苏教版高中数学必修第二册试题-向量的数乘

9.2.2向量的数乘

学习指导核心素养

1.理解向量数乘的定义及几何意义，掌

1.数学抽象、直观想象：向量数乘的定

握向量数乘的运算律.

义及几何意义.

2.掌握向量共线定理，会判断或证明两

2逻.辑推理：向量共线定理的应用.

个向量共线.

【研读导学尝试1

1.向量的数乘的定义

一般地，实数人与向量a的积是一个向量,记作觞，它的长度和方向规定

如下：

m\Aa\=\A\\a\.

(2)若aW(),则当A>0时，〃与。方向相同;当2V0时，—与。方向相反;

实数％与向量〃相乘的运算，叫作向量的数乘.特别地，当2=0时，0a=Q；当

。=0时，A0=0.

球一思考:

向量数乘运算的结果是向量还是实数？实数a与向量a能否进行加、减运

算？

提示：％是实数，Q是向量，它们的积觞仍然是向量.实数与向量可以相乘,

但是不能相加减，如A+。，2—4均没有意义.

2.向量数乘的运算律

设方为向量，九〃为实数，那么：

(l)2(/za)=.

(2)(A+〃)a=.

(3)2(a+b)=2a+25.

3.向量的线性运算及向量共线定理

(1)向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运篁.

(2)向量共线定理

设〃为非零向量，如果有一个实数九使b=)a那么力与。是共线向量；

反之，如果力与〃是共线向量，那么有且只有一个实数九使力=痴.

■&母点技

若将定理中的条件去掉，即当。=0时，显然。与方共线.

(1)若方W0,则不存在实数九使》=〃.

(2)若』=0,则对任意实数九都有8=加.

修更炼习：

1.判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

⑴实数2与向量〃的积还是向量.()

(2)3。与。的方向相同，一3a与〃的方向相反.()

(3)向量共线定理中，条件可以去掉.()

答案：(1)J(2)7(3)X

2.4(a一份-3(a+b)一力等于()

A.a—2bB.a

C.a~6bD.a—8b

答案：D

3.若⑷=1,网=2,且〃与方方向相同，则下列关系式正确的是(

A.b=2aB.b=-2a

C.a=2bD.a=-2b

答案：A

4.在四边形ABCD中，若筋=一：诙，则此四边形的形状是,

答案：梯形

▼讲练互动

【解惑探究突破1

探究点1向量的线性运算

例1⑴计算：

①4(〃+8)—3(〃一力)一8a；

②(5a-4b+c)—2(3a~2b+c)；

(3)^(4a-3b)；(6a—7b).

⑵设向量Q=3i+"b=2i—j,求生L方)一卜一|。)

+(2Z1—a).

【解】(1)①原式=4a+皿-3a+3〃-8a=-7a+7〃.

②原式=5。-48+c—6〃+4b—2c=—a~c.

③原式=翡°—方一+十》5

3■|a之D内一世L

I?

⑵原式=1〃一力一〃+守+2）一a

=@一1-1%+(-1+1+21

=—ja+j^=-|(3i+2/)4-|(2i—»

El图图冏

向量的线性运算的基本方法

（1）类比方法：向量的线性运算可类似于代数多项式的运算.例如，实数运

算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中

同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.

（2）方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用

代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化

运算.

跟踪训练;

1.化简下列各式:

(l)3(2a—》)一2(4G—3B)；

I,IZ4

(2)g(4a+3b)—g(3a—力)—/

(3)2(3。-41+c)—3(2a+b-3c).

解：(1)3(2。一6)一2(4。-3万)=6。一3方一8〃+68=一24+38.

11343131

(2)Q(4Q+3b)-5(3a-b)-5〃=铲+b-5a+R-5b=-7a.

(3)2(3。-45+c)—3(2a+b—3c)=6〃-8》+2c—6a—35+9c=—11万+11c.

2.若2（x—ga）—：3+c—3x）+〃=0,其中a,b,c为已知向量，求未知向

量x.

