《火炮弹道学（第２版）》-第3章

３.１坐标系，作用于弹丸上的全部的力和力矩

３.１.１坐标系描述弹丸运动规律的坐标系多种多样，因研究的重点不同，可以选用更为适宜的坐标系。此处仅介绍几种常用的坐标系。１.地面固联坐标系Ｏ－ｘｙｚ即以地球为惯性参考系的直角坐标系，已在第１章中应用，主要用于确定弹丸质心坐标，也能作为确定弹轴和速度方向的基准。即取水平面向炮口的方向为ｘ轴方向，取铅垂向上的方向为ｙ轴方向，ｚ轴方向由右手法则确定，坐标原点Ｏ取在炮口。下一页返回３.１坐标系，作用于弹丸上的全部的力和力矩

２.理想弹道坐标系Ｏ′－ｘＩｙＩｚＩ该坐标系用英文字母Ｉ下标，以弹丸质心Ｏ′为原点，Ｏ′ｘＩ轴为理想弹道切线方向，向前为正；Ｏ′ｙＩ轴在垂直平面内与Ｏ′ｘＩ垂直，向上为正；Ｏ′ｚＩ按右手法则确定（如图３－１所示）。Ｏ′ｘＩ轴与水平面的夹角为理想弹道的弹道倾角θ。显然理想弹道坐标系既非固定坐标系，也非平动坐标系，不仅其坐标原点是运动的，而且Ｏ′ｘＩ与Ｏ′ｙＩ的方向也随着θ的变化在改变，但Ｏ′ｚＩ轴始终保持与射击面垂直。３.弹道坐标系Ｏ′－ｘ２ｙ２ｚ２由于研究弹丸质心运动及计算空气动力常以弹道坐标系为参考，故该坐标系又称为速度坐标系或自然坐标系。上一页下一页返回３.１坐标系，作用于弹丸上的全部的力和力矩

该坐标系以弹丸质心Ｏ′为原点，Ｏ′ｘ２与速度矢量ｖ重合且其正向与ｖ相同。为了确定Ｏ′ｙ２轴与Ｏ′ｚ２轴在理想弹道坐标系中的方位，采用ψ１、ψ２两个角度。首先将Ｏ′－ｘＩｙＩｚＩ坐标系绕Ｏ′ｚＩ轴转动ψ２（正方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ′位置，Ｏ′ｙＩ转到Ｏ′ｙ２位置，然后再绕Ｏ′ｙ２轴转动ψ１（负方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ２位置，Ｏ′ｚＩ转到Ｏ′ｚ２位置。可见ｘ２Ｏ′ｙ２组成的平面始终是包含速度矢量ｖ的垂直平面。整个坐标系如图３－１所示。表３－１给出了速度坐标系与理想弹道坐标系间的转换关系，即方向余弦关系。速度矢量ｖ与理想弹道间的夹角可用复偏角来表示。上一页下一页返回３.１坐标系，作用于弹丸上的全部的力和力矩

ψ＝ψ２＋ｉψ１（３－１）根据上述定义，式中ψ２为偏角在垂直面内的分量，相当于弹道倾角θ的增量Δθ；ψ１则为侧向分量（负方向）。矢量ｖ的空间方位由相对于理想弹道的复偏角完全确定。４.弹轴坐标系Ｏ′－ｘ１ｙ１ｚ１与弹体坐标系Ｏ′－ξηζ弹轴坐标系原点为弹丸质心Ｏ′，Ｏ′ｘ１轴与弹轴ξ重合，指向弹顶为正；为了确定Ｏ′ｙ１轴与Ｏ′ｚ１轴在理想弹道坐标系中的方位，采用φ１、φ２两个角度。首先将坐标系Ｏ′－ｘＩｙＩｚＩ绕Ｏ′ｚＩ轴转动φ２（正方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ″位置，Ｏ′ｙＩ转到Ｏ′ｙ１位置，然后再绕Ｏ′ｙ１轴转动φ１（负方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ１位置，Ｏ′ｚＩ转到Ｏ′ｚ１位置。上一页下一页返回３.１坐标系，作用于弹丸上的全部的力和力矩

可见ｘ１Ｏ′ｙ１组成的平面始终是包含弹轴ξ的垂直平面。表３－２给出了弹轴坐标系与理想弹道坐标系间的转换关系，即方向余弦关系。５.弹轴坐标系与速度坐标系的关系为了确定弹轴在速度坐标系内的位置，可将速度坐标系Ｏ′－ｘ２ｙ２ｚ２先绕Ｏ′ｚ２转动δ２（正方向），将Ｏ′ｘ２和Ｏ′ｙ２分别转到Ｏ′ｘ′２和Ｏ′ｙ１，然后再绕Ｏ′ｙ１转动δ１（负方向），使Ｏ′ｘ′２和Ｏ′ｚ２轴分别转到Ｏ′ｘ１和Ｏ′ｚ１位置。于是用δ１和δ２两个角度即可确定弹轴在速度坐标系内的方位。弹轴坐标系与速度坐标系的关系如图３－３所示。弹轴坐标系与速度坐标系间的转换关系见表３－４。上一页下一页返回３.１坐标系，作用于弹丸上的全部的力和力矩

