世少赛九年级2025年试题及详细答案

世少赛九年级2025年试题及详细答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.二次函数y=2(x-3)²+5的顶点坐标是A.(3,5)B.(-3,5)C.(3,-5)D.(-3,-5)2.已知圆O的半径为5，点P到圆心O的距离为5，则过点P的圆O的切线数量是A.0条B.1条C.2条D.3条3.△ABC∽△DEF，相似比为2:3，若△ABC的面积为8，则△DEF的面积为A.12B.14C.16D.184.不等式2x+3≤7的解集是A.x≥2B.x≥-2C.x≤2D.x≤-25.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚都是正面朝上的概率是A.1/4B.1/3C.1/2D.3/46.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则cosA的值是A.3/5B.4/5C.3/4D.4/37.分式方程(x-1)/(x-2)=m/(x-2)有增根，则m的值为A.1B.2C.-2D.-18.将点A(2,3)向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的点坐标是A.(5,2)B.(5,4)C.(-1,4)D.(-1,2)9.函数y=|x-2|+1的最小值是A.1B.2C.3D.410.数据1,3,5,7,9的中位数是A.1B.3C.5D.9二、填空题（总共10题，每题2分）1.因式分解x²-4x+4的结果是______2.若关于x的一元二次方程x²+2x+k=0有实数根，则k的最大值是______3.半径为3的圆的周长是______4.△ABC∽△A'B'C'，AB=2，A'B'=4，BC=3，则B'C'=______5.不等式组的解集是______（不等式组为x>1且x<3）6.从1到10这10个自然数中任取一个数，取到偶数的概率是______7.sin60°的值是______8.将点(1,0)绕原点顺时针旋转90°后得到的点坐标是______9.数据2,2,2,2的方差是______10.抛物线y=2x²-4x+1的对称轴是直线______三、判断题（总共10题，每题2分）1.二次函数y=ax²+bx+c（a>0）的图像开口向上（）2.圆的直径是圆中最长的弦（）3.相似三角形一定是全等三角形（）4.不等式两边同时乘负数，不等号方向改变（）5.概率为0的事件不可能发生（）6.三角函数值只与角的大小有关（）7.解分式方程时必须检验（）8.平移不改变图形的形状和大小（）9.当一组数据的个数为奇数时，中位数是中间的那个数（）10.方差越大，数据的稳定性越强（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.求二次函数y=x²-2x-3的顶点坐标及与x轴的交点坐标2.证明：圆的切线垂直于过切点的半径3.解分式方程：x/(x-1)+1=2/(x-1)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求AC的长度及sinA的值五、讨论题（总共4题，每题5分）1.二次函数的图像经过点(0,3)、(1,0)、(3,0)，求该二次函数的解析式，并说明开口方向2.判断两个三角形相似的方法有哪些？请列举并举例说明3.某商店销售一种商品，进价为每件20元，售价为每件30元时，每天可卖出100件。若售价每上涨1元，每天的销量减少5件，请问售价定为多少元时，每天的利润最大？4.圆与直线的位置关系有哪些？如何用圆心到直线的距离d和圆的半径r判断这些关系？答案及解析一、单项选择题答案1.A2.B3.D4.C5.A6.B7.D8.B9.A10.C二、填空题答案1.(x-2)²2.13.6π4.65.1<x<36.1/27.√3/28.(0,-1)9.010.x=1三、判断题答案1.对2.对3.错4.对5.对6.对7.对8.对9.对10.错四、简答题答案1.顶点坐标为(1,-4)，与x轴的交点坐标为(3,0)和(-1,0)。（将二次函数化为顶点式y=(x-1)²-4，得顶点(1,-4)；令y=0，解方程x²-2x-3=0，得x=3或x=-1）2.假设过切点A的切线PA不垂直于半径OA，过圆心O作OB⊥PA于点B，则OB<OA（垂线段最短）。但圆的切线到圆心的距离等于半径，即OB应等于OA，矛盾。因此，圆的切线垂直于过切点的半径。3.方程两边同乘(x-1)得x+(x-1)=2，解得2x=3，x=3/2。检验：x=3/2时，x-1≠0，故x=3/2是原方程的解。4.由勾股定理得AC=√(AB²-BC²)=√(10²-6²)=8；sinA=BC/AB=6/10=3/5。五、讨论题答案1.设二次函数解析式为y=a(x-1)(x-3)，代入点(0,3)得3=a(0-1)(0-3)，解得a=1。因此解析式为y=(x-1)(x-3)=x²-4x+3。因a=1>0，开口向上。2.判断方法有三种：①AA（两角对应相等），如△ABC中∠A=∠D，∠B=∠E，则△ABC∽△DEF；②SAS（两边对应成比例且夹角相等），如AB/DE=AC/DF，∠A=∠D，则△ABC∽△DEF；③SSS（三边对应成比例），如AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC∽△DEF。3.设售价为x元，利润y=(x-20)[100-5(x-30)]=-5x²+350x-