一元二次方程【知识梳理+解题方法+专项过关】-2025-2026学年九年级数学上学期（人教版）原卷版

专题01一元二次方程

思维导7）

等号两边都是整式

一.一元二次方程的概念

1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫

做一元二次方程.

注意：

定义中”等号两边都是整式”是指原方程中等号两边都是整式，而不是“整理合并（整理合并是指去分母、

去括号、移项和合并同类项）”之后都是整式，如方程d+LuL+i,f+2石=3+2&都不是一元二

xx

次方程；定义中“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）”这句话，是指对方程“整

理合并”之后而言的.

二.一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式是加+法+（?=0（。工0）,其中O?是二次项，。是二次项系数；法是一次项,

人是一次项系数；。是常数项.

注意：

①要确定一元二次方程的各项系数，必须先将一元二次方程化为一股形式，写项和各项系数时都包括它前

面的符号.

②一般形式不是唯一的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数.

三.一元二次方程的解（根）

1.使■元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个•元二次方程的解，•元二次方程的解也叫做•

元二次方程的根.

2.判定一个数值是不是一元二次方程的解的方法：将此数值代入一元二次方程，若能使等式成立，则这个

数值是一元二次方程的解；反之，它就不是一元二次方程的解.

四.配方法解一元二次方程

I.一般地，对于方程/=〃.

①当〃X）时，根据平方根的意义，方程/=〃有两个不相等的实数根：&=J6；

②当〃=0时，方程/二〃有两个相等的实数根：x,=x2=0；

③当〃V0时，因为对任意实数x,都有所以方程£二〃无实数根.

2.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成（工+〃『=2的形式，那么就有：

①当〃X）时，方程=〃有两个不相等的实数根：Xj=-n-y[p,x2=-n+y[p；

②当〃=0时，方程（x+〃y=〃有两个相等的实数根：x[=x2=-n；

③当〃vo时，因为对任意实数x,都有（X+〃）2之。，所以方程a+〃y=〃无实数根.

3.用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①一移，移项：将常数项移到右边，含未知数的项移到左边；

②二化，二次项系数化为1：左、右两边同时除以二次项系数；

③三配，配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方；

④四开，开平方求根：利用平方根的定义直接开平方.

五.一元二次方程根的判别式

1.将批2+法+。=0（4工0）配方成［：+福）=•后,可以看出，只有当从―4改20时，方程才

有实数根，这样〃2-4"的值就决定着一元二次方程根的情况.

2.一般地，式子。2一4a叫做一元二次方程◎?+瓜+。=0（4/0）根的判别式，通常用希腊字母“△”

表木它，即△=/?2—4ac.

△的符号方程根的情况注意

2

A>0—b+\lb—4ac①应用根的判别式时要淮确确定afbf

方程有两个不相等的实数根，即-------

2ac的值；

A=0方程有两个相等的实数根，即内=羽=—2②此判别式只适用于一元二次方程，

2a

当无法判定方程是不是一兀一次方程

A<0方程无实数根

时，应对方程进行分类讨论

3.上面的结论，反过来也成立，即当方程有两个不相等的实数根时，A＞0；当方程有两个相等的实数根

时，A=0；当方程没有实数根时，△＜（）.

六.公式法解一元二次方程

1.解一元二次方程时，可先将方程化为一般形式加+加+。=0（。工0）,当△=从一4数整0时，方程

办2+法+。=0（。工0）的实数根可写为X」?：产竺的形式，这个式子叫做一元二次方程

or2+〃x+c=0（4H0）的求根公式.利川求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

求根公式是用配方法解一元二次方程的结果，用它直接解方程避免了繁杂的配方过程，公式法是一种常用

解法，并且适合于所有的一元二次方程.

