五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(贵州专用)08：二次函数及其实际应用综合（90题）（教师版）

专题08二次函数及其实际应用综合（90题）一、单选题1．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（

）

A．二次函数图象的对称轴是直线B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2C．当时，y随x的增大而减小D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3【答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D．【详解】解∶∵二次函数的顶点坐标为，∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误；∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线，∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；∵抛物线开口向下，对称轴是直线，∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误；设二次函数解析式为，把代入，得，解得，∴，当时，，∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，故选D．2．（2023·贵州·中考真题）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】首先根据二次函数的图象及性质判断a和b的符号，从而得出点所在象限．【详解】解：由图可知二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，，，，在第四象限，故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，以及判断点所在象限，解题的关键是根据二次函数的图象判断出a和b的符号．3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若．则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】观察图象，先设，，，根据已知条件及证明，得出，利用根与系数的关系知，最后得出答案．【详解】设，，，∵二次函数的图象过点，∴，∵，，∴，∴，∴，即，令，根据根与系数的关系知，∴，故故选：A．【点睛】本题考查了二次函数与关于方程之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，等边、等边的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，在上，在上，沿向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设、重合部分的面积为y，移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】当在内移动时，、重合部分的面积不变，当移出时，计算出，得到，从而得到答案．【详解】如下图所示，当E和B重合时，AD=AB-DB=3-2=1，∴当移动的距离为时，在内，，当E在B的右边时，如下图所示，设移动过程中DF与CB交于点N，过点N坐NM垂直于AE，垂足为M，根据题意得AD=x，AB=3,∴DB=AB-AD=3-x，∵，，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴当时，是一个关于的二次函数，且开口向上，∵当时，，当时，，故选：C．【点睛】本题考查图形移动、等边三角形的性质，二次函数的性质，根据题意得到二次函数的解析式是解题的关键．5．（2022·贵州毕节·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴对称轴为x＝＞0，∵a＜0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；②∵对称轴为x＝＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②错误；③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0，∴9a＋3b+c＜0，故③错误；④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；故④正确；⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴，故⑤正确．综上所述，正确的结论是：④⑤．故选：B．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键．6．（2022·贵州黔东南·中考真题）若二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的图像确定a，b，c的正负，即可确定一次函数所经过的象限和反比例函数所在的象限．【详解】解：∵二次函数的图像开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y轴负半轴，∴a>0，，c<0，∴b>0，-c>0，∴一次函数的图像经过第一、二、三象限，反比例函数的图像在第一，三象限，选项C符合题意．故选：C【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，一次函数图像与系数的关系，反比例函数图像与系数的关系，熟练并灵活运用这些知识是解题关键．7．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，已知抛物线开口向上，与轴的一个交点为，对称轴为直线．下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题．【详解】解：】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0，∴abc＞0，故A不符合题意；∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点是（-1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）；∴即故B不符合题意；当x=2时，，即，故C符合题意；∵抛物线对称轴为直线∴，即，故D不符合题意，故选：C．【点睛】该题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线的单调性、对称性及其应用问题；灵活运用有关知识来分析是解题关键．8．（2021·贵州黔东南·中考真题）如图，抛物线与轴只有一个公共点A（1，0），与轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】连接AB，OM，根据二次函数图像的对称性把阴影图形的面积转化为平行四边形ABOM面积求解即可．【详解】设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM．由题意可知，AM=OB，∵∴OA=1，OB=AM=2，∵抛物线是轴对称图形，∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积，∵，，∴四边形ABOM为平行四边形，∴．故选：B．【点睛】此题考查了二次函数图像的对称性和阴影面积的求法，解题的关键是根据二次函数图像的对称性转化阴影图形的面积．9．（2021·贵州铜仁·中考真题）已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（

