五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(山西专用)10：特殊四边形（学生版）

专题10特殊四边形（原卷版）考点1多边形的相关计算1．（2023·山西·中考真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（

）

A． B． C． D．考点2利用平行四边形的性质求解1．（2025·山西·中考真题）如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是边的中点，连接．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（

）A． B．C． D．2．（2023·山西·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为．

3．（2020·山西·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，为半径的与相切于点，与相交于点，的延长线交于点，连接交于点，求和的度数．4．（2022·山西·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．5．（2025·山西·中考真题）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．双关联线段【概念理解】如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段．

【问题解决】问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________．

问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接．

求证：线段是线段的双关联线段．证明：延长交于点F．是等边三角形，．，（依据）．，，；…

任务：(1)问题1中的________，问题2中的依据是________________；(2)补全问题2的证明过程；(3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）．

考点3证明四边形是平行四边形1．（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点．∵分别为的中点，∴．（依据1）

∴．∵，∴．∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即．∵，即，∴四边形是平行四边形．（依据2）∴．∵，∴．同理，…任务：(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．依据2是指：_____________．(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线）(3)在图1中，分别连接得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．

考点4利用平行四边形性质与判定求解1．（2025·山西·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为．2．（2025·山西·中考真题）项目学习项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．项目主题景物的测量与计算驱动问题如何测量内栏墙围成泉池的直径活动内容利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算活动过程方案说明图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上．图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内．数据测量在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计计算……交流展示……请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据：，，，，，）．3．（2023·山西·中考真题）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）．课题母亲河驳岸的调研与计算调查方式资料查阅、水利部门走访、实地查看了解功能驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物驳岸剖面图

相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，，计算结果交流展示考点5利用菱形的性质求解1．（2021·山西·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，交于点，则的长为．考点6证明四边形是菱形1．（2024·山西·中考真题）综合与探究问题情境：如图，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点．猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由；深入探究：（2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．①如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由；②当直线与直线垂直时，直线分别与直线，交于点，，直线与线段交于点．若，，直接写出四边形的面积．考点7利用菱形的性质与判定求解1．（2025·山西·中考真题）综合与探究问题情境：如图，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平．猜想证明：（1）判断四边的形状，并说明理由拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接．①若，判断与的位置关系，并说明理由；②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长考点8利用正方形的性质证明1．（2022·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为2．（2020·山西·中考真题）综合与实践问题情境：如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．猜想证明：（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图①，若，，请直接写出的长．考点9证明四边形是正方形1．（2023·山西·中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．

(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．

一、单选题1．（2025·山西大同·三模）如图，线段，，是一个正多边形的三条边，延长，交于点M，若，则这个正多边形是（

）A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形2．（2025·山西吕梁·二模）如图，在正六边形的边处放置一块平面镜，一束光线从点发出，照射到镜面上的点处，经反射后恰好经过边上的点．若正六边形的边长为，，则的长为（

）A． B． C． D．3．（2025·山西运城·二模）如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（

）A． B． C． D．4．（2025·山西临汾·一模）若一个多边形的内角和是，则此多边形的边数是（

）A．10 B．9 C．8 D．75．（2025·山西晋中·一模）如图，正五边形的对角线相交于点，若，则的长为（

）A． B． C． D．6．（2025·山西长治·二模）如图，已知，在边的同侧作正、正和正，连接，，则下列选项中不正确的是（

）A．一定会出现平行四边形B．当时，四边形为矩形C．当，且时四边形为正方形D．当，且时，四边形为菱形7．（2025·山西大同·模拟预测）如图，在四边形中，，，，E，F分别是的中点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．8．（2025·山西朔州·三模）如图，在中，平分，于点，交于点，交的延长线于点，若，，则的长度为（

）A．2 B．3 C．4 D．59．（2025·山西·一模）如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（

）A． B．C． D．10．（2025·山西吕梁·二模）如图，在中，对角线，相交于点，是的中点．若，则的长为（

）A． B． C． D．11．（2025·山西太原·一模）如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（）A． B． C． D．12．（2025·山西临汾·一模）如图，在中，，，和的平分线分别交BC于点E，F，与交于点，若，则的长为（

）A．6 B． C． D．13．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，将边长为8的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到．当两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为16时，移动的距离等于（

