2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题31 圆的基本性质【二十个题型】（解析版）

专题31圆的基本性质【二十个题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1圆的周长与面积相关计算】 1【题型2圆中的角度、线段长度计算】 6【题型3求一点到圆上一点的距离最值】 11【题型4利用垂径定理结合全等、相似综合求解】 14【题型5在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 23【题型6垂径定理在格点中的应用】 29【题型7垂径定理的实际应用】 34【题型8利用垂径定理求取值范围】 41【题型9利用弧、弦、圆心角关系求角度、线段长、周长、面积、弧的度数】 46【题型10利用弧、弦、圆心角关系比较大小】 51【题型11利用弧、弦、圆心角关系求最值】 56【题型12利用弧、弦、圆心角关系证明】 61【题型13利用圆周角定理求解】 70【题型14利用圆内接四边形求角度】 78【题型15利用圆的有关性质解决翻折问题】 82【题型16利用圆的有关性质解决最值问题】 88【题型17利用圆的有关性质求取值范围】 94【题型18利用圆的有关性质解决多结论问题】 100【题型19圆有关的常见辅助线-遇到弦时,常添加弦心距】 107【题型20圆有关的常见辅助线-遇到有直径时,常添加（画）直径所对的圆周角】 113【知识点圆的基本性质】1.圆在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。小于半圆的弧叫做劣弧。大于半圆的弧叫做优弧。能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧。2.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．3.弧.弦.圆心角之间的关系定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。注：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧.两个弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等4.圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。【题型1圆的周长与面积相关计算】【例1】（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，BC=400像素，∠ABC=90°，那么周围圆环面积约为（

）

A．40000π B．1600π C．64000π【答案】D【分析】圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，由此即可求解．【详解】解：如图所示，设同心圆的圆心为O，连接OC，则大圆的半径为OC，小圆的半径为OB，

∴设小圆的半径为OB=r，大圆的半径∵BC=400像素，∠∴AB⊥在Rt△OBC中，OB∴R2∵S圆环∴S圆环故选：D．【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆环面积的计算方法是解题的关键．【变式1-1】（2023·山东德州·统考二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'

【答案】4【分析】根据正方形ABCD的面积为2，求出AB=2，根据位似比求出【详解】解：连接A'C'，则A

∵正方形ABCD的面积为2，∴AB=∵A'∴A'∴A'∴四边形A'B'故答案为：4π【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形ABCD的边长．【变式1-2】（2023·山东潍坊·中考真题）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'【答案】4【分析】根据正方形ABCD的面积为4，求出AB=2，根据位似比求出A【详解】解：∵正方形ABCD的面积为4，∴AB=2∵A'∴A'∴A'所求周长=42故答案为：42【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形ABCD的边长．【变式1-3】（2023·湖北武汉·华中科技大学附属中学校考模拟预测）如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为（）A．22+1633π B．20+1633π【答案】A【分析】OH为BC边的高，利用两圆相切的性质得到AB=AC=BC=8，则可判断△ABC为等边三角形，则CH=4，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OC【详解】如图，OH为BC边的高∵所有小圆相切，∴AB=∴△ABC∴∠OCB∵OH⊥∴CH=4∴OH∴OC∵⊙C与⊙∴⊙O的半径OE∴阴影部分的面积==22+16故选：A【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等边三角形的判定与性质．解决本题的关键是掌握切线的性质．【题型2圆中的角度、线段长度计算】【例2】（2023·广东清远·统考二模）如图，在边长为4正方形ABCD中，点E在以B为圆心的弧AC上，射线DE交AB于F，连接CE，若CE⊥DF，则

A．2 B．455 C．65【答案】B【分析】如图，连接BE，过点B作BH⊥CE于点H，根据圆的性质和等腰三角形的性质可定EH=CH，∠HBC+∠HCB【详解】解：如图，连接BE，过点B作BH⊥CE于点

∵点E在以B为圆心的弧AC上，∴BC=∵BH⊥∴EH=∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD∴∠HBC∵BC=∴△HBC∴CH=∴CE=2在Rt△CDE中，∴42∴DE=45故选：B．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．【变式2-1】（2023·江苏南京·统考二模）如图，在⊙O中，C是AB上一点，OA⊥OB，过点C作弦CD交OB于E，若OA=DE，则∠

A．∠C=13∠AOC B．∠【答案】C【分析】连接OD，易得OD=DE=OC，进而得到∠C=∠D，∠【详解】解：连接OD，

∵OA=∴OD=∴∠C=∠D∴∠DEO∵OA⊥∴∠AOB∴∠C∴∠C故选C．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的外角的性质．正确的识图，确定角之间的和差关系，是解题的关键．【变式2-2】（2023·湖南益阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3

A．403 B．8 C．245 D【答案】C【分析】连接OE，证明OE∥【详解】解：连接OE，如图，∵BE平分∠ABC∴∠OBE∵OB=∴∠OBE∴∠CBE∴OE∥∴△AOE∴OEBC∵⊙O的半径为3，AD∴AO=∴BC=故选：C．

【点睛】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式2-3】（2023·吉林长春·统考一模）如图，点P是⊙O外一点，分别以O、P为圆心，大于12OP长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线MN交OP于点C，再以点C为圆心，以OC长为半径作圆弧，交⊙O于点A，连接PA交MN于点B，连接OA、OB．若A．26° B．38° C．52° D．64°【答案】B【分析】连接AC，根据作图痕迹，直线MN垂直平分OP，OC=CA，利用线段垂直平分线性质和等腰三角形的等边对等角求得∠BOP=∠P【详解】解：连接AC，根据作图痕迹，直线MN垂直平分OP，OC=则OC=CP=∴∠BOP=∠P∴∠ACO∴∠COA∴∠AOB故选：B．【点睛】本题考查基本尺规作图-作垂线、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，得到直线MN垂直平分OP是解答的关键．【题型3求一点到圆上一点的距离最值】【例3】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（