）A．5 B． C．5或1 D．或【答案】C【分析】将往右平移m个单位后得到，由此即可求解．【详解】解：比较抛物线与抛物线，发现：将前一个抛物线往右平移m个单位后可以得到后一个抛物线的解析式，∵与轴的一个交点是，与轴有两个交点，，∴当前一个抛物线往右平移1个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=1，当前一个抛物线往右平移5个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=5，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的平移规律，左右平移时y值不变，x增大或减小，由此即可求解．10．（2021·贵州铜仁·中考真题）已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个【答案】C【分析】先由直线过一、二、三象限，求出，通过判断方程实数解的个数可判断直线与抛物线交点的个数．【详解】解：∵直线过一、二、三象限，∴．由题意得：，即，∵△，∴此方程有两个不相等的实数解．∴直线与抛物线的交点个数为2个．故选：C．【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及利用一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．二、填空题11．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图是二次函数的图像，该函数的最小值是．【答案】【分析】先根据二次函数的对称轴为直线可求出的值，再将点代入可求出的值，然后求出时，的值即可得．【详解】解：由图像可知，此函数的对称轴为直线，函数的图像经过点，则，，解得，将代入得：，解得，则二次函数的解析式为，当时，，即该函数的最小值是，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图像、以及最值，读懂二次函数的图像是解题关键．12．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是m．【答案】10【分析】由图可知，要求OA的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将y=0代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可．【详解】将y=0代入；整理得：（x-10）（x+2）=0解得：x=10或x=-2（舍去）∴铅球推出的水平距离OA的长是10m．故答案为：10【点睛】本题主要考查了二次函数得实际应用，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．13．（2022·贵州黔东南·中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是．【答案】【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．【详解】解：∵，∴抛物线的顶点为（-1，-2），将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），旋转后的抛物线为，再向下平移5个单位，即．∴新抛物线的顶点（1，-3）故答案是：（1，-3）．【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．14．（2021·贵州黔西·中考真题）小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系为h＝﹣5t2＋12t，则足球距地面的最大高度是m．【答案】/7.2【分析】a=-5开口方向向下，最大值为顶点y值，由公式可得答案．【详解】解：∵h=-5t2+12t，∴a=-5，b=12，c=0，∴足球距地面的最大高度是：=7.2m，故答案为：7.2．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用二次函数求最值，一是可以通过配方，化为顶点式；二是根据二次函数图象与系数的关系，利用求出顶点纵坐标．15．（2021·贵州遵义·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有（填写序号）．①4a+b＝0；②5a+3b+2c＞0；③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a；④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．【答案】①③④【分析】将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，求出其解析式，得到系数之间的关系，再分别讨论每个问题.【详解】将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，得：，解得：，∴抛物线解析式为．①，则，故①正确，符合题意；②，又a＞0，∴，故②错误，不符合题意；③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则有，即一元二次方程有实数根，则，∵a＞0，∴，解得：，故③正确，符合题意；④如图，∵一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，一元二次方程可化为，即抛物线与直线（t为常数，t≤0）的交点横坐标为整数，如图，则横坐标可为0，1，2，3，4，有3个t满足．故④正确，满足题意．故答案为：①③④【点睛】本题主要考查抛物线与坐标轴的交点、各项系数之间的关系、用根的判别式求取值范围，借助数形结合思想解题是关键.16．（2021·贵州黔东南·中考真题）如图，二次函数的函数图像经过点（1，2），且与轴交点的横坐标分别为、，其中－1＜＜0，1＜＜2，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤，其中正确的有．（填写正确的序号）【答案】②④⑤【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可．【详解】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0，所以abc＜0，故①错误；对称轴在0～1之间，于是有0＜-＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确；当x=-2时，y=4a-b+c＜0，故③错误；当x=m（1＜m＜2）时，y=am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2-c，故④正确；当x=-1时，y=a-b+c＜0，当x=1时，y=a+b+c=2，所以-2b＜-2，即b＞1，故⑤正确；综上所述，正确的结论有：②④⑤，故答案为：②④⑤．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．17．（2021·贵州贵阳·中考真题）二次函数的图像开口方向是（填“向上”或“向下”）．【答案】向上【分析】根据二次函数解析式二次项系数的正负性，即可判断函数图像的开口方向．【详解】解：∵二次函数，a=1＞0，∴二次函数的图象开口方向向上，故答案是：向上．【点睛】本题主要考查二次函数图像，掌握二次函数的图像的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键．三、解答题18．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）(1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式；(2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由；(3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内）【答案】(1)(2)不能，理由见解析(3)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可；（3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可．【详解】（1）∵当时，∵点坐标为∴∴∴抛物线的表达式为；（2）不能，理由如下：∵，点坐标为∴∴∵点的坐标为，∴∴将代入∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物；（3）∵正方形，∴∴如图所示，∵抛物线开口向下∴∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大∴设的表达式为将代入得，解得；∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小∴设的表达式为将代入得，解得；∴的取值范围为．