五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(山西专用)05：分式方程与不等式（组）（教师版）

专题05分式方程与不等式（组）（解析版）考点1解分式方程1．（2023·山西·中考真题）解方程：．【答案】【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．【详解】解：原方程可化为．方程两边同乘，得．解得．检验：当时，．∴原方程的解是．【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．考点2利用分式方程解决实际问题1．（2025·山西·中考真题）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里．【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里；根据等量关系：快速换轨车更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，列出分式方程，求解并检验即可．【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里．

根据题意得：．

解得：．

经检验，是原方程的根，且符合题意．

答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里．2．（2022·山西·中考真题）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的充电费为(x+0.6)元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍”列分式方程，解方程即可求解．【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元．根据题意，得．解，得．经检验，是原方程的根．答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．3．（2021·山西·中考真题）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线．游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．【答案】25分钟【分析】设走路线一到达太原机场需要分钟，用含x的式子表示路线一、二的速度，再根据路线二平均速度是路线一的倍列等式计算即可．【详解】解：设走路线一到达太原机场需要分钟．根据题意，得．解得：．经检验，是原方程的解．答：走路线一到达太原机场需要25分钟．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解决本题的关键，注意分式方程需要验根．4．（2020·山西·中考真题）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为．（1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，）；（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．【答案】（1）与之间的距离为；（2）一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．【分析】（1）连接，并向两方延长，分别交，于点，,则，,根据的长度就是与之间的距离，依据解直角三角形，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度；（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据“一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟”列出分式方程求解即可；还可以设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程求解．【详解】解：连接，并向两方延长，分别交，于点，．由点与点在同一水平线上，，均垂直于地面可知，，，所以的长度就是与之间的距离．同时，由两圆弧翼成轴对称可得．在中，，，，，．．与之间的距离为．（1）解法一：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人．根据题意，得解，得．经检验是原方程的解当时，答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．解法二：设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．根据题意，得．解，得经检验是原方程的解．答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．【点睛】本题考查了解直角三角形及列分式方程解应用题，关键是掌握含30度的直角直角三角形的性质．考点3求不等式（组）的解集1．（2025·山西·中考真题）不等式组的解集是（

）A． B． C． D．无解【答案】C【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出两个不等式的解集，再确定它们解集的公共部分即为不等式组的解集．【详解】解：解不等式，得：；解不等式，得：，∴不等式组的解集为：；故选C．2．（2022·山西·中考真题）不等式组的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求一元一次不等式组的解集即可；【详解】解：，解得：；，解得：；∴不等式组的解集为：；故选：C．【点睛】本题主要考查求一元一次不等组的解集，正确计算是解本题的关键．3．（2020·山西·中考真题）不等式组的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分别求出各不等式的解集，最后再确定不等式组的解集．【详解】解：由①得x＞3由②得x＞5所以不等式组的解集为x＞5．故答案为A．【点睛】本题考查了解不等式组，掌握不等式的解法和确定不等式组解集的方法是解答本题的关键．4．（2021·山西·中考真题）（1）计算：．（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：第一步第二步第三步第四步第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的；②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________；任务二：请直接写出该不等式的正确解集．【答案】（1）6；（2）任务一：①乘法分配律（或分配律）；②五；不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；任务二：【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可；（2）根据不等式的性质3判断并计算即可．【详解】（1）解：原式．（2）①乘法分配律（或分配律）②五

不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；任务二：不等式两边都除以－5，改变不等号的方向得：．【点睛】本题主要考查实数的运算，不等式的性质等知识点，熟练掌握实数的运算法则以及不等式的性质是解题关键．考点4利用不等式（组）解决实际问题1．（2022·山西·中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价元．【答案】32【分析】设该商品最多可降价x元，列不等式，求解即可；【详解】解：设该商品最多可降价x元；由题意可得，，解得：；答：该护眼灯最多可降价32元．故答案为：32．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式是解题的关键．2．（2024·山西·中考真题）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？【答案】最多可购买这种型号的水基灭火器12个【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，根据学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【详解】解：设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，根据题意得：，解得：，为整数，取最大值为12，答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个．3．（2023·山西·中考真题）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．

