图形的运动 压轴题（9大题型）解析版-2025-2026学年七年级数学上学期（沪教版五四制）

图形的运动压轴题（9大题型）

题型归纳

题型一：图形的平移

题型二：图形的旋转一长度问题

题型三：图形的旋转一面积问题

题型四：图形的旋转一求旋转中心、旋转角

题型五：对称问题

题型六：三角板问题

题型七：翻折问题

题型八：新定义题

题型九：图形的运动综合

:题型专练

题型一：图形的平移

1.如图，已知△/8C,将△力8。沿直线8。平移得到△44G（其中力、B、c分别与4、鸟、G对应）,

2

平移的距离•为8c长度的：.

（1）画出满足条件的△44G；

9

（2）连接4G，如果△Z8C的面积为5,求出“8G的面积.

【答案】（1）见解析

（2）T

【分析】（1）根据平移作图的方法作图即可；

25

（2）先根据平移的性质得到则过点力作于。，根据三角形面积公式

【详解】（1）解：如图所示.△4£G即为所求:

1/36

A4.

BB、CC}

（2）解：由平移的性质可知CG=：28C,

：.BC、=BC+CC\=『C,

过点力作力。18c于。，

19

•S△”ABC=—2BCAD=一2，

【点睛】本题主要考查了平移作图，平移的性质，三角形面积，熟知平移的相关知识是解题的关键.

2.如图，在ZV14C中，/。=90。，BC=a,AC=b,（b>a>0）,将△48C绕点4顺时针旋转90。得

△4g.

备用图

（1）而出△4/C.

（2）将414。沿射线C4方向平移，平移后得△A与G.

①当平移距离等于〃（点G和点4重合）时，求四边形44G&的面积.（用。，〃的代数式表示）

②若4=1,6=2,当△44G的面积和△4G^的面积相等时，平移距离多少？（直接写出答案）

【答案】（1）见解析

（2）①四边形44c2层的面积为:/+；〃，②平移距离为2.5或3.5

【分析】（1）根据旋转的性质和力向，画出示意图即可；

2/36

（2）①把四边形的面积分割成梯形与三角形的面积之和计算即可；

②没平移的距离为h,分h小于a+h和大于两种情形求解即可.

【详解】（1）根据旋转的性质，面图如下，

则△48G即为所求.

当△44G的面积和△4GJ面枳相等时，根据题意，得;（。十分-力）2=；。

.­.-(3-A)x2=-xl2,

22

解得〃=2.5；

•••«=1,b=2,如图3所示，设平移的距离为力,

3/36

当的面积和△4G区面积相等时，根据题意，得3（/7-。-6）・6=92,

.­.-（/2-3）x2=1xl2,

解得上3.5；

二当△44G的面积和△4G4面积相等时，平移距离为2.5或3.5.

【点睛】本题考查了旋转的性质，平移的性质，图形面积分割法计算，正确进行图形分割和分类计算是解

题的关键.

3.如图，在。中，ZC=90°,BC=a,AC=b,（b>a>0）,如果将△25C绕点3顺时针旋转90。得到

△48。1,将△/18C沿着射线C8方向平移得到区G.

（1）画出△4/G.

（2）若平移的距离•为

①求四边形44GJ的面积（用小力的代数式表示）.

②若四边形44c2%的面积为20,ZU4C的面积为6,求平移的距离,

（3）若的面积和△4。2层的面积相等，直接写出平移的距离.（用内方的代数式表示）

【答案】（I»4g

（2）①;②2

乙乙

（3）«+红土或a+b+工

bb

【分析】本题主要考查了画旋转图形，平移的性质，完全平方公式的变形求值，解二元一次方程组：

（1）根据画旋转图形的方法作图即可；

（2）①证明点G与点4重合，4,G8三点共线，再根据£=加边形列式求解即小②根

4/36

据题意可得^/+!从=20,1^=6,再根据完全平方公式的变形得到(a+b)2=64-Z>)2=16,贝ij

8=8

,解方程组即可得到答案;

b-a=4

⑶求出s△⑨Q=s△*出=$2,则根据三角形面积计算公式可得4到4G的距离为人=,据此可得答案.

【详解】(1)解：如图所示，△48G即为所求；

(2)解：①由平移的性质可得8c2=a=8C,A2C2=AC=b,乙4出2c2=NC=90。,

二点G与点4重合，

由旋转的性质可得〃C=AC=%AiQ=AC=h,/CBC=/4CB=9M,

二4，G8三点共线,

二4G=A2B-BC、=b-a,

Si=534弓4+S四边形4C]88?