【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键．19．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．销售单价x/元…1214161820…销售量y/盒…5652484440…(1)求y与x的函数表达式；(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．【答案】(1)(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元(3)2【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求解即可；（2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解∶设y与x的函数表达式为，把，；，代入，得，解得，∴y与x的函数表达式为；（2）解：设日销售利润为w元，根据题意，得，∴当时，有最大值为450，∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；（3）解：设日销售利润为w元，根据题意，得，∴当时，有最大值为，∵糖果日销售获得的最大利润为392元，∴，化简得解得，当时，,则每盒的利润为：,舍去，∴m的值为2．20．（2023·贵州·中考真题）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1．(1)求抛物线的表达式；(2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围．【答案】(1)(2)点的坐标为(3)【分析】（1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解；（2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可；（3）分和两种情况，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解．【详解】（1）解：抛物线的对称轴与y轴重合，设抛物线的解析式为，，，，，将，代入，得：，解得，抛物线的解析式为；（2）解：抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1，当时，，，作点B关于y轴的对称点，则，，，当，，A共线时，拉杆长度之和最短，设直线的解析式为，将，代入，得，解得，直线的解析式为，当时，，点的坐标为，位置如下图所示：

（3）解：中，抛物线开口向下，当时，在范围内，当时，y取最小值，最小值为：则，解得，；当时，在范围内，当时，y取最小值，最小值为：则，解得，；综上可知，或，的取值范围为．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3问注意分情况讨论．21．（2022·贵州安顺·中考真题）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，，……都是和谐点．(1)判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；(2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点．①求，的值；②若时，函数的最小值为－1，最大值为3，求实数的取值范围．【答案】(1)存在，(2)①；【分析】（1）根据定义可知，和谐点都在上，联立两直线解析式即可求解；（2）①根据题意可知二次函数与相切于点，据此即可求解；②根据①得到解析式，根据二次函数图象的性质分析即可求解．【详解】（1）解：∵点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，∴和谐点都在上，，解得，上的和谐点为；（2）解：①∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点，∴即有两个相等的实数根，，解得①，将代入得，，联立①②，得，②，，其顶点坐标为，则最大值为3，在时，随的增大而增大，当时，，根据对称轴可知，当时，，时，函数的最小值为－1，最大值为3，根据函数图象可知，当时，函数的最小值为－1，最大值为3，实数的取值范围为：．【点睛】本题考查了新定义问题，两直线交点问题，一次函数与抛物线交点问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，理解新定义是解题的关键．22．（2022·贵州六盘水·中考真题）“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点的距离相等．(1)利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在图中格点处标出三个符合条件的停车位，，；(3)建立平面直角坐标系，设，，停车位，请写出与之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点是否在停车带上．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，图见解析，点不在停车带上【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得；（2）根据网格特点，找出三个点使得它们到水城河与到凉都宫点的距离相等即可；（3）先求出点到水城河的距离，再求出点的坐标，利用两点之间的距离公式可得的长，然后根据点到水城河与到凉都宫点的距离相等即可得函数关系式，最后画出函数图象即为停车带，由此即可得出结论．【详解】（1）解：如图，线段的长即为所求．（2）解：如图，点，，即为所求．（3）解：如图，建立平面直角坐标系．则，水城河所在的直线为，南环路所在的直线为，停车位到水城河的距离为，，每个停车位到水城河与到凉都宫点的距离相等，，整理得：，当时，，解得，又要在水城河与南环路之间设计一条停车带，，与之间的关系式为，画出停车带如下：因为，所以点不在停车带上．【点睛】本题考查了作垂线、二次函数的应用、两点之间的距离公式等知识点，较难的是题（3），正确求出函数关系式是解题关键．23．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．(1)求抛物线的表达式；(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或或(3)存在，或或或【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)求出直线AB的表达式为，设，，分当M在N点上方时，．和当M在N点下方时，，即可求出M的坐标；（3）画出图形，分AC是四边形的边和AC是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案．【详解】（1）解：∵抛物线过点，∴，解得，∴抛物线的表达式为．（2）设直线AB的解析式为：，∵直线AB经过，，∴，∴，∴直线AB的表达式为．∵轴，可设，，其中．当M在N点上方时，．解得，（舍去）．∴．当M在N点下方时，．解得，．∴，．综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，．（3）存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，．理由如下：①如图，若AC是四边形的边．当时，∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点．过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，，∵，，∴，，．∵，∴．∴．∴点与点D重合．当时，四边形是矩形．∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．此时直线的解析式为．∵直线与平行且过点，∴直线的解析式为．∵点是直线与拋物线的交点，∴．解得，（舍去）．∴．当时，四边形是矩形．∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．