在上述推导弹轴坐标系与速度坐标系的关系时，隐含假定δ１、δ２、ψ２为一阶小量。３.１.２作用于弹丸上的全部力及力矩作用在弹丸上的力和力矩有：重力、空气动力及其力矩。为了便于列出运动方程，将所有的力向速度坐标系Ｏ′－ｘ２ｙ２ｚ２分解，将所有的力矩向弹轴坐标系Ｏ′－ｘ１ｙ１ｚ１分解。上一页返回３.２弹丸一般运动微分方程组要列出弹丸的一般运动微分方程组，尚需以下述假设为前提：①弹丸外形及质量分布均为轴对称刚体，因而弹轴为一惯性主轴，且质心位于弹轴线上；②弹丸只受３.１节所述全部外力及外力矩的作用；③攻角δ较小（即线性关系成立）。３.２.１质心运动方程以地面固联坐标系来列出弹丸质心运动的方程ｍ*ｄｖ/ｄｔ＝Ｆ（３－１９）式中，ｄｖ／ｄｔ是相对地面坐标系的加速度；Ｆ是作用于弹丸上的外力之和。由于速度坐标系的转动角速度为下一页返回３.２弹丸一般运动微分方程组上一页下一页返回３.２弹丸一般运动微分方程组上一页下一页返回３.２弹丸一般运动微分方程组３.２.２弹丸绕质心运动方程组弹丸绕质心运动由自转和摆动两种运动组成，运动方程在Ｏ′－ｘ１ｙ１ｚ１参考系下立。上一页返回３.３弹丸动态稳定性的分析３.３.１弹丸飞行动态稳定性的条件微分方程（３－３５）为研究弹丸动态稳定性提供了理论依据。假定微分方程的系数为常量（实际不是常量），根据常微分方程求解理论，方程（３－３５）的全解为ΔΣ＝Ｃ１ｅｋ１ｓ＋Ｃ２ｅｋ２ｓ＋Δｐ（３－３６）式中，右端第三项为非齐次方程（３－３５）的特解，而前两项为其齐次方程的一般解。其中指数ｋ１、ｋ２为齐次方程的特征值ｋ２＋（２Ｂ１－ｉ２α１）ｋ－(ｋｚ＋ｉ４α１Ｂ２)＝０（３－３７）的两个根下一页返回３.３弹丸动态稳定性的分析上一页下一页返回３.３弹丸动态稳定性的分析上一页下一页返回３.３弹丸动态稳定性的分析上一页下一页返回３.３弹丸动态稳定性的分析３.３.２动态稳定条件的讨论陀螺稳定因子Ｓｇ反映了陀螺力矩与俯仰力矩对弹丸围绕质心运动的影响，动态稳定因子Ｓｄ则反映了马格努斯力矩、赤道阻尼力矩，升力、阻力以及重力切向分量对弹丸围绕质心运动的影响。当只计入俯仰力矩，而忽略马氏力矩，赤道阻尼力矩，升力、阻力及重力的切向分量的影响，亦即方程（３－３５）中Ｂ１＝Ｂ２＝０时，则齐次微分方程转化为上一页下一页返回３.３弹丸动态稳定性的分析此方程具有周期解的必要条件是１－（ｋｚ／α２１）＞０，由式（２－６７）及α＝ｖα１知，α２１／ｋｚ＝Ｓｇ。所以必有Ｓｇ＞１（３－５０）或Ｓｇ＜０（３－５１）可见，式（３－５０）就是第２章所述的陀螺稳定条件，可以说动态稳定的弹丸必定是陀螺稳定的，因此它是旋转弹丸动态稳定的必要条件。当Ｓｇ＜０时，由Ｓｇ＝α２１／ｋｚ知，Ｓｇ的正负号取决于ｋｚ。由ｋｚ的表达式可知，当ｍ′ｚ＜０时，表明压力中心在弹丸质心的后方，此时俯仰力矩为稳定力矩，即静态稳定，这正是尾翼弹动态稳定的必要条件。上一页下一页返回３.３弹丸动态稳定性的分析以上的讨论是基于弹丸运动的齐次解，即弹丸在气流中处于静态平衡的情况。实际飞行中弹丸常受到扰动，此时弹轴将偏离平衡位置，在这种情况下，若Ｓｇ＜０，即ｍ′ｚ＜０，则有稳定力矩出现，使弹轴回到平衡位置，此时弹丸的飞行是平衡稳定的，即具有静态稳定性，尾翼弹就具有此种情况。如果Ｓｇ及ｍ′ｚ并不小于零，而是ｍ′ｚ＞０，则出现反转力矩，使弹轴偏离平衡位置越来越远，弹丸飞行是不稳定的。为了避免这种不稳定的现象，必须使弹丸绕纵轴声速自转，产生陀螺稳定性，即必须使Ｓｇ＞１，这就是陀螺稳定性。将Ｂ１、Ｂ２的表达式（３－３３）、式（３－３４）代入式（３－４２）和式（３－４３）得上一页下一页返回３.３弹丸动态稳定性的分析将第２章中关于ｂｘ、ｂｙ、ｋｙ、ｋｚｚ的表达式代入式（３－５２），并将极转动惯量Ｊ及赤道转动惯量Ｉ用相应的回转