A．2 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】过点O作OA⊥l于点A，连接OP，判断出当点P为AO的延长线与⊙O的交点时，点P【详解】解：如图，过点O作OA⊥l于点A，连接∴OA=3，∴当点P为AO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最大，最大距离为PA故选：B．【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点P到直线l的距离最大时，点P的位置是解题关键．【变式3-1】（2023·广东茂名·统考二模）如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，E为AC边上的任意一点，把△BCE沿BE折叠，得到△BFE，连接AF．若【答案】4【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，借助隐形圆求最值．根据折叠得到BF=BC=6，进而得到点F在以B为圆心6为半径的圆上，利用“一箭穿心”，求出AF【详解】解：∵△BCE沿BE折叠，得到△∴BF=∴点F在以B为圆心6为半径的圆上，设以B为圆心6为半径的圆与AB交于点F'则BF'=BC=6在Rt△∵BC=6,∴AB=∴AF'=∴AF的最小值为4，故答案为：4．【变式3-2】（2023·湖南永州·校考三模）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A2,1到以原点为圆心，以1为半径的圆的最短距离为．最长距离为

【答案】5-1/-1+5【分析】连接OA，与圆O交于点B，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB，再求出OA，结合圆O半径可得结果．【详解】解：根据题意可得：点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，连接OA，与圆O交于点B，可知：点A和圆O上点B之间的连线最短，∵A(2，∴OA=∵圆O的半径为1，∴AB=OA∴点A2,1到以原点为圆心，以1为半径的圆的最短距离为5-故答案为：5-1；

【点睛】本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题．【变式3-3】（2023·河南焦作·统考二模）如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，正方形CDEF的边长为1，将正方形CDEF绕点C旋转一周，点G为EF的中点，连接

【答案】5-【分析】如图所示，连接CG，先根据正方形的性质和勾股定理求出CG=52，再根据题意可知点G在以点C为圆心，半径为52的圆上运动，故当点G在线段AC上时，AG最小，此时点G与点G1重合，当点C在线段AG上时，AG最大，此时点G与G2重合，利用勾股定理求出【详解】解：如图所示，连接CG，∵四边形CDEF是边长为1的正方形，点G为EF的中点，∴CF=1在Rt△CFG中，由勾股定理得∴在正方形CDEF绕点C旋转一周的过程中，点G在以点C为圆心，半径为52∴当点G在线段AC上时，AG最小，此时点G与点G1重合，当点C在线段AG上时，AG最大，此时点G与G在Rt△ABC中，AB=3，BC∴AC=∴AG∴5-5故答案为：5-5

【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最值问题，正方形的性质，勾股定理，正确确定点G的运动轨迹是解题的关键．【题型4利用垂径定理结合全等、相似综合求解】【例4】（2023·广东湛江·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠CAB的角平分线交CD于点E，交BC于点F

(1)求证：AEAF(2)若tan∠CAB=4(3)连接PC、PB，若∠ABC=30°，AB=23【答案】(1)证明见解析(2)sin∠CAP(3)△PCF的面积是3【分析】（1）先利用直角三角形的性质和同角的余角相等判断出，∠ACD=∠ABC，进而得出△ACE∽△（2）根据锐角三角函数的定义，设出AC=3x,得出BC，AC，借助（1）的结论求出CF（3）利用直角三角形的两锐角互余得出，∠BAC=60°，CAP=30°，∠FCM=30°，∠FON=30°再用含30°的直角三角形的三边关系，依次求出AC，CF，【详解】（1）解：证明：∵BC是⊙∴∠BDC∴∠ABC∵∠ACB∴∠ACD∴∠ACD∵∠CAB的角平分线交CD于点E，交BC于点F∴∠CAE∴△ACE∴ACAB∵AF是∠BAC的角平分线，则F到AC,∵S∴ACAB∴AE（2）在Rt△ABC中，设AC=3x，根据勾股定理得，AB=5由（1）知，ACAB∴3x∴CFBF∵CF∴CF=3在Rt△CAF中，CF=根据勾股定理得，AF∴sin（3）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴AC=12AB=3，BC=∴OC∵AF是∠∴∠CAP过点C作CM⊥AP于M，过O作ON⊥AP于在Rt△ACM中，CM=12∵∠ACB∴∠FCM在Rt△CMF中，∠FCM=30°，∴∠CFM=90°-∠FCM∴OF在Rt△OFN中，∠FON∴FN∴ON在Rt△ONP中，OP∴PN∴PF=∴S∴△PCF的面积是3【点睛】本题考查了角平分线定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，锐角三角函数等知识点，解本题的关键是含30°的直角三角形的灵活运用，借助中间比判断四段线段成比例．【变式4-1】（2023·浙江杭州·二模）如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE

(1)求证：BE=(2)如果⊙O的半径为5，AD⊥CB【答案】(1)见解析(2)7【分析】（1）根据AB=CD，可得AB=（2）过O作OF⊥AD与F，OG⊥BC于G，连接OA,OC，则∠OFE=∠FEG=∠OGE=90°，根据垂径定理可得AF=FD,【详解】（1）证明：∵AB=∴AB=在△ABE与△∠A∴△ABE∴BE=（2）解：过O作OF⊥AD与F，OG⊥BC于G，连接

∴四边形OFEG是矩形，根据垂径定理得：AF=∵AB=∴AF=在Rt△AOF与AF=∴Rt△∴OF=∵AD⊥∴四边形OFEG是正方形，∴OF=设OF=EF=∴OF即x2解得：x=3或-∴AF=4∴AE=7【点睛】本题主要考查了垂径定理，弧、弦，圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，弧、弦，圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式4-2】（2023·陕西西安·高新一中校考一模）如图，AB是的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O(1)求证：CB∥(2)若BC=3，∠C=30°【答案】(1)证明见解析(2)6【分析】本题考查圆周角定理（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧）以及解直角三角形，（1）先由圆周角定理得到∠C=∠P，结合已知得到∠1=∠（2）连接AC，由“直径所对的圆周角是直角”可得∠ACB=90°，由垂径定理可得BC=BD，得到∠A=∠P【详解】（1）证明：∵∠C与∠P是∴∠C又∵∠1=∠C∴∠1=∠P∴CB∥（2）解：连接AC，∵AB为⊙O∴∠ACB又∵CD⊥∴BC=∴∠A∴sin∠在Rt△ACB中，∵sin∠P∴sin又∵BC=3∴AB=6即⊙O的直径为6【变式4-3】（2023·云南德宏·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且AC=CF，连接FB，FD，

(1)若AE=1，CD=6，求(2)连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M．求证：ON【答案】(1)5；(2)见解析．【分析】（1）连接BC，AC，AD，通过证明△ACE∽△CBE，可得AECE=（2）通过证明△MDO∽△DEO，可得OD2【详解】（1）如图1，连接BC，AC，AD，

