五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(山西专用)09：相似三角形（学生版）

专题09相似三角形（原卷版）考点1全等三角形的判定1．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（

）A． B． C． D．考点2全等三角形的性质与判定1．（2022·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为2．（2022·山西·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．考点3相似三角形的实际应用1．（2022·山西·中考真题）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（

）A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割2．（2020·山西·中考真题）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（

）

A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似考点4相似三角形性质与判定综合1．（2025·山西·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为．2．（2023·山西·中考真题）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为．

3．（2020·山西·中考真题）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为．4．（2025·山西·中考真题）综合与探究问题情境：如图，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平．猜想证明：（1）判断四边的形状，并说明理由拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接．①若，判断与的位置关系，并说明理由；②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长5．（2023·山西·中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．

(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．

6．（2022·山西·中考真题）综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．7．（2021·山西·中考真题）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：得出，当时，．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式计算：当，时，的值为多少；②如图，在中，，是的角平分线，，，用你所学的几何知识求线段的长．考点5相似三角形与函数综合1．（2023·山西·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．

(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．①当时，求的值；②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．2．（2022·山西·中考真题）综合与探究如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)连接AC，过点P作直线，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．3．（2020·山西·中考真题）综合与探究如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．

（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．考点6全等三角形与相似三角形综合1．（2021·山西·中考真题）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为．2．（2024·山西·中考真题）综合与探究问题情境：如图，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点．猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由；深入探究：（2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．①如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由；②当直线与直线垂直时，直线分别与直线，交于点，，直线与线段交于点．若，，直接写出四边形的面积．一、单选题1．（2025·山西大同·三模）如图，四边形是正方形，对角线，交于点O，点E在正方形的内部，且．连接并延长交边于点F，线段，分别与，交于点M，N，则下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2025·山西朔州·三模）如图，在中，平分，于点，交于点，交的延长线于点，若，，则的长度为（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2025·山西朔州·三模）墙面上贴有规格相同的矩形瓷砖．如图，矩形瓷砖与矩形瓷砖之间用三角形瓷砖与三角形瓷砖拼接，点，，与点，，分别在同一直线上．小雅发现与全等，她的依据是（

）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS4．（2025·山西晋中·三模）如图，在正方形中，点在边上，连接，过点作于点，过点作于点，若，则的长为（

）A．4 B．5 C．7 D．115．（2025·山西运城·二模）如图，在平面直角坐标系中，坐标轴刚好为矩形的两条对称轴，边，分别与x轴、y轴交于点E和F，以E为旋转中心，将矩形绕点E顺时针旋转，使的对应边且经过点F．若点C的坐标，则点的坐标是（

）A． B． C． D．6．（2025·山西·一模）如图，已知，点是边上一点，根据尺规作图的痕迹，能确定线段是的（

）A．中线 B．中垂线 C．角平分线 D．高线7．（2025·山西·模拟预测）已知菱形中，为对角线，点E，F，G，H分别是边，，，上的点．若四边形是正方形，则下列结论一定成立的是（

）A． B． C． D．8．（2024·山西太原·模拟预测）如图，正五边形内接于，与相切于点C，则的度数为（）A． B． C． D．9．（2024·山西·模拟预测）如图，的顶点在轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点和在反比例函数的图象上，且对角线轴，若的面积等于，则的值为（

）A． B． C． D．10．（2024·山西吕梁·一模）如图，在平面直角坐标系中，点处有一激光发射器，激光照射到点处倾斜的平面镜上发生反射，使得反射光线照射到点处的接收器上，若入射角，，则点处的接收器到轴的距离为（

）A．1 B．2 C．3 D．411．（2024·山西临汾·一模）如图1，一副三角尺的是等腰直角三角形，，，O是斜边的中点，含角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，记作，，直角边与边在同一条射线上．如图2，把绕点O逆时针旋转，与边交于点N，与边交于点M，得到下列结论．①；②；③四边形的面积为定值且为；④．其中，正确的结论有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个12．（2025·山西吕梁·二模）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2，是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像，与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（

）A． B． C． D．13．（2025·山西吕梁·二模）如图，在正六边形的边处放置一块平面镜，一束光线从点发出，照射到镜面上的点处，经反射后恰好经过边上的点．若正六边形的边长为，，则的长为（

）A． B． C． D．14．（2025·山西太原·一模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高为（

）A． B． C． D．15．（2025·山西朔州·模拟预测）两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点在线段上，若满足，则称点是线段的黄金分割点．黄金分割的应用很广泛，例如：在舞台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好．若舞台长25米，设主持人从点登台后至少走米可到舞台的黄金分割点上，则可列出方程为（