2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：

①把方程化为一般形式，确定a,b,c的值（注意符号）；

②求出A=〃2—4C7C的值；

—b+\/b~—A-Cic

③当〃一4。。＞0时，方程如2+以+仃=0（。工0）有两个不相等的实数根，即玉二——七------，

-b-yjb2-4ac

当44c=0时，方程依2+瓜+。=0（。/0）有两个相等的实数根，即

2a

其二%二一券；当。2-44CV0时，方程如2+瓜+。=0（々工0）无实数根.

七.因式分解法解一元二次方程

1.通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于。的形式，再使这两个一次式分别等于0,从

而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

2.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:

①移项:将方程的右边化为0;

②化积:将方程的左边分解为两个一次式的乘积;

③转化:令每个一次式分别为0,得到两个一元一次方程;

④求解:解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.

八.一元二次方程根与系数的关系

1.若一元二次方程依2+灰+。=0（。工0）有实数根，设这两个实数根分别为阳，/，则玉+&=-，

XK=-

a

注意：

①根与系数的关系是在方程公2+6+。=0（。，0）有根的前提下（即从一々（NO）才成立的，运用根与

系数的关系解题时首先要检验。2-4改是否非负.

②根与系数的关系的应用：不解方程，求与方程的根有关的代数式的值；已知方程一根，求方程的另一根;

与根的判别式相结合，解决一些综合题.

2.拓展：与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形:

①上:+x；=（玉+4『_2X|/；

1,1

③|再_司二/（内+々）2一43/；

④内।%=X；+&2—（%+々）2一2%%

再X2X\X2

⑤（X-戈2）2=（%+.q）~-4%戈2；

@（Xj+女）伍+%）=中2+%（与+々）+&2.

九.列一元二次方程解应用题的一般步骤

1.审；审清题意，明确哪咚是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系;

2.设：设未知数；

3.歹U：列方程；

4.解：解方程；

5.验：检验方程的解是否正确以及能否使实际问题有意义；

6.答：写出答案.

【专题过关】

一.一元二次方程的定义（共3小题）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.cvC+bx+c=OB./一），+1=0C.X2---2=0D.(x-l)(x-2)=0

x

2.下列方程是一元二次方程的是（）

A.3X2=3（X-2）2B.-+x=0c-ax2-vbx+c=OD.x2+2x+1=0

3.下列方程中，是一元二次方程的有（）

©（vc2+bx+c=Oi@x2—=0；@-x2=2；©（x+l）（x—2）=x2-7；⑤2+9=0；

.1

@（x-2）（x+3）=O.

A.4个B.3个C.2个D.1个

二.一元二次方程的一般形式（共4小题）

4.把一元二次方程x（2x-l）=4x化成一般式，则小b,c的值分别是（）

A.1,4,1B.2,一5,0C.3,4,0D.—2，—5»1

5.一元二次方程2/-3工=4的一次项系数是（二次项系数为正）（）

A.2B.-3C.4D.-4

6.一元二次方程（X+l）（X+3）=9的一般形式是.

7.一元二次方程2/-8工二5化成一般形式后，二次项系数为一，一次项系数为.常数项为一.

三.由一元二次方程的定义求参数（共4小题）

8.关于r的一元二次方程%-3）/+51+公-9=0常数项为伍则上值为（）

A.3B.-3C.±3D.9

9.已知关于x的方程（上+2）心+x+l=O是一元二次方程，则攵的值应为（）

A.±2B.-2C.2D.不能确定

10.若关于X的方程（〃Ll）f-3氏一1二0（机为常数）是一元二次方程，则〃?的取值范围为.

11.若方程（Z-2）/+2x+5=0是一元二次方程，则攵的值是—.

四.一元二次方程的解（共6小题）

12.若一元二次方程有一个根是工=1,则这个方程可以是（）

A.（x+l）（x+2）=0B.x:-l=0C.X2-2X-1=0D,X2+X=0

13.若x=l是方程Y—公一2二0的一个解，则〃的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

14.已知〃是方程犬+2%一3=0的一个根，则代数式〃+2a-2025的值为.

15.若加是方程％2+2工一4=0的一个根，则代数式2025+2，〃2一4m的值为.

