一元一次方程实际应用十二问-2024人教版七年级数学上册（解析版）

专题06一元一。次方程血实际应用十。二问

A-重难点题型分类

题型1:工程问题..................................................1

题型2：行程问题..................................................4

题型3：配套问题..................................................9

题型4：俏售盈亏问题................................................13

题型5：比赛积分问题................................................19

题型6：方案选择问题..............................................23

题型7：数字问题..................................................29

题型8：和差倍和比例问题..........................................32

题型9：电费与水贽问题............................................34

题型10：日历问题...................................................38

题型11：古代问题....................................................42

题型12：几何问题....................................................44

B-能力提升.............................................................49

oo

【题型1：工程问题】

【例1】某制衣厂计划若干天完成一批服装的订货任务.每天生产20套服装，就比订货任

务少生产100套；每天生产23套服装，就可以超过订货任务20套.问这批服装的订货任务

是多少套？原计划多少天完成？

【答案】这批服装的订货任务是900套，原计划40天完成

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键.设原

计划》天完成，根据两种生产方式卜，这批服装的订货任务相等建立方程，解方程可得》的

值，由此即可得.

【详解】解：设原计划X天完成，

由题意得：20x+100=23%-20,

解得％=40,

则20x+100=20x40+100=900（套），

答：这批服装的订货任务是900套，原计划40天完成.

【变式1-1】甲、乙、丙三人在A,8两块地植树，A地要植树900棵，8地要植树1250

棵，已知甲、乙、丙每天分别植树24,30,32棵，甲在A地植树，丙在8地植树，乙先

在人地植树，然后转到4地植树，两块地同时开始，同时结束，乙应该开始后第几天从八

地转到B地？

【答案】11

【分析】本题考查了对工程问题的解答方法的掌握情况，解题关键在于熟练掌握一元一次方

程和工程问题的等量关系.

甲、乙、丙三人在植树过程中都没有停，设都干了丁天，则共植了2150棵树，由此可得出

都干了25天.乙在开始后第11天从A地转到8地.

【详解】解：设共干了％天，

24x+30x+32x=900+1250

解得：x=25

900-24x25=300（棵）

300+30=10（天）

即第11天从A地转到〃地.

答：两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第11天从A地转到8地.

【变式1-2］完成一项工程，原计划甲、乙、丙三人合作13天完成.开工前，丙说：我需

要完成另一项工程，中途要请假2天.乙说：那样的话我多做4天就可以了.甲说：那我和

乙一起多做1天就行了.照这样计算，如果这项工程由甲单独做需要多少天？

【答案】26

【详解】解：丙2天的工作量，相当于乙4天的工作量，丙的工作效率是乙的工作效率的

4+2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样，也就是甲做1天，相当于乙做3天，

甲的工作效率是乙的工作效率的3倍，

乙做13天，甲只要当天，丙做13天，乙要26天，而甲只要g天，他们共同做13天的工作

量，由甲单独完成，甲需要13+m+与=26天.

【变式1-3】整理一批图书，如果由一个人单独做要用30小时完成，

⑴学校现要求6小时完成，假设每个人的工作效率相同，需安排多少人员整理？

⑵现先安排一部分人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又做了2小时，恰好完成

整理工作.假设每个人的工作效率相同，那么先安排多少人员整理？

【答案］⑴5人

（2）6人

【分析】（1）设需要安排x人，根据题意，得《xx6=l,解方程即可.

（2）设现先安排机人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又做了2小时，恰好完成

整理工作.根据题意，得Amxl+?（m+6）x2=l,解方程即可.

本题考查了一元一次方程的应用之工程问题，正确表示工作量，工作效率，工作时间的关系

是解题的关键.

【详解】（1）解：设需要安排x人，

根据题意，得《xx6=l,

解得x=5.

答：需要安排5人.

（2）解：设现先安排机人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又做了2小时，恰好

完成整理工作.

根据题意，得高mx1+限（血+6）x2=1,

解得m=6.

答：现先安排6人用1小时整理.

【变式1-4】修一段公路，如果甲、乙两个工程队合修24天可以完成.如果甲队先工作9

天，乙队再单独做18天，还剩下全长的叫没有完成，已知后来有一天因停电甲队少修100

米，这一天甲修的米数只占乙一天修的米数的3问：这一段公路全长多少米？

【答案】8400

【分析】设乙每天可修工米，甲每天可修（，+100）米，这•段公路全长为24*+100）

米，根据"甲队先工作9天，乙队再单独做18天，还剩下全长的葛没有完成〃可列出方程，

解方程即可得X，从而完成计算.

本题考查了用一元一次方程解应用题，合理的设未知数并找到等量关系列出方程是解题的关

键.