）A． B．C． D．16．（2025·山西晋中·一模）如图，正五边形的对角线相交于点，若，则的长为（

）A． B． C． D．17．（2025·山西朔州·一模）如图，四边形是平行四边形，点P是对角线上一点，过点P作的平行线分别交于点M和点N，连接．若，若的面积为2，则的面积为（

）A．4 B．6 C．8 D．5二、填空题18．（2025·山西阳泉·二模）有一张如图所示的四边形纸片，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为．19．（2025·山西吕梁·三模）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形．若，则的长为．

20．（2025·山西朔州·三模）如图，在中，，于点，点在边上，且，，若，则的长为．21．（2025·山西晋中·三模）如图，在中，平分，交于点，点为边上一点，连接，交于点，当时，的长为．22．（2025·山西太原·一模）如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为.23．（2025·山西吕梁·二模）如图，在四边形中，，对角线相交于点是线段上一点，且，连接并延长，交于点．若为的中点，则四边形的面积为．24．（2025·山西晋中·一模）如图，在中，，，，过点C作于点D，E是的中点，连接并延长，交边于点F，则的长为．25．（2025·山西晋城·一模）如图，中，，，点E在边上，沿直线折叠，使的对应边，垂足为F，交与点G，当点G恰好为的中点时，长为．26．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在扇形中，，P为的中点，过点P作，，垂足分别为M，N，若，则图中阴影部分的面积为.27．（2024·山西忻州·二模）如图，在四边形中，，点C是边上一点，且，取的三等分点F，连接，过点C作交于点G，延长交于点H，若，则的长为．28．（2024·山西·二模）如图，已知中，，，点在的延长线上，连接，点在边上，连接交于点，若，，则的长为.29．（2024·山西大同·二模）如图，在矩形中，E为边的中点，点G在边上，连接，，分别交对角线于点H，F．若恰好平分，且，，则的长为．

30．（2025·山西长治·二模）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在的延长线上，与关于点位似．若，点的坐标为，则点的坐标为．31．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，在中，，是的中位线，为上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点落在线段上，若，则的长为．32．（2025·山西太原·二模）如图，在平面直角坐标系中，的斜边经过原点，平行于轴，点是的中点，反比例函数的图象经过点和点．若点的坐标为，则的面积为．33．（2025·山西朔州·三模）在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，为凸透镜的光心，为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为．34．（2025·山西长治·三模）如图，在中，D为上一点，，连接，E为的中点，连接．若，，，则的长为．35．（2025·山西临汾·二模）如图，在中，，是的中点，连接，将沿折叠，使点落在点，连接，则．36．（2025·山西吕梁·二模）唢呐是山西八大套的乐器之一、如图，一个大唢呐的长约为，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰，且，则该装饰与吹口的距离为（结果保留根号）．37．（2025·山西运城·二模）如图，为某数学综合实践活动小组利用太阳光下的影子测物体高度的示意图．上午9点测得树的影长为米，下午14点测得该树的影长为2米．若两次测量太阳光线形成的夹角刚好为，则这棵树的高度约是米．38．（2025·湖南衡阳·一模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为18，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为．39．（2025·山西阳泉·一模）如图，在等腰中，，，将沿方向平移，得到，交的中点于点，则点到点的距离为．三、解答题40．（2025·山西长治·二模）如图，已知，点C、E、B、F在同一直线上，，，且．猜想：和位置关系，并证明你的猜想．41．（2025·山西·模拟预测）如图，在正方形中，为对角线延长线上一点，连接．(1)实践操作：利用尺规在线段下方作，射线与的延长线交于点．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)猜想与证明：试猜想线段，的位置关系，并加以证明．42．（2025·山西晋中·二模）阅读与思考三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图1，若任意内一点，满足，则点叫做的布洛卡点，叫做布洛卡角．任务一：（1）若点是边长为3的等边的布洛卡点，则布洛卡角的度数为________，点到三个顶点的距离之和为________．任务二：如图2，在中，，，点是内部一点，且．（2）求证：点是的布洛卡点．（3）求的值．43．（2025·山西大同·二模）2024年游戏《黑神话：悟空》火爆出圈，游戏取景地云冈石窟迎来文旅产业的“泼天”流量，2024年共接待了近450万名游客．为了更好地服务游客，景区在游客排队区放置了遮阳伞．已知遮阳伞中截面是如图所示的伞骨结构：（、均在竖直方向上），伞顶杆始终平分，，当时，伞完全打开，M与D在同一高度，此时．请问伞顶A到地面的高度是多少（结果保留整数，参考数据：，，）44．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在菱形中，E为的中点，连接与对角线相交于点F，．(1)尺规作图：过点F作于点G．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）(2)求证：．45．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，是的中线，为上一点，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点，若，求证：．46．（2025·山西忻州·一模）如图，在中，点E和点F是的两个三等分点，连接．判断四边形的形状，并说明理由．47．（2024·山西太原·模拟预测）阅读下列材料并完成任务．三角形的旁心三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图1，的平分线与另外两个内角，的外角平分线相交于点O，则点O是的一个旁心．

