五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(吉林专用)12：几何探究（学生版）

专题12几何探究1．（2025·吉林长春·中考真题）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．【探究一】线段的最小覆盖圆线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆．理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）．，，即的直径大于的直径．是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为．【探究二】直角三角形的最小覆盖圆要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由．又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆．【拓展应用】矩形的最小覆盖圆如图③，在矩形中，，．（1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点）（2）该矩形的最小覆盖圆的直径为；（3）若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为．2．（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形．【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由．3．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值．【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．【问题解决】如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：（1）证明：；（2）的大小为度，线段长度的最小值为________．【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米．4．（2024·吉林·中考真题）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：

【探究论证】（1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______．（2）如图②，在菱形中，，，则______．（3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想．【理解运用】（4）如图④，在中，，，，点P为边上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图：（ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I；（ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点；（ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧；（ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，．请你直接写出的值．5．（2023·吉林长春·中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长至点E，使，连结，四边形是的内接四边形，．，．是等边三角形．，请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．6．（2023·吉林·中考真题）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形其中判定的依据是__________．【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，与边分别交于点M，N．求证：是菱形．【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上．当时，延长交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，（为锐角），则四边形的面积为_________．

7．（2022·吉林长春·中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想．【问题解决】(1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形是矩形，∴．由折叠可知，，．∴．∴．请你补全余下的证明过程．【结论应用】(2)的度数为________度，的值为_________；(3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示）8．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线，与的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设与之间的距离为，则，．∴．【探究】(1)如图②，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则．证明：∵(2)如图③，当点在，之间时，连接并延长交于点，则．证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，∴．∴．∴．由【探究】（1）可知，∴．(3)如图④，当点在下方时，连接交于点．若点，，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为．9．（2021·吉林·中考真题）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点．（1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）；（2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由；（3）若，直接写出的度数．10．（2021·吉林长春·中考真题）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则度．操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM与NF的交点为点P．求证：．（2）若，则线段AP的长为．11．（2025·吉林·模拟预测）【教材回顾】证明：三角形的三条角平分线交于一点．（1）补全教材中例题的证明过程．已知：如图1，的角平分线相交于点P．求证：点P在的平分线上．证明：过点P作，，，垂足分别为点F，点M，点N，平分，，，_______，同理_______．_______，点P在的平分线上．【拓展研究】问题一：如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？（2）如图2，在四边形中，，，的平分线相交于点O．求证：①点O在的平分线上：；问题二：满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？（3）如图3，在四边形中，如果四条边满足_______时，那么它的四条角平分线交于一点（不需证明）．