2113

解：因为56——5。+/+力=0,

2X——QJQ—乙X*乙

7211

所以那一严+于一呼=o,

“，72l,1

所以1X=1Q-5f5+‘C,

“，411

所以x=^a—ybJr7jc.

探究点2向量共线定理及其应用

tun已知非零向量均，G不共线.

(1)如果锯=4+。2,就=2ei+8&，CD=3(ei-e2),求证：A,B,。三点共

线；

(2)欲使既］+。2和d+履2共线，试确定实数A的值.

【解】(1)证明：因为荏=ei+e2,防=诙+金=24+862+34一362=5(均

+e2)=5Ah.

所以油，应)共线，且有公共点8,

所以A,B,。三点共线.

(2)因为Zei+62与ei+kei共线,

所以苕在实数九使储i+e2=/l(ei+&2),

则(A—2)ei=(kk—l)e?，

仅一2=0,

由于约与62不共线，只能有二，

［独一1=0,

所以k=±\.

回国期因

向量共线定理的应用

(1)若方=〃mro),且方与。所在的直线无公共点，则这两条直线平行.

(2)若力=〃(aW0),且力与。所在的直线有公共点，则这两条直线重合.例

如，若初=疝7,则晶与危共线，又前与危有公共点A,从而A,B,。三点

共线，这是证明三点共线的重要方法.

跟踪训练;已知O,4,M,8为平面上四点，且丽=2为+(1—7)•刃(4ER,

AWO,且2W1).

⑴求证：A,B,M三点共线；

⑵若点B在线段AM上，求实数2的取值范围.

解：(1)证明：因为丽=2仍+(1—2)宓，

所以丽=2①+宓-2为，dM-dA=MB-XOA,

所以国;=儿通QWR,7手0,且人?1).

又AM与A8有公共点A,

所以A,B,"三点共线.

(2)由(1)知出力=/k

若点3在线段AM上,

则磊/与病同向，且|启|习能|>0,所以41.

探究点3用已知向量表示其他向量

阿叵如图，四边形ABC。是一个梯形，矗〃⑦且府|=2|诙M,N分别

是。C,4B的中点，已知矗=0,病=02，试用©,«2表示下列向量.

且

ANR

(1)AC=；

(2)W=.

【解析】因为通〃⑦，回方|=2|诙|,

所以福=2庆7,DC=^AB.

—►—►—►1

(\)AC=AD+DC=ei~\-^e\.

(2)疝^=京力+力X+4Q=-^DC—AD-^^AB=一；ei—62+3«|=4ei~e2,

【答案】(Dez+gei⑵.一及

［交条件〉在本例中，若条件改为反?=仁，Ab=ez,试用右，e?表示向量必/.

解：因为加=疝）+及+而，

MN=MC+CB-\-BN,

所以2曲=（而+证）+应+无+（俞+丽.

又因为M,N分别是。C,A8的中点，

所以加+庆=0,俞+就=0.

所以2亦="+而,

所以一能-病）=_ge2.

阿图国图

用已知向量表示其他向量的两种方法

（1）直接法

结合图形的特征，把待求向量放在

三角形成平行四边形中

结合向量的三角形法刈或平行四边

形法则及向量共线定理，用巳知向

量表示未知向最

（2）方程法

当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关

于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.

如图，在梯形A8c。中，AB=a,BC=b,CD=~^a>G为对

角线AC,BD的交点,E,尸分别是腰AO,8c的中点，求向量丽和AS.

解：因为E,”分别是腰4。，3c的中点，所以成）=一耳1,CF=-BF,

因为前=病+皮+^kD，EF=W\+AB+BF®,

①+②=2前=通+而

I3|

因为恭=。，BC=b,CD=~^a,所以前=[Q,AD=AB+BC-^cb=^a-^b,

因为CD〃AB,限XDCGsXBAG,而DC=；AB,

DGDC1_J

故痂=而=5'故l?OG=?08;

因为45=历+虎=疝+轲?=疝+:(不方一病)

JJ

自测当堂达标

［验证反馈达标］

l.gg(2〃+8方)—(4a—2b)

=()

A.2a-bB.2b~a

C.b-aD.a-b

ii1442

解析：选B.原式=K(2Q+8。)一Q(4Q—2b)=qa+，b—70+彳力=—a+2>.