）

A．4 B．6 C．8 D．1614．（2025·山西朔州·一模）如图，四边形是平行四边形，点P是对角线上一点，过点P作的平行线分别交于点M和点N，连接．若，若的面积为2，则的面积为（

）A．4 B．6 C．8 D．515．（2025·山西吕梁·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，弧线分别相交于点M，N，画直线交于点；②连接并延长，以点为圆心，的长为半径画弧交的延长线于点；③连接，．下列说法错误的是（

）A．四边形是平行四边形B．若与重合，则四边形是菱形C．若，则四边形是矩形D．若，则四边形是正方形16．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，在中，是对角线，E，F，G，H分别是的中点，连接，则下列说法中，不正确的是（

）A．四边形为平行四边形B．若四边形为矩形，则为菱形C．若四边形为菱形，则为菱形D．若四边形正方形，则为正方形17．（2025·山西吕梁·三模）如图，在矩形中，下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．18．（2025·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，连接对角线，是上一点，已知点的坐标为，若将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在轴上，则点的坐标为（

）

A． B． C． D．19．（2025·山西·模拟预测）下列有关特殊四边形的说法正确的是（

）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．邻边相等的矩形是正方形C．取平行四边形四条边的中点，顺次连接构成的四边形是矩形D．矩形的每一条对角线平分一组对角20．（2023九年级·全国·专题练习）家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等（如图②），小华用皮尺量出米，米，则阴影部分的面积为（

）

A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米21．（2025·山西大同·三模）如图，四边形是正方形，对角线，交于点O，点E在正方形的内部，且．连接并延长交边于点F，线段，分别与，交于点M，N，则下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．22．（2025·山西长治·模拟预测）如图，点从矩形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时，的面积随时间变化的关系图象是（

）A．B．C．D．23．（2025·山西吕梁·二模）如图，将矩形沿翻折，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为，若，，则折痕的长为（

）A．6 B．4 C． D．24．（2025·山西吕梁·二模）如图，菱形的顶点B在反比例函数（，）的图象上，顶点A在x轴上，，，则k的值为（

）A． B． C． D．25．（2025·山西晋中·三模）如图，在正方形中，点在边上，连接，过点作于点，过点作于点，若，则的长为（

）A．4 B．5 C．7 D．1126．（2025·山西大同·二模）如图，先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕﹐同时得到线段，．观察所得的线段，若，则的长为（

）A． B．1 C． D．227．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形，其中，点位于第二象限，点位于第一象限，且与轴正半轴的夹角为，则点的坐标为（）A． B． C． D．28．（2025·山西·模拟预测）已知菱形中，为对角线，点E，F，G，H分别是边，，，上的点．若四边形是正方形，则下列结论一定成立的是（

）A． B． C． D．29．（2024·广东深圳·一模）如图，在的基础上用尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点；②分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．可以直接判定四边形是菱形的依据是（

）A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形30．（2025·山西朔州·一模）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线分别交于点E和点F，点G是的中点，连接．若，则的度数为（