【详解】解：设乙每天可修工米，则甲每天可修6％+100)米，这一段公路全长为

24(x+|x+100)米，

根据题意得9仔工+100)+18x=24(x+|x+100)(1-

解得x=150,

则甲每天可修k+100号x150+100=200(米)，

这一段公路全长为24x(200+150)=8400(米).

答：这一段公路全长为8400米.

【题型2：行程问题】

【例1】甲、乙两车分别从4、B两地同时出发，相向而行，经过4小时相遇，甲车再行驶3小

时就能到达B地，已知甲车每小时比乙车多行驶20km.求48两地的距离.

【答案】560km

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设乙车的速度为xkm/h,则甲车的速度为

(x+20)km/h,根据题意列出方程求空戊进而即可求解.

【详解】解：设乙车的速度为xkm/h,则甲车的速度为(％+20)km/h,

由题意得，(4+3)(%+20)=4(无+20)+4%,

解得％=60,

团甲车的速度为％+20=60+20=80km/h,

团A,B两地的距离为80x(4+3)=560km,

答：A,8两地的距离为560km.

【变式1-1】一个人从县城骑车去乡办厂.他从县城骑车出发，用30分钟时间行完了一半

路程，这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米.又骑了20分钟后，他从路旁的里程

标志牌上知道，必须再骑2千米才能赶到乡办厂，求县城到乡办厂之间的总路程.

【答案】县城到乡办厂之间的总路程为18000米

【分析】本题考查行程问题，设总路程为工米，求出原来的速度，进而求出加速后的速度,

根据题意，列出方程进行求解即可.

【详解】解：2千米=2000米,

设县城到乡办厂之间的总路程为x米，由题意，得：

/+50）x204+2000"

解得：x=18000：

答：县城到乡办厂之间的总路程为18000米.

【变式1-2】周末小明和爸爸来到了一处马场体验骑马.马场有一个如图所示的全长为800m

的环形跑道，把跑道从A,B,C,。处分成长度相等的四段，小明和爸爸在骑师的引导下

分别从A,。两处同时出发，沿的头方向相向血彳丁，小明骑小马和爸爸前大马的平均速度分

别为4m/s,6m/s.

二

⑴多久后两人首次相遇？

⑵在首次相遇后第二次相遇前，又经过多长时间两人相距80m?

【答案】（1）60秒后两人首次相遇

（2）在首次相遇后第二次相遇前，又经过8秒或72秒时，两人相距80m

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是看清是相遇问题以及找到两人两人

相距80m,所走得路程.

（1）两人分别儿。两处同时出发，沿箭头方向相向出发，从图上可知首次相遇是个相遇问

题，找到路程，知道速度，根据路程等于速度乘以时间，可列方程求解；

（2）在首次相遇后第二次相遇前，乂经过），秒两人相距80m,依然是行程问题，找到路程，

知道速度，根据路程等于速度乘以时间，可列方程求解；

【详解】（1）解：设工秒后两人首次相遇，

依题意得到方程4x+6%=800X

4

解得％=60.

答：60秒后两人首次相遇.

（2）解：设又经过y秒后两人两人相距80m,

依题意得4y+6y=80或4y+6y=800-80

解得y=8或y=72.

答：在首次相遇后第二次相遇前，又经过8秒或72秒时，两人相距80m：

【变式1-3］梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名七年级的

学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）.其中一辆小汽车在距离考场15km

的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另

•辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h,人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略

不计）.

⑴若小汽车送4人到认考场，然后再回到出故障外接其他人，请你通过计算说明他们能否

在截止进考场的时刻前到达考场；

⑵现在带队的老师和一位参赛同学分别设计一种运送方案：

老师方案：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另

外4人的相遇处再载他们到考场.

学生方案：8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到其处，然后这4个人步行前往考场，

小汽车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场.

他们的各自的方案合理吗？请通过计算说明.

【答案】（1）不能在限定时间内到达考场

（2）他们的方案都合理；理由见解析

【分析】（1）计算出汽车将8人都送到考场所用的时间，然后再与42分钟进行比较即可；

（2）算出按老师方案将8人送到考场需要的时间和按学生方案将8人送到考场需要的时间，

然后与42分钟进行比较即可.

【详解】⑴解：总X3=：（h）=45（分钟），

045>42,

团不能在限定时间内到达考场.

（2）解：老师方案：

设汽车将第一批送到考场再返回与第二批学生相遇所用时间为x小时，根据题意得：

5x+60x=15x2,

解得：x=

则将所有学生都送到考场所用的总时间为:

X60

36030

=——+15-----

1313

330

=7T+15

=40卷（分钟）,

吟＜42

团这8个人能在截止进考场的时刻前赶到.