②如图，若AC是四边形的对角线，当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K．可得，．∴．∴．∴．∵点P不与点A，C重合，∴和．∴．∴．∴如图，满足条件的点P有两个．即，．当时，四边形是矩形．∵向左平移个单位，向下平移个单位得到．∴向左平移个单位，向下平移个单位得到．当时，四边形是矩形．∵向右平移个单位，向上平移个单位得到．∴向右平移个单位，向上平移个单位得到．综上，满足条件的点Q的坐标为或或或．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式、勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形、进行分类讨论是解题的关键．24．（2022·贵州贵阳·中考真题）已知二次函数y=ax2+4ax+b．(1)求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(−1，e)，(−3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达式．【答案】(1)二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；(2)当a<0时，e=f>c>d；当a>0时，e=f<c<d；理由见解析(3)二次函数的表达式为y=x2x-或y=x2x+．【分析】（1）利用配方法即可求解；（2）由对称轴为直线x=-2，AB=6，得到A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，画出草图，分两种情况，利用数形结合求解即可；（3）分两种情况，利用数形结合求解即可．【详解】（1）解：∵y=ax2+4ax+b=a(x2+4x+4-4)+b=a(x+2)2+b-4a，∴二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；（2）解：由（1）知二次函数的图象的对称轴为直线x=-2，又∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，∴A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，当a<0时，画出草图如图：∴e=f>c>d；当a>0时，画出草图如图：∴e=f<c<d；（3）解：∵点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当a<0时，根据题意：当m=-2时，函数有最大值为1，当m=1时，函数值为-1，即，解得：，∴二次函数的表达式为y=x2x+．当a>0时，根据题意：当m=-2时，函数有最小值为-1，当m=1时，函数值为1，即，解得：，∴二次函数的表达式为y=x2x-．综上，二次函数的表达式为y=x2x-或y=x2x+．【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式等知识和方法，解第（2）（3）题时应注意分类讨论，求出所有符合条件的结果．25．（2022·贵州铜仁·中考真题）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：(1)求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)，(2)将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；（2）根据销售利润=销售量×（批发价－成本价），列出销售利润w（元）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．【详解】（1）解：根据题意得，所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，自变量x的取值范围是（2）解：设每天获得的利润为w千元，根据题意得，∵，∴当，W随x的增大而增大．∵，∴当时，w有最大值，最大值为，∴将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．【点睛】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．26．（2022·贵州遵义·中考真题）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．(1)写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；(2)若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，．①当时，求点的坐标；②当时，的最大值与最小值的差为，求的值．【答案】(1)，顶点为(2)①或；②或．【分析】（1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标；（2）①设，则，，根据题意建立方程解方程即可求解；②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．【详解】（1）解：抛物线的“关联抛物线”为，根据题意可得，的解析式顶点为（2）解：①设，则，∴当时，解得，当时，方程无解或②的解析式顶点为，对称轴为，当时，即时，函数的最大值为，最小值为的最大值与最小值的差为解得（，舍去）当时，且即时，函数的最大值为，最小值为的最大值与最小值的差为解得（，舍去）当时，即时，抛物线开向上，对称轴右侧随的增大而增大，函数的最大值为，最小值为的最大值与最小值的差为即即解得（舍去）综上所述，或．【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．27．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值；(3)M是（1）中抛物线上一点，N是直线上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在；或或或【分析】（1）根据抛物线顶点坐标即可求解；（2）由题意得，求BC的表达式为：；抛物线平移后的表达式为：，根据题意得，即可求解；（3）设，根据平行四边形的性质进行求解即可．【详解】（1）解：由可知，，解得：，∴．（2）分别令中，得，，；设BC的表达式为：，将，代入得，解得：；∴BC的表达式为：；抛物线平移后的表达式为：，根据题意得，，即，∵该抛物线与直线始终有交点，∴，∴，∴h的最大值为．（3）存在，理由如下：将代入中得，①当DE为平行四边形的一条边时，∵四边形DEMN是平行四边形，∴，，∵轴，∴轴，∴设，，当时，解得：，（舍去），∴，当时，解得：，∴或；②当DE为平行四边形的对角线时，设，，∵D、E的中点坐标为：（2，0），∴M、N的中点坐标为：（2，0），∴，解得：，（舍去），∴此时点N的坐标为（3，0）；综上分析可知，点N的坐标为：或或或（3，0）．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用、平行四边形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．28．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；(3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形(3)存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或．