）．A． B． C． D．二、填空题31．（2025·山西吕梁·三模）图1所示是厨房三角落地置物架，图2是置物架搁物板示意图，其中，，则的度数是．32．（2025·山西临汾·三模）窗棂（如图1）是中国传统木构建筑的框架结构，使窗成为传统建筑中最重要的构成要素之一，也成为建筑的审美中心．图2是从图1中提取的由六条线段组成的图形，若，则．33．（2025·山西大同·模拟预测）如图，制作椅子时，横截面为正五边形的水平木梁必须安装在支撑柱的槽口中，为使木梁能够准确咬合在槽口中，则支撑柱的一个角的度数为．34．（2025·山西太原·二模）中国宴席中的摆盘艺术体现传统美学原则．如图1，将六个全等的正五边形陶瓷盘按照如图1的方式摆放，正五边形的五个顶点代表“五福”，具有美好的寓意．若将其抽象成如图2的图形，则的度数为°．35．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图1，小亮在公园发现一条由一些不规则的多边形拼接而成的道路．小亮由此抽象出如图2所示的多边形，则这个多边形的内角和为．36．（2025·山西长治·二模）如图：中，，，平分，交于点E，若，则长为．37．（2025·山西吕梁·二模）如图，在中，，是的中位线，为上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点落在线段上，若，则的长为．38．（2025·山西朔州·三模）如图，在中，，于点，点在边上，且，，若，则的长为．39．（2025·山西临汾·三模）如图，已知正方形的边长为6，E是正方形的边上的一点，沿将折叠，点A落在点F处，连接，，若，则的长为．40．（2025·山西吕梁·三模）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和底边垂直，只需要用绳子比较书架的两条对角线的长就可以判断，其中证明“四边形是矩形”的依据是：．41．（2025·山西晋城·三模）如图，在中，，，平分，连接，满足，若，则的长为．42．（2025·山西临汾·二模）如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是．43．（2025·山西长治·三模）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理，2000多年来，人们对它进行了大量的研究，《几何原本》第47个命题为：在直角三角形中，以直角所对的边为边的正方形的面积等于以在直角的两边为边的正方形的面积和，从而证明出了勾股定理．小明同学深受启发，作了如下探究：如图，过的顶点作的垂线与相交于点，设正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若，则．44．（2025·山西·模拟预测）如图，在菱形中，按如下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点，连接．若，则的度数为．45．（2025·山西大同·二模）如图，正方形的边长为6，点分别是边上的点，且，连接的垂直平分线分别交于点，则的长为．46．（2025·山西运城·模拟预测）菱形的对角线长分别为和，则菱形的面积为．47．（2025·山西忻州·模拟预测）在矩形中，，，对角线，交于点，过点作，垂足为，为中点，连接交于点，则的长为．48．（2025·山西忻州·一模）如图，在正方形中，，点E是对角线的中点，点F在线段上，且．以F为旋转中心，将线段逆时针旋转得到，此时点G恰好落在线段上，则的长为．三、解答题49．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．关于“等角准正多边形”的研究报告勤思小组研究对象：等角准正多边形研究思路：类比三角形、四边形，按“概念一性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究．研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明研究内容：【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其所有的各角都相等，且有两条边不等于其他相等的边，我们称这个凸多边形为等角准正多边形．如图1，我们学习过的矩形（正方形除外）就是等角准正四边形，类似地，还有等角准正六边形、等角准正八边形……【特例研究】根据等角准正多边形的定义，等角准正六边形研究如下：概念理解：如图2，如果在六边形中，，且，那么六边形是等角准正六边形．性质探索：根据定义，探索等角准正六边形的性质，得到如下结论：内角：等角准正六边形的每个内角均等于___________．每个外角均等于___________．对角线．．．．．．任务：(1)直接写出研究报告中空缺的内容：___________，___________．(2)在图2中，等角准正六边形的三组正对边与与与分别有什么位置关系？请证明你的结论．(3)如图3，已知八边形中，，，且．求证：八边形是等角准正八边形50．（2025·山西长治·三模）阅读与思考请阅读以下材料并完成相应的任务．如果一个点把一条线段分割成两部分，其中较长线段与整条线段之比，等于较短线段与较长线段之比，则这个点叫做这条线段的黄金分割点，这个比例叫做黄金比，也叫做中外比，按此比例设计出的图案十分美丽．如图1，C是线段AB的黄金分割点，或就是黄金比，其比值为．黄金三角形是一个等腰三角形，常见的黄金三角形有两种：①它的底之长与一腰之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为；②它的一腰之长与底之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为．任务：(1)如图2，在中，，．用尺规在AC边上求作一点P，连接，使为黄金三角形．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）(2)如图3，在的内接正十边形中，是正十边形的一条边，平分．若，求的长．51．（2025·山西吕梁·三模）阅读与思考下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．关于“泰森四边形”的研究报告荷兰气候学家A・H・Thicssen为了计算各个区域的平均降雨量，将所有相邻气象站连成三角形，作这些三角形各边的垂直平分线，这些垂直平分线围成一个多边形，这个多边形就是泰森多边形，其顶点是每个三角形外接圆的圆心．如图1，点是四边形内一点，，，，分别是，，，的外心，则四边形是四边形的泰森四边形，点叫做相关点．如图2，当四边形对角线的交点是相关点时，其泰森四边形是平行四边形．如图3，当四边形对角线的交点是相关点，且时，其泰森四边形是菱形．理由如下：设与交于点，与交于点，与交于点，与交于点．点，，，分别是，，，的外心，．又