学生方案：

回两批学生步行速度相等，

团设第一批学生行驶的路程为mkm,第二批学生行驶的路程为mkm,汽车开始行驶到接上第

二批学生则汽车在此过程中行驶的路程为：

15—in+15—m—m=（30—3m）km,

根据题意得：？=吧券，

解得：m=2,

则将所有学生都送到考场所用的总时间为：

（1詈）x6。=37（分钟），

同他们也能在截止进考场的时刻前到达考场.

【点睛】本题主要考查了有理数混合运算和一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找

出等量关系，列出方程，解方程.

【变式1-4］如图，水平跑道力8和的长度分别为2400米和1800米，斜坡跑道8c的长度为

2400米.小明从4点出发沿跑道慢跑到达。点，小东同时从D点出发沿跑道慢跑到达力点.他

们在水平跑道慢跑的速度都是100米/分，小明在上坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的一半,

小东在下坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的1.5倍.

C1800米DD

A2400米B.

备用图

⑴小明在上坡跑道的慢跑速度是米/分.

（2）当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程.

⑶当小叨和小东相距1000米时，求小明慢跑的时间.

【答案】⑴50

⑵当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程为2775米;

⑶当小明和小东相距100（1米时，求小明慢跑的时间为26分钟或千分钟

【分析】（1）根据题意，小明在上坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的一半，即可求解；

（2）根据题意，24秒后小东在BC上，相遇点在BC上，设相遇时，用时t分，根据题意列出

一元一次方程即可求解；

（3）依题意，当小明和小东相距1000米时，设小明慢跑的时间为t分，分相遇前后两种情

况分别讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解.

【详解】⑴解：依题意，100x0.5=50米/分，

故答案为：50.

（2）解：端=24（分），嘿=18（分），24>18

团24秒后小东在8c上，相遇点在8C上，

设相遇时，用时t分，依题意得：

Q-24）x50+Q-18）x150=2400

解得：t=31.5

024004-（31.5-24）x50=2775（米）

答：当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程为2775米；

（3）解:由（2）可知相遇点距离8点2775-2400=375（米）

依题意，当小明和小东相比1000米时，设小明慢跑的时间为t分,

①两人相遇前，小明在线段48上，小东在线段BC上，

依题意：100t+1000+（t-18）x150+1800=2400+2400+1800,

解得：t=26,

②两人相遇后，则小明在线段8c上，小东在线段48上，

依题意，2400+(£-24)X50+1800+2400+(t-18-鬻)x100-1000=2400+

2400+1800,

解得：”苧

综上所述，当小明和小东相距1000米时，求小明慢跑的时间为26分钟或岸分钟.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键.

【题型3：配套问题】

【例1】某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调

整后车间的总人数是新调入工人人数的3倍多4人.

⑴求调整后车间共有多少名T人：

⑵在(1)的条件下，每名工人每天可以生产120个螺栓或200个螺母，1个螺栓需要2个

螺母，为使每天生产的螺拴和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？

【答案】⑴车间有工人22名；

(2)10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母.

【分析】本题考查一元•次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程.

(1)设调入％名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人”得：16+x=

3%+4,可解得答案；

(2)设y名工人生产螺栓，由“1个螺栓需要2个螺母"，可得120y=gx200(22—y),即

可解得答案.

【详解】(1)解：设调入T名工人，根据题意得：16+x=3x+4,

解得x=6,

二调入6名工人；

答：车间有工人16+6=22(名).

(2)解：设y名工人生产螺栓，则(22-y)名工人生产螺母，

•••每天生产的螺栓和螺母刚好配套，

:.120y=1x200(22-y),

解得y=10,

，22-y=22-10=12,

答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生.产的螺栓和螺母刚好配套.

【变式1-1】为迎接新春蛇年的到来，重庆某工厂决定打造新春限定的2025蛇年布鲁克玩

具盲盒系列.该工厂将这批新春限定盲盒分为A、4两和包装，工厂共有800名工人.请用

一元一次方程解答下列问题：

⑴若该工厂生产4种盲盒的人数比生产8种盲盒的人数的2倍少100人，分别求出该工厂

生产A种盲盒和B种盲盒的工人人数；

⑵为了促销，工厂按商家要求生产新春限定盲盒大礼包，该大礼包由2个4种盲盒和3个8

种盲盒组成.已知每个工人平均每天可以生产20种个4种盲盒或10个8种盲盒，且每天

只能生产一种包装的盲盒,该工厂应该安排多少名工人生产A种盲盒，多少名工人生产8

种肓盒才能使每天牛产的肓盒正好配套？

【答案】(1)生产8种盲盒的工人300人，则生产A种盲盒500人

⑵工厂应该安排200名工人生产A种盲盒，则600名工人生产8种盲盒才能使每天生产的

盲盒正好配套

【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键.