(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；(2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？【答案】(1)一个部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨(2)6套【分析】（1）设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．然后根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可；（2）设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．根据“载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行”列不等式再结合为整数求解即可．【详解】（1）解：设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．根据题意，得，解得．答：一个A部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨．（2）解：设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．根据题意，得．解得．因为为整数，取最大值，所以．答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键．一、单选题1．（2025·山西朔州·三模）端午节是中国的传统节日，某商店销售甲、乙两种礼盒的粽子，经调查发现：用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍，且每个甲礼盒的进价比乙礼盒贵4元，设每个乙礼盒的进价为x元，则下列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查从实际问题中抽象出分式方程，设每个乙礼盒的进价为x元，则每个甲礼盒的进价为元，根据用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍即可列出方程．【详解】解：设每个乙礼盒的进价为x元，则每个甲礼盒的进价为元，根据题意得：，故选：B．2．（2025·山西大同·三模）某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（

）A．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个B．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个C．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个D．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个【答案】A【分析】本题考查了分式方程的应用，根据分式方程的形式求解即可．【详解】∵单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，∴“……”表示的条件为双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个．故选：A．3．（2025·小店区·二模）实验室需要配制的盐水溶液，现有100克的盐水、50克盐（浓度）和100克水。若需将原溶液浓度提升至，需加入多少克盐，列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了分式方程，计算出原溶液中溶质的质量，根据浓度公式列方程即可，熟知等量关系列方程是解题的关键．【详解】解：设加入克盐，原溶液中盐的质量为克，则可得，故选：A．4．（2025·山西临汾·一模）某商场为了更大地让利于顾客，对某种衬衣进行降价销售．当这种衬衣每件降价20元时，降价前600元与降价后480元所购买的该衬衣件数相同．设这种衬衣每件原价为元，则下列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据这种衬衣每件降价20元时，降价前600元与降价后480元所购买的该衬衣件数相同，列出方程即可．【详解】解：设这种衬衣每件原价为元，由题意，得：；故选C．5．（2025·山西临汾·二模）某校组织学生从临汾市前往壶口瀑布进行研学活动．去程乘坐大巴走高速公路，返程时因高速公路维修，改走省道，平均速度比去程降低了30千米/小时，导致返程时间比去程多用了1小时．已知临汾市到壶口瀑布的单程距离为150公里，求去程大巴的平均速度．若设去程大巴的平均速度千米/小时，则可列方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了列分式方程，设去程大巴的平均速度为，则返程时的平均速度为，根据返程比去时多用了，列出方程即可．【详解】解：根据题意，得，故选：D．6．（2025·山西大同·一模）新建、改造社区养老工程是2025年山西省政府确定的民生实事之一，甲、乙两个工程队投标某社区养老工程改造建设任务，甲队单独施工比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同，设乙队单独完成此项任务需要x天，则可列方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，设乙队完成此项任务需要x天，则甲队完成此项任务天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同，列出方程即可．【详解】解：设乙队完成此项任务需要x天，则甲队完成此项任务天，根据题意，得．故选：B．7．（2025·山西·三模）将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集，数轴表示不等式解集，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是关键．根据不等式的性质，分别求出不等式的解集，表示在数轴上即可．【详解】解：，解①得，，解②得，，解集表示在数轴上如图所示，，故选：B．8．（2025·山西运城·模拟预测）某校准备用不超过1000元购买篮球和足球共15个，其中篮球每个60元，足球每个80元，求最多可购买多少个足球．若设购买足球m个，则可列不等式为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】该题考查了一元一次不等式的应用，根据“不超过1000元购买篮球和足球共15个”，列不等式即可．【详解】解：设购买足球m个，则购买篮球个，则可列不等式为，故选：B．9．（2025·山西吕梁·二模）不等式组的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了解不等式组．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．根据不等式的解集确定不等式组的解集是解题的关键．【详解】解：，解①，得，解②，得，∴，∴不等式组的解集为．故选：B．10．（2025·原平市·一模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下：根据他们的对话得到以下四个结论：①每辆甲车的载客量要比乙车多15人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（