2.(多选)(2021•江苏苏州市苏州中学高一月考)已知小，〃是实数，》是

向量，则下列命题中正确的为()

A.m(a-b)=ma—mb

B.(ni—n)a=ma—na

C.若ma=mb,则a=8

D.若则机=〃

解析：选AB.对于A:根据数乘向量的原则可得皿〃—b)=〃口一mb,故A

正确；

对于B:根据数乘向量的原则可得(〃L〃)a=/〃〃一〃a,故B正确；

对于C:由"刈=〃必可得用(〃一〃)=(),当〃?=()时也成立，所以不能推出〃

=b,故C错误；

对于D：由"以=八。可得(〃?一〃)a=(),当4=0,命题也成立，所以不能推出

m=n.故D错误；故选AB.

3.(2021•江苏高一单元测试)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用

一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全

等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦

图”中，若反7=。，BA=b,丽=3俞，则脐=()

A

即济=反:+'（一）叶词，解得济=震庆?+黄旗，即济=捺+%故

选B.

4.化简:

(1)5(3。-2力)+4(2b—3a)；

⑵;(〃-2b)-^(3a-2b)—^(a-b)；

（3）。+），）°-。一皿

解：⑴原式=15。-10力+86-12=3。-24

（3）原式=xa-\-ya-xa~\-ya=2ya.

国同昌▼巩固提升

一【强化培优通至厂

[A基础达标]

1.设〃是非零向量，人是非零实数，则下列结论正确的是（）

A.。与一〃的方向相反B.\—/.a\^\a\

C.。与2%的方向相同D.\—}M\=WU

解析：选C.当2取负数时，。与一〃的方向是相同的，选项A错误；当|z|<1

时，|一痴|2⑷不成立，选项B错误；|一〃|=n。中等号左边表示一个数，而等

号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为2W0,所以乃一定是正

数，故〃与尸〃的方向相同，故选C.

2.已知O是△/WC所在平面内一点，。为3c的中点，且2次+为+衣=

0,则（）

A.AO=2dbB.AO=OD

C.Ab=3ODD.2Ab=OD

解析：选B.因为。为BC的中点，所以痈+沆=2济，所以2苏+2位＞

=0.所以宓=一而.所以屐）=0力.故选B.

3.（多选）已知向量a,b是两个不共线的向量，且向量ma—3b与。+（2—

机协共线，则实数〃z的值可以是（）

A.11B.

C.4D.3

解析：选AD.因为向量〃出一38与。+（2一周）力共线，且向量°,力是两个

不共线的向量，所以加~,解得机=—或

2—tn1m=3.

4.已知a,，是不共线的非零向量，AB=a+2b,BC=3a-b,CD=2a-3b,

则四边形A8CO是（）

A.梯形B.平行四边形

C.矩形D.菱形

解析:选A.因为崩=烈+反'+诙,所以Ab=（〃+2b）+（3a—b）+（2a—3b）

=2（3a—b）,

因为说1=3〃一力，a,5是不共线的非零向量，所以A/）〃BC且同力|W|反1，

所以四边形ABCZ）是梯形，故选A.

5.（2021•江苏南通市海安高级中学前一月考）如图，己知在△ABC中，。为

A3的中点，AE=\AC,若无=2筋+〃反:，则2+〃=（）

A

R

A.

解析:选C.因为无=醇+崩丽+^^=；丽+3(反:—丽)=春丽+(反7

=-63

所以4=一:,〃=；.故2+〃=:.故选C.

6.若3(x+a)+2(r—2a)—4(x—Q+》)=0,则x=.

解析：由已知得3x+3〃+2x—4〃-4X+4Q—4力=0,

所以X+3Q—46=0.所以x=4b—3a.

答案：4b—3a

7.设“，力是两个不共线的向量.若向量ka+2b与8°+他的方向相反，则

k=.

解析：因为向量ka+2b与8〃+心的方向相反，

所以履+2b=，8a+幅)=2=8九2=独=攵=一4(因为方向相反，所以/1<()=攵

<()).