(1)设生产8种盲盒的工人x人，则生产A种盲盒(2%-100)人，根据工厂共有800名工人

建立方程求解：

(2)设工厂应该安排y名工人生产4种盲盒，则(800-y)名工人生产8种盲盒才能使每天

生产的盲盒正好配套，由该大礼包由2个A种盲盒和3个8种盲盒组成.已知每个工人平

均每天可以生产20种个A种盲盒或10个B种盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒，建

立方程求解.

【详解】(1)解：设生产8种盲盒的工人x人，则生产A种盲盒(2%-100)人，

由题意得：A+(2x—100)=800»

解得：x=300,

02x-100=500,

答：生产B种盲盒的工人300人，则生产4种盲盒500人；

(2)解：设工厂应该安排y名工人生产A种盲盒，则(8D0-y)名工人生产8种盲盒才能使

每天生产的盲盒正好配套，

由题意得：手=一匕2

解得：y=200,

0800-y=800-200=600,

答：工厂应该安排200名工人生产A种盲盒，600名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲

盒正好配套.

【变式1-2】某手工编织厂40名工人在编织一批手工花束.平均每人每天可编织18束铃兰或

12束康乃馨.每束手捧花需要5束铃兰和2束康乃馨.该车间每天安排多少工人编织铃兰，

才能使每天编织的铃兰和康乃馨刚好配套？

【答案】该车间每天安排25名工人编织铃兰，才能使每天编织的铃兰和康乃馨刚好配套

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设安排x名工人编织铃兰，则安排（40-外名工

人编织康乃馨，根据每束手捧花需要5束铃兰和2束康乃馨且每大编织的铃兰和康乃馨刚好

配套，可列出关于工的一元一次方程，解之即可得出结论，找准等量关系，正确列出一元一

次方程是解题的关键.

【详解】解：设安排》名工人编织铃兰，则安排（40-无）名工人编织康乃馨，

根据题意得：?=普辿，

解得：x=25,

答：该车间每天安排25名工人编织铃兰，才能使每天编织的铃兰和康乃馨刚好配套.

【变式1-3】某工厂里用铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒

身与两个盒底配成一套.现在有36张铁皮，为使盒身与盒底正好配套，应用多少张铁皮制

盒身，多少张铁皮制盒底？

【答案】应用16张铁皮制盒身，20张铁皮制盒底

【分析】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，

找出合适的等量关系列出方程，再求解.可设用x张制盒身，则（36-切张制盒底，可使盒

身与盒底正好配套，根据等量关系：一个盒身与两个盒底配成一套.列出方程求解即可.

【详解】解：设用x张制盒身，则（36-切张制盒底，

根据题意，得2x25%=40（36-%）,

解得％=16.

36-x=36-16=20.

答：应用16张铁皮制盒身，20张铁皮制盒底.

【变式1-4】新冠肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品.某口

罩厂有26名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳.一个口罩面需要

配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，应安排多少名工人生产口罩面，多少名工人生

产耳绳？

【答案】10名生产口罩面，16人生产耳绳

【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据题意，找出等式关系，列出方程.

设出安排％名工人生产口罩面，则(26-外人生产耳绳，由•个口罩面需要配两个耳绳可知

耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程.

【详解】解：设安排九名工人生产II罩面，则(26—外人牛产耳绑，

由题意得1000(26-x)=2X800%,

解得班=10,

0(26-%)=26-10=16人,

答：安排10名工人生产口罩面，16人生产耳绳.

【变式1-5】列一元一次方程解决实际问题(两问均需用方程求解)

第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，而有着少数民族风格的“滨

滨”“妮妮”吉祥物盲盒颇受大众关注.现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、8两种包装，该

工厂共有1000名工人.

⑴若该工厂生产盲盒4的人数比生.产盲盒B的人数的2倍少200人,请求出生产盲盒B的

工人人数；

⑵为了促销，工厂按商家耍求生产百盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒6组成.已

知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒从且每天只能生产一种包装的盲

盒.该工厂应该安排多少名工人生产盲盒人，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒

正好配套？

【答案】(1)生产盲盒B的工人人数为400人.

(2)该工厂应该安排250名工人生产4750名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套.

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的

关键.

(1)设生产盲盒8的工人人数为x人，则生产盲盒4的工人人数为(2%-200)人，根据该工

厂共有1000名工人，列出一元一次方程，解方程即可；

(2)设安排m人生产盲盒4则安排(1000-巾)人生产甘盒8,根据盲盒大礼包由2个盲盒4

和3个盲盒8组成.列出一元一次方程，解方程即可.

