法得到：

①三角形的直观图是三角形；

②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；

④菱形的直观图是菱形.

以上结论中，正确的是_______（填序号）.

答案①②

解析斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，

因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形.故①②正确,

③④错误.

7.水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知4c=3,B'C'=2,则AB边上的中

线的实际长度为

答案2.5

,

解析由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC=AC=3,BC=2BC=4i

计算得人5=5,所求中线长为2.5.

8.在如图所示的直观图中，四边形O,A夕。为菱形且边长为2cm,则在平面直角

坐标系中原四边形OABC为(填具体形状)，其面积为cm2.

答案矩形8

解析由斜二测画法规则可知，在四边形0ABe中，04_L0C,O4=O7V=2cm,

OC=2O，C=4cm,所以四边形0A8C是矩形，其面积为2X4=8(cn?).

三、解答题

9.一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆

柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm,高为3cm,圆锥的高为3cm,国出

此机器部件的直观图.

解⑴如图①，画x轴、)，轴、z轴，三轴相交于点。，使NxOy=45。，ZxOz=

90°.

(2)画圆柱的两底面.在刀。)，平面上画出底面圆。，使直径为3cm,在z轴上截取

00、使00=3cm,过。，作Ox的平行线OX,Oy的平行线0,，利用0Y与0了

画出底面圆O”,使其直径为3cm.

(3)画圆锥的顶点.在z轴匕画出点P,使PO,等于圆锥的高3cm.

(4)连接AN,BBPA\PB\擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几

何体(机器部件)的直观图，如图②.

p

、___/n

10.如图，四边形O'4'BC是梯形0ABe的直观图，其直观图面积为S,求梯形048C

的面积S'.

解设O'C'=h,则原梯形是一个直角梯形且高为2h.C'B'=CB,04=04过C

作CO_LO7V于。，则CD'=

由题意知:C£>'・(C7T+。'4)=S,

CE+0'A')=S.

原直角梯形面积为

14sr-

S'=]X2〃(C3+OA)=/i(C®+O'A')=g=2Ws,

即梯形0ABC的面积为2啦S.

能力提升I

11.如图，正方形夕C的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,

则原图形的周长是

答案8cm

解析由题意正方形0X7TC的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直

观图，所以0，夕=啦cm,对应原图形平行四边形。ABC的高为2啦cm,

所以原图形中，O4=3C=1cm,

AB=OC=y)(2^2)2+12=3(cm),

故原图形的周长为：2X(l+3)=8(cm).

12.(多选题)水平放置的△人8c的直观图如图所示，其中BU=CO=1,NO；

那么原△ABC是一个()

A.等边三角形B.直角三角形

C.三边互不相等的三角形D.面积为小的三角形

答案AD

解析由题中图形知，在原△A8C中，AOVBC.

J3-

・・・4O，=寺：.AO=y]3.

・・・夕0'=(70'=1,

:・BC=2,AB=AC