∵CD⊥AB，∴AC=AD，∴∠ACD=∠ABC∴△ACE∴AECE∴13∴BE=9∴AB=∴⊙O的半径为5（2）如图2，连接AC，CN，CO，DO，

∵MD是切线，∴MD⊥∴∠MDO=∠DEO∴△MDO∴OEOD∴OD∵AC=∴∠ACD∵CD⊥∴∠AED在△ADE和△∠AED∴△∴AE=∴CD垂直平分AN，∴CA=∴∠ANC∴∠CAP∵AC=∴∠AOC∵CO∥∴∠PCO∵四边形ACFB是圆内接四边形，∴∠PAC∴∠PAC=∠PFB∴△CNO∴NOCO∴CO∵OC=∴ON·【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．【题型5在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】【例5】（2023·浙江宁波·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴分别交点为B，C，圆心M的坐标是4,5，则弦BC的长度为【答案】6【分析】连接BM、AM，作MH⊥BC于H，由垂径定理得到BC=2HB，根据切线的性质及M点的坐标得到OH，OB，在【详解】解：如图，连接BM、AM，作MH⊥BC于则BH=∴BC∵⊙M与x轴相切于点A∴MA∵圆心M的坐标是（4∴MA∴MB在Rt△由勾股定理得：BH=∴BC故答案为：6．【点睛】本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形．【变式5-1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙M经过原点O及

(1)求⊙M(2)点C为弧OA上的一点，且满足∠COA=∠CBO(3)直线y=x与⊙M交于点O、N【答案】(1)5(2)C(3)7【分析】（1）首先求出AO，OB的长度，然后根据勾股定理即可求出AB长度，MB为半径等于AB的一半；（2）根据已知得出C为弧OA的中点，连接MC，根据垂径定理逆定理得出MC垂直于OA，然后根据相似求出M点坐标和ME的长度，即可求出C的坐标；（3）过点N作NG⊥AO，过点M作MH⊥NG，首先得出OG=NG，然后设N（a,【详解】（1）解：在直线y=-34x+3上，令x∴OB令y=0，x∴OA∴AB=OA∴⊙M的半径为：BM=（2）∵∠COA∴OC=连接MC，∴MC∴ME∥∴△AME∴AMAB∴OE=EA∴EC=∴C

（3）过点N作NG⊥AO，过点M作MH⊥∵NO解析式为：y∴NG∴设N(∴MN∴52整理得：2a∴a1∴N的坐标为72∴ON

【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式5-2】（2023·湖北黄冈·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a)a>3，半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB【答案】3+【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质，掌握垂径定理是解题的关键．作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，由于OC=3,PC=a，易得D点坐标为(3,3)，则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由【详解】解：作PC⊥轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接∵⊙P的圆心坐标是(3,∴OC=3,把x=3代入y=x∴D点坐标为(3,3)，∴CD=3∴△OCD∴△PED∵PE⊥∴在Rt△PBE中，∴∴∴故答案为：3+2【变式5-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以点C1,1为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在⊙

(1)求出A，B两点的坐标；(2)试确定经过A、B两点且以点P为顶点的抛物线解析式；(3)在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A(2)y=-x(3)D【分析】（1）作CE⊥AB于点E，连接OA,OB，根据C1,1，半径AC=BC=2，得到CE（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为1,3或1,-1，分别设出解析式代入点B的坐标求出解析式；（3）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形，得到PC∥OD且PC=OD，由PC∥y轴，确定点D在【详解】（1）作CE⊥AB于点E，连接∵C1,1，半径AC∴CE=1∴AE=∴A1-

（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为1,3或1,-1，当抛物线的顶点P的坐标为1,3时，设抛物线的解析式为y=将点B1+3,0∴y=-当抛物线的顶点P的坐标为1,-1时，设抛物线的解析式为y=将点B1+3,0∴y=（3）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形，∴PC∥OD且∵PC∥y∴点D在y轴上，当抛物线为y=-∵PC=2∴OD=2，即D又D0,2满足y∴点D在抛物线上，存在D0,2使线段OP与CD当抛物线为y=∵PC=3∴OD=3，即D∵D0,-3不满足y∴不存在D0,-3使线段OP与CD综上，存在D0,2使线段OP与CD【点睛】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，求二次函数的解析式，平行四边形的性质及判定，综合掌握各知识点是解题的关键．【题型6垂径定理在格点中的应用】【例6】（2023·天津河西·天津市新华中学校考二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点D均在格点上，并且在同一个圆上，取格点M，连接AM并延长交圆于点C，连接AD．

（1）AM=（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段AP，使AP平分∠CAD，且点P在圆上，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）【答案】13作图见解析；连接EF交CD于点G，连接OG交圆于点P，连接AP即可．【分析】（1）先作出圆心，再根据勾股定理求解；（2）根据网格线的特点和垂径定理求解．【详解】解：（1）找出圆的圆心O，连接OA，根据勾股定理得：AO=（2）AP即为所求；

连接EF交CD于点G，连接OG交圆于点P，连接AP即可．【点睛】本题考查了作图的应用和设计，掌握勾股定理和垂径定理是解题的关键．【变式6-1】（2023·天津东丽·统考二模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，M均为格点，以格点O为圆心，AB为直径作圆，点M在圆上．

（Ⅰ）线段AB的长等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM【答案】210取格点C，连接AC并延长，交⊙O于点P，则点【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）取格点C，连接AC并延长，交⊙O于点P，则点P【详解】解：（1）AB（2）如图所示，取格点C，连接AC并延长，交⊙O于点P，则点P理由如下，

∵tan∴∠∵∠∴∠∴AC⊥∴PM=【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，正切的定义，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式6-2】（2023·山东淄博·统考二模）如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，CE的延长线经过格点D，则弧AE的长为（