【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，可得a=-1，再把点代入，即可求解；（2）先求出，设点N（m，-m+3），可得，，再分三种情况讨论：当AC=AN时，当AC=CN时，当AN=CN时，即可求解；（3）设点E（1，n），点F（s，t），然后分两种情况讨论：当BC为边时，当BC为对角线时，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，∴，解得：a=-1，∵抛物线过点，∴，解得：c=3，∴抛物线解析式为；（2）解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下：令y=0，则，解得：，∴点A的坐标为（-1，0），∴OA=1，当x=0时，y=3，∴点C的坐标为（0，3），即OC=3，∴，设直线BC的解析式为，把点B（3，0），C（0，3）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为，设点N（m，-m+3），∴MN=-m+3，AM=m+1，∴，，当AC=AN时，，解得：m=2或0（舍去），∴此时点N（2，1）；当AC=CN时，，解得：或（舍去），∴此时点N；当AN=CN时，，解得：，∴此时点N；综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形；（3）解：存在，理由如下：∵点B（3，0），C（0，3），∴OB=OC，∴BC，设点E（1，n），点F（s，t），当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图，∴或，解得：或，∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）；当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图，，解得：或，∴此时点F的坐标为或；综上所述，存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键是解题的关键．29．（2021·贵州黔西·中考真题）如图，直线l：y＝2x＋1与抛物线C：y＝2x2＋bx＋c相交于点A（0，m），B（n，7）．(1)填空：m＝，n＝，抛物线的解析式为．(2)将直线l向下移a（a＞0）个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围．(3)Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1，3，y＝2x2﹣4x＋1(2)0＜a(3)存在，P（1，0）或P（，0）【分析】（1）将A（0，m），B（n，7）代入y=2x+1，可求m、n的值，再将A（0，1），B（3，7）代入y=2x2+bx+c，可求函数解析式；（2）由题意可得y=2x+1-a，联立，得到2x2-6x+a=0，再由判别式Δ≥0即可求a是取值范围；（3）设Q（t，s），则，半径，再由AQ2=t2+（s-1）2=（s+1）2，即可求t的值．【详解】（1）将A（0，m），B（n，7）代入y＝2x＋1，可得m＝1，n＝3，∴A（0，1），B（3，7），再将A（0，1），B（3，7）代入y＝2x2＋bx＋c得，，可得，∴y＝2x2﹣4x＋1，故答案为：1，3，y＝2x2﹣4x＋1；（2）由题意可得y＝2x＋1﹣a，联立，∴2x2﹣6x＋a＝0，∵直线l与抛物线C仍有公共点∴Δ＝36﹣8a≥0，∴a，∴0<a；（3）存在以AQ为直径的圆与x轴相切，理由如下：设Q（t，s），∴M（，），P（，0），∴半径r，∵AQ2＝t2＋（s﹣1）2＝（s＋1）2，∴t2＝4s，∵s＝2t2﹣4t＋1，∴t2＝4（2t2﹣4t＋1），∴t＝2或t，∴P（1，0）或P（，0），∴以AQ为直径的圆与x轴相切时，P点坐标为P（1，0）或P（，0）．,【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质是解题的关键．30．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）把代入抛物线的解析式，解方程求解即可；（2）联立两个函数的解析式，消去得：再利用根与系数的关系与可得关于的方程，解方程可得答案；（3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当＜＜结合函数图象，利用函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案.【详解】解：（1）把代入中，抛物线的解析式为：（2）联立一次函数与抛物线的解析式得：整理得：∵x1+x2=4-3k，x1•x2=-3，∴x12+x22=（4-3k）2+6=10，解得：∴（3）∵函数的对称轴为直线x=2，当m＜2时，当x=m时，y有最大值，=-（m-2）2+3，解得m=±，∴m=-，当m≥2时，当x=2时，y有最大值，∴=3，∴m=，综上所述，m的值为-或．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键.31．（2021·贵州遵义·中考真题）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．

（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．【答案】（1）；（2）最大利润为3840元【分析】（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；（2）根据“利润＝（售价−成本）×销售量”列出利润的表达式，在根据函数的性质求出最大利润．【详解】解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx＋b（k≠0），则，解得：，∴当8≤x≤32时，y＝−3x＋216，当32＜x≤40时，y＝120，∴；（2）设利润为W，则：当8≤x≤32时，W＝（x−8）y＝（x−8）（−3x＋216）＝−3（x−40）2＋3072，∵开口向下，对称轴为直线x＝40，∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，∴x＝32时，W最大＝2880，当32＜x≤40时，W＝（x−8）y＝120（x−8）＝120x−960，∵W随x的增大而增大，∴x＝40时，W最大＝3840，∵3840＞2880，∴最大利润为3840元．【点睛】点评：本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值．32．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为．（1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________；（2）当二次函数的自变量：满足时，函数y的最小值为，求m的值；（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（1，0），（2，-1），；（2）m的值为或；（3）点P的坐标为：（2，1），（2，2）【分析】（1）根据抛物线的对称轴及点B坐标可求出点A坐标，根据对称轴可求出b的值，把点A或B的坐标代入抛物线解析式可求出C的值，通过配方可求出顶点坐标；（2）根据抛物线开口向上，分两种情况讨论求解即可；（3）设P（1，t），由为斜边，则，根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=2，点B坐标为（3，0），且点A在B点的左侧，∴A（1，0）又x=∴把A（1，0）代入得，∴抛物线的解析式为∴顶点D坐标为（2，-1）故答案为：（1，0），（2，-1），；（2）∵抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，①当，即时，解得，（舍去）或②当时，解得，或（舍去）所以，m的值为或（3）假设存在，设P（2，t）当时，如图，过点C作CG⊥PE于点G，则CG=2，PG=3-t，∴，即整理得，解得，，经检验：，是原方程的根且符合题意，∴点P的坐标为（2，1），（2，2）综上，点P的坐标为：（2，1），（2，2）【点睛】本题考查了二次函数综合题，二次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，灵活应用以上知识解决问题是本题的关键．33．（2021·贵州黔东南·中考真题）图，抛物线与轴交于A、B（3，0）两点，与轴交于点C（0，－3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；（3）已知点M是轴上的动点，过点M作的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）点或、点或点；（3）存在，M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）【分析】（1）根据二次函数表达式和已知坐标点代入计算即可，（2）以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，分为两种情况：或，根据平行四边形对边相等且平行求解即可，（3）先根据题意求出A点坐标和顶点坐标，根据B，C，D坐标点得知△BDC是直角三角形，且∠BCD＝，设点M得坐标（），则点G得坐标为，根据相似的性质分情况求解即可．