1,\a+b

=-t)[b-a)+--a

1,1.11,

=-b2——ab+—a~2+—ab

2222

②h•四边形MAC/2的面积为20,△48。的面积为6,

.,.—a2+—Z>2=20,—ah=6

222t

a'+h2=40»ah=\2'

；.(a+b)~=a2+h'+2ab=64,(a-b)~=a:+b?—lab=16,

•：b>a>0,

5/36

4+6=8

*•*4..，

b-a=4

(a=2

[h=6，

二平移距离为2；

(3)解：由平移的性质可得82G=8C=〃，

由旋转的性质可得8G=8C="，AiCl=AC=b,/CBG=N4G8=90°,

4c[〃B、c),

•-S》遇=；B2c2,BCi=；a=

•.■△44G的面积和△4G%的面积相等，

双4y=>2；

设&到4G的距离为力，

••・平移的距离为0+b-土或q+8+工.

bb

题型二：图形的旋转一长度问题

4.如图，在长方形MCQ中，连接4C,已知边，48="，BC=b(a<b)

⑴画出三角形川纥绕点C顺时针旋转9()。后的三角形Cb(点48的对应点分别为点E、尸),不写画法,

写出结论;

(2)用含〃、力的代数式表示三角形4C£的面积H；

⑶在(1)和(2)的条件下，连接力E交CE于点G,如果长方形488的面积S?=8,$=10,求QG的

长.

【答案】(1)见详解

(2讨=*+〃)

4

⑶5

6/36

【分析】(1)根据旋转的性质作图，即可求解；

(2)由旋转得//CE=90。，AC=CE,由三角形的面积即可求解：

[ab=S(a=2

(3)由题得《“从而可求1一再由S=S“R+SJR+S,.C8，即可求解.

a2+b2=20Z>=4

「.△CM为所求三角形:

4CE=90。，

AC=CE，

S.=-ACCE

12

=如+，,)；

(3)解：由题意得

ab—3

/+〃=20'

a=2

解得：

6=4

AB=CD=EF=2，

BC=AD=CF=4,

由图得：S[=S&ADC+S^ADG+S^CGE

：.10=4+1++

10=4+；X4QG+J（2+QG）X2

整理得：10=4+2OG+2+QG

4

解得：Z)G=-.

【点睛】本题考查作图•旋转变换，长方形的性质，面积法等，掌握必、/+〃之间的转换运算利用面积法

求线段的长是解题的关键.

7/36

5.如图，在三角形/8C中，ZC=90°,四边形。“V是边长为6的正方形，且。、E、尸分别在边力C、

AB、8c上.把三角形4QE绕点E逆时针旋转一定的角度.

(1)当点。与点尸重合时，点片的对应点G落在边8。上，此时四边形力CGE的面积为

(2)当点。的对应点仅落在线段此上时，点力的对应点为点4,在旋转过程中点力经过的路程为《，点。经

过的路程为5且44=4:3,求线段4A的长.

【答案】(1)36

⑵14

【分析】(1)由旋转川知，AADEMAGFE,所以S四边形$CG£=S&ME+S四边物「正.方形。的面枳,求

解即可:

AP4

(2)由44=4:3得——=二，求出力E=8,再结合力。=<E+AE=4E+OE即可求解.

DE3

【详解】(1)解：由旋转可知，“DEGAGFE,

由题意可知，DC=CF=EF=DE=6,

§四边形（CGE=S&ADE+S四边形=S、GFE+§四边形QCGE=S正方形DCFE=℃一=6'=36,

故答案为：36；

(2)如图:

则“臂n^DE

180

,//1:/2=4:3,

n;rAE

.180JE=4

"nn-DE~DE~3

180

DE=6,

AE=-8,

8/36

•••点D的对应点D1落在线段BE上，

/.AD]-AE+D、E=AE+DE=14,

【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、弧长公式，熟练利用旋转的性质是解题的关键.

题型三：图形的旋转一面积问题

6.如图，已知一个正方形ABCD,点P是边BC上一点.将A44P绕点A逆时针方向旋转90。得到MB出(点

B,P的对应点分别是4、6)

(1)画出旋转后所得到的此耳々；

(2)联结出，设相="，BP=h,试用〃、〃表示A/1P1的面积；

(3)若必PR的面积为18,ZU8P的面积为5,试求PC的长.

【答案】(1)见解析；(2)；(/+〃)：(3)4.

【分析】(1)根据要求画出图形即可；

(2)利用旋转性质证明4APPi是等腰直角三角形即可解决问题；

(3)根据面积关系列出等式，然后利用完全平方公式即可解决问题.

【详解】解:(I)A48阳如图所示.