）

A．3π4 B．π2 C．5【答案】D【分析】找出圆心，根据勾股定理即可求出半径，根据图形得出∠AOE【详解】解：如图，连接AC、AD，取AC的中点O，连接

∵∠ABC∴AC为直径，∵AC∴AC∴△ACD∴∠ACD∴∠AOE∵AO=∴AE的长为90π故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，弧长公式的应用，主要考查学生的计算能力．【变式6-3】（2023·天津·校联考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均为格点，且点A，B在圆上．（1）线段AC的长等于；（2）过点D作DF∥AC，直线DF与圆交于点M,N（点M在N的左侧），画出MN的中点P，简要说明点【答案】17取圆与格线的交点E，连接EB，EB与格线的交点为圆心O；取格点F，连接FD，与圆交于点M，N；取圆与AC的交点H，连接MH，AN，两线交于点I；作射线OI，交MN于点P，则点P即为所求．【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长即可；（2）取圆与格线的交点E，连接EB，EB与格线的交点为圆心O；取格点F，连接FD，与圆交于点M，N；取圆与AC的交点H，连接MH，AN，两线交于点I；作射线OI，交MN于点P，则点P即为所求．【详解】解：（1）AC=故答案为：17；（2）取圆与格线的交点E，连接EB，EB与格线的交点为圆心O；取格点F，连接FD，与圆交于点M，N；取圆与AC的交点H，连接MH，AN，两线交于点I；作射线OI，交MN于点P，则点P即为所求．∵∠BAE∴BE为圆的直径，∵GK垂直平分AB，∴BE鱼GK的交点为圆心O，∵MN∥∴AM=∴∠ANM∴IM=∵OM=∴IP垂直平分MN，即MP=故答案为：取圆与格线的交点E，连接EB，EB与格线的交点为圆心O；取格点F，连接FD，与圆交于点M，N；取圆与AC的交点H，连接MH，AN，两线交于点I；作射线OI，交MN于点P，则点P即为所求．【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，垂径定理，解题的关键是找出圆心O和点I．【题型7垂径定理的实际应用】【例7】（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点

问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）【答案】(1)∠BOM(2)该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为0.3米．【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解；（2）作BC⊥OM于点C，在Rt△OAD中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得OD的长，在【详解】（1）解：∵旋转一周用时120秒，∴每秒旋转360°120当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，∠AOB∵∠AOM∴∠BOM（2）解：作BC⊥OM于点C，设OM与水平面交于点D，则

在Rt△OAD中，∠AOD∴AD=12在Rt△OBC中，∠BOC∴BC=∴CD=OD-OC答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为0.3米．【点睛】本题考查了圆的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【变式7-1】（2023·北京西城·统考一模）圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径【答案】1.3【分析】本题主要考查垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．设半径为rm，根据垂径定理可以列方程求解即可．【详解】解：设圆的半径为rm，由题意可知，DF=12Rt△OFD中，OF=所以r2解得r=1.3故答案为：1.3【变式7-2】（2023·宁夏中卫·统考二模）在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标O0，0，A

(1)某天海面上出现可疑船只C，在监测点A测得C位于南偏东45°，同时在监测点O测得C位于南偏东60°，求监测点O到C船的距离．（结果精确到整数，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，(2)当可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答．【答案】(1)27海里(2)不会，见详解【分析】（1）过点C作CD⊥y轴于点D，设OD=x，则CD=AD=10+（2）由（1）知OD=103-1=53+5，根据三角函数的定义得到CD=15+53，过点C作CG⊥x轴于点G，过点O'作O'E⊥DC于点E【详解】（1）解：过点C作CD⊥y轴于点

依题意，得∠COD=60°，设OD=x，则∵∠CAD∴∠ACD∴CD在Rt△COD中，∴∠DCO=30°∵tan∠COD=∴x=∴OC≈27所以监测点O到C船的距离为27海里；（2）解：不会，计算如下：由（1）知OD=∵tan∠∴3=∴CD=15+5过点C作CG⊥x轴于点G，过点O'作O'E⊥DC

∴OH=∴CE=过点O'作O'F则四边形CEO'∴O'由已知得OA=10，OB∵∠AOB∴线段AB是⊙O'的直径，∴O'∵5+53∴O'∴直线CG与⊙O'相离，【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、直线与圆的位置关系．熟练掌握垂径定理以及锐角三角函数的知识是解题关键．【变式7-3】（2023·广东佛山·校考三模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中ABC），已知跨度AC=40m，拱高BD=10m(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽MN=10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m【答案】(1)25(2)y(3)此时桥A的水面宽度为821m，桥B【分析】（1）设ABC所在圆的圆心为点O，连接OA,OD，则OB⊥AC，AD=CD=20m，再设这条桥主桥拱的半径是（2）以水面所在直线为x轴，MN的中点为原点O，建立平面直角坐标系，则N5,0（3）根据（1）可得OF=25m,OD=15m,OB⊥FG,DE=2【详解】（1）解：如图，设ABC所在圆的圆心为点O，连接OA,

由垂径定理得：点O,则OB⊥AC，设这条桥主桥拱的半径是rm，则OA∴OD在Rt△AOD中，AD解得r=25故答案为：25．（2）解：如图，以水面所在直线为x轴，MN的中点为原点O，建立平面直角坐标系，

由题意得：N5,0则设桥拱抛物线的解析式为y=将点N5,0,P0,4代入得：所以桥拱抛物线的解析式为y=-（3）解：如图，桥A中，由（1）可知：OF=25

由题意得：OB⊥∴OE在Rt△EOF中，由垂径定理得：FG=2即此时桥A的水面宽度为821如图，桥B中，y=-

当y=2时，-解得x=52所以此时桥B的水面宽度为52答：此时桥A的水面宽度为821m，桥B的水面宽度为【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、二次函数的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和二次函数的性质是解题关键．【题型8利用垂径定理求取值范围】【例8】（2023·浙江宁波·一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE=AE=2，F为BD上一点，CF与AB交于点G，若FG

A．4<BF<42C．42<BF【答案】B【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，作直径CM，当点F在DM(不与D、M重合)上运动时，FG>CG，由cos∠DOE=OEOD=12，得到∠DOE=60°，进而得到∠DBE=12∠DOE=30°【详解】解：如图，作直径CM，