【详解】(工)解：设生产B的人数为工人，则生产4的人数为(2%-200)人，

于是(2%—200)+无=1000

解得：x=400

答：生产盲盒B的工人人数为400人.

(2)解：设安排m人生产4则安排(1000-m)人生产3,

于是3x207九=2x10(1000-m)

解得：m=250

1000-m=1000-250=750(人)

答：该工厂应该安排250名工人生产4750名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套.

【题型4：销售盈亏问题】

【例1】某乡镇返乡创业青年采用线上方式仕:卖非遗手工绣花布鞋，已知4口两款鞋子的

售价均为120元/双，每双3款鞋子的成本比4款鞋子的成本贵25元.经核算，售出一双8款

鞋子亏损4%,那么售出这两款鞋子各一双共赚了或赔了多少钱？

【答案】售出这两款鞋子各一双共赚了15元

【分析】设A款鞋子的成本为X元/双，则B款鞋子的成本为Q+25)元/双，根据售出一双8款

鞋子亏损4%,可列出关于汇的一元一次方程，解之可得出工的值，再将其代入求出8的成本，

最后求出两双鞋的利润即可求出结论.

【详解】解：设A款鞋子的成本为X元/双，则B款鞋子的成本为(％+25)元/双.

根据题意，得(%+25)-120=4%x(%+25),

解得x=100,则％+25=。25,

120-100+(120-125)=15(元).

故售出这两款鞋子各一双共赚了15元.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的

关键.

【变式1-1】国庆节期间某商场对顾客实行优惠，规定如下：若一次购物不超过200元（含

200元），按标价九折优惠，若一次购物超过200元，但不超过500元（含500元），所有商

品按标价给予八折优惠，苕一次购物超过500元，其中500元按八折优惠之外，超过500

元的部分给予七折优惠.某人两次购物分别付款180元和456元，如果他合起来一次去购买

同样的商品，他还可以节约多少钱？

【答案】他合起来一次去购买同样的商品，他可以节约40或22.5元钱

［分析】本题考查了一元一次方程的应用，设付款180元和456元的标价分别为x元、），元，

然后分①付款180元购物不超过200元，②付款180元购物超过200元两种情况，根据优

惠方法分别列出方程求解，再根据优惠方法求出合起来一次去购买同样的商品时的付款，再

求解即可.

【详解】解：设付款180元和456元的标价分别为x元、y元，

①由题意得，0.9%=180,

解得％=200,

500x0.8+tv-500）x0.7=456,

解得y=580,

合起来一次去购买同样的商品标价为200+580=780元，

应付款：500X0.84-（780-500）X0.7=400+196=596元，

节约的钱数=180+456-596=636-596=40元；

（2）0.8x=180,

解得x=225,

合起来一次去购买同样的商品标价为225+580=805元，

应付款：500x0.8十（805-500）x0.7=400+213.5=613.5元，

节约的钱数=180+456-613.5=636-613.5=22.5%;

答：他合起来一次去购买同样的商品，他可以节约40或22.5元钱.

【变式1-2】因教学需要，学校准备订购50个排球和若干根跳绳，经过市场调查后发现排球

120元/个，跳绳20元/根.某体育用品商店提供48两种优惠方案（顾客只能选择其中

一种方案）：

4方案：买一个排球送一根跳绳；

B方案：排球和跳绳都按定价的90%付款.

假设订购跳绳％根(x>50).

⑴若按月方案购买，一共需付款元；

若按8方案购买，一共需付款元；(用含工的式子表示)

⑵购买多少根跳绳时，力、8两种方案所省的钱数一样多？

【答案】⑴(5000+20幻，(5400+18%)；

⑵购买200根跳绳时，A、B两种方案所省的钱数一样多.

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方

程是解题的关键.

(1)利用"总价=单价x数量〃，结合商店给出的两种优惠方案，可求出选择各方案所需费用；

(2)根据选择从R两种方案所省的钱数一样多,可列出关于x的一元一次方程,解之即可

得出结论.

【详解】(1)解：按4方案购买，一共需付款120x50+20(%-50)=5000+20%(元)，

按8方案购买，一共需付款(120x50+20x)x0.9=5400+18x(元)，

故答案为:(5000+20%).(5400+18%)；

(2)解:由题意得(120x50+20x)x(1-90%)=50x20,

解得：x=200,

答：购买200根跳绳时，4B两种方案所省的钱数一样多.

【变式1-3】服装厂要生产一批某型号套装，已知每5米长的布料可做上衣2件或裤子5条，

一件上衣和一条裤子为一套，计划用560米长的这种布料生产套装.