16.关于x的一元二次方程％2+/nr-2=0的一个根为2,则〃?的值为.

17.如果关于上的一元二次方程会上+打―5=0有一个根为2000；那么方程4（x+iy+"_r+l）=5必有

一个根为.

五.直接开平方法解一元二次方程（共5小题）

18.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（）

A.X2=0B.^-2=0c.-X2+2=0D.X2+2=0

19.若关于工的一元二次方程—4x+l=c-4可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（）

A.c>4B.c>4C.c>0D.cX）

20.若方程（x+2『=m-l有解，则〃?的取值范围是.

21.己知关于x的一元二次方程3/=4，则它的解为.

22.解下列方程：

（1）9X2-4=0：（2）3/—1=26;

（3）25/74=4;（4）121），2-7=2.

六.配方法解一元二次方程（共7小题）

23.用配方法解一元二次方程犬-8工+4=0时，此方程可化为（）

A.（X-2『=0B."+2『=0C.（工-41=12D.（x+4）2=20

24.若关干x的一元二次方程9/_（〃?-1）工+1=0的左动可以写成一个完全平方式，则常数加的值为（）

A.7B.7或一5C.6D.6或-6

25.用配方法解方程f+4x—11=0时，若将方程变形为（x+〃7『="，则加+〃=（）

A.18B.20C.19D.17

26.已知方程d—6x+〃=0,可以配方成（工一3『=4的形式，那么〃的值为.

27.把方程V+2x—3=O变形为（大十九了二^的形式，其中心左为常数，则％的值为.

28.用配方法解下列方程：

（1）-X2+3X+4=0；⑵X2-6X-315=0«

2

29.用配方法解方程：

（1）x2-8.v+12=0;（2）4犬一7x+2=0.

七.配方法的应用（共2小题）

30.【阅读理解】“配方法”是•种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题.下面是小明同学用

配方法解一元二次方程/一2工一1二0的过程：

解；移项，得—2x-1*

配方，得了2-2x+1=1+1，

所以(X—1)2=2.

直接开平方，得x-l=±0，

所以玉=1+3，Xy=1->/2.

【问题解决】

(1)小明配方的依据是

A.完全平方公式B.平方差公式C.多项式与多项式乘法法则

(2)用配方法解方程：2工2+12.(-4=0.

【拓展应用】

(3)已知x是实数，求代数式f—2x+5的最小值.

31.【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条

件，这种解题方法叫做配方法.配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用.

①用配方法分解因式：a2+6a+5

解：原式=/+6a+9—4=（a+3『-4=（a+3+2）（a+3-2）=（々+5）（〃+1）

②利用配方法求最小值：求/+64+5最小值.

解：/+64+5=/+2。・3+32-32+5=（4+3）2-4,因为不论。取何值，（。+3『总是非负数，即

（。+3『之0,所以（〃+3『一4之-4,所以当〃二-3时，/+6〃+5有最小值，最小值是-4.

【应用】根据上述材料，解答下列问题：

（1）填空：x2-12%+=（工一___）~；

（2）将f一3工+66变形为+十〃的形式，并求出f一3氏+66的最小值；

【探究】若M=5/+9a+6，N=4cr+5a（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由.

A.根据判别式判断一元二次方程根的情况（共3小题）

32.利用判别式判断方程V—2x+2=0的根的情况是（）

A.无实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不等的实数根D.有一个实数根

33.关于x的方程〃比一2=0根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.无实数根

34.关于x的一元二次方程父+仅一2卜+女一4=0的实数根情况为（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.有实数根D.没有实数根

九.根据一元二次方程根的情况求参数（共4小题）

35.若关于％的一元一次方程依2+2工+1=。有两个相等的实数根，则实数〃的值为（）

A.-4B.-1C.1D.4

36.若关于X的一元二次方程V一+2=（）有两个不相等的实数根，则〃?的值可以是（）

A.2B.1C.-2D.-3

37.若关于4的一元二次方程Y—2x+4=0没有实数根，则攵的取值范围是.