(2)由旋转可知AP=APi，/PAP|=90。,

.•.A4Pl等腰直角三角形，

•••四边形ABCD是正方形，

•♦2B-90°,

9/36

•••AP=>Ja2+b2，

•••s&PAPi==g/T彳g+〃)

(3)由题意：；(/+/)=18,<M=5,

•■a'+b2=36»ab=\O,

-,•(a-b)2=a2+b2-lab=16.

:.a-b=4,

••.PC=BC-BP="6=4.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，勾股定理，三角形的面积等知识，解

题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

7.如图，已知长方形48CO,力8=6,8C=4,E是8c的中点，连接4E；将△力8E绕点B旋转(其中4E

分别与对应)使得4落在直线上，得”石名.

备用图

(1)画出满足条件的△48/；

(2)4力=

(3)连接阳,求“(4&的面积

【答案】(1)见解析

(2)8或4

⑶24或12

【分析1(1)将绕点8顺时针或逆时针旋转90。即可得出满足条件的三角形；

(2)根据(1)中“力用的不同位置，分类求解即可；

(3)根据(1)中448%的不同位置，分类计算△4的面积即可；

【详解】3)解：将ANAE绕点6顺时针或逆时针旋转90。即可得出满足条件的三角形；如图，448片即为

所求；

10/36

g

(2)解：••力是8c的中点

：.BE=-BC=2

2

由旋转的性质可得：BE[=BE=2,A1B=AB=6,NA〔BE尸/ABE=9。。

由此易得：4B、用三点共线；

当乙4阳为“BE绕点B顺时针旋转90。所得时：

AEy-AB+BE[=8

当为"BE绕点B逆时针旋转90。所得时：

AE]=4B-BEi=4

故答案为：8或4

(3)解：当“遂身为"8E绕点8顺时针旋转90。所得时；

S皿岛=g4Ei・4〃=gx8x6=24

当因为“HE绕点8逆时针旋转90。所得时；

=g阳・48=gx4x6=12

综二，△44片的面积为24或12；

【点睛】本题考查了图形的旋转：熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

8.如图，在A48C中，4=90。，将AJ8C绕点C顺时针旋转，使点力落在线段8c延长线上的点。处，点

8落在点E处.

(1)在图中画出旋转后得到的三角形；

(2)若旋转角的度数是115。，那么4c£=_。.

(3)连接4XBE,

①若BC=25,AC=7,AB=24,则5郎g=_・

②若5MBe=P，=q，则S诩c=_•(用含P、勺的代数式表不)

11/36

【答案】（1）图形见解析；（2）50；（3）①300；②乙.

q

【分析】（1）根据旋转的性质作图即可；

（2）根据平角的定义求出乙4CB,由旋转的性质得到乙再由角的和差即可得出结论;

（3）①由旋转的性质得到OE=4B,根据三角形的面积公式即可得到结论：

②过力作力RL8cpF.设.BC=a,AC=b,AB=c,AF=h.用含方的式子表示出。、b、c,由

==代入即可得到结论.

乙乙乙

【详解】（1）如图所示：

(2)vz/lC£>=115°,

山CB=180。-"ICD=180°-115°=65°,

由旋转的性质可知，"8=乙4。8=65。，

:・UCE=UCD—乙ECD=1T50—65。=50。.

(3)①•••8C=25,AC=7,48=24,

：.DE=AB=24.

•••乙4=90。，将。绕点C顺时针旋转，使点力落在线段8c延长线上的点力处，点8落在点E处,

•••DE工BC,

:.S118cE=；AC•ED=；x25x24=30().

②过/作4EL8C于E设8c=〃，AC=b,AB=c,AF=h.

•••乙4=90。，将△48C绕点C顺时针旋转，使点力落在线段4c延长线上的点。处，点8落在点E处,

：.DE1BC,AB=DE,AC=CD.

S“BC-P»SJJC。二q，

12/36

—he--ah=p,—bh=q,

222

二叫孕,bT，c=?=2px，=包,

hhb2qq

立网2222hqq

【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形的面积公式.掌握旋转的性质是解答本题的关键，

9.已知。中，AACB=90°,AC=BC,44=8,/田7=N8C=45。，点。在边片8上，BD=a.

B

图①图②

(1)如图①，△C8。绕着点。顺时针方向旋转，点4的对应点笈落在射线C加上，点。的对应点“落在边力4

上，而点E关于直线b的对•称点恰好是点力，那么。/的长度为(结果用含。的代数式表示);

旋转角的度数为;

(2)如图②，△C8力绕着点C顺时针方向旋转90。后得到△OG,点8和点。的对应点分别是点4和点G.连

接QG,用含。的代数式表示，皿..