旁心与三角形的半周长（即周长的一半）关系密切，如图2，过的旁心O分别作于点D，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F，则．下面是部分证明过程：∵BO平分，，，∴．（依据）同理可得，．…任务：(1)上述证明过程中的“依据”是指什么？(2)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(3)如图3，在中，，点I是的一个旁心且在BC边的下方．①利用尺规作出旁心I；（保留作图痕迹，不写作法）

②若，外接圆的半径为2，则______．48．（2024·山西太原·模拟预测）年世界体育大会将于月日日在英国西米德兰兹郡伯明翰召开，其组织者于近日揭晓了这一盛会的官方标志，如图1．官方标志为一个抽象的心形，其中存在许多全等的三角形，其下半部分可简化为图2．如图2，在等腰三角形中，，是边上两点，连接，．求证：．49．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，在中，．(1)实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于点．交边的延长线于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．(2)猜想与证明：若，试猜想与的数量关系，并加以证明．50．（2025·山西太原·一模）阅读与理解下面是小含同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务．如构造线段上的特殊点，或与线段相关的特殊角等如图1，在的正方形网格中，已知线段的端点均为格点．利用无刻度的直尺解决下面的问题．类型一：构造特殊点问题1：求作线段的中点．思路1：如图2，利用网格构造线段，满足且，连接，则与的交点即为线段的中点．思路2：如图3，利用网格构造格点的中点，将平移至，则，此时与的交点即为线段的中点．问题2：求作线段的三等分点，使．．．．．．．类型二：构造特殊角问题3：如图4，在线段外有点，连接．在线段上确定一点，使得．．．．．．．任务：(1)思路2中由条件“和为的中点”判断点为中点的依据是_________；(2)请用无刻度的直尺在图1中参照思路1或思路2完成问题2的作图（保留作图痕迹）；(3)请用无刻度的直尺在图4中完成问题3的作图（保留作图痕迹）．51．（2025·山西临汾·二模）阅读与思考在学习完角平分线的相关辅助线后，老师让学生探究角平分线分线段成比例定理，以下是小宇同学的探究过程：角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例，如图1．若为的角平分线，则．下面是小宇对这个定理的证明过程．证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．则，且（依据1），又平分，（依据2），．任务：(1)填空：材料中的依据1是_______，依据2是_______；(2)你有不同的思考方法吗？请写出你的证明过程；(3)如图3，在中，平分交于点D，，则的长为_______．52．（2025·山西忻州·二模）综合与探究如图，在菱形中，，点是对角线上的一个动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在射线上．问题解决：（1）线段与之间的数量关系是_________；（2）求的度数．拓展探究：（3）连接，与交于点．若，，请直接写出的长．53．（2025·山西忻州·模拟预测）主题：利用相似三角形测量距离【问题背景】小明家窗外有一路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．如图为示意图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中，，，四点在同一条水平线上，，，三点在同一竖直线上，且，．【问题解决】(1)请你帮助小明求出路灯的高度．(2)在实际测量的过程中，你有哪些措施可以帮助小明减小测量过程中的误差？（写出一条即可）54．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师让同学们运用两个直角三角形构造图形，探究问题．【问题初探】（1）勤思小组的同学构造出的图形，如图1，其中与均为等腰直角三角形，，，，连接，．请判断与的数量和位置关系，并说明理由；【问题再探】（2）慎思小组的同学构造出的图形，如图2，其中与仍然为等腰直角三角形，若，，求的长；【拓展应用】（3）笃思小组的同学构造出的图形，如图3，其中，，连接，，点A，D，E在一条直线上，若，，请直接写出的长度．55．（2025·山西大同·一模）综合与探究在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动．实践操作：如图，在矩形纸片中，，第一步：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图2，再将矩形纸片沿折叠，此时点恰好落在上的点处，分别与交于点，然后展平．问题解决：（1）求的长．（2）判断与之间的数量关系，并说明理由．拓展应用：（3）如图3，延长相交于点，请直接写出的长．56．（2025·山西吕梁·一模）综合与探究【问题背景】如图1，在矩形中，对角线与交于点O，且．【问题探究】（1）求证：为等边三角形．（2）如图2，将沿方向平移，得到，且交于点交于点N．在平移过程中，当时，判断四边形的形状，并说明理由．【深入探究】（3）如图3，继续平移，使得顶点E与点O重合，然后将绕点顺时针旋转，此时边交于点K，直接写出此时的长．57．（2025·山西吕梁·一模）综合与探究综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答．【初步研究】（1）如图1，在正方形中，点M，N分别在线段，上，且，则的值为_____．【知识迁移】（2）如图2，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在线段，，，上，且．求的值．【深入探究】（3）如图3，在四边形中，，，当时，请直接写出边的长．58．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究．研究方法：观察—猜想—推理证明．研究过程：【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形．