【详解】：（1）将点B（3，0），C（0，－3）分别代入中，得：，解得，∴抛物线得函数关系为（2）点或、点或点．如图：∵以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，∴或，∵点B（3，0），C（0，－3），当时，则，设对称轴与x轴交于点M，∴，，∴；同理时，；故答案为：；．（3）当时，，解得：，∴A（－1，0）又，∴抛物线得顶点D得坐标为（1，－4）∵C（0，－3）、B（3，0）、D（1，－4）∴，∴∴△BDC是直角三角形，且∠BCD＝设点M得坐标（），则点G得坐标为，根据题意知：∠AMG＝∠BCD＝∴要使以A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，需要满足条件：①当时，此时有：或解得：或＝0，，都不符合，所以时无解．②当时，此时有：或解得：（不符合要求，舍去）或＝0，（不符合要求，舍去），所以M（）或M（0，0）③当m＞3时，此时有：或解得：（不符合要求，舍去）或（不符要求，舍去）所以点M（6，0）或M（，0）答：存在点M，使得A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，点M得坐标为：M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）．【点睛】此题考查二次函数相关知识，综合性较强，涵盖平行四边形性质和三角形相似及勾股定理，有一定难度．34．（2021·贵州贵阳·中考真题）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处．有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围．【答案】（1）y=x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）5≤m≤8【分析】（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，根据待定系数法，即可求解；（2）把：x=1，代入y=x2+2x，得到对应的y值，进而即可得到结论；（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m的范围．【详解】（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：，∴二次函数的解析式为：y=(x-8)x=x2+2x（0≤x≤8）；（2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=x2+2x，得y=×12+2×1=＞1.68，答：他的头顶不会触碰到桥拱；（3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y=x2-2x，当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=-x2+2x，∴新函数表达式为：，∵将新函数图象向右平移个单位长度，∴（m，0），（m+8，0），（m+4，-4），如图所示，根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．35．（2021·贵州铜仁·中考真题）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用（万元）与月销售量（辆）（）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：4567800.511.52(1)请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出与的关系式________；(2)每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y=(每辆原售价--进价)x，请你根据上述条件，求出月销售量为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)；(2)月销售量为8辆时，销售利润最大，最大利润是32万元【分析】(1)观察表格中数据可知，与的关系式为一次函数的关系，设解析式为，再代入数据求解即可；(2)根据已知条件“每月销售利润y=(每辆原售价--进价)x”，求出y的表达式，然后再借助二次函数求出其最大利润即可．【详解】解：(1)由表中数据可知，与的关系式为一次函数的关系，设解析式为，代入点(4,0)和点(5,0.5)，得到，解得，故与的关系式为；(2)由题意可知：降价后每月销售利润y=(每辆原售价--进价)x，即：，其中，∴是的二次函数，且开口向下，其对称轴为，∴当时，有最大值为万元，答：月销售量为8辆时，销售利润最大，最大利润是32万元．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，读懂题意，根据题中已知条件列出表达式是解决本题的关键．四、单选题36．（2025·贵州铜仁·三模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，下列结论正确的是（

）A． B．该函数图象与轴的交点的纵坐标是C．当时，函数值 D．当时，随的增大而增大【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从函数图象中获取信息，求出函数解析式，逐一进行判断即可．【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线，∴；故A选项错误；∴，把代入，得：，∴，∴，∴当时，，∴该函数图象与轴的交点的纵坐标是，当时，，故B，C选项错误；由图象可知，当时，随的增大而增大；故D选项错误；故选D．37．（2025·贵州遵义·二模）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规则是关键．根据二次函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”计算即可．【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，∴平移后的解析为，故选：A．38．（2025·贵州铜仁·三模）已知：二次函数的图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④两根分别为，；⑤．其中正确的项有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，牢记公式和数形结合是解题的关键．由抛物线开口向上知：，抛物线与轴的负半轴相交可知：，对称轴在轴的左侧可知：，即可判断①；根据对称轴为直线，得出，从而得出，即可判断②；由抛物线的性质可知，当时，有最小值，得出，即可判断③；根据抛物线的对称轴为，且与轴的一个交点的横坐标为1，得出另一个交点的横坐标为，即可判断④；根据当时，，得出，即可判断⑤．【详解】解：①由抛物线开口向上知：，抛物线与轴的负半轴相交可知：，对称轴在轴的左侧可知：，∴，故①正确；②∵对称轴为直线，∴，即，∴，故②错误；③由抛物线的性质可知，当时，有最小值，∴，即，故③正确；④∵抛物线的对称轴为，且与轴的一个交点的横坐标为1，∴另一个交点的横坐标为，∴方程的两根分别是1，，故④错误；⑤由图像可得，当时，，即：，故⑤正确；故正确选项有①③⑤共3个，故选：B．39．（2025·贵州黔西·二模）如图为二次函数的部分图象，已知抛物线的对称轴为直线，若点的坐标为，则以下结论错误的是（