当点F在DM(不与D、M重合)上运动时，∵OE=∴OE=∵弦CD⊥AB于点∴cos∠∴∠DOE∴∠DBE∴∠BDE∴∠M∵OM=∴△OBM∴BM=∵AO=2∴MB=∵OE=2，OB∴BE=2+4=6∵sin∠∴BD=4∴BF的长的范围是4<BF故选：B．【变式8-1】（2023·四川绵阳·二模）已知⊙O的弦AB=1.6，优弧上的点到AB的最大距离为1.6，直线l⊥AB，若⊙O上有4个不同的点到l的距离等于0.4，则点O到l【答案】0≤【分析】过O点作OD⊥AB于D点，连接【详解】如图，过O点作OD⊥AB于D点，连接根据题意有：AB=1.6，CD=1.6，即∵OD⊥∴AD=∴在Rt△AOD中，有∴AO解得：AO=1∵⊙O上有4个不同的点到l的距离等于0.4结合图形可知，当直线l往右移动时，d的值将无限接近1-0.4，若d=1-0.4=0.6，此时⊙O上只有3个不同的点到l的距离等于当直线l过圆心时，d=0∴0≤d故答案为：0≤d【点睛】本题考查直线与圆的关系，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．【变式8-2】（2023·广东佛山·统考二模）如图，⊙O的半径为5cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，则A．8≤OP≤10 B．5≤OP≤8 C．【答案】D【分析】先利用垂径定理得到AC，再利用勾股定理求出OC，即可求解．【详解】解：如图，过O点作OC⊥AB于∵AB=8∴AC=4∴OC=∵P点在AB上运动，∴OC≤OP故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，同时涉及到了垂线段最短等知识，解题关键是牢记相关概念或定理．【变式8-3】（2023·广东广州·华南师大附中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x−6与x轴、y轴分别交于点D、E，若△CDE面积为S，则S的范围是【答案】8≤S≤28【分析】连接OC，如图，根据垂径定理得到OC⊥AB，则利用圆周角定理可判断点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直角作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，如图，先利用一次函数解析式确定E（0，-6），D（8，0），则DE=10，接着证明△DPH∽△DEO，利用相似比求出PH=185，则MP=285，NH=85，由于当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，然后计算出SΔNED【详解】解：连接OC，如图，∵点C为弦AB的中点，∴OC⊥AB，∴∠ACO=90°，∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直角作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，如图，当x=0时，y=34x-6=-6，则E（0，-6当y=0时，34x-6=0，解得x=8，则D（8，0∴DE=62+∵A（4，0），∴P（2，0），∴PD=6，∵∠PDH=∠EDO，∠PHD=∠EOD，∴△DPH∽△DEO，∴PH：OE=DP：DE，即PH：6=6：10，解得PH=185∴MP=PH+2=285，NH=PH-2=8∴SΔNED=当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，∴S的范围为8≤S≤28．故答案为：8≤S≤28．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质和一次函数的性质．【题型9利用弧、弦、圆心角关系求角度、线段长、周长、面积、弧的度数】【例9】（2023·四川成都·统考二模）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作BC，AC，AB，三条弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果ABA．π B．2π C．92π D【答案】D【分析】根据等边三角形的定义和性质得出AB=BC=AC，∠A=∠B【详解】解：∵△ABC∴∠A=∠B∴LBC∵AB=3∴LBC∴这个曲边三角形的周长是LBC故选：D．【点睛】本题考查等边三角形的定义和性质，弧、弦、圆心角的关系，弧长公式．掌握弧长公式为nπr180【变式9-1】（2023·江苏泰州·二模）如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，且∠AOC=50°，过点A作AE∥CD交⊙

【答案】80°/80度【分析】本题考查平行线的性质，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识点，连接EO，根据平行线的性质求出∠A=∠AOC，根据圆周角定理求出∠【详解】解：连接EO，

∵∠AOC=50°，∴∠A∵OA=∴∠∴∠EOB∴EDB的度数是100°，∵AB、CD是∴AEB的度数是180°，∴AE的度数是180°-100°=80°，故答案为：80°．【变式9-2】（2023·上海宝山·一模）如图，已知圆O的弦AB与直径CD交于点E，且CD平分AB．(1)已知AB=6，EC=2，求圆(2)如果DE=3EC，求弦【答案】(1)13(2)120°【分析】（1）连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OE=r-2，先根据垂径定理得到AE（2）连接OB，如图，先利用DE=3EC得到OE=CE，即OE=【详解】（1）解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r∵CD平分AB∴AE=BE在Rt△OAE中，解得r=即⊙O的半径为13（2）连接OB，如图，∵DE∴OC即OE+∴OE∴OE在Rt△OAE中，∴∠A∵OA∴∠B∴∠AOB即弦AB所对的圆心角的度数为120°．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．【变式9-3】（2023·安徽合肥·一模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．

(1)已知：如图1，OA=OB=OC，请利用圆规画出过A、B(2)已知，如图2，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，AB=2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移(3)如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA=45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离【答案】(1)35°(2)四边形BDFC的面积为63，∠BEA(3)四边形BADF的最大面积为4+23，平移2【分析】（1）利用圆的定义知A、（2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解；（3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出D点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积．【详解】（1）解：以O为圆心，OA为半径作辅助圆，如图，，

∵∠AOB∴∠ACB故答案为：35°；（2）解：连接PB，

，

Rt△ABC中，∠∴AC∵P为Rt△ABC斜边∴BP线段AC平移到DF之后，AB=∴四边形ABPE为菱形，∵∠BAC∴∠BEA∵CF∥BD∴四边形BDFC为直角梯形，∴S（3）解：如图所示，

当AC边沿BC方向平移2个单位至DF时，满足∠BQA=45°且此时四边形此时直角梯形ABFD的最大面积为，S=【点睛】本题主要考查图形的平移、圆心角、圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求解．【题型10利用弧、弦、圆心角关系比较大小】【例10】（2023·河北·统考中考真题）如图，点P1~P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P