）A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④【答案】B【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，设甲车载客量为人，乙车载客量为人，列出方程组得出甲车载客量为人，乙车载客量为人，即可判断①，设租甲车辆，则租乙车辆，根据题意列出不等式组，得出，进而判断②③④，即可求解．【详解】解：设甲车载客量为人，乙车载客量为人，根据题意得，解得：∴甲车载客量为人，乙车载客量为人，∴每辆甲车的载客量要比乙车多15人，故①正确；设租甲车辆，则租乙车辆，根据题意得，解得：，∴∴方案一：租甲车4辆，则租乙车2辆，方案二：租甲车5辆，则租乙车1辆，∴共有两种租车方案，故②正确；依题意，甲车的费用为元/辆，乙车的费用为元/辆方案一费用：元，方案二费用：元③租车最低费用是2160元，故③正确；④不正确故选：B．二、填空题11．（2025·山西阳泉·模拟预测）2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭发射成功，随后神舟十九号航天员乘组顺利与神舟十八号航天员乘组“太空会师”并入驻“天宫”．某航天兴趣小组预计购进一批“天宫”模型和“长征二号F”模型，已知每个“天宫”模型的进价比每个“长征二号F”模型的进价贵，同样用3000元购进“天宫”模型的数量比“长征二号F”模型的数量少5个．若设每个“长征二号F”模型的进价为元，则可列方程为．【答案】【分析】此题考查了分式方程的应用，设每个“长征二号F”模型的进价为元，则每个“天宫”模型的进价为元，根据题意列出方程即可．【详解】设每个“长征二号F”模型的进价为元，则每个“天宫”模型的进价为元根据题意得，．故答案为：．12．（2025·山西·一模）“里拉斜塔”是一种结构，可以搭建出伸出长度超过木板本身的塔，最上面的木板相对于最下面的木板，几乎是悬浮于空中．如图是某兴趣小组搭建的“里拉斜塔”，每块木板都是完全相同的长方体，根据杠杆平衡原理可知，①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的，按此规律，若每块木板的长度都为，则（填编号）号木板最多可伸出．【答案】25【分析】本题考查了分式方程的应用，设n号木板最多可伸出，根据规律列方程求解即可．【详解】解：设n号木板最多可伸出，∵①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的，∴n号木板最多伸出自身长度的，由题意，得，解得，经检验符合题意且是原方程的解，所以第25号木板最多可伸出．故答案为：25．13．（2025·山西朔州·一模）2025年春晚吉祥物“巳（sì）升升”，是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A款吉祥物的单价为元．【答案】【分析】本题考查了分式方程的应用，设A款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元，根据“顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同”列出分式方程，解方程即可得解．【详解】解：设A款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元，由题意可得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，故答案为：．14．（2025·山西阳泉·二模）随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．如图，小明在距离某站牌处拿出手机查看了公交车到站情况，发现最近一辆公交车还有到达该站牌处．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明的最小平均速度为．【答案】0.8【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明的平均速度为，根据题意列出不等式求解即可．【详解】解：设小明的平均速度为，根据题意得：，解得，，所以，小明的最小平均速度为．故答案为：0.8．15．（2025·山西吕梁·一模）若点在第四象限，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了点所在的象限、一元一次不等式组的应用，熟练掌握平面直角坐标系中，第四象限内的点的横坐标大于，纵坐标小于是解题关键．根据平面直角坐标系中，第四象限内的点的横坐标大于，纵坐标小于建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】解：点在第四象限，，解得：，故答案为：．三、解答题16．（2025·山西·模拟预测）【热点素材】智慧农业正以迅猛的速度对传统农业进行智能化改造和升级．某镇计划引进甲、乙两种新型东方红辣椒无人直播机进行田间作业，两种机器每天都工作8小时，每台甲型号直播机比每台乙型号直播机每天多播种20亩，同样播种240亩的辣椒，乙型号直播机所用的时间是甲型号直播机所用时间的倍．(1)求甲型号直播机每天工作8小时的播种面积．(2)某镇计划共租用20台甲、乙两种型号的直播机在两天时间内完成全镇2000亩的辣椒播种任务，则至少租用甲型号直播机多少台？【答案】(1)甲型号直播机每天工作8小时的播种面积为60亩(2)至少租用甲型号直播机10台【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出分式方程与不等式是解题的关键；（1）设甲型号的直播机每天8小时的播种面积为亩，则乙型号的直播机每天8小时的播种面积为亩．根据乙型号直播机所用的时间是甲型号直播机所用时间的倍，列出分式方程，解方程，即可求解．