湖南衡阳市衡阳县第四中学2025-2026学年高二下学期数学开学摸底检测试题（含解析）

高二开学摸底检测数学分值:150分时间:120分钟一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求.1.已知双曲线x2−ay2=A.23B.C.2332.当a取不同实数时,直线a−1xA.2,3C.1,−13.已知直线y=mx与圆x2+y2−4x+2=0相交于A.±3B.C.±224.圆O1:x2+y2A.相交B.内切C.外切D.外离5.已知等比数列an的前n项和为Sn,若S3S6A.741B.743C.16.已知正项等比数列an中，a1=1，Sn为an的前n项和，A.7B.9C.15D.207.已知等差数列an的前8项和为48;a2+a3A.1B.2C.4D.88.已知圆B:x+22+y2=64,A2,0,动点C为圆BA.x212+y216二、选择题,本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知平面α过点A1,1,1，其法向量为n=−A.2,3,2B.210.下列条件中,使点P与A,B,A.PC=1C.OP=OA11.(多选)已知点A−2,4在抛物线y2=−2pxp>0上,抛物线的焦点为FA.抛物线的准线方程为xB.抛物线的焦点坐标为−C.点B的坐标为−D.△OAB的面积为三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线x−y+4=0经过抛物线13.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点与左焦点分别为点A,14.已知数列an的前n项和为Sn=log23四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平行四边形ABCD中,A−1,2,B1,3,(1)求直线CD的方程；(2)求过点A且与直线DE垂直的直线.16.已知等差数列an中，a(1)求a5+(2)若数列bn满足:bn=a2n−17.如图,在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,底面ABCD(1)证明:BC⊥C(2)若三棱锥A1−BD1D的体积为3，求平面BC18.已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,且(1)求an(2)设Tn为数列Snn的前n项和,求使得Tn>319.已知椭圆E:y24+(1)求E的方程；(2)记坐标原点为O，过点1,0的直线与E交于A,B两点，若AB=31.C由x2−ay2=a2可得x2a故实轴为2a=因此双曲线为x2故离心率为e=故选:C2.B将直线方程化为ax+2−x−y+1=0故选:B.3.D由x2+y2−所以该圆的圆心坐标为2,0,半径又直线y=mx与圆x2+y则圆心到直线的距离d=即d=2mm2+故选:D.4.D圆O1:x2+圆心为O11,−2圆O2:x2+y2=1,圆心为O20故圆O1和圆O2故选:D.5.B等比数列an中,S3∵S令S3=m,得∴S故选:B6.C设等比数列an的公比为q,依题意有q>0,又当q=1时,S当q≠1时,因为S5=5化简得q4−5q2+4=0故S4故选:C.7.B依题意S8=a1+假设等差数列an的首项为a1,公差为则a1+a8=故选:B.8.CAC的垂直平分线与BC的交点P,所以PA=PCPB+故P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为8的椭圆,所以,∴b2=a2−c2故选:C9.AD对于A,设M2,3,2,则AM=1,2,1,因为AM⋅n=对于B,设N2,−3,2,则AN所以点N2,−3,2不在平面α对于C,设E2,−1,0因为AE⋅所以点E2,−1,0不在平面对于D,设F1,−2,0因为AF⋅所以点F1,−2,0在平面α故选:AD.10.AB对于A:∵OC∴OC∴2故OC=13OA+23OB,故或由PC=13PA+23PB得:对于B:13+13+1对于C:由OP=OA+OB+OC,1+1对于D:由OP+OA+OB+OC=0,得OP=−OA−OB−OC故选:AB.11.ABD将A−2,4因此抛物线方程为y2所以准线方程为x=2,焦点坐标为−2,0易知AF⊥x轴,所以B−2,−4又因为AB=8,所以S△OAB故选:ABD12.16因为抛物线E:所以抛物线焦点为0,所以0−解得m=故答案为:1613.1设椭圆C的半焦距为c,由题意可知A−因为S△ABF=12两边平方得4a−c2=整理可得a=7c,所以椭圆C的离心率故答案为:1714.a由已知当n≥2an又n=1时,故an的通项公式为a故答案为:an15.1x(2)x+(1)在平行四边形ABCD中，A−1,2，B1,3，C3,−1直线CD的斜率kCD=−2−−11−3=12,则有y(2)依题意，点E2,1，则直线DE的斜率因此过点A且与直线DE垂直的直线斜率为−1kDE=−13x所以所求方程是x+16.(1)12(2)证明见解析(1)∵∵∴a(2)由(1)可知a∴∵b∴数列bn是等差数列,首项是1,公差是17.(1)证明见解析(2)6(1)因为底面ABCD为正方形和侧面BCC1所以BC⊥又CD∩CC1=C,CD,CC1⊂又C1D⊂平面所以BC⊥(2)过点D1作D1E⊥CD于E由(1)得AD⊥平面CDD又D1E⊂平面CDD1又AD∩DC=D,所以D1E⊥平面过点E作EF⊥CD交AB于以E为原点,以EF,EC,ED1设ED1=a,因为A1所以由三棱锥A1−BD1D的体积为即三棱锥D1−ABD的体积为3，即13a由∠CD得ED=则B3DB=设平面BDD1的法向量为由n1⋅DB=0令y1=−1,可得所以n1设平面BCC1B1由n2⋅CB=0令z2=1,可得所以n2设平面BCC1B1与平面BDD则cosθ18.1(2)4(1)由于S10故10a1+45d所以an(2)由(1)知Sn=4n+6nn则数列Snn是以4为首项，3所以Tn由Tn>32a即3n则n<13−976又因为n∈N∗,所以n19.1(2)3(1)不妨记E的半焦距为c,则c=4−b2c2=12,