A．a<b B．a=b C．a>b【答案】A【分析】连接P1P2,P2P3，依题意得P1P2=P2P【详解】连接P1

∵点P1~P8∴P1P∴P又∵△P1P四边形P3P4∴b-a=在△P1∴b故选A．【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．【变式10-1】（2023·甘肃平凉·三模）如图，在⊙O中，AB⏜=BC⏜=CD⏜，连接AC，A．AC=2CD BC．AC>2CD【答案】B【分析】连接AB，BC，根据AB=BC=【详解】解：连接AB，BC，如图，∵AB∴AB又AB+∴AC<2故选：B【点睛】本题考查了三角形三边关系，弧、弦的关系等知识，熟练掌握上述知识是解答本题的关键．【变式10-2】（2023·甘肃平凉·二模）如图所示，在⊙O中，AB=2CDA．AB>2CD B．AB<2CD C【答案】B【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系，在圆上截取DE=CD，再根据“根据三角形的三边关系【详解】解：如图，在圆上截取DE=∵AB=2∴AB=∴AB=根据三角形的三边关系知，CD+∴AB<2故选：B．【变式10-3】（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，C、D是AB上两点，过点D作DE∥OC交OB于E点，在OD上取点F，使OF=DE，连接(1)求证：△OCF(2)若C、D是AB的三等分点，OA=2①求∠OGC②请比较GE和BE的大小．【答案】(1)证明见解析(2)①∠OGC=90°；②BE＞GE【分析】（1）先由平行线得出∠COD=∠ODE，再用SAS证△OCF≌△DOE即可；（2）①先由C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，求得∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由三角形内角和求解；②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得OG=3，OF=2，又∠OCF=∠COF=30°，所以CF=OF，又由△OCF≌△DOE，所以OE=CF=OF=2，即可求得GE=2-【详解】（1）解：∵DEOC，∴∠COD=∠ODE，∵OC=OD，OF=DE，∴△OCF≌△DOE(SAS)；（2）解：①∵C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，∵△OCF≌△DOE，∴∠OCF=∠DOE=30°，∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°，∴∠OGC=90°．②∵OA=∴OG=又∵∠DOE=30°，∴OF=2，∵∠OCF=∠COF=30°，∴CF=OF，∵△OCF≌△DOE，∴OE=CF=OF=2，∴GE=OE-∵BE－∴BE＞GE．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，圆的性质，圆心角、弧之间的关系，直角三角形的性质，勾股定理，求出∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，进而求得∠OGC=90°是解题词的关键．【题型11利用弧、弦、圆心角关系求最值】【例11】（2023·江苏泰州·二模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为AB的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（

）

A．2 B．7 C．23 D．【答案】D【分析】取OA的中点Q，连接DQ，OD，CQ，根据条件可求得CQ长，再由垂径定理得出OD⊥AP，由直角三角形斜边中线等于斜边一半求得QD长，根据当C,Q,D三点共线时，CD长最大求解.【详解】解：如图，取AO的中点Q,连接CQ，QD，OD，∵C为AB的三等分点，∴AC的度数为60°，∴∠AOC=60°,∵OA=OC,∴△AOC为等边三角形，∵Q为OA的中点，∴CQ⊥OA，∠OCQ=30°,∴OQ=12由勾股定理可得，CQ=3,∵D为AP的中点,∴OD⊥AP，∵Q为OA的中点，∴DQ=12∴当D点CQ的延长线上时，即点C,Q,D三点共线时，CD长最大，最大值为3+故选D

【点睛】本题考查利用弧与圆心角的关系及垂径定理求相关线段的长度，并且考查线段最大值问题，利用圆的综合性质是解答此题的关键.【变式11-1】（2023·江苏泰州·一模）如图，CD是⊙O的直径，CD=8，∠ACD=20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则

【答案】4【分析】本题主要考查最短路径及圆的基本性质．作点B关于直径CD的对称点E，连接AE、OA、OE、【详解】解：作点B关于直径CD的对称点E，连接AE、OA、OE、

∴BD=∵∠ACD∴∠AOD∵点B为弧AD的中点，∴BD与ED的度数为20°，∴∠EOD∴∠AOE∵OA=∴△AOE∵CD=8∴AE=即PA+PB的最小值为故答案为：4．【变式11-2】（2023·河南焦作·统考一模）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D是BC的中点，点E，F分别为半径OC，OB上的动点．若OB＝2，则△DEF周长的最小值为．【答案】2【分析】连接OD，分别作D点关于OB、OC的对称点M、N，连接OM、ON，MN，MN交OB于F，交OC于E，交OD于P，如图，利用ED＝EN，FM＝FB得到△DEF的周长＝MN，根据两点之间线段最短可判断此时△DEF的周长最小，接着证明∠MON＝120°，OM＝ON＝2，然后计算出MN即可．【详解】解：连接OD，分别作D点关于OB、OC的对称点M、N，连接OM、ON，MN，MN交OB于F，交OC于E，交OD于P，如图，∵ED＝EN，FM＝FD，∴△DEF的周长＝ED+EF+FD＝EN+EF+FM＝MN，∴此时△DEF的周长最小，∵点D是BC的中点，∴∠BOD＝∠COD＝12∠BOC＝30°∵M点与D点关于OB对称，∴∠MOB＝∠BOD＝30°，OM＝OD＝2，同理得∠NOC＝∠COD＝30°，ON＝OD＝2，∵∠MON＝120°，OM＝ON＝2，而∠MOP＝60°，∴OP⊥MN，∠OMN＝∠ONM＝30°，∴PM＝PN，在Rt△OPM中，OP＝12OM＝1∴PM＝3OP＝3，∴MN＝2PM＝23，∴△DEF周长的最小值为23．故答案为23．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系和最短路径问题．【变式11-3】（2023·河南·三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．

(1)已知：如图1，OA=OB=OC，请利用圆规画出过A、B(2)已知，如图2，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，AB=2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移(3)如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA=45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离【答案】(1)35°(2)四边形BDFC的面积为63，∠BEA(3)四边形BADF的最大面积为4+23，平移2【分析】（1）利用圆的定义知A、（2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解；（3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出D点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积．【详解】（1）解：以O为圆心，OA为半径作辅助圆，如图，，

∵∠AOB∴∠ACB故答案为：35°；（2）解：连接PB，

，

Rt△ABC中，∠∴AC∵P为Rt△ABC斜边∴BP线段AC平移到DF之后，AB=∴四边形ABPE为菱形，∵∠BAC∴∠BEA∵CF∥BD∴四边形BDFC为直角梯形，∴S（3）解：如图所示，

当AC边沿BC方向平移2个单位至DF时，满足∠BQA=45°且此时四边形此时直角梯形ABFD的最大面积为，S=【点睛】本题主要考查图形的平移、圆心角、圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求解．【题型12利用弧、弦、圆心角关系证明】【例12】（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图1，圆O中，AB为弦，C为弧AB中点，连接OC交AB于D．

(1)求证：OC⊥(2)如图2，弦EF∥弦GH，连接EG、FH，求证：EG(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC、FG，若FG平分∠EFH,OD=3,GH．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)13【分析】（1）证明CO是∠AOB（2）证明∠EFG=∠FGH（3）证明Rt△GPE≌Rt△HQF(HL),，则EP=FQ，在Rt△FPG中，设PG=【详解】（1）证明：如图1，连接OA、OB，∵C为弧AB中点，∴∠COA=∠COB，即CO在等腰三角形OAB中，AO=OB,∴OC⊥