⑴请问用多少米的布料做上衣，用多少米的布料做裤子？

⑵某商场以每套150元的价格购进了这批服装，定价为每套200元，但在运输的过程中，由

于司机的疏忽丢失了一包服装，共计10套，商场想尽快卖完这批服装，计划打折出售，全

部售出后利润率是15%,求商场计划打几折出售？

【答案】⑴400,160

(2)九二折

【分析】本题考查一元一次方程的应用，打折销售，掌握相关知识是解决问题的关键.

(1)设用x米的布料做L衣，(560-x)米的布料做裤子，根据”•件上衣和•条裤子为•

套”为等量关系列方程求解即可；

(2)先计算出销售总额，再计算销售单价，然后求折扣率即可.

【详解】(1)解：设用工米的布料做上衣，(560-好米为布料做裤子,

解得％=400,

560-%=560-400=160米，

答：用400米的布料做上衣，160米的布料做裤子;

成本：150X160=24000元,

销售额：24000x(1+15%)=27600元，

单价：27600+(160-10)=184元,

黑x100%=92%,

答：商场计划打九二折出售.

【变式1-4】今年元旦期间，晓风家装修.爸爸去买新家具，看到家具店促销活动的规定：

根据家具标价，①•次性购物不超过6000元，不享受优惠：②•次性购物超过6000元但

不超过1OOOO元一律九折：③一次性购物超过10000元，一律八折.晓风的爸爸根据装修

需要，元旦期间先后两次到该家具店购买家具.

⑴根据家具标价，晓风爸爸第一次购物超过6000元，实际付费5580元，则晓风的爸爸购

买了标价是多少元的家具？

(2)第二次购物晓风爸爸实际付费8640元，则晓风的爸爸本次购买了标价是多少元的家具？

⑶如果晓风爸爸一次性购买这些家具，实际付费超过了13000元，将这些家具运回家中需

要支付用车费和人工费.已知人工费是用车费的3倍多%晓风爸爸通过计算发现这次所有

费用的支出(购买家具实际费用、人工费和用车费)恰好是这批家具的标价，则运输这批家

具的人工费是多少元？

【答案】⑴晓风的爸爸购买了标价是6200元的家具

(2)晓风的爸爸本次购买了标价是9600元或10800元的家具

⑶运输这批家具的人工费是2600元

【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据

各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，

正确列出一元一次方程.

（1）求出标价为10000元的家具打九折后的价格，将其与5580比较后可得出爸爸第一次

购买家具的标价低于100Q0元，利用标价=实际支付费用+90%,即可求出爸爸第一次购买

家具的标价；

（2）求出标价为10000元的家具打八折后的价格，由8000元＜8640元V9000元，可得出

爸爸第二次购买家具的标价可能低于10000元也可能高于10000元，利用标价=实际支付费

用+90%或标价=实际支付费用+80%,即可求出爸爸第二次购买家具的标价；

（3）将前两次购买家具的标价相加，求出其打八折后的价格，结合晓风爸爸一次性购买这

些家具实际付费超过13000元可得出爸爸两次购买家具的标价总和，设运输这批家具的用车

费为4m元,则人工费用为13m元,根据喽风爸爸通过计算发现i文次所有替用的支出（购买

家具实际费用、人工费和用车费）恰好是这批家具的标价，即可得出关于相的一元一次方

程，解之即可得出结论.

【详解】（1）解：10000x90%=9000（元），5580元（9000元；

5580+90%=6200（元），

答：晓风的爸爸购买了标价是6200元的家具.

（2）解；10000x80%^8000（元），8640元＞8000元；

86404-90%=9600（元），

8640+80%=10800（元），

答：晓风的爸爸本次购买了标价是9600元或10800元的家具.

（3）解：6200+9600=15800（元），

15800x80%=12640（元），12640元V13000元，与题意不符；

6200+10800=17000（元），

17000x80%=13600（7E）,13600元＞13000元，符合题意；

设车费为47n元，则人工燹为13m元，

根据题意列方程得：13600+4m+l3m=17000,

解得m=200,则13m=2600（元）.

答：运输这批家具的人工费是2600元.

【变式1-5】平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为50%；乙

种商品每件进价50元，售价80元.

⑴甲种商品每件售价为一元，每件乙种商品利润率为;

⑵若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两部商

品各多少件？

⑶在“元旦〃期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：

打折前一次性购物总金额优惠措施

不超过380元不优惠

超过380元，但不超过500元售价打九折

超过500元售价打八折

按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品

实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？

【答案】⑴60,60%

(2)购进甲商品40件，乙商品10件

(3)13或14件

【分析】(1)根据题意直接列式计算即可；

(2)设购进甲种商品x件，则购进乙种商品(50-幻件，然后根据题意列•元•次方程求

解即可；

(3)设第一天购买乙种商品〃件，设第二天购买甲种商品〃件，然后分别列方程求得Q、上

最后求和即可.