38.若关于x的一元二次方程-2%+1=0有两个不相等的实数根，则机的取值范围是,

十.公式法解一元二次方程（共2小题）

39.用公式法解下列方程：

（1）后2一工一收=（）：(2)0.2x2-0.3x+—=0；(3)-6f+(2x+=2-柒.

20

40.用公式法解下列方程:

（1）x（x+8）=16；<2）缶2_以二4&；⑶一2缶+1=0・

十一.因式分解法解一元二次方程（共6小题）

41.方程（x-l）（x+2）=0的解是（）

A.x=\B.x=2

42.一元二次方程-3）=3-x的解是（）

A.X=-lB.x=2

43.方程V=3x的解为.

44.解方程

（1）x2-5x+6=0：(2)(2X+3)2=(3X+2)2.

45.解方程

(I)X2-36=0;(2)x(x+3)-x=3.

46.用因式分解法解下列方程:

122

X=X

9-+1-3-（2）25（2x+l）~-9（x+3）­=0.

十二.换元法法解一元二次方程(共3小题)

47.利用换元法解方程-"2+7任一同-18=0.

48.请运用“整体换元法”解方程：

⑴d一3/一4=0；(2)(x:-2)2-il(x2-2)+18=0.

49.在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单.

例如，在计算(工一〉一3乂工一)，+3)时就可以将工一)，看成一个整体，式子转化为：

(x—)，)2-32=x2-2x)^y2-9.请借助整体思想完成：

(1)(x+y-3)(x-y+3)=；

(2)(x2+y2+2)(x2+y2-2)=77,求f+y、:

(3)已知(x+2024『+"+2026)2=100,求R+2025.

十三.一元二次方程根与系数的关系（共8小题）

50.关于x一元二次方程丁+履一7=0的一个根是x=l，则另一个根是（）

A.-7B.6C.7D.-6

51.若方程f-3x-2=0的两根为内，x2,则（%+。（占+1）的值为（）

A.-2B.2C.4D.6

52.已知〃?、〃是一元二次方程f+X-2021=0的两个实数根，则代数式加+4〃Z+3〃+1的值等于（）

A.2025B.2023C.2021D.2019

53.已知关于工方程/一2工+攵=0的一个根为4,则方程的另一个根为.

54.如果两个不相等的实数.，〃满足/一34-1=0，从一3/?-1=0,那么〃的值为.

55.在解一元二次方程f+bx+c=0时，小明看错了一次项系数儿得到的解为玉=1,々=4：小颖看

错了常数项c,得到的解为％=2,%=3.请你写出正确的一元二次方程.

56.我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现:如果关于x的方程f+〃x+q=。的两个根是花,马，

那么由求根公式可推出M+七二-〃，%・々=<7，请根据这一结论，解决下列问题：

（1）若夕，夕是方程/一31+1=0的两根，求。一。•力+£的值；

（2）已知且“，。满足a?-5。+3=0，/?2—5/?4-3=0»求:+一的值.

ba

57.已知关于上的一元二次方程加—1=0有两个实数根』，x2.

（1）求的取值范围；

（2）当内2+电2=-6内/+3时，求利的俏.

十四.一元二次方程的应用（共9小题）

58.根据国家统计局公布的数据，2022年全国粮食总产量为68653万吨，2024年全国粮食总产量为70650

万盹.若这两年全国粮食总产量的年平均增长率为-则所列方程正确的是（）

A.68653（1+x）2=70650B.70650（1-x）2=68653

C.68653（1+2JV『=70650D.70650（1—=68653

59.2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人祓感染，经过两轮传播后就有192人患了甲

型流感.若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（）

A.5人B.6人C.7人D.8A

60.两个连续的偶数乘积为224,设较小的偶数为-可得方程为.

61.某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共

收到72条建议.若设这个小组有x人，则应列方程为.

62.某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒.两轮传播后共有196台服务器

被控制，则每轮中平均每台服务