数列知识点及常用解题方法归纳总结

数列知识点及常用解题方法归纳总结数列的基本概念数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列一般形式可以写成,,,·s,,·例如：1,2,3,4,5,·s数列的分类1.按项数分类有穷数列：项数有限的数列。例如数列2,4,无穷数列：项数无限的数列。比如1,2.按项的大小变化分类递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即>(n∈)。例如数列1,2,递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即<(n∈)。例如数列,,,·常数列：各项都相等的数列，即=(n∈摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。例如数列1,数列的通项公式如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。例如，已知数列的通项公式=2n1，当n=1时，=2×11=1；当求数列通项公式的方法有很多种，下面介绍几种常见的方法：1.观察法通过观察数列的前几项，找出数列的规律，从而写出通项公式。例如，对于数列2,4,8,16,·s，观察可得：=2.公式法如果已知数列是等差数列或等比数列，可以直接利用等差数列或等比数列的通项公式来求解。等差数列的通项公式为=+(n1)等比数列的通项公式为=，其中为首项，q为公比。3.累加法当数列满足−=f(n已知−=n，=1由−=n1，−=n将以上n1=(n1)+4.累乘法当数列满足（f(n)已知，=1，求。由，，·s，=1。将以上n1=(n1)(数列的前n项和数列的前n项和=++与的关系为={,n=例如，已知=2+3n，当n=1时，==2×+3等差数列等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，即−=例如，数列2,5,8,11,·s等差数列的通项公式等差数列的通项公式为=+(n1)d推导过程：=+d，=+d=等差数列的前n项和公式1.=，推导过程如下：=++·将两式相加得2=因为是等差数列，所以+=+=·s，一共有n组，所以2.=n+d，将===等差数列的性质1.若m,n,p,例如，在等差数列中，若m=1，n=4，p=22.若是等差数列，是其前n项和，则，−，−，·s仍成等差数列。设等差数列的首项为，公差为d，=n+d，=2n+d，−(−)−=(n+d)等差数列的判定方法1.定义法：−=d（d为常数，n∈2.等差中项法：若2=+(3.通项公式法：若=kn+b（k，b为常数，4.前n项和公式法：若=A+Bn（A，B为常数，等比数列等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠q0例如，数列2,4,8,16,·s等比数列的通项公式等比数列的通项公式为=，其中为首项，q为公比。推导过程：=q，=q=(q等比数列的前n项和公式1.当q=1时，=n。因为此时数列为常数列，每一项都为，所以前n项和为n2.当q≠q1=++·两式相减得q=，即(1q等比数列的性质1.若m,n,p,例如，在等比数列中，若m=1，n=4，p=22.若是等比数列，是其前n项和，则，−，−，·s仍成等比数列（q≠q1设等比数列的首项为，公比为q，=，=，−=−=，=，−=，，所以，−，−成等比数列（q≠q1等比数列的判定方法1.定义法：（q为非零常数，n∈），则是等比数列。2.等比中项法：若=·(≠3.通项公式法：若=（≠q0，q≠q04.前n项和公式法：若=A(1)（A≠q0，q数列求和的常用方法公式法直接利用等差数列和等比数列的前n项和公式进行求和。例如，求数列1,3,5,因为该数列是首项=1，公差d=2的等差数列，根据等差数列前n项和公式=分组求和法当数列的通项公式可以拆分成几个可以分别求和的数列的和时，可采用分组求和法。例如，求数列1+2,2+=(其中1+2+3+·s+n=，2+所以=+裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。常见的裂项形式有：1.=−例如，求数列,,,·s,=+2.=(错位相减法适用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的数列的求和。例如，求数列1×2,2×=12=①②得：−=其中2+++·s+是首项=2，公比q所以−=−2倒序相加法如果一个数列中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。例如，求1+设S=1+两式相加得2S=(数列的综合应用数列与函数的综合数列可以看作是一个定义域为正整数集（或它的有限子集1,2例如，已知数列的通项公式=7n将=7n+6看作是关于n的二次函数y=7x因为n∈，且|3.53|=|3.54|=0.5数列与不等式的综合在数列问题中，常常会涉及到不等式的证明或求解。例如，已知数列满足=，证明<1。因为==1−，又n∈，所以>0数列在实际生活中的应用数列在实际生活中有广泛的应用，如储蓄、贷款、分期付款等问题。例如，某人从银行贷款10万元，年利率为5，按复利计算（即每年的利息计入下一年的本金），分5年等额还清，每年应还多少钱？设每年应还x万元，贷款10万元5年后的本利和为10×第一年还款x万元后，到第5年末的本利和为x(1+5万元；第二年还款x万元后，到第5年末的本利和为x(1+5万元；第三年还款x万元后，到第5年末的本利和为x(则有x(令S=x(1+5，这是首项=x，公比q所以=10×，解得数列是数学中一个重要的内容，