答案：一4

8.已知D为△A8C的边BC的中点，点尸满足戌+济+及=0,AP=APD,

则实数2的值为.

解析：成+汾+力=一办+/一初+/一病=0,所以弱=福+屐:，因

为。为△A8C的边8c中点，所以#=2助，如图，。为AP的中点；

所以#=一2历，又#=/用，所以2=-2.

答案：一2

9.已知任意两个非零向量a,b,若平面内。，A,B,C四点满足。4="+

b,0B=a-\-2b,沆=a+3b.请判断A,B,。三点之间的位置关系，并说明理由.

解：A,B,。三点共线.理由如下：因为万!="+〃，0B=a+2b,OC=a

+30，

所以靠=丽一为=m+2〃)一(。+力)=力，

同理危=反一近=3+3㈤一(〃+6)=24

所以危=2命，仔以危〃后，

所以向量危与公共线，

所以A,B,。三点共线.

10.已知两个非零向量a与b不共线，OA=2a~bf丽=a+3b,OC=ka

+54

(1)若2宓一丽+浣=0,求攵的值；

(2)若A,B,。三点共线，求Z的值.

解：(1)因为2届一场+灰?=2(2°—8)一〃一3。+3+56=(左+3)。=0,所以

%=-3.

(2)AB=OB-OA=-a-\-4b,危=沆一醇=(%—2)〃+6力，又A,B,C三点

—一\k—2=­k,

共线，则存在2£R,使AC=Z45,即(4—2)〃+6力=一%+4必，所以彳

[6=4九

解得k=g.

IB能力提升]

II.(多选)(2021•江苏省昆山中学商一月考)瑞上数学家欧拉在1765年发表的

《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：”三角形的外心、垂心和重心都在

同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半.”这就是著名的欧

拉线定理.设△ABC中，点O,H,G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项

中结论正确的是()

A.GH=2OGB.GA+G^+GC=0

C.OH=OA-}-OB-\-OCD.OA=OB=OC

解析：选ABC.如图：根据欧拉线定理可知，点O,H,G共线，且GH=

2OG.

对于A,因为GH=2OG,所以砺=2历，故A正确；

对于B,取8c的中点为。，则+沆=埔+2存力=0,故B正确；

2

对于C,OH=3OG=3(AG-Ab)=3(^Ab-Ab)=2Ab-3Ab=2(Ab+db)

-3AO=2db—Ab=dB-1-OC^-dA,故C正确；

对于D,次=济=沆显然不正确.故选ABC.

12.(多选)已知向量”，方是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使

力共线的是()

A.2。-3b=4e且。+2力=—2e

B,存在相异实数九〃，使及一油=()

C.m+M=0(其中实数x,y满足x+y=0)

D.已知梯形48C。，其中筋=mCD=b

解析：选AB.对于A,因为向量〃，6是两个非零向量，2〃-3b=4e且〃

+2Q—2e,

28

所以〃=1，b=一干,此时能使。，》共线，故A正确；

对于B,存在相异实数九〃，使〃一〃)=0,要使非零向量〃，力是共线向

量，由共线定理即可成立，故B正确；

对于C,xa+Q=0(其中实效x,y满足x+y=O),如果x=y=0贝4不能使a,

》共线，故C不正确；

对于D,已知梯形ABC。中，AB=a,CD=b,如果A8,CO是梯形的上下

底，则正确，否则错误;

故选AB.

13.如图，。为直线4避2021外一点，若4)，4，…,021中任意两相邻两

点的距离相等，设04=〃，。42021=方，用。，力表示OAo+OA[+・・・+042021，

其结果为__________

解析：如图:

由题意可知，AOAI=AIA2=A2A3=…=A2020/12021=202]"(血021，

所以OA()+OA।+OA2H-------\~OA202i=OAO+(OAO+AOAI)+(OAO+A()A2)H—

1.........2

+(04+A0A2o2i)=OA)+(04o20514必202i)+(OAo+2021^°^*2021---

2020............，2021,

2Q21X4也02i)+(OAo+z021AM2021)