【答案】(1)8-2」,30。；

⑵-々/+4。

【分析】本题考查的是轴对称的性质，旋转的性质，整式的乘法运算；

(1)根据旋转与轴对称的性质先判断N〃CE=NEC/=乙4。/=3()。，可得旋转角，再证明△48C是轴对称

图形，尸是轴对称图形，进一步可得。户的长度；

(2)由旋转可得：CD=CG,ZDCG=ZACB=90°,NB=NC4G=45。,BD=AG=a,证明

N历1G=9O。，求解力0=8-〃，再进一步求解三角形的面积即可.

【详解】(1)解:•・•△，"£＞绕着点。顺时针方向旋转，点B的对应点E落在射线CD上，点£＞的对应点上落

13/36

在达4B上，而点E关于直线C尸的对称点恰好是点力，

.SCE=ZECF=NACF,

•••405=90。，

/./BCE=Z.ECF=ZACF=30°,

••・旋转角是30。，

•:AC=BC,ZABC=ZCAB=45C,

.•.△45C是轴对称图形，

由旋转可得：CD=CF,

・•・△8尸是轴对称图形，

:.BD=AF=a,

vAB=8,

:.DF=8-2。；

（2）解：由旋转可得：

CD-CG,ZDCG-Z.4CB-90°,ZB-ZC.4G-45°,BD-AG-a,

•••NC/3=45°,

ZBAG=90°,

•.力8=8,

:SADG=ga（8-a）=-g/+4〃

题型四：图形的旋转一求旋转中心、旋转角

10.如图，正方形力5C。，点M是线段CB延长线一点，连结4必，AB=a,AM=b

（1）将线段沿着射线运动，使得点力与点。重合，用代数式表示线段力用扫过的平面部分的面

积.

（2）将三角形48M绕着点4旋转，使得力4与/I。重合，点M落在点N,用代数式表示线段用必扫过的平

面部分的面积.

（3）将三角形力8W顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况

除外），请在如图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角

【答案】⑴A⑵%"或涉；⑶见解析

【分析】（1）根据平移的性质和平行四边形的面积计算即可;

14/36

（2）根据扇形的面积计算即可；

（3）根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可.

【详解】解：（1）AD・DC=a?

答：线段4”扫过的平面部分的面积为/

（2）三角形/8W绕着点力旋转，使得力8与力。重合，则三角形/8W旋转的角度是90。或270°

22

c90"x7rb碰c_270x7rb

》扇形~记］一取,扇形XA伸=布丁

•e•S扇形4MN=~而2或—nb1

答：扇形“MN的面积为:/或土〃

（3）如图1,旋转中心：43边的中点为。，顺时针180°

如图2,旋转中心：点6,顺时针旋转90

图2

如图3,旋转中心：正方形对角线交点O,顺时针旋转90

图3

【点睛】本题考查了旋转的性质，关键是根据旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应

点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角解答.

11.如图，在边长为6的正方形ABCD内部有两个大小相同的长方形AEFG、HMCN,HM与EF相交于点

P,HN与GF相交于点Q,AG=CM=x,AE=CN=y.

（1）用含有x、y的代数式表示长方形AEFG与长方形HMCN重叠部分的面积S四边形HPFQ，并求出x应满

足的条件；

15/36

(2)当AG=AE,EF=2PE时,

①AG的长为：

②四边形AEFG旋转后能与四边形HMCN重合，请指出该图形所在平面内能够作为旋转中心的所有点，并

分别说明如何旋转的.

【答案】(1)S四边形=4xy-12r-12.y+36,3<x<6；(2)①4；②见解析.

【分析】根据矩形和正方形的性质可x、y表示出PH、PF的长，利用长方形面积公式即可得

【详解】(1)vAG=CM=x,AE=CN=y,四边形ABCD是正方形，

.PM=BE=AB-AE=6-y,PE=BM=BC-CM=6-x,

:.PH=HM-PM=y-(6-y)=2y-6,PF=EF-PE=x-(6-x)=2x-6

••・重叠部分长方形的面枳为：S四边彩〃叩°二(2x-6)(2y-6)=4xy—12x—12y+36,

•.•长方形AEFG与长方形HMCN有重叠部分，正方形ABCD边长为6,

.•-3<AG<6»即3Vx<6.