（2）证明：连接OE、OG、OH、OF、GF，∵∴∠又∵∠∴∠∴（3）解：连接OB、OF，延长FO交圆于点M，连接MH，过点G、H分别作EF的垂线，交于点P、Q，则四边形PQHG为矩形，则PQ=GH=10，设在△BOC中，B即(x解得x=-5(舍去)或x则OB=x+3=5，即圆的半径为5∵FG平分∠BFH，则∠EFG=∠由（2）知，EG=∴在Rt△MFH中，sinM∵GH∥EF，则在Rt△GPE和GP∴∴在Rt△FPG中，设PG=m则PF=3m，则在Rt△EPG中，EG解得m=0(舍去)或3则EF=2【点睛】本题为圆的综合题，主要考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、三角形全等、勾股定理的运用等，有一定的综合性，难度适中．【变式12-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，⊙O经过△ABC的顶点A，C及AB的中点D，且D是

(1)求证：△ABC(2)若⊙O的半径为1，求A【答案】(1)证明见解析(2)4【分析】（1）连接CD，根据D是AC的中点，可得DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，再根据点D是AB（2）连接DO并延长交⊙O于点E，连接AE，证明△ADE∽△【详解】（1）证明：如图，连接CD，∵D是AC的中点，∴DA=∴∠DAC∵点D是AB的中点，∴DA=∴DC=∴∠B∵∠BAC∴∠BAC∴2∠BAC∴∠BAC∴△ABC

（2）解：如图，连接DO并延长交⊙O于点E，连接AE∴DE是⊙O∴∠DAE∵D是AC的中点，∴AD=∴∠DEA∵∠DAE∴△ADE∴ADCB∵⊙O的半径为1，点D是AB∴DE=2，AD∴12∴12∴AB∴AB

【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，直角三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式12-2】（2023·广东江门·统考二模）如图，点A、B、C在⊙O上，BC是直径，∠ABC的角平分线BD与⊙O交于点D，与AC交于点M，且BM=MD，连接OD(1)证明：OD⊥(2)试猜想AB与OD之间的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)OD=【分析】（1）根据∠ABD=∠DBO，证得AD（2）先证明ON是△ABC的中位线，得出AB【详解】（1）证明：∵BD平分∠∴∠ABD∴AD=∴OD（2）解：猜想OD=∵AD=DC，∴AN∵OB=12∴ON是△ABC∴AB=2ON∴∠ABM∵BM=MD∴△ABM∴AB∴OD【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的定理和性质．【变式12-3】（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图1，AB为⊙O直径，点E是弦AC中点，连接OE并延长交⊙O于点

(1)求证：AD=(2)如图2，连接BD交AC于点F，求证：DE(3)如图3，在（2）条件下，延长BA至点G，连接GF，若∠DFG=45°，AG=2【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4【分析】（1）连接CO，根据等腰三角形的性质得出∠AOD=∠COD（2）连接DC，证明△EDF∽△CDE，得出DE（3）连接AD，交FG于点H，证明∠G=∠AFG，得出AF=AG=4，求出CF=22，得出AC=AF+CF=4+22，根据E为AC的中点，得出AE=【详解】（1）证明：连接CO，如图所示：

∴AO=∵E是弦AC中点，∴∠AOD∴AD=（2）证明：连接DC，如图所示：

∵AD=∴∠ABD∵OD=∴∠ODB∴∠ACD∴△EDF∴DE:∴DE（3）解：连接AD，交FG于点H，如图所示：

∵AB为⊙O∴∠ADB∵∠DFG∴∠DHF∵AD=∴∠B∵∠B+∠G∴∠G∴AF=∵2CF∴CF=2∴AC=∵E为AC的中点，∴AE=∴EF=由（2）得：DE∴DE=设⊙O的半径为r在Rt△AOE中，OA=r，∴r2解得：r=2∴2πr即⊙O的周长为4【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，三角形相似的判定和性质，垂径定理，圆心角、弧之间的关系，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．【题型13利用圆周角定理求解】【例13】（2023·湖北武汉·校考一模）如图，BC是⊙O的直径，D为⊙O上一点，A为CBD的中点，AE⊥BC于H并交⊙O于点E，若CD=3DF

A．52 B．81313 C．4【答案】B【分析】如图，连接OA、DE，由A为CBD的中点，可得AC=AD，由垂径定理得AH=EH，AC=CE，则CE=AD，∠EAC=∠DCA，AF=CF，由∠FDE=∠EAC，∠FED=∠DCA，可得∠FDE=∠FED，则DF=EF，设EF=DF=2x，则CD=6x，AE=6x，AH=【详解】解：如图，连接OA、