【详解】(1)解：40x(1+50%)=60(元)，100%=60%

所以甲种商品每件售价为60元，每件乙种商品利润率为60%.

故答案为：60,60%.

(2)解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品(50件，

由题意得，40x4-50(50-x)=2100,

解得：x=40,则50—％=10.

答：购进甲商品40件，乙商品10件.

(3)解：设第一天购买乙种商品。件，

依题意得，80a・90%=360或80a=360,

解得a=5或4.5（舍去），

所以第一天购买乙种商品5件.

设第二天购买甲种商品b件，

依题意得，60b90%=432或60匕・80%=432,

解得b=8或9,

所以第二天购买甲种商品8或9件，

5+8=13（件）或5+9=14（件）.

答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共13或14件.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意、找准等量关系、正确列出方程是

解答本题的关键.

【题型5：比赛积分问题】

【例1】开学初，张老师在七（2）班组织了一次“疫情防控〃知识竞赛，共有30道题，答对

一题得4分，不答或答错一题扣2分.

⑴设小明同学参加了竞赛，共答对了工道题，则他的成绩是（用含有x的字母表示）

⑵小明同学参加了竞赛，竞赛成绩是84分，请问小明同学在竞赛中答对了多少道题？

【答案】⑴（6。-60）分

（2）小明在竞赛中答对了24道题

【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出正确的代数式为解题关

键.

（1）小明共答对「工道题，则不答或答错了（30-％）道题，根据题意列出代数式即可；

（2）根据题意列出元次方程求解即可.

【详解】（1）解：设小明共答对了工道题，则不答或答错了（30-幻道题，

根据题意：他的成绩为：4%-2（30-%）=（6%-60）分,

故答案为：（6万一60）分；

（2）根据题意：6%-60=84,

解得：x=24,

答：小明在竞赛中答对了24道题.

【变式1-1】一份数学竞赛试卷有20道选择题，规定做对一题得5分，一题不做或做错（3配0

（此处因印刷原因看不清楚）.文文做对了16道，但只得了74分，这是为什么？

【答案】因为试卷规定做错或不做的题每题扣1.5分,文文做对16题本应得80分，但

做错或不做4题被扣6分,所以实际得分是74分

【分析】本题主要是考杳了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目

给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.文文做对了16道，做对一题得5

分，按说应该得80分，但只得了74分，说明一题不做或做错要扣分.设一题不做或做错扣

x分,根据得分情况来列等量关系.得分一扣分=74,即74=5X对的题数—XX错的题数.

【详解】解：设一题不做或做错扣工分，

则16x5—（20—16）%=74,

解得：x=1.5

团一题不做或做错扣1.5分，

答：因为试卷规定做错或不做的题每题扣1.5分，文文做对16题本应得80分，但做错

或不做4题被扣6分，所以实际得分是74分.

【变式1-2］在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以3:2逆转韩国女足，时隔16年再夺

亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共

积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场枳0分，求该班获胜的场

数.

【答案】九（1）班获胜7场

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的

关键.

设九（1）班获胜x场，则平（11-切场，根据九（1）班开局11场共积25分，即可得出关

丁人的元次方程，解之即可得出结论.

【详解】解：设九（1）班获胜x场，则平（11-好场，

根据题意得：3x+（ll-x）=25,

解得：x=7.

答：九（1）班获胜7场.

【变式1-3）表是某次篮球联赛积分的一部分

球队比赛现场胜场负场积分

前进1410424

光明149523

远大147721

卫星1441018

备注：总积分=胜场积分+负场积分

⑴请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）；

（2）某队的胜场总积分能否等于负场总积分的3倍？为什么？

⑶若某队的胜场总积分是负场总积分的〃倍，〃为正整数，试求〃的值.

【答案】（1）胜一场积2分，负一场积1分

（2）不能，理由见解析

⑶〃的值为2,5,12或26

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找准等量关系列出一元一次方

程求解即可.

（1）根据表格中胜场与负场的次数结合总积分即可求解；

（2）设该队胜了机场，则负「（14-m）场，根据胜场总积分等于负场总积分的3倍，即可

得出关于〃?的•元一次方程解之即可得出加的值，结合机为整数即可得出结论：

（3）设该队胜了〃场，贝!负了（14-a）场，根据胜场总枳分等于负场总积分的〃倍，结合”

为正整数，即可得出结论.