（2）设租用甲型号直播机台，则租用乙型号直播机台，根据题意列出不等式，求得最小整数解，即可求解．【详解】（1）解：设甲型号的直播机每天8小时的播种面积为亩，则乙型号的直播机每天8小时的播种面积为亩．根据题意得．解得．经检验，是原分式方程的解．答：甲型号直播机每天工作8小时的播种面积为60亩（2）设租用甲型号直播机台，则租用乙型号直播机台根据题意得解得．答：至少租用甲型号直播机10台17．（2025·山西·模拟预测）为推动绿色发展，我国大力发展新能源，光伏发电就是其中一种，光伏发电是利用半导体界面的光生伏特效应而将太阳能直接转变为电能的一种技术．现有一光伏发电厂经技术改良，每天的发电量比原来提高，现在发电千瓦比原来发电千瓦少用小时，求该光伏发电厂原来平均每小时的发电量．【答案】千瓦【分析】本题考查了分式方程的应用，设该光伏发电厂原来平均每小时发电千瓦，根据“现在发电千瓦比原来发电千瓦少用小时”，列出方程，即可求解．【详解】解：设该光伏发电厂原来平均每小时发电千瓦，根据题意可得，解得：，经检验，是原方程的解，且符号题意，故该光伏发电厂原来平均每小时的发电量为千瓦．18．（2025·山西吕梁·二模）电动垂直起降飞行器凭借其独特的电动化与垂直起降技术，开辟了全新的空中勤模式，极大提升出行效率．在太原开展的交通测试中，从太原武宿国际机场到平遥古城，两地相距约100千米，乘坐电动垂直起降飞行器比乘坐长途大巴少耗时45分钟．经测算，长大巴的速度是电动垂直起降飞行器速度的，请求出电动垂直起降飞行器的速度．【答案】200千米/时【分析】本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系列出分式方程是解题的关键；设电动垂直起降飞行器的速度为千米/时，则长途大巴的速度为千米/时，根据乘坐电动垂直起降飞行器比乘坐长途大巴少耗时45分钟，列出分式方程，解方程并检验即可解答．【详解】解：设电动垂直起降飞行器的速度为千米/时，则长途大巴的速度为千米/时，根据题意，得，解得．经检验，是该分式方程的解，且符合题意．答：电动垂直起降飞行器的速度为200千米/时．19．（2025·山西吕梁·二模）山西省2025年初中学业水平体育考试将足球、篮球、排球列入考试选考项目．某市的足球考试办法规定：场地设置为长，宽，场地四周设置明显的标志线．考试需要按规定往返运球，已知考生的运球路线的总路程均为．考生甲的平均速度是考生乙平均速度的1.25倍，在考试过程中考生甲暂时失去对球的控制，浪费了，但总用时仍比考生乙少，求两位考生的平均速度．【答案】考生甲的平均速度为，考生乙的平均速度为【分析】本题考查了分式方程的应用——行程问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系，是解题的关键．设考生乙的平均速度为，则考生甲的平均速度为.根据运球路线的总路程均为．考生甲的平均速度是考生乙平均速度的1.25倍，在考试过程中考生甲暂时失去对球的控制，浪费了，但总用时仍比考生乙少，列方程解答．【详解】设考生乙的平均速度为，则考生甲的平均速度为．根据题意，得．解得．经检验，是原分式方程的解，且符合实际．所以，．答：考生甲的平均速度为，考生乙的平均速度为．20．（2025·山西吕梁·二模）2025年春节档上映的《哪吒之魔童闹海》一经播出，便引起了极大的反响，票房数据节节攀升，不断刷新记录．为满足消费者需求，某商店用800元购进了一批敖丙手办，用1560元购进了一批哪吒手办，且所购哪吒手办的数量是敖丙手办数量的2倍，单价比敖丙手办低2元．求该商店购进了多少个哪吒手办．【答案】该商店购进了20个哪吒手办【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题中等量关系列出分式方程是解题的关键．设该商店购进了个敖丙手办，则购进了个哪吒手办，根据题意得，解方程进而得到答案．【详解】解：设该商店购进了个敖丙手办，则购进了个哪吒手办，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，（个），∴该商店购进了20个哪吒手办．21．（2025·山西晋中·二模）4月23日至25日，以“培育读书风尚建设文化强国”为主题的第四届全民阅读大会成功在我省太原举办，将全民阅读推上了新高潮．某社区老年活动中心为方便老年人阅读，准备购进A、B两种老年大字书供大家借阅．据了解，用600元购买A书籍的数量比购买B书籍的数量多5本，且B书籍的单价是A书籍单价的倍，求A、B两种书籍的单价．【答案】A种书籍的单价为20元，则B种书籍的单价为24元【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设A种书籍的单价为元，则B种书籍的单价为元，根据用600元购买A书籍的数量比购买B书籍的数量多5本，且B书籍的单价是A书籍单价的倍建立方程求解即可．【详解】解：设A种书籍的单价为元，则B种书籍的单价为元．根据题意，得．解得．经检验是原方程的根，且符合题意，（元）答：A种书籍的单价为20元，则B种书籍的单价为24元．22．（2025·山西大同·模拟预测）（1）计算：．（2）解方程：．【答案】（1）；（2）【分析】本题考查负整数指数幂、含乘方的有理数运算，解分式方程，熟练掌握负整指数幂运算法则、解分式方程的方法是解题的关键．注意：解分式方程要检验根．（1）先求绝对值和计算括号内的，再计算乘方、乘法，最后计算加减法即可；（2）先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可．【详解】解：（1）原式．（2）．方程两边同乘，得．解得．检验：当时，，所以，原分式方程的解为．23．（2025·山西运城·模拟预测）年月日首届具身智能机器人运动会在无锡市惠山区全民健身中心开幕，标志着未来将会有越来越多的家用机器人走进我们的生活．某品牌家用机器人升级改进前后，满电状态下总电量均为．