．又四边形是平行四边形四边形是菱形．如图4，当四边形对角线的交点是相关点，且时，其泰森四边形是矩形．理由如下：，…学习任务：(1)在图1中，，，的数量关系是________；(2)请在图2中证明四边形是平行四边形；(3)当四边形对角线的交点是相关点时，矩形的泰森四边形是________，菱形的泰森四边形是________．（填“矩形”“菱形”或“正方形”）(4)如图5，在四边形和中，，，分别垂直平分，，．在平面内求作点，使四边形是四边形的泰森四边形，且点是相关点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法．）52．（2025·山西吕梁·三模）如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：．53．（2025·山西吕梁·三模）综合与实践问题情境：综合与实践课上，老师提出如下问题：如图①，在中，，为边上的中线，将沿射线方向平移得到．点的对应点分别为．猜想证明：（1）如图②，当线段经过点时，连接、．请判断四边形的形状，并说明理由；深入探究：（2）若中，．将图②中的继续沿射线方向平移，得到．点的对应点分别为．老师让同学们提出问题并解答．如图③，“创新小组”画出的四边形是菱形，提出问题是：求此时菱形的对角线与的长．54．（2025·山西吕梁·三模）阅读下面材料，完成相应任务．四边形的中位线我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1，在四边形中，点分别是的中点，则就是四边形的中位线．求四边形的中位线的长度，可以通过找中点，将其转化为三角形的中位线解决．例：如图2，在四边形中，点分别是的中点．若，求．解：如图2，取的中点，连接．∵点、分别是的中点，∴．（依据）……任务：(1)上述材料中的依据是指___________．(2)将材料中的解题过程补充完整．(3)如图3，在四边形中，点分别是的中点，，延长交于点，延长交于点，且．请直接写出的长度___________．55．（2025·四川眉山·二模）如图，线段相交于点，且，于点．(1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）(2)若，请证明四边形是平行四边形．56．（2025·山西运城·一模）综合与探究问题背景数学课上、同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开数学活动，如图1，在中，，点是的中点，过点作交于点，连接，点是的中点，点是的中点，连接．初步探究：（1）与的数量关系为________；深入探究（2）如图2将绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，点的对应点是点，连接，点是的中点，点是的中点，连接，，和．①试判断四边形的形状，并说明理由；②求证：；拓展延伸（3）如图3，在中，，，，点是的中点，过点作于点，将绕点顺时针旋转一周，在旋转的过程中，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出所有满足条件的的值．57．（2025·山西长治·二模）阅读与思考小颖在一篇数学杂志中看到“在尺规作图中，三等分任意角是著名的古希腊三大几何难题之一．19世纪数学家通过代数方法（如伽罗瓦理论）证明：仅用无刻度直尺和圆规三等分任意角是不可能的．”小颖想着尺规作图不能三等分任意角，那能不能三等分任意线段呢？她作了如下两种作法，请认真阅读她的笔记，并完成下列任务．问题：已知：线段（如图）．求作：在线段上找一点C，使得．（尺规作图）方法一：作法步骤：（1）以A为端点作射线．（2）在射线上依次截取线段．（3）连接，过点E作的平行线交AB于点C．证明：，．（依据）方法二：作法步骤：（1）以为一边作出等边．（2）以为的一半为一边作出等边．（3）连接交于点C．证明：由作图可知和均为正三角形且∴……任务一：上述阅读材料中的方法一中的依据为：_________任务二：请你帮助小颖完成方法二中剩余的证明过程．任务三：请你再用一种不同的方法，在线段上找一点，使得．（尺规作图，保留痕迹，不写作法，不用证明）58．（2025·山西·模拟预测）如图，在正方形中，为对角线延长线上一点，连接．(1)实践操作：利用尺规在线段下方作，射线与的延长线交于点．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)猜想与证明：试猜想线段，的位置关系，并加以证明．59．（2025·山西·模拟预测）【动手实践】阅读与思考下面是小刚同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．确定过道可通过的物体的最大长度我家过道宽度都为．