【详解】（1）解：由表格中前进球队可知，胜场为10场，负场为4场，总积分为24分，

则有10x2+4x1=24,

同理其他球队也满足，胜场X2+负场x1=总积分，

回胜一场积2分，负一场积1分；

（2）解：不能，理由如下：

设该队胜了〃?场，则负了（14一小）场，

若某队的胜场总积分等于负场总积分的3倍，

02m=3x(14-m)x1,

解得m=当

曲〃为整数，

团某队的胜场总积分不能等于负场总积分的3倍;

(3)解：设该队胜了〃场，则负了(14一a)场，

根据题意可得，2a=(14-a)n,

解得"=2a

14-a*

当a=0时，71=0,不合题意：

当Q=1时，〃=寻不合题意；

当a=2时，n=不合题意；

当a=3时，n=卷,不合题意；

当a=4时，n=p不合题意；

当a=5时，n=不合题意；

当a=6时，n=|»不合题意；

当Q=7时，n=2,符合题意；

当a=8时，n=p不合题意；

当a=9时，n=£，不合题意；

当Q=10时，n=5,符合题意；

当Q=11时，n=不合题意；

当Q=12时，n—12,符合题意；

当Q=13时，n=26,符合题意；

当a=14时，分母为零，此时不存在〃的值;

综上，〃的值为2,5,12或26.

【题型6：方案选择问题】

【例1】又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕.“烟花

三月下扬州"，美丽的瘦西湖成了同学们的首选H标.国家旅游胜地"五星级〃风景区瘦西湖

的团体参观门票价格规定如下表：

购票人数（人）1〜5051〜100101〜150150以上

参观门票价格（元/人）50454035

去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖,

如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元.

⑴你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？

⑵你能确定两班各有多少名学生吗？

⑶如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？

【答案】（1）有，可以节约740元钱

（2）1班有58人，2班有45人

⑶购买151张，总票价为5285元

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准确等量关系，要注意考虑

全面，购票最省钱的办法就是团体购票.

（1）最节约的办法就是团体购票，节省的钱=4860-团体票价；

（2）分有两种情况：若1班和2班人数都在51〜100之间；若1班人数是51〜100,2班

人数是1〜50：分别计算，即可求解；

（3）先计算出148人的团体票价，再计算出151人的团体票价，即可求解.

【详解】（1）解：有.可以节约4860-103x40=740（元）.

（2）解：设1班有x人，则2班有（103-外人，根据题意，有两种情况：

若1班和2班人数都在51~100之间，

45（x4-103-x）=4635*4860（不符合题意，舍去）;

若1班人数是51〜100,2班是1~50,

45%+50（103-x）=4860,

解得：％=58,

则103—％=45,

答：1班有58人，2班有45人:

（3）解：若3班也去，则三个班团体购票最合理，三个班的总人数有148人，总票价=148X

40=5920元.

若买151张票，总票价为151x35=5285元，

05920>5285,

团最合理的方法是购买151张，总票价为5285元.

【变式1-1】小麦和父母去某火锅店吃火锅，点了270元的商品，其中包含一份50元的鸳

鸯锅底.用餐完毕后，小麦去付款，发现店家有两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同

时享受.

优惠方可使用"50元抵100元的全场通用代金券”（即面值100元的代金券实付50元就能

式A获得）.店家规定代金券不兑现、不找零，最多可叠加使用3张.

优惠方

除锅底不打折外，其余菜品全部打口折.

式8

小麦选择优惠方式8计算，发现自己需要付款182元.

⑴请用一元一次方程的知识计算一下，优惠方式8,除锅底不打折外，其余菜品打几折？

⑵小麦如何付款最省钱？

【答案】⑴优惠方式8,除锅底不打折外，其余菜品打6折

⑵小麦应买3张代金券最省钱

【分析】本题考查了一元一次方程的应用.

（1）优惠方式除锅底不打折外，其余菜品打x折，根据锅底费用+菜品的费用=1B2列

方程，解方程即可求解；

（2）计算选用优惠方式A的费用，与优惠方式8比较即可求解.

【详解】（1）优惠方式8,除锅底不打折外，其余菜品打x折，

由题意得504-（270-50）X裔=182,

解得％=6,

答：优惠方式从除锅底不打折外，其余菜品打6折；

（2）优惠方式4：若买1张代金券,需要付款50+（27。-100）=220（元）；

若买2张代金券，需要付款2X50+（270-200）=170（元）；

若买3张代金券，需要付款3x50=150（元）；

因为150<170<220,

所以选择优惠方式4时，买3张代金券最省钱，需要付款150元；

优惠方式&需付182元，

故小麦应买3张代金券最省钱.

【变式1-21某市两超市分别推出如下促销方式：甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：

购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元

时,其中的500元打九折，超过500元的部分打八折.已知两家超市相同商品的标价都一样.

⑴当•次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实际付款分别是多少元？

⑵某顾客在乙超市购物实际付款428元，试问该顾客的选择划算吗？请说明理由.

【答案】⑴甲超市实付款是35