）A．方程的两根为，B．8C．D．若，是抛物线上的两点，且，则【答案】B【分析】此题考查二次函数的图象和性质以及二次函数与x轴交点，数形结合是解题的关键．根据题意求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，即可判断A；首先由对称轴得到，然后将代入解析式得到，然后推出，根据，即可得到，进而判断B；然后由抛物线y轴交于正半轴得到，即可判断C；根据题意得到当时，y随x的增大而增大，即可判断D．【详解】∵抛物线的对称轴为直线，若点的坐标为，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为∴方程的两根为，，故A正确；∵抛物线的对称轴为直线，∴∴将代入得，∴将代入得，∵抛物线开口向下∴∴，故B错误；∵抛物线y轴交于正半轴∴∴，故C正确；∵抛物线的对称轴为直线，开口向下∴当时，y随x的增大而增大∵若，是抛物线上的两点，且，∴，故D正确．故选：B．40．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在直角三角形中，，，．动点以每秒1个单位从点出发沿运动；动点以每秒1个单位从点出发沿运动．若点、同时出发，当其中一动点运动到点时另一点停止运动，则的面积S与运动时间之间的函数图形大致是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先勾股定理求出，然后分两种情况讨论：当点Q在线段上和当点Q在线段上时，然后分别表示出，，然后根据三角形面积公式表示出S，然后根据二次函数的图象和性质求解即可．【详解】∵在直角三角形中，，，，∴，当点Q在线段上时，即时，如图所示，过点Q作交于点P，∵根据题意得，，∴，即，∴，∴的面积；当点Q在线段上时，即时，如图所示，过点Q作交于点P，∵根据题意得，，，∴，即，∴，∴的面积；综上所述，，故选：A．【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，二次函数动点问题，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点．41．（2025·贵州安顺·三模）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，安安和顺顺作出如下判断：安安：．顺顺：若m是实数，则．对于这两个判断，下列说法正确的是（

）A．安安对 B．顺顺对 C．两人都对 D．两人都错【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数和式子的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．由对称轴得，而抛物线经过，则，代入即可判断安安说法；由开口向上得时，函数取得最小值为，那么，化简即可判断顺顺说法．【详解】解：∵对称轴为直线，∴，∴，∵抛物线经过，∴，∴，∴，故安安正确；∵开口向上，∴时，函数取得最小值为，∴，∴，∴，故顺顺错误，故选：A．42．（2025·贵州遵义·二模）下面的四个问题中都有两个变量：①含角的直角三角形中，直角三角形的面积与斜边长；②把一个确定的正数拆成两个正数之和，这两个正数的乘积与其中一个正数；③用长度一定的篱笆围成一个扇形花园，扇形花园的面积与半径．④设正方体的棱长为，表面积为，则与的函数关系其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（

）A．①② B．②③④ C．②③ D．②④【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数的定义即函数图象与性质，涉及扇形面积的计算公式，解直角三角形，根据题意分别求出每个问题中与的关系，再结合二次函数的图形求解即可．【详解】解：①含角的直角三角形中，∵斜边长，∴较短的直角边的长为，较长的直角边的长为，∴直角三角形的面积，该函数开口向上，不符合题意；②设一个正数为x，两个正数和为m，则拆成两个正数中另一个正数为，则，该函数图象开口向下，符合题意；③设篱笆的长度为，扇形花园的半径为，∴扇形的弧长为：，∴扇形的面积y与它的半径之间的函数关系式为：，该函数图象开口向下，符合题意；④∵正方体的棱长为，表面积为，∴与的函数关系为，该函数开口向上，不符合题意；故选：C43．（2025·贵州贵阳·一模）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析结论：①；②抛物线与x轴的另一个交点为；③；④．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查二次函数图象和系数之间的关系，二次函数的对称性，根据图象判断①，对称性判断②，特殊点结合对称轴判断③，特殊点结合因式分解，判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴．∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴，故①错误；设抛物线与x轴另一交点的横坐标为m，由对称的性质可知，解得，∴抛物线与x轴的另一个交点为，故②正确；将点代入抛物线解析式得，又∵，∴，∴，∴，故③错误；∵当时，，∴．∵当时，，∴，∴∴，故④正确．综上所述，正确的结论有②④，共2个．故选B．44．（2025·贵州贵阳·一模）已知二次函数的图象如图所示，则点所在象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据函数的图象确定系数的取值，解题的关键是熟练掌握抛物线的图象和性质．利用抛物线的交点和对称轴即可确定系数的取值，然后确定点的坐标所在象限即可．【详解】由二次函数的图象开口向下得，由对称轴在y轴的右侧，则，∵，∴，∵二次函数的图象与轴交点在正半轴，∴，∴，∴点在第二象限，故选：B．45．（2025·贵州毕节·一模）已知二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表：…01234……15…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（

）A．图象的对称轴是直线B．C．关于的方程的根为和5D．当时，的取值范围是【答案】C【分析】根据当与时，函数值相等，可求出对称轴，以此判断A；根据对称轴设出二次函数的解析式为顶点式，代入两对值，求出待定系数，化为一般式，求出，可判断B；根据二次函数的解析式，求出当时，自变量的值，可判断C；利用二次函数的增减，求出当时自变量的范围，可判断D．【详解】解：∵当与时，函数值，∴二次函数图象的对称轴是直线，故A错误；设二次函数的解析式为，∵当时，；当时，；∴，解得：，∴二次函数的解析式为，∴，故B错误；∵二次函数的解析式为，∴当时，，解得：，，故C正确；∵二次函数图象的对称轴是直线，开口向上，∴当时，随的增大而增大，顶点为，∵当时，，解得：，，∴当时，或，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，已知抛物线上对称的两点求对称轴，解题关键是根据表中数据发现对称性求出对称轴．46．（2025·贵州·一模）已知正三角形的边长为是边上的一点（不与端点重合），过作边的垂线，交于，设，的面积为，则关于的函数图象为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题是动点问题的函数图象探究题，考查了二次函数图象性质和锐角三角函数的先关知识，解答关键是是边上的一点（不与端点重合）求出的取值范围．根据题意可求，，是边上的一点（不与端点重合）求出的取值范围，再由三角形面积求出函数解析式，由解析式即可判断．【详解】解：，∵是等边三角形∴，，∴，又∵是边上的一点（不与端点重合），∴∴，∵，根据解析式和的取值范围可知B正确，故选：B．47．（2025·贵州毕节·二模）抛物线交轴于两点，交轴的负半轴于点，对称轴与抛物线交于点，已知点坐标为，点的横坐标为1，根据以上信息得出下列结论：①；②点的坐标为；③；④当时，．其中结论正确的个数有（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点坐标，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确．根据抛物线的对称轴判断①；利用抛物线的对称性得到点B的坐标判断②，根据图象得到当时，函数值为正数，判断③，根据二次函数的最值判断④解答即可．【详解】解：∵对称轴与抛物线交于点，点的横坐标为1，∴，即，故①错误；∵对称轴为直线，点坐标为，∴对称点点的坐标为，故②正确；∵当时，函数值为正数，∴，故③错误；∵时，函数有最小值，∴当，且时，，∴，故④错误；故选：D．48．（2025·贵州遵义·二模）如表是一个二次函数的自变量x与函数值y的5组对应值，则下列说法正确的是（