一个长方体盒子（高度低于楼高）的宽为，则这个盒子的长最长为多少时，能顺利通过过道？建立模型：如图1为过道示意图，为直角顶点，经测量过道宽度都是．矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为．操作步骤：1．靠边：将图1中矩形的一边靠在上；2．推移：矩形沿方向推移一定距离，使点在边上；3．旋转：如图2，将矩形绕点旋转；4．推移：将矩形沿方向继续推移．尝试思考：如图2，已知，当时，我求得，则该物体能顺利通过直角过道．……任务：(1)在“尝试思考”环节，你赞同小刚得出的结论吗？请通过计算说明理由．(2)请你帮小刚算出该过道可以通过的长方形盒子的最大长度，即求的最大值．（精确到）60．（2025·山西长治·三模）问题背景如图1，四边形是一个正方形花园，，分别是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？问题探究(1)如图2，在正方形中，若，试证明．知识迁移(2)如图3，在矩形中，点，，，分别在线段，，，上，且．若，，求的值．（用含，的代数式表示）知识运用(3)如图4，，是两个直角三角形，，，，交于点，经过的中点，交于点，，且，请直接写出的值．61．（2025·山西长治·模拟预测）综合与实践【问题背景】菱形作为装饰图案，相环相连取，有高贵、稳重、延绵不断的意思．菱形最早只是青铜器和陶器的装饰纹样，到后来，菱形不仅具有整齐划一的特点，而且绵延丰富．更重要的是，后世的菱形具有吉祥的寓意，在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了关于菱形的探究活动．【基础训练】(1)如图1．在菱形中，于点，于点．求证：；【类比迁移】(2)如图2，在菱形中，为上一点，为上一点，．延长交的延长线于点．求证：；【拓展应用】(3)如图3，在菱形中．，为上一点．延长交的延长线于点，连接，延长交于点，已知，求的度数，并直接写出的值．（用含的式子表示）62．（2025·山西朔州·三模）综合与实践问题情境：数学课上，老师让同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开探究活动，已知在中，，，．将绕点旋转一定角度得到，延长交于点．初步探究：（1）如图1，勤思小组发现，当时，四边形是正方形，请你证明这一结论．深入思考：（2）如图2，笃学小组发现，当点正好落在斜边上时，可以求出四边形的面积，你能解决这一问题吗？拓展延伸：（3）善思小组继续探究，当和在同一条直线上时，连接．请你在图3中画出图形，并直接写出的长．63．（2025·山西晋中·二模）综合与探究问题情境：如图1，将等边沿边翻折得到，点是边上的两点，且，分别连接，，．猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由；深入探究：（2）将图1中的线段绕点逆时针方向旋转得到线段，交直线于点．如图2，当点落在线段的延长线上时，猜想线段与的数量关系，并说明理由；迁移探究：（3）如图3，若变为等腰直角三角形，，，将沿边翻折得到，点为边上一点，且，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段．当点落在直线上时，请直接写出线段的长度．64．（2025·山西吕梁·二模）综合与探究问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的直角三角形纸片（）沿所在直线折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别交于点．再将该纸片沿所在直线折叠，使点的对应点落在的延长线上，折痕分别交于点，如图2所示，试判断四边形的形状，并说明理由．数学思考：（1）请你解答老师提出的问题．深入探究：（2）“善思小组”将图2展开后，连接，得到图3．若为的中点，试猜想线段与的数量关系和位置关系，并说明理由．（3）“智慧小组”提出问题：若点的对应点落在射线上，其他条件不变，当时，请直接写出面积的最大值和此时的长．65．（2025·山西大同·模拟预测）阅读与思考“算两次”原理富比尼原理（），也称为“算两次”原理，是数学中一种重要的思想方法，其核心在于通过两种不同的方式计算同一量，从而建立等量关系．例1：计算图1所示图形的面积，既可以将其看成一个大正方形，也可以将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，通过不同的方法计算这个图形的面积可以得到一个乘法公式．例2：如图2，有一块锐角三角形余料，，高．现把它加工成正方形零件，其中正方形的一边在上，它的两个顶点，分别在，上，高与交于点，求加工成的正方形的边长是多少厘米．思路：我们可以利用“算两次”原理用两种方式计算的面积来求解．