改进后持续工作时长是改进前的倍，且工作状态下改进后比改进前每小时少耗电．求改进后该款家用机器人工作状态下每小时的耗电量．【答案】改进后该款家用机器人工作状态下每小时耗电．【分析】本题考查了分式方程的应用，设改进后该款家用机器人工作状态下每小时耗电，根据题意列出方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．【详解】解：设改进后该款家用机器人工作状态下每小时耗电根据题意得，解得，经检验是原方程的解，且符合题意，答：改进后该款家用机器人工作状态下每小时耗电．24．（2025·山西晋中·三模）某电器商场从厂家购进了A，B两种型号的电烤箱，已知一台型电烤箱的进价比一台B型电烤箱的进价多400元，用7600元购进A型电烤箱和用6000元购进B型电烤箱的台数相同．(1)求一台A型电烤箱和一台B型电烤箱的进价各为多少元？(2)在销售过程中，A型电烤箱因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进B型电烤箱，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当B型电烤箱的售价为2400元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售B型电烤箱的利润为5600元，请问该商场应将B型电烤箱的售价定为多少元？【答案】(1)一台A型电烤箱的进价为1900元，一台B型电烤箱的进价为1500元(2)该商场应将型电烤箱的售价定为1900元【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确得到等量关系是解题的关键．（1）设一台型电烤箱的进价为元，则一台型电烤箱的进价为元，根据题意列分式方程即可解答；（2）设该商场应将型电烤箱在2400元的基础上降价元，根据每天该商场销售B型电烤箱的利润为5600元，列放出即可解答．【详解】（1）解：设一台型电烤箱的进价为元，则一台型电烤箱的进价为元．根据题意，得．解得．经检验，是原方程的解．．答：一台A型电烤箱的进价为1900元，一台B型电烤箱的进价为1500元；（2）解：设该商场应将型电烤箱在2400元的基础上降价元．根据题意，得．解得，．因为力求尽快清空库存，所以应降价500元．（元）．答：该商场应将型电烤箱的售价定为1900元．25．（2025·山西吕梁·二模）全球已进入数字化时代！互联网是，数字空间是．已知人们目前能够实现进入数字空间使用的穿戴设备有设备和设备两种，其中设备的单价是设备单价的，用39万元购买设备比用28万元购买设备能够多购买3件．求两种穿戴设备的单价分别是多少万元．【答案】A，B两种穿戴设备的单价分别是3万元和2.8万元【分析】本题考查分式方程的实际应用，设设备的单价是万元，则设备的单价是万元，根据用39万元购买设备比用28万元购买设备能够多购买3件建立分式方程，求解并检验即可．【详解】解：设设备的单价是万元，则设备的单价是万元．根据题意，得．解这个方程，得．经检验，是原方程的根．（万元），所以，A，B两种穿戴设备的单价分别是3万元和2.8万元．26．（2025·山西运城·二模）口袋公园是城市微更新的一项重要举措，近年太原市充分利用城市的边角地、闲置地“见缝插绿”，让口袋公园成为附近居民休闲的好去处．2024年太原全市范围内（含古交）以新建“街角型和社区型”两种口袋公园为主，其中建设的街角型口袋公园的数量比社区型的数量多13个，一个街角型口袋公园的平均占地面积是一个社区型口袋公园的．已知2024年建设的街角型和社区型口袋公园占地总面积分别是12公顷和公顷，分别求建设一个街角型和一个社区型口袋公园的平均占地面积．【答案】建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷．【分析】本题考查的是分式方程的应用，设建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷，结合题意可得，再解方程即可．【详解】解：设建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷，则，解得：，经检验：是原方程的根，且符合题意；∴，答：建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷．27．（2025·山西临汾·二模）太原地铁1号线贯穿迎泽区和万柏林区，极大地缩短了两区之间的通勤时间．已知小敏从迎泽区的站点A乘坐地铁1号线到万柏林的站点B，全程距离为千米，同时小慧从相同出发点A驾驶私家车前往相同目的地B，所经过的路程相同．地铁1号线的平均速度比私家车的平均速度快千米/小时，且小敏乘坐地铁所用时间是小慧驾驶私家车所用时间的，求太原地铁1号线的平均速度是多少千米/小时？【答案】千米/小时【分析】本题考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键；根据题意列方程求解即可；【详解】解：设太原地铁1号线的平均速度为x千米/小时，则，解得，经检验是原方程的根，且符合题意；答：太原地铁1号线的平均速度为千米/小时．28．（2025·山西晋中·二模）（1）计算：．（2）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：习题1：计算：．解：……………第一步………………第二步…第三步．………第四步习题2：解方程：．解：方程两边同乘，得，…………第一步，…第二步．……………第三步检验：当时，，……第四步∴原方程的解是．……………第五步①习题1的解答过程是从第________步开始出现错误的，习题2的解答过程是从第________步开始出现错误的；②从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程．【答案】（1）（2）①一