）x…12345…y…93139…A．函数图象的开口向下 B．函数图象与x轴有交点C．函数的最小值为1 D．当时y的值随x值的增大而减小【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．【详解】解：由表格可得，当和时，y得值都等于3∴点和点关于对称轴对称∴对称轴为直线∴顶点坐标为∴设表达式为将代入得，∴∴二次函数解析式为，∵∴函数图象的开口向上，故A错误，不符合题意；令，则，∴∴方程无解，∴函数图象与轴没有交点，故B错误，不符合题意；∵顶点坐标为，开口向上∴函数的最小值为1，故C正确，符合题意；∵对称轴为直线，开口向上∴当时，的值随值的增大而增大，故D错误，不符合题意．故选：C．49．（2025·贵州六盘水·二模）已知在中，是边上的一点（不与端点重合），过点作边的垂线交于，设，四边形的面积为，则关于的函数图象为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，二次函数图象的识别，求出，解直角三角形得到，则，解直角三角形得到，根据得到，再求出的取值范围即可得到答案．【详解】解：∵在中，，，∴，∴，∴，在中，，∵，∴，当点D恰好与点B重合时，则此时，∴，∴，∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意，故选：A．50．（2025·贵州贵阳·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识点，灵活运用数形结合思想是数形结合的思想．先利用抛物线的对称轴求出n，得到抛物线解析式为，再计算出自变量为2和5对应的函数值，然后利用函数图象写出直线与抛物线在时有公共点时m的范围即可．【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，∴，解得：，∴抛物线解析式为，∴抛物线的顶点坐标为，当时，；当时，；当直线与抛物线在时有公共点时，，如图：关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，m的取值范围为．故选C．51．（2025·贵州贵阳·二模）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（m为实数）在的范围内有解，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，先利用抛物线的对称轴方程求出得到抛物线解析式，配方得到抛物线的顶点坐标，再结合函数图象，利用抛物线解析式与直线在的范围内有公共点可确定的范围，把解关于的一元二次方程转化为求二次函数与直线的交点坐标问题是解题的关键．【详解】解：抛物线的对称轴为直线，，解得，抛物线解析式为，抛物线的顶点坐标为，当时，；当时，，关于的一元二次方程在的范围内有解，抛物线与直线在的范围内有公共点，．故选：C．52．（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限．(1)求二次函数的表达式；(2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值；(3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)点的坐标为时，的最大值为4(3)存在，的坐标是【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质．（1）将，分别代入，得到二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设，由由，，可得直线的表达式为，设，得，即可求解；（3）由四边形为菱形，得，，进而得，则，即可求解．【详解】（1）解：将，分别代入，得，解这个方程组，得，所以二次函数的表达式为；（2）解：设，由，，可得直线的表达式为，设，∴，当时，，故点的坐标为时，的最大值为4；（3）解：存在，理由如下：如图，连接，交于点，设点，若四边形为菱形，则，，∴，∴，即，解得，∵点在第一象限，故当点的坐标是时，四边形为菱形．53．（2025·贵州六盘水·一模）如图，抛物线的对称轴是，且过点，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论为（

）A．①② B．①④ C．②④ D．③④【答案】C【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题．【详解】解：由抛物线的开口向上可得：，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以，根据抛物线与y轴的交点在负半轴可得：，∴，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴，∵抛物线的对称轴是，∴，即∴，故②正确；∵抛物线的对称轴是直线．且过点，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，当时，，即，故③错误；∵时，函数值最小，∴，∴，所以④正确；故选：C．54．（2025·贵州安顺·一模）二次函数的部分图像如图所示，有以下说法：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由开口方向可判断①；由图象知当时，，可判断②；根据对称轴可判断③；根据二次函数的性质可判断④，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，故①正确；由图象可知，当时，，即，故②错误；∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴，故③正确；∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，∴当时，随的增大而减小，故④正确；综上，正确的说法有①③④，故选：.五、填空题55．（2025·贵州安顺·三模）如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点E作，与边交于点F，连接，则的最小值为．【答案】/【分析】本题考查了相似三角形的性质和二次函数的最大值，关键在于数形结合的熟练应用．根据垂直的定义得到，再根据等角的余角相等得到，根据三角形相似的判定得到，利用相似比得到与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求出的最大值，进而求出的最小值，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解：的长为，则，的长为，，，，，，，，，，即，，当时，，当时，，此时为最小，．故答案为：．56．（2025·贵州铜仁·三模）已知抛物线的图象如图所示，有下列结论：①；②二次函数图象的对称轴是直线；③当时，y随x的增大而减小；④方程的解为，．其中正确的结论有．【答案】①②④【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据函数图象可得抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于与两点，即得，，二次函数图象的对称轴是直线，方程的解为，，再进一步判断即可求解.【详解】解：根据函数的图象可得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于与两点，∴，，二次函数图象的对称轴是直线，方程的解为，，结论②④正确；∴，当时，y随x的增大而增大，结论③错误；∴，∴，结论①正确；故答案为：①②④.六、解答题57．（2025·贵州铜仁·三模）随着直播销售逐渐被大众接受，达人直播带货在短视频平台占据了主导地位，成为各大商家的重要销售渠道，某化妆品商家“双十一”在直播间开展预售活动，销售其旗下品牌化妆品，平均每分钟可售出10件，每件盈利30元；为了扩大销售、增加利润，该店再次发布了降价活动，在保障每件商品利润不少于15元的前提下，经过一段时间销售统计，发现销售单价每降低1元，平均每分钟可多售出1件．设每件商品降价元，请你解决以下问题：(1)若，则每分钟的销量为______________件，若用含的代数式表示，降价后每件商品的利润是______________元；(2)若降价后该商品每分钟的销售量记作件，请你求出与之间的关系式及的取值范围；(3)请你算一算每件商品降价多少元时，该直播间商家每分钟能拿到最多的销售利润？最多为多少元？【答案】(1)12，(2)(3)当每件商品降价10元时，该直播间商家每分钟能拿到最多的销售利润，最大利润为400元【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，正确的列出代数式和函数解析式，是解题的关