【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质：（1）如图2，连接，，分别为，的中点，，（依据1），同理可得，，，，∴四边形是平行四边形（依据2）．同时可得，连接，同理可得，．性质1：中点四边形是平行四边形．性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和．（2）进一步研究发现：性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．勤思小组证明过程如下：如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到，则，，，，，……任务：(1)填空：材料中的依据1是指：_____．依据2是指：_____．(2)依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程．(3)如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____．59．（2025·山西长治·模拟预测）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．若两个三角形中有一组角相等或互补，则称这两个三角形为共角三角形，小明发现共角三角形的面积与边之间存在着特殊的关系：已知和为共角三角形，当或时，小明的证明过程（部分）如下：证明：分以下三种情况讨论．a．当，且是直角三角形时，如图1，点D，E分别在边上则，b．当且不是直角三角形时，如图2，点D，E分别在边上，分别过点C，E作于点G，于点H，则，∵．．∴∴c．当（时），如图3分别过点C，E作于点M，交的延长线于点N，则任务(1)请将图3的证明过程补充完整．(2)如图4，在平行四边形中，点E在边上，且，F是边的中点．若，则_______．60．（2025·山西·一模）综合与探究问题情境在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板和重合放置，其中．将绕点顺时针旋转，旋转角为．如图2，当的直角顶点刚好落在边上时，的延长线交于点，试判断与的数量关系，并说明理由．数学思考（1）请你解答老师提出的问题．深入探究（2）老师将继续绕点顺时针旋转到图3位置，作射线交于点．此时“善思小组”的同学认为点是的中点．请判断“善思小组”的观点是否正确，并说明理由．（3）在绕点顺时针旋转的过程中，连接，是否存在某一时刻，使得是一个以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出此时的长；若不存在，请说明理由．61．（2024·山西大同·模拟预测）阅读与思考下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题：如图1，给定不在同一直线上的三个点，，，如何利用无刻度的直尺和圆规在点，之间画一条过点A的直线，且点和点到这条直线的距离相等？下面是我的解题步骤：如图，第一步：以点为圆心，以的长为半径画弧；第二步：以点C为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点；第三步：作直线，则点和点到直线的距离相等．下面是部分证明过程：证明：如图．连接，，过点作于点，过点作于点，连接交于点．由作图可知，，四边形ABDC是平行四边形．（依据）．（依据）……于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线．任务：(1)填空：材料中的“依据”是指______；“依据”是指______．(2)请将小明的证明过程补充完整．(3)尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点和点之间作直线，使得点和点到直线的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）62．（2025·山西太原·一模）综合与探究问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图1，已知中，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段（点分别是的对应点）．特例分析：（1）创思小组先研究了点与点重合时的情形，如图2．连接．请判断此时线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论；深入探究：（2）博闻小组沿着上述思路继续探究，他们改变点的位置，提出了如下问题，请你解答：①如图3，当点在线段上，连接，猜想线段与的数量关系和位置关系，说明理由；②在点沿射线方向运动过程中，是否存在某一时刻使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出相应的两点间的距离；若不存在，说明理由．63．（2025·山西太原·二模）综合与探究问题情境：综合探究活动中，老师以菱形为基本图形，添加若干条件后，请同学们就几何元素之间的关系提出问题并解决问题.如图1，已知四边形是菱形，，，点是射线上的一个动点，连接，以为边作等边三角形（点在的右侧），连接．数学思考：（1）“敏学小组”提出问题：猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由．请你解答；深入探究：（2）老师在图1的基础上过点作的平行线与的延长线交于点．请你解决同学们提出的新问题：①“善思小组”提出问题：如图2，若点在线段上，判断线段，与之间的数量关系，并证明你的结论；②“创新小组”提出问题：若点在射线上运动，连接，当时，请直接写出线段的长．64．（2025·山西运城·模拟预测）综合与探究问题情境：在研究旋转问题时，卓越小组的同学使用了两个全等的直角三角形展开探究．如图1，将两个三角形点A重合放置，，，．将固定，绕点A旋转．猜想证明：（1）如图2，当点D落在边上时，连接，试猜想与的位置关系，并进行证明．问题拓展：（2）如图3，当点D落在边上时，过点D作，过点E作，与交于点F，连接，求的长．深入探究：（3）在绕点A旋转的过程中，直线与直线交于点M，N，直线与直线交于点P，当时，请直接写出四边形的面积．65．（2025·山西吕梁·二模）综合与探究【问题情境】在中，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角