二②见解析【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，去绝对值，完全平方差公式，解分式方程和分式加法，计算分式加减法时第一步是通分，解分式方程的第一步是去分母，去分母时要给方程左右两边的每一项都要乘最简公分母，这是解题的关键．（1）利用负整数指数幂，去绝对值，完全平方差公式的运算法则进行求解即可；（2）①根据解分式方程和分式加法计算的步骤一步步检查即可．②按照解分式方程和分式加法计算的步骤进行计算即可．【详解】解：（1）原式．（2）①一

二②习题1：．习题2：方程两边同乘，得．．经检验，当时，．∴原分式方程的解是．29．（2025·山西长治·模拟预测）迎泽大街作为太原的城市主干道，它见证了太原的历史变迁和发展变化，承载着几代人的岁月记忆．某段维护工程由甲、乙两个工程队来完成，已知甲工程队每天维护的长度是乙工程队的1.2倍，甲工程队维护720米所用的天数比乙工程队维护300米所用的天数多2天．(1)甲、乙两个工程队每天各维护多少米？(2)有一段长度为2530米的维护工程，因施工需要，该路段同一时间只能允许一个工程队进行维护．为了不影响市民生活，要求15天内必须完工，求至少需要安排甲工程队维护多少天．【答案】(1)乙工程队每天维护150米，则甲工程队每天维护180米；(2)至少需要安排甲工程队维护10天．【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用．（1）设乙工程队每天维护米，则甲工程队每天维护米，根据“甲工程队维护720米所用的天数比乙工程队维护300米所用的天数多2天”列出分式方程，据此求解即可；（2）设安排甲工程队维护天，则安排乙工程队维护天，根据题意列出不等，据此求解即可．【详解】（1）解：设乙工程队每天维护米，则甲工程队每天维护米，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，，答：乙工程队每天维护150米，则甲工程队每天维护180米；（2）解：设安排甲工程队维护天，则安排乙工程队维护天，根据题意，得，解得，∵为整数，∴的最小值为10，答：至少需要安排甲工程队维护10天．30．（2025·山西运城·模拟预测）随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人打药面积的8倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时．(1)求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人打药的面积．(2)王伯伯种植了220亩玉米，他想用最多两个小时完成对所有玉米地的打药作业．现有两台无人机可供使用，若每个人打药的效率相同，则王伯伯至少还需要多少个人同时打药？【答案】(1)一个人打药的面积为5亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为40亩(2)王伯伯至少还需要27个人同时打药【分析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意；（1）设一个人打药的面积为x亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为亩，由题意易得，然后进行求解即可；（2）设王伯伯还需要y个人同时打药，由题意易得，然后进行求解即可．【详解】（1）解：设一个人打药的面积为x亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为亩，由题意得：，解得：，经检验：是原方程的解，∴，答：一个人打药的面积为5亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为40亩．（2）解：设王伯伯还需要y个人同时打药，由题意得：，解得：；答：王伯伯至少还需要27个人同时打药．31．（2025·山西运城·一模）晋阳高速公路改扩建项目是年山西省级的重点项目，现有一段路由甲、乙两个工程队共同承包修建．其中甲工程队需要修千米，乙工程队需要修千米，已知乙工程队每个月的修建速度是甲工程队的倍，最终乙工程队修建用的时间比甲工程队少用半个月，问甲工程队每个月修建多少千米？