(2)①♦♦•AG=AE=EF,EF=2PE,

.•.PE=；AG,

••DG=PE,AD=6,

.••AD=AG+DG=AG+YAG=6,

解得：AG=4,

故答案为：4

②如图，连接HF、PQ,设相交的点为点O,

•••AG=AE,EF=2PE,

.••四边形AEFG、"MCN都是正方形，点尸既是稗的中点也是的中点，点。既是G尸的中点也是HN

的中点，

.••该图形所在平面上可以作为旋转中心的点为点。、点P、点。，

四边形力EFG绕着点。逆时针方向(或顺时针方向)旋转180度可与四边形重合：

四边形力EFG绕着点。顺时针方向旋转90度(或逆时针方向旋转270度)可与四边形MWCN重合；

四边形4EFG绕着点。逆时针方向旋转90度(或顺时针方向旋转270度)可与四边形重合.

16/36

【点睛】本题考查正方形的性质及旋转的性质，根据四边形AEFG、HMCN都是正方形，正确找出旋转中

心是解题关键.

12.如图，已知正方形/8CO,点M是线段延长线上一点，连接4W.AB=a,BM=b.

(1)洛线段4H沿着射线力。方向平移，使得点力与点O重合.用代数式表示线段力"扫过的平面部分的

面积.

(2)将三角形ABM绕着点A旋转，使得AB与AD重合，点M落在点N,连接MN.用代数式表示三角形AMN

的面积.

(3)洛三角形/18W顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合(第(2)小题的情况除

外).请在下图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角.

【答案】(1)/

⑵/1+2产1L2

(3)见解析

【分析】(1)首先得到线段4W扫过的平面部分为平行四边形力必〃。，然后根据平行四边形的面积公式求

解即可；

+

(2)根据题意利用S^AMN~SW8^DABCD~^^ADN~^^MNC求解即可；

(3)根据旋转的性质求解即可.

【详解】(1)解：如图所示，线段力忖扫过的平面部分为平行四边形

17/36

・•・线段AM扫过的平面部分的面枳为ABAD=a2-.

(2)解：由题意可得，

SaAMN=S&AAQB+'0.。-S&ADN-^AWVC

=^ab+a2-gab-a+b)(a-b)

（3）解：如图所示:

旋转中心为AB边的中点0,旋转角/AOB=180。；

旋转中心为力。中点O,旋转角4。。=180。；

旋转中心为点8,旋转角乙48c=90。：

18/36

旋转中心为中点O,旋转角ZJOD=90。；

旋转中心为力C中点O,旋转角为360°-NAOB=270°.

【点睛】本题考查了旋转的性质，关键是根据旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应

点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角解答.

题型五：对称问题

13.如图，在△力AC中，/4=70。，/8=90。，点力关于8c的对称点为4,点8关于NC的对称点为",

点C关于的对称点为C.

（1）在图中画出

⑵若LABC的面积为2；,则WC的面积是.

【答案】（1）见详解

（2）?

【分析】本题考查作图一轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键.

（1）根据轴对称的性质作点力关于8c的对称点为"，即过点,4向8c引垂线并倍长得到对称点4,其他

点同理作图即可.

（2）设86,交力C于点。，延长B'8交力'C'于点£，根据轴对称的性质可得8。=8'。，BBf1AC,

AB=AB,BC=BC,则/16C与△H6C'关于点6成中心对称，可得/C=/'C'，ACW^C,BE±A'C,

19/36

BE=BD,进而可得*E=38。.根据三角形的面积公式可得;则可得“7TC’的面积.

【详解】(1)解：如图，作点力关于8c的对称点为H，即过点力向8C引垂线并倍长得到对称点H,其他

同理，

△4BU即为所求.

(2)设BB，交ACT点、D,延长B'S交HC'于点E，

,・,点B关于AC的对称点为B',

/.BD=B'D,BB'1AC.

・・•点/关于8C的对称点为4,

/.AB=A'B,

•点C关于48的对称点为C,

BC=BC',

4BC与A4BC关于点B成中心对称，

:.AC=AC\AC\\A'C\

BE1A'C,BE=BD,

:.B'E=3BD.

•・•△49c的面积为I，

二.—AC•BD=—,

22

4HZTC的面积是:HC，.8£=1,4C38O=3X：=£.

故答案为：y.

14.已知长方形48CO中，边力B的长度为〃，边力。的长度为b,a>2b.将长方形48co绕着点力旋转,

点8、C、。的对应点分别记为点ZT、C'、D',旋转角记为Na.

20/36

（1）当旋转方向为顺时针方向且/。=90。时（如图1）,连接C*、BD、DC,用。、力的代数式表示三角

形C8'。'的面积；（结果需化简）

⑵当00</a<90°时，如果ZBAB'与/BAD，的度数之比为2:7,请再接写出旋转方向和乙a的度数；

（3）当0。</。<90。时，旋转过程中，当长方形力与原长方形18。重叠部分的图形是轴对称图形时,

请直接写出旋转方向和Na的度数.

