2025年世界少年数学初三竞赛试题汇编

2025年世界少年数学初三竞赛试题汇编

一、单项选择题(总共10题，每题2分)1.二次函数y=x²-2x+3的顶点所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.不等式组{x+1>0,2x-4≤0}的整数解个数是（）A.2B.3C.4D.53.下列条件中，不能判定△ABC∽△DEF的是（）A.∠A=∠D，∠B=∠EB.AB/DE=BC/EF，∠B=∠EC.AB/DE=BC/EF=AC/DFD.AB/DE=AC/DF，∠C=∠F4.已知圆O的半径为5，切线PA切圆O于A，OP=13，则PA的长是（）A.12B.10C.8D.65.从地面上的点A看楼顶B的仰角为30°，若A到楼底C的距离为30米，则楼BC的高度为（）A.10√3米B.15√3米C.30√3米D.60米6.分式方程(x-1)/(x-2)=a/(x-2)有增根，则a的值为（）A.1B.2C.-1D.-27.数据1,3,2,5,4的中位数是（）A.2B.3C.4D.58.菱形的对角线长分别为6和8，则其面积为（）A.12B.24C.36D.489.下列因式分解正确的是（）A.x²-4=(x+4)(x-4)B.x²+2x+1=x(x+2)+1C.2x²-4x=2x(x-2)D.x²-2x+3=(x-1)²+210.等腰三角形的两边长为3和7，则其周长为（）A.13B.17C.13或17D.无法确定二、填空题(总共10题，每题2分)1.二次函数y=x²-4x+3在x∈[0,3]的最大值是______。2.绝对值不等式|x-2|≤3的解集是______。3.若△ABC∽△DEF，相似比为2:3，则它们的周长比为______。4.圆心角为60°，半径为6的弧长是______。5.sin60°+cos30°的值是______。6.若x=2，则分式(x²-4)/(x+2)的值为______。7.数据2,4,6,8,10的方差是______。8.平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，若AO=3，BO=4，则AC+BD=______。9.一元二次方程x²-3x+2=0的两根之和为______。10.数列1,3,6,10,15,…的第n项是______。三、判断题(总共10题，每题2分)1.二次函数y=ax²+bx+c，当a>0时，开口向上。（）2.相似三角形的面积比等于相似比。（）3.圆的切线垂直于圆的半径。（）4.分式方程的解一定是整数。（）5.统计中的平均数容易受极端值影响。（）6.菱形的四条边都相等。（）7.一元二次方程有实数根的条件是判别式Δ>0。（）8.三角函数值只与角度大小有关，与三角形的边长无关。（）9.平行四边形是轴对称图形。（）10.因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止。（）四、简答题(总共4题，每题5分)1.用配方法解一元二次方程x²-6x+5=0。2.在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E，求证：△ADE∽△ABC。3.已知二次函数的顶点为(1,-2)，且过点(2,1)，求该二次函数的表达式。4.某班5名同学的数学成绩分别为80,85,90,95,100，求这组数据的平均数、中位数和众数。五、讨论题(总共4题，每题5分)1.等腰三角形的两边长为4和9，讨论其周长的可能情况。2.二次函数y=x²-2x+m与x轴的交点个数与m的取值有什么关系？请说明理由。3.圆O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，讨论直线l与圆O的位置关系。4.某商店销售A、B两种商品，A商品每件利润10元，B商品每件利润15元，某天共销售30件，总利润390元，讨论A、B商品的销售数量可能情况。答案一、单项选择题1.A2.B3.D4.A5.A6.A7.B8.B9.C10.B二、填空题1.32.-1≤x≤53.2:34.2π5.√36.07.88.149.310.n(n+1)/2三、判断题1.√2.×3.×4.×5.√6.√7.×8.√9.×10.√四、简答题1.解：x²-6x=-5，x²-6x+9=-5+9，(x-3)²=4，x-3=±2，x₁=5，x₂=1。2.证明：因为DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等），根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ADE∽△ABC。3.解：设二次函数表达式为y=a(x-1)²-2，将点(2,1)代入得1=a(2-1)²-2，解得a=3，因此表达式为y=3(x-1)²-2，展开得y=3x²-6x+1。4.解：平均数=(80+85+90+95+100)÷5=90；将数据从小到大排列为80,85,90,95,100，中位数是90；这组数据中每个数都只出现一次，没有众数。五、讨论题1.解：分两种情况讨论：①若腰长为4，底边长为9，则4+4=8<9，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），舍去；②若腰长为9，底边长为4，则9+9=18>4，9+4=13>9，满足三边关系，周长为9+9+4=22。因此只有一种可能，周长为22。2.解：二次函数与x轴的交点个数由判别式Δ决定，Δ=(-2)²-4×1×m=4-4m。当Δ>0即m<1时，函数与x轴有两个不同交点；当Δ=0即m=1时，函数与x轴有一个交点（顶点在x轴上）；当Δ<0即m>1时，函数与x轴无交点。3.解：直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系决定：①当d>r时，直线与圆相离，无交点；②当d=r时，直线与圆相切，有一个交点；③当d<r时，直线与圆相交，有两个交点。4.解：设销售A商品x件，则销