【答案】甲工程队每个月修建千米．【分析】本题考查的知识点是分式方程的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程．设甲工程队每个月修建千米，则乙工程队每个月修建千米，根据乙工程队修建用的时间比甲工程队少用半个月，列出分式方程，解方程即可．【详解】解：设甲工程队每个月修建千米，则乙工程队每个月修建千米，根据题意得：，解得：，经检验：是原方程的解，且符合题意．答：甲工程队每个月修建千米．32．（2025·山西·模拟预测）计算及解不等式组(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求解不等式组的解集的知识，掌握相应的求解、运算方法，是解答本题的关键．（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；（2）先求出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，问题得解．【详解】（1）解：原式．（2）解不等式①得．解不等式②得．原不等式组的解集为，33．（2025·山西大同·三模）纪念青春时光、传承校园文化．初三学生毕业之际，某学校计划给同学们定制校徽摆件和校徽钥匙扣作为纪念品．已知定制2个摆件和3个钥匙扣共125元，定制1个摆件比2个钥匙扣贵10元．(1)分别求定制校微摆件和校徽钥匙扣的单价；(2)若学校计划定制校徽摆件和校徽钥匙扣共500个，且定制这两种纪念品的总费用不超过16000元，则最多能定制校徽摆件多少个？【答案】(1)摆件和钥匙扣的单价分别为40元和15元(2)最多能定制校徽摆件340个【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用：（1）设摆件和钥匙扣的单价分别为x元，y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）设定制校徽摆件数量为m个，钥匙扣为个，根据题意列不等式求解即可．【详解】（1）解：设摆件和钥匙扣的单价分别为x元，y元，由题意，得解，得答：摆件和钥匙扣的单价分别为40元和15元．（2）解：设定制校徽摆件数量为m个，钥匙扣为个，由题意，得．解，得．∴m的最大值为340．答：最多能定制校徽摆件340个．34．（2025·山西·一模）截至年月，中国邮政已在全国多个省份、地区开展了无人车配送的试点工作，不仅减少了揽投员的往返次数，还解决了旺季人手短缺的问题．某邮政快递运营区现有名揽投员，为驿站提供快递配送服务．现计划在该运营区试点投放辆无人车，和揽投员组成“工作搭子”已知该运营区旺季期间日均投递总量不低于件，每位揽投员日均投递量是每辆无人车日均投递量的，则旺季期间每辆无人车的日均投递量至少为多少件?【答案】至少为件【分析】本题主要考查一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式是关键．设旺季期间每辆无人车的日均投递量为件，根据数关系列式求解即可．【详解】解：设旺季期间每辆无人车的日均投递量为件，根据题意，得：，解得：．∵为整数，∴的最小值为．答：旺季期间每辆无人车的日均投递量至少为件．35．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考下面是小飞同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．类比分式方程的解法求解简单的分式不等式我们知道，求解分式方程的关键是根据等式的基本性质将分式方程转化为整式方程，求整式方程的解，并检验所得整式方程的解是否是原分式方程的解．那么，能不能类比求解分式方程的思路，对分式不等式进行求解呢？可以进行如下尝试：当时，不等式两边都乘，得，即解得．当时，不等式两边都乘，得，即该不等式组无解．综上所述，分式不等式的解集为．总结：求解分式不等式的关键，是将分式不等式转化为两个一元一次不等式组，分别求解这两个一元一次不等式组，所得两组解集共同组成了原分式不等式的解集．任务：(1)上面小论文中的尝试过程，主要运用的数学思想是．（从下列选项中选出两个即可）A．类比思想