【答案】⑴"+

（2）顺时针方向Na=36°；逆时针方向Na=20°；

（3）顺时针方向Na=45°；逆时针方向Na=45°.

【分析】⑴延长8C、CB交于忌M,把不规则图形补充成•个矩形，利用矩形的面枳公式和三角形的面

枳公式列出表示AC9。面积的代数式:

（2）本题需要考虑顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，分别用含。的代数式表示出NB4B'与/BAD',再根

据这两个角的度数之比为2:7,歹J方程求解;

（3）本题需要考虑顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，旋转后如果重叠部分是等腰直角三角形，则为轴对称

图形，根据等腰直角三角形的性质确定旋转角的度数即可.

【详解】（1）解：如下图所示，延长4C、CB交于点M,

+力，览为。，

548打=S怩形BD’CM~S^Bca~o,er-SQ何

21/36

a2+ab—ab—b2—ab-a2+—ab

22222

222

(2)解：如下图所示，如果顺时针旋转,

Df

则有NBAB'=NDAD'=a,^BAD'=/BAD+ZDAD'=9Q0+a,

•・•/历1"与/历1。'的度数之比为2:7,

a2

90。+a7

解得：a=36。：

如下图所示，如果逆时针旋转,

AD

则有ZBAB'=/DAD'=a,NB4D'=/BAD-/DAD'=90°-a,

丁力8'与/历1。'的度数之比为2:7,

a2

---------=—，

90。-。7

解得：a=2()。；

综上所述，顺时针方向Na=36。或逆时针方向Na=20°:

(3)解：如下图所示，重叠部分是

22/36

o，

•••NO=90°,

若△力QE是轴对称图形，

则有△/DE是等腰直角三角形，

/E4D=NAED=45。,

ZBAE=/BAD-NAED=90°-45°=45°,

二•当顺时针方向旋转45。时，

；.”ED是等腰直角三角形，等腰在角三角形是轴对称图形，

•..长方形/B'C力与原长方形18CQ重叠部分的图形是轴对称图形;

如下图所示，重叠部分是△/£>/,

若WE是轴对称图形，

则有△力〃£是等腰直角三角形，

/EAD'=NAED'=45。,

：.NBAB'=/BAD'-NAED'=900-45°=45°,

当逆时针方向旋转45。时，

.•.△.4EO是等腰直角三角形，等腰直角三角形是轴对称图形，

•••长方形与原长方形力重叠部分的图形是轴对称图形；

综上所述，当顺时针方向/a=45。或逆时针方向Na=45。长方形4?C'。'与原长方形重叠部分的图

形是轴对称图形.

【点睛】本题主要考查了图形的旋转、轴对称图形、解一元一次方程、列代数式、分类讨论的思想.解决

本题的关键是要注意分类讨论思想的运用，图形旋转时要分顺时针旋转或逆时针旋转两种情况考虑.

题型六：三角板问题

23/36

15.将一副直角三角板（分别含45。、45。、90。和30。、60。、90。的角）叠放在量角器上，OE、O”分别

平分N4O8和ZCOD.

（1）如图①，如果点力、0、。在同一直线上，边力。与量角翳的0°刻度线重合，边。。与量角器180。刻

度线重合，那么/£。尸=：

【规律探究】

（2）如图②，如果两个直角三角板有重叠，

①当400=60。时，求NECW的度数；

②当/8OC=Na时，4E0F=；（用含Na的式子表示）

【解决问题】

（3）如图①，将三角板绕点。顺时针旋转，平均每秒旋转3。，将三角板CO。绕点。逆时针旋转，平

均每秒旋转5。.两三角板同时旋转，当。。第一次与Qi重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为,

秒，在旋转过程中，如果NCO。与/力。8两角平分线的夹角为30。，请求出，的值.

【答案】（1）90，（2）①30。，②90。-&,（3）存在，/的值为7.5或15秒.

【分析】（1）本题由角平分线性质可知NEO8=NEO£=1/4O8=45。，/.FOB=ZFOD=|ADOB=45°,

ZEOF=AEOB+AFOB,即可解题.

（2）①本题由题意得到//OC=N8OO=30。，根据N8O尸=N8OC-NH?C,ZCOE=NBOC-NEOB,

得到/8。尸，4C0E,再利用「.NEO尸=/8。。一/8。产一/COE,即可解题.

②本题求解过程与①类似.

（3）本题根据4YM与乙〃方两角平分线的夹角为30。，分为以下两种情况①。石与。尸相遇前，②OE与

OF相遇后，再根据旋转过程中的等量关系，建立等式求解，即可解题.

