正方形课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.3.3正方形课时1正方形的性质第二十一章四边形1.理解并掌握正方形的概念、性质.2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别.3.能够运用正方形性质解决几何问题，感受正方形在生活中的应用.观察图片中框出的图形，是我们熟悉的正方形(又称正四边形)他与前面学过的四边形有什么关系呢？又有哪些性质？他与前面学过的四边形有什么关系呢？又有哪些性质？平行四边形正方形有一组邻边相等有一个角是直角一组邻边相等矩形正方形菱形有一个角是直角正方形

正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.【探究】从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论.猜想1：正方形的四个角都是直角，四条边相等.猜想2：正方形的对角线相等且互相垂直平分.猜想3：正方形是轴对称图形猜想1：正方形的四个角都是直角，四条边相等.已知：四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四条边相等，四个角都是直角.证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠A=90°,AB=AD

（正方形的定义）.又∴正方形是平行四边形，∴正方形是矩形（矩形的定义）,

正方形是菱形（菱形的定义）.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD.ABCD正方形的四个角都是直角，四条边相等．正方形的性质1：ABCD符号语言：∵四边形ABCD是正方形，∴

AD∥BC，AB∥CD，AB=AD=CD=BC.

∠A=∠B=∠C=∠D=90°猜想2：正方形的对角线相等且互相垂直平分.证明：∵正方形ABCD是矩形,

∴AO=BO=CO=DO.∵正方形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.ABCDO已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.正方形的对角线相等且互相垂直平分．正方形的性质2：符号语言：∵四边形

ABCD是正方形，∴

AC⊥BD，AC=BD，OA=OC=OB=OD，∠BAC=∠DAC=∠ABD=∠CBD=∠BCA=∠ACD=∠CDB=∠ADB=45°.ABCDO猜想3：正方形是轴对称图形.【活动】将一张正方形的纸对折、再对折、再对折，然后打开，观察虚线.①②③容易发现，正方形同样是轴对称图形，共有四条对称轴，对称轴是两条对角线所在的直线，过对边中点的两条直线.④例5求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.ABCDO

【思考】正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系.平行四边形矩形菱形正方形有一组邻边相等(或对角线互相垂直)有一个角是直角(或对角线相等)有一个角是直角(或对角线相等)有一组邻边相等(或对角线互相垂直)有一组邻边相等，有一个角是直角（定义）正方形定义有一组邻边相等，而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.正方形的四个角都是直角,四条边相等.性质正方形的对角线相等且互相垂直平分.正方形是轴对称图形，有四条对称轴

A

C3.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE＝AC，连接AE，交CD于F，求∠AFC的度数．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠BCD，∠BCD＝∠DCE＝90°．∴∠ACB＝45°．∵CE＝AC，∠CAE＋∠E＝∠ACB，∴∠E＝22.5°，∴∠AFC＝∠DCE＋∠E＝90°＋22.5°＝112.5°．ABDCEF4.如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A,B,C,D.李明和张华在边AB上取了一点E，EC=30m，EB=10m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？ADBCE

21.3.3正方形课时2正方形的判定第二十一章四边形1.通过正方形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握正方形的判定定理．2.能够运用正方形的判定解决简单的证明题和计算题.【问题1】正方形的定义是什么？有一组邻边相等，而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.【问题2】正方形有哪些性质？边角对角线正方形的性质两组对边平行，四条边都相等对角相等邻角互补两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.【思考】如何判断一个四边形是正方形？通过上节课的关系图我们可以发现，正方形与矩形、平行四边形、菱形等四边形有不少的联系.矩形正方形菱形正方形能否通过先判断四边形是否为这些图形，再通过正方形与他们的联系间接判断四边形是否为正方形？【探究】分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论.矩形正方形（1）满足怎样条件的矩形是正方形？猜想1：一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形一组邻边相等对角线互相垂直猜想1：一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直．求证：矩形ABCD是正方形．ADCBO证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，又AC⊥BD．∴∠AOD＝∠AOB＝90°，在△AOB和△AOD中，OB＝OD，∠AOB＝∠AOD，OA＝OA，

∴矩形ABCD是正方形．对角线互相垂直的矩形是正方形如图，在矩形ABCD中，AB＝AD．求证：矩形ABCD是正方形．ADCB证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．AB＝CD，AD＝BC，又AB＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴矩形ABCD是正方形．一组邻边相等的矩形是正方形猜想1：一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形（2）满足怎样条件的菱形是正方形？菱形有一个角是直角对角线相等正方形猜想2：一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形猜想2：一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形如图，在菱形ABCD中，∠A＝90°．求证：菱形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠C，∠B＝∠D．又∠A＝90°，∴∠C＝90°．∵∠A＋∠B＝180°，∴∠B＝90°．∴菱形ABCD是正方形．ADCB一个角是直角的菱形是正方形如图，在菱形ABCD中，AC＝BD．求证：菱形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，在△ABD和△BAC中，AB＝BA，AD＝BC，BD＝AC，

∵∠DAB＋∠CBA＝180°，∴∠DAB＝∠CBA＝90°．∴菱形ABCD是正方形．对角线相等的菱形是正方形猜想2：一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形ADCB（3）满足怎样条件的平行四边形是正方形？有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形对角线相等且垂直的平行四边形是正方形平行四边形正方形正方形的判定方法：从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形．对角线互相垂直的矩形是正方形．从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形．对角线相等的菱形是正方形．从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.对角线相等且垂直的平行四边形是正方形．例6如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形．【分析】要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由

△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出.ABCDHGFE213

例6如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形．ABCDHGFE213【思考】前面我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.那么顺次连接矩形、正方形各边中点又能得到怎样的特殊平行四边形？BFCGE任意四边形AHDAHDGEBFC矩形AHDGEBFC正方形平行四边形菱形正方形从平行四边形出发从矩形出发从菱形出发一组邻边相等+一个角是直角对角线相等+对角线垂直矩形+一组邻边相等矩形+对角线互相垂直菱形+有一个角是直角菱形+对角线相等顺次连接任意四边形各边中点→平行四边形顺次连接矩形各边中点→________顺次连接正方形各边中点→_________正方形的判定顺次连接图形特点菱形正方形1.满足下列条件的四边形是不是正方形？(1)对角线互相垂直且相等的平行四边形；(2)对角线互相垂直的矩形；(3)对角线相等的菱形；(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形.()()()()√√√√2.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．AB=BC(答案不唯一)ABCDO3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中