B．统计思想

C．分类讨论思想

D．转化思想(2)请根据论文中的思路方法解分式不等式．【答案】(1)（或或）(2)【分析】（1）根据题意，问题解决中用到了类比思想，分类思想，转化思想，任意选择两个，得到答案为（或或），解答即可．（2）仿照文例方法解答即可．本题考查了数学思想的应用，解不等式组，熟练掌握解不等式组是解题的关键．【详解】（1）解：根据题意，问题解决中用到了类比思想，分类思想，转化思想把分式不等式转化为不等式组解答，故任意选择两个，得到答案为（或或），故答案为：（或或）．（2）解：，当时，不等式两边都乘，得，即该不等式组无解．当时，不等式两边都乘，得，即．解得．综上所述，分式不等式的解集为．36．（2025·山西太原·二模）“太空育种”是种子被宇航员带入太空，经历一段太空环境后，再返回地球进行培育的育种方法，是将辐射、宇航、育种和遗传等学科综合的高新技术．经太空育种后的鲜花花期更长、花朵更鲜艳、价格也较高.我国培育成功的太空育种鲜花“延丹号”山丹丹单价为元盆，“太空玫瑰”单价为元盆．(1)为美化环境，公园计划购买这两种太空育种鲜花共盆，若购买这两种鲜花的总价为元，请计算购买“延丹号”山丹丹和“太空玫瑰”的盆数；(2)若公园购买这两种太空育种鲜花的预算资金只有元，所需购买两种鲜花的总数仍为盆，则最多可购买“太空玫瑰”多少盆？【答案】(1)购买“延丹号”山丹丹盆，购买“太空玫瑰”盆；(2)最多可购买“太空玫瑰”盆．【分析】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程组和不等式．（）设购买“延丹号”山丹丹盆，购买“太空玫瑰”盆，由题意得，然后解方程组即可；（）设购买“太空玫瑰”盆，由题意得，然后解不等式，再检验即可．【详解】（1）解：设购买“延丹号”山丹丹盆，购买“太空玫瑰”盆，由题意，得，解得，答：购买“延丹号”山丹丹盆，购买“太空玫瑰”盆；（2）解：设购买“太空玫瑰”盆，由题意，得，解得，因为为正整数，所以的最大值为，答：最多可购买“太空玫瑰”盆．37．（2025·山西·三模）身体每天消耗的热量主要由碳水化合物和脂肪（不考虑蛋白质及其他有机物）提供．碳水化合物和脂肪分解时所消耗的氧气、生成的二氧化碳、释放的热量三个方面的相关数据如下表：分解的营养物质氧气消耗量/克二氧化碳生成量/克释放热量/千焦1克碳水化合物11.5151克脂肪3345请解答下列问题：(1)研究人员测出小祺在某次运动中平均每分钟消耗氧气2.5克，产生二氧化碳3克，求小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物与脂肪各多少克．(2)已知小祺骑脚踏车每分钟消耗热量20千焦，快走每分钟消耗热量27千焦，小祺某天骑脚踏车和快走共1小时，若要消耗完40克碳水化合物与20克脂肪分解后释放的热量，小祺至少需要分配多少分钟进行快走？（精确到1分钟）【答案】(1)小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物1克，脂肪1.5克(2)小祺至少需要分配43分钟进行快走【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式是关键．（1）设小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物克，脂肪克，由此列二元一次方程组求解即可；（2）设小祺分配分钟进行快走，则分配分钟骑脚踏车，由此列不等式求解，结合题意即可求解．【详解】（1）解：设小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物克，脂肪克，根据题意，得，解得，答：小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物1克，脂肪1.5克．（2）解：设小祺分配分钟进行快走，则分配分钟骑脚踏车，根据题意，得，解得，∵结果精确到1分钟，∴的最小值为43，答：小祺至少需要分配43分钟进行快走．38．（2025·山西晋中·三模）（1）计算：；（2）解不等式组：，并判断这两个数是否为该不等式组的解．【答案】（1）；（2），是该不等式组的解，不是该不等式组的解【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，实数的运算，求特殊角三角函数值，化简二次根式等等，熟知相关计算法则是解题的关键。（1）先计算特殊角三角函数值和化简二次根式，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案；（2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可得到结论．【详解】解：（1）原式．（2）解不等式①，得．解不等式②，得．原不等式组的解集为．是该不等式组的解，不是该不等式组的解．39．（2025·山西·模拟预测）太原滨河自行车专用车道自2021年5月1日投入使用以来，已成为市民骑行健身的打卡地，使自行车销量大增．今年春天，某自行车专营店购进A，B两种品牌的自行车共50辆，A，B两种品牌的自行车进价分别为1000元/辆和750元/辆．在销售过程中发现，A品牌自行车的利润率为，B品牌自行车的利润率为．若将所购进的自行车全部销售完毕后其利润不少于29500元，那么此次最少购进多少辆A品牌自行车．（提示：利润率利润进价）【答案】此次最少购进20辆A品牌自行车【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设购进品牌自行车辆，则购进品牌自行车辆，分别表示出A品牌自行车和B品牌自行车的利润，再根据总利润不低于29500元列出不等式求解即可．【详解】解：设购进品牌自行车辆，则购进品牌自行车辆，根据题意，得：，解得：，因为为正整数，所以的最小值为20，答：此次最少购进20辆A品牌自行车．40．（2025·山西运城·一模）20