【详解】（1）解：、OF分别平分ZAOB和NCOD

...AEOB=ZEOF=-ZAOB=45°,AFOC=2FOD=-ZDOC=45。，

22

AEOF=4EOB+AFOB=90°,

故答案为：90°.

(2)解；©vZ5OC=60°,

24/36

NAOC=ZBOD=90°-60°=30"

Z.BOF=Z.BOC-2FOC=60°-45°=15°,4cOE=Z.BOC-4EOB=15°,

AEOF=4BOC-ZBOF-/COE=30。.

②4BOC=a,

/.ZAOC=ZBOD=90°-a,

2BOF=ZBOC-乙FOC=a—45。，4cOE=NBOC-Z.EOB=a—45。，

NEOF=ZBOC-4BOF-/COE=90°-a,

故答案为：90°-a.

(3)解：存在，/的值为7.5或15秒，理由如下：

由题知，Z5OC=(3°+5°)/=8/0

•・•NCOQ与KO8两角平分线的夹角为30。，

①。E与O尸相遇前，

由(2)②可知NEO产=90°-/8。。=90°-8尸,

即90-8/=30,

解得1=7.5秒；

②OE与O厂相遇后，

记0/旋转到。尸，OE旋转到OE',且/E'O9=30。，

有/FOF'+ZEOE1=/FOE'+ZF'OE'+^EOE'=/EOF+/F'OE'=120。，

解得/=15秒，

综上所述，，的值为7.5或15秒.

【点睛】本题考查角平分线的性质、代数式的相关知识、角的运算、旋转的性质，解题的关键在于找出几

何图形中角度的数量关系.

题型七：翻折问题

16.在长方形纸片/4CO中，AB=\0cm,AD<AB.

（1）当力。=6.5"?时，如图（a）所示，将长方形纸片488折叠，使点。落在边上，记作点A，折

痕为如图（b）所示.此时，图（b）中线段长是一厘米.

25/36

(2)若4。=x厘米，先将长方形纸片片8C。按问题(1)的方法折叠，再将△火£口沿向右翻折，使

点4落在射线。乃上，记作点4.若翻折后的图形中，线段请根据题意画出图形(草图)，并求

出)的值.

【答案】(I)3.5；(2)见解析，5cm或6cm

【分析】(1)根据翻折性质可知AD产AD=6.5cm,由D】B=AB-AD］可得答案;

(2)分两种情形①当点A1在DiB上时，②当点Ai在AB的延长线上时，分别求解.

【详解】解：(1)由题意知ADi=AD=6.5cm,

.••DB=AB・AD|=1065=3.5(cm),

故答案为：3.5；

(2)分两种情况讨论：

①当点A］在D|B上时，

因为8。=26%,

所以84=42=42=4。,

所以工="48=与；

②当点A\在AB的延长线上时,

26/36

22

因为8R=284，所以4^=54〃=§x,

所以4A+BA=g%=10,x=6.

综上所述，满足条件的x的值为与cm或6cm.

【点睛】本题考查翻折变换，作图-轴对称变换，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会由分类

讨论的思想思考问题.

17.己知：如图①长方形纸片48CQ中，AB<AD.将长方形纸片Z8CO沿直线力E翻折，使点8落在力。

边二，记作点/，如图②.

⑴当4。=10,48=6时，求线段打）的长度;

（2）设力。=10、AB=x,如果再将△力石尸沿直线所向右起折，使点力落在射线尸。上，记作点G,若设线

4

段正O=Q0G,请根据题意画出图形，并求出x的值；

s।

（3）设力力=4,AB=b,△4石尸沿直线E尸向右翻折后交C。边于点，，连接厂〃，当「匹一=三时，求?

.网边彩4ACD'b

的值.

【答案】（1）4

（2）2或7言0，图见解析

【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，四边形的面积，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

（I）根据折叠的性质可得4尸=18=6,从而求出结论；

（2）根据点G的位置分类讨论,分别画出对应的图形，根据折叠的件质分别用x表示出厂。片IOG.根据

题意列出方程即可求出结论：

（3）过点H作HM±EFJ-M,用ci和b表示出邑/沙工和S四边形刖⑺，结合已知等式即可求解;

【详解】（1）解：由折叠的性质可得48=6,

.•4。=10,

：.FD=AD-AF=\0-f）=4-

（2）解：若点G落在线段。上时，如图1所示,

27/36

图1

由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x,

：•FD=AD-AF=10—x,

,'.DG=FD-FG=]O-2x,

4

-：FD=-DG,

4

...10-x=-(10-2x),

解得x=2；

若点G落在线段“。的延长线上时，如图2所示,

图2

由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x,

：.FD=AD-AF=\Q-x,

：.DG=FG-FD=2x-m

4

•：FD=-DG,

4

.­.l(l-x=-(2x-10),

解得x吟;