12．（2025·吉林松原·模拟预测）如图①，四边形与四边形是共一个顶点的两个大小不同的正方形．【操作发现】（1）如图②，正方形绕点A逆时针旋转，使点E落在边上，线段与的数量关系是________，与的关系是________．【猜想证明】（2）如图③，正方形绕点A逆时针旋转某一角度时，猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的结论．【拓展应用】（3）如图④，正方形绕点A逆时针旋转，使点F落在直线上，当时，直接写出的长度．13．（2025·吉林松原·模拟预测）【初步尝试】如图①．点E、G分别是的边的中点，点F为对角线上一点，以点F为直角顶点作，过点E作交于点H，连接，求证：四边形为矩形；【深入探究】如图②，将图①中的改为菱形．其他条件不变．若，且，直接写出四边形的面积；【拓展延伸】如图③，将图①中的改为矩形，其他条件不变．若，，直接写出四边形的面积．14．（2025·吉林长春·三模）【问题原型】如图①，在矩形中，，，点E在边上，点F在射线上，且，连结、交于点M，若点P是边上的一个动点，连结、，试探究的最小值．【问题分析】如图②，小明首先作点C关于直线的对称点，连结、PM，由对称性可知，利用基本事实：“两点之间线段最短”，可知当、P、M三点共线时，，进而问题转化为探究的最小值问题，又进一步转化为探究点M的轨迹的问题．其次，小明发现可通过证明，得出，进而可知，即可确定点M的轨迹．以下是证明的部分过程证明：在矩形中，，证明过程缺失请你补全上述缺失的证明过程．【问题解决】请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点P、M，使的值最小，此时的最小值为________．（保留作图痕迹）15．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题原型】如图①，在中，．点、分别是边的中点，点是线段上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，当点在同一条直线上时，求的值．【问题探究】小明在研究这个问题时想先找到点的位置，通过研究发现，当点在同一条直线上时，，因为点是边的中点，所以点在以点为圆心长为半径的圆（记作“”）上；又因为点在线段上，所以点是与线段的交点．【问题解决】请你利用尺规作图在图②中依据【问题探究】帮助小明找到点．再用三角板做出点．根据上述作图，以下是小明的求解过程，按照小明的思路将过程补充完整；点在同一条直线上，且线段绕点逆时针旋转得到线段，．点是边的中点，．点在以点_______为圆心，长为半径的圆上．．在中，，．点分别是边的中点，．_______．_______．线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，是等腰直角三角形．______，________，，，_______．（填具体数值16．（2025·吉林松原·一模）已知正方形，为对角线上一点．【建立模型】（1）如图1，连接，．求证：；【模型应用】（2）如图2，是延长线上一点，，交于点．①判断的形状并说明理由；②若为的中点，且，则______．【模型迁移】（3）如图3，是延长线上一点，，交于点，．请直接写出与之间的数量关系．17．（2025·吉林长春·三模）【问题原型】如图，菱形的边长为，．点分别在边上，且．点在直线上，试探究当的值最小时，点的位置．【问题探究】（1）小丽同学由已知条件可以证明，为了求最小值问题，首先要探究点的轨迹问题．研究发现：当的边为定长，为定角且时，点在外接圆的劣弧上运动．以下是小丽求的度数的部分过程：解：∵四边形是菱形，∴，又∵，是等边三角形，∴，，又∵，∴证明过程缺失∴______∴点在外接圆的劣弧上运动．请您补全证明过程．【问题解决】（2）请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图中作出【问题原型】中的点和点，使的值最小，则最小值是______．18．（2025·吉林四平·模拟预测）【感知】如图①，在矩形中，点O是边的中点，连接．保持矩形不动，将绕着点O顺时针旋转一定的角度得到，点A、D、C的对应点分别为点E、F、G，连接．若旋转角的大小为，且，则的周长为______；【探究】如图②，在图①中的的旋转过程中，当线段与线段相交于点M（点M不与点A、B、F、G重合）时，连接，其他条件不变．求证：；【拓展】在图①中的的整个旋转过程中（旋转角小于180°），当点F落在矩形的对称轴上，且，时，线段与线段相交于点M，直接写出线段的长度．19．（2025·吉林·二模）【问题原型】如图①，在中，是线段上任意一点，试探究的最小值．【问题探究】如图②，小明首先以为一边作．然后，作，由三角函数的定义，将转化为．于是求的最小值就转化为求的最小值．当点A、P、H在一条直线上时，即可求出的最小值．以下是小明的部分求解过程：由【问题探究】的作法可知过点作射线使，作于在中，求解过程缺失请补全剩余的求解过程；【问题应用】如图③，在中，为边CD上的一动点，直接写出的最小值____________．并用圆规和无刻度的直尺在图③中确定点的位置（保留作图痕迹）；【问题迁移】小明在此基础上想求解的最小值，请构造合理的数学模型，并借助模型直接写出最小值____________．20．（2025·吉林松原·模拟预测）如图1，等腰三角形纸片，，．点为上一点，连接．(1)【操作】如图2，将该纸片沿剪开，得到和．将绕点逆时针旋转一定的角度，使点落在的对应边上，则旋转角为___________度（用含的代数式表示）．(2)【探究】在图2中，连接，得到图3．求证：四边形为平行四边形．(3)【应用】若点为的中点，，，直接写出四边形的周长．21．（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点分别在边上，且，连结．求证：．【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上截取，，通过证明三角形全等，进而得证．下面是小亮的部分证明过程：证明：在的延长线上截取，连接．四边形是正方形，．又，．．证明过程缺失．请补全缺失的证明过程．【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系．【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且．若，则线段的长为___________．【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在的外接圆上，且点与点在的两侧，连接、、．若，则的值为________．22．（2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，在矩形中，．点在射线上，试探究的最小值．【问题探究】如图②，小明首先在右侧作，利用，将转化为，这样就将双变量（）问题转化为探究长度最小值的单变量问题，于是将问题进一步转化成探究点的轨迹问题；其次，小明发现当时，总有，进而可知恒为直角，即可确定点的轨迹．以下是小明证明的部分过程：证明：由【问题探究】的作法可知，，∴．．．四边形是矩形，．证明过程缺失请你补全缺失的证明过程．【问题解决】请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题探究】中的点，使的值最小，此时的值是______．（保留作图痕迹）23．（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：.【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证.下面是小亮的部分证明过程：证明：在的延长线上截取，连结.四边形是正方形，.又，..证明过程缺失.请补全缺失的证明过程.【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系.【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______.【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______.24．（2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，四边形是正方形，．点E是边的中点，点F是边上一点，且．连结，且交于点G，求的面积．【问题探究】如图②，小明首先延长，且相交于点M．易知且，求得的值，从而得到和的面积比，进而求出的面积．

以下是小明求解的值的部分过程：解：在正方形中，，．∵点E是边的中点，．，．．求解过程缺失请你补全缺失的求解过程．【问题解决】请结合上述探究过程，直接写出的面积是_____________．25．（2025·吉林松原·三模）【问题探究】（1）如图①，已知是的中线，延长至点，使得，连接，求证：四边形是平行四边形；【拓展提升】（2）如图②，在的中线上任取一点（不与点A、点重合），过点、点分别作，连接、，求证：四边形是平行四边形；【灵活应用】（3）如图③，在中，，点是的中点，点是直线上的动点，且，当取得最小值时，直接写出线段的长度．26．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题探索】（1）如图①，点D、E分别在的边上，仅用一把无刻度的直尺作的中点．操作：如图②，连结交于点P，作直线交于点M，交于点N，则M、N分别为、的中点．证明：，，，________，________．，，________，________，________，，，、N分别为的中点．请将上述证明过程补充完整．【结论应用】（2）如图③，四边形为平行四边形，只使用无刻度直尺作出的中位线．【拓展提升】（3）如图④，为的直径且，点C在上且，点P为上的动点且与点C位于直线的