∵A为CBD的中点，∴AC=∵BC是⊙O的直径，AE∴AH=∴AC=∴CE=∴∠EAC∴AF=∵∠FDE=∠EAC∴∠FDE∴DF=设EF=DF=2x，则∴AH=EH=3x，在Rt△CHA中，在Rt△CHF中，∴16-9x解得，x=33∴AH=3，设⊙O的半径为r，则OA=r在Rt△AOH，AH解得，r=故选：B．【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，等角对等边，圆内接四边形的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式13-1】（2023·安徽·模拟预测）如图，在⊙O中，直径AB=4，弦CD=2，连接AD，BC相交于点E【答案】60°/60度【分析】本题主要考查圆周角定理及其推论，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理．连接常用的辅助线是解题关键．连接OC，OD，AC，由题意可得出OC=OC=12AB=2=【详解】解：如图，连接OC，∵AB=4∴OC=OC=∴△OCD∴∠COD∴∠CAD∴∠AEC故答案为：60°．【变式13-2】（2023·天津滨海新·统考二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE切⊙O于点A，AE与直径BD的延长线相交于点E．(1)如图①，若∠C＝71°，求∠E的大小；(2)如图②，当AE＝AB，DE＝2时，求∠E的大小和⊙O的半径．【答案】(1)52°；(2)30°,2．【分析】（1）连接OA，先由切线的性质得∠AOE的度数，求出∠AOB=2∠（2）连接OA，由等腰三角形的性质求出∠E=30°，根据含【详解】（1）解：连接OA．∵AE切⊙O于点A∴OA⊥∴∠OAE∵∠C∴∠AOB又∵∠AOB∴∠AOE∵∠AOE∴∠E（2）连接OA，设∠∵∴∠∵∴∠∴∠∵AE是⊙∴OA⊥在△OAE中，即2解得x∴∠在Rt△OAE∵∴∵∴OA=2,即⊙O【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角的性质，三角形内角和的性质，含30°角的直角三角形的性质，用方程思想解决几何问题，关键是熟悉掌握这些性质．【变式13-3】（2023·广东河源·三模）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A3,0．动点B在⊙O上，连接AB，作等边△ABC（A，B，【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边△BOE，连接AE（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；（2）线段OC的最大值为．【灵活运用】（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为3,0，点B的坐标为5,0，点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°【迁移拓展】（4）如图③，BC=43，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边【答案】（1）结论：OC=AE，理由见解析；（2）4；（3）22+2，P3-2，2；（4）【分析】(1)结论：OC=AE．只要证明(2)利用三角形的三边关系即可解决问题；(3)连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为3(4)如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC=MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由BC=43=定值，∠BDC=90°，推出点D在以BC为直径的【详解】解：（1）如图①中，结论：OC=理由：∵△ABC、△∴BC=BA，BO=∴∠CBO∴△CBO∴OC=（2）在△AOE中，AE∴当E、∴AE的最大值为4，∴OC的最大值为4．故答案为：4；（3）如图1，连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则∴PN=PA=2∵A的坐标为3,0，点B的坐标为5,0，∴OA=3，OB∴AB=2∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值（如图2中），最大值=AB∵AN=∴最大值为22如图2，过P作PE⊥x轴于∵△APN∴PE=∴OE=∴P3-（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM∵∠ABD∴∠ABC∵AB=DB，∴△ABC∴AC=∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC=43=∴点D在以BC为直径的半圆⊙O由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值∴AC的最大值为23当点A在线段BD的右侧时，以BC为边作等边△BCM∵∠ABD∴∠MBD=∠CBA，且AB∴△ABC∴AC=∴欲求AC的最小值，只要求出DM的最小值即可，∵BC=43=∴点D在以BC为直径的⊙O由图象可知，当点D在BC的上方，DM⊥BC时，DM的最小值=MO∴AC的最小值为6-23综上所述，AC的最大值为23+6，AC的最小值为【点睛】本题考查了圆的有关知识、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【题型14利用圆内接四边形求角度】【例14】（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，若∠AOB=70°，则∠APBA．110° B．145° C．135° D．160°【答案】B【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形，取优弧上一点C，连接AC，BC，由圆周角定理，得∠ACB【详解】解：如图，取优弧上一点C，连接AC，BC，∵∠AOB∴∠ACB∴∠APB故选：B．【变式14-1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE，OD，若AE∥OD，且AE=A．100° B．105° C．110°【答案】D【分析】连接OA、DE，可得四边形OAED是平行四边形，根据OA=OD，可得▱OAED是菱形，进而得到ΔOAE为等边三角形，结合直径所对圆周角是直角，可以求出【详解】解：如图，连接OA、DE，∵AE∥OD，且∴四边形OAED是平行四边形，又∵OA=∴▱OAED∴OA=AE=即ΔOAE∴∠OAE=∠OEA∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE∠BAO∠BAD∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD∴∠故选：D【点睛】本题考查平行四边形、菱形、等边三角形的判定及性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，准确作出辅助线是解决本题的关键．【变式14-2】（2023·江西九江·校考二模）如图，直线AB，AD与⊙O分别相切于点B，D，C为⊙O上一点，且∠BCD=125°，则

【答案】70°【分析】令优弧BD上任意一点E，连接OB，OD，BE，DE，根据切线的性质得出∠ABO=∠ADO=90°，根据圆内接四边形的性质得出∠E【详解】解：令优弧BD上任意一点E，连接OB，OD，BE，DE，∵直线AB，AD与⊙O分别相切于点B，D∴∠ABO∵∠BCD∴∠E∴∠BOD∴∠A故答案为：70°．

【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，以及切线的定义．【变式14-3】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BC=CD=

【答案】120°/120度【分析】根据圆周角定理求出∠AOD=60°，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出【详解】解：连接OC、OD，

∵AB为⊙O的直径，∴∠BOC∵OA∴∠A∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠BCD∴∠BCD故答案为：120°．【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．【题型15利用圆的有关性质解决翻折问题】【例15】（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将BC沿BC翻折交AB于点D．再将BD沿AB翻折交BC于点E．若BE=DE，设∠ABCA．21.9°<α<22.3° BC．22.7°<α<23.1° D【答案】B【分析】将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明AC=DC=DE=EB，从而可得到弧AC【详解】解：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，∴AC=同理：DE=又∵F是劣弧BD的中点，∴DE=∴AC=∴弧AC的度数=180°÷4=45°．∴∠B=12×45°=22.5°∴α所在的范围是22.3°<α故选：B．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．【变式15-1】（2023·江苏泰州·统考二模）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，则【答案】40°/40度【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到【详解】解：如图，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB∴∠BAC∵∠BAC∴∠B根据翻折的性质，弧AC所对的圆周角为∠B，ABC所对的圆周角为∠∴∠ADC∵∠ADC∴∠B∴∠DCA故答案为：40°．【点睛】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．【变式15-2】（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考二模）如图，E为正方形ABCD的边CD上一点（不与C、D重合），将△BCE沿直线BE翻折到△BFE，延长EF交AE于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧EG上一点，则∠EOG＝

【答案】135【分析】根据翻折性质和正方形的性质推出BF=BC=AB和∠C=∠BFE=∠BFG【详解】解：连接BO、BG，如图所示，

∵将△BCE沿直线BE翻折到△BFE，四边∴∠C=∠BFE=∠BFG∴在Rt△AGB和Rt△∴Rt△∴∠FBG∴∠EBG∴∠∵O、B、E、G∴∠EBG∴∠EOG故答案为：135．【点睛】本题考查了翻折的性质、正方形的性质和圆内接四边形．解题的关键在于能否构造与所求角度有关的内接四边形以及熟练掌握相关性质．【变式15-3】（2023·安徽淮南·校联考一模）如图，已知，AB是⊙O的直径，点C(1)如图①，将AC沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，AC=23，则⊙O的半径为(2)如图②，将BC沿弦BC翻折，交AB于D，把BD沿直径AB翻折，交BC于点E．（Ⅰ）若点E恰好是翻折后的BD的中点，则∠B的度数为（Ⅱ）如图③，连接DE，若AB=10，OD=1，求线段【答案】(1)2(2)（Ⅰ）22.5°；（Ⅱ）DE【分析】（1）过点O作OM⊥AC，垂足为M，结合垂径定理，在Rt△AOM中求得（2）（Ⅰ）连接CA、CD、DE，可以得到AC=CD=DE=EB，