70

综上，x的值2或五；

(3)解：如图3所示，过点"作〃M_LK"于44,

图3

二HM=FD,

由趣意可知：AF=AB=b,EF=AB=b,

28/36

AFD=AD-AF=a—b,

:，HM=a-b,

・•.S,HFE=；EFHM=；b(a-b),S四边形处。=40月4=",

SrIFE_]_

S闪边形.4885

,•2_，

ab5

整理得，3a=5b,

a5

6—3,

题型八：新定义题

18.若N。和“均为大于0。小于180。的角，且|Na-N6|=60。，则称Na和4互为"伙伴角”.根据这个

图1图2

⑴若Na和4互为“伙伴角”，当Na=130。时，求”的度数：

(2)如图1,将一长方形纸片沿着臂对折(点P在线段8c上，点E在线段上)使点8落在点U；,若N1

与N2互为“伙伴角”，求/3的度数；

(3)如图2,在图1的基础上，再将长方形纸片沿着防对折(点厂在线段4。上)使点。落在线段产E上的

点C'处，线段P8J落在NEP厂内部.若N1与N4互为“伙伴角”，求/8P/的度数.

【答案】(1)〃=70。

(2)/3的值为40。或80。.

(3)ZZ?PF-100°

【分析】本题主要考查了新定义、折叠以及角的和差运算等知识点，一元一次方程的应用，掌握折叠的性

质以及方程思想的应用是解答本题的关键.

(1)按照“互优角''的定义，建立方程求解即可；

(2)按照“互优角”的定义可得/1-/2=60。或/1-/2=-60。,再建立方程解答即可;

(3)按照“互优角”的定义可得/1=/4-60。，再结合轴对称的性质，平角的定义建立方程解答即可；

【详解】(1)解：Na和々互为“伙伴角”,当Na=130。时,

29/36

.-.|Za-Z/?|=60°,即|130。一/刈=60。

.-.130°-〃=60。或130°-Z/?=-60°,

解得:/夕=70。或/夕=190。(不符合题意舍去)，

.•"=70。.

(2)••・N1与/2互为“伙伴角”，

.-.|Zl-Z2|=60°,

Zl-Z2=60°或N1—N2=-60°,

当Nl-N2=60。时，则N2=Nl-60。，

由对折可得N1=N3,而Nl+N2+/3=180。，

.­.Z3+Z3-60°+Z3=180°,

解得：Z3=80°,

当/1一/2=—60。时，贝Ij/2=N1+6O0,

同理可得：Z3+Z3+60°+Z3=180°,

N3=40°,

综上所述，N3的值为40。或80。.

(3)•.•点E、C'、P在同一直线上，且N1与N4互为“伙伴角”，

Zl<Z4,N4-/1=60。=NB'PF,

.-.Zl=Z4-60°,

由对折可得：Zl=Z3,N4=NEPF,而NBPC=180。,

/.2Z4+Z3=180°,

.•.2Z4+Z4-6O0=I8O°,

解得：Z4=80°,

.­.Zl=Z3=80°-60°=20°,

.-.Z5PF=200+80°=100°.

19.如果两个角之差的绝对值等于60。，则称这两个角互为“互优角”，即若川=60。，则称Na和“

互为“互优角有一长方形纸片/3CO,如图1,点尸在线段3C上，点E在线段//上，将长方形纸片沿

着七产翻折，使点〃落在点"处.

(1)如果NBPE与NBTC互为“互优角”，那么/BPE的度数为二

(2)点”在线段上，再将纸片沿着尸尸翻折，使点C落在点C.处.

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①如图2,若点£,C,。在同一直线上，且N*PC与/以下互为“互优角”，求NE尸产的度数：(写出必要

解题步骤)

②若NB/C'与NEPF互为“互优角”,设/见艺=。,/。>“二#.(直接填写答案)

如图3,当线段PC'落在N所班外部时，。与夕满足的数量关系为二

如图4,当线段尸c'落在/67E内部时，。与£满足的数量关系为

【答案】(1)40。或80。

(2)①80°②"+4=60°；a+#=100°

【分析】本题考查了通过翻折计算角的度数，“互优角”的定义等知识，注意翻折后两个角相等，解题的关键

是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

(1)根据“互优角”的定义结合已知条件可知分两种情况当ZEP3<NBTC和NEPB>N9PC时利用翻折的

性质结合平角的定义求解即可.

(2)①根据“互优角”的定义可得出NE尸尸-NZTPC'=6()。，由NB，PF=/EPF-/B，PC,则可得出

N