五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(吉林专用)10：解直角三角形的实际应用（教师版）

专题10解直角三角形的实际应用1．（2025·吉林长春·中考真题）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（）A．米 B．米C．米 D．米【答案】B【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键．由题意得四边形是矩形，则，那么，再解即可．【详解】解：由题意得，四边形是矩形，∴，∴，由题意得，，∴，∴，故选：B．2．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（）

A．千米 B．千米 C．千米 D．千米【答案】A【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解【详解】解：由题意得：∴千米故选：A3．（2023·吉林长春·中考真题）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案.【详解】解：表示的是地面，表示是图书馆，，为直角三角形，（米）.故选：D.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的概念.4．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．【详解】∵BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵∠ABC=α，∴，故选：D．【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．5．（2021·吉林长春·中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜边AB，求∠BAC的对边，选择∠BAC的正弦，列出等式即可表示出来．【详解】在Rt△ABC中，,即，故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是根据解三角函数的定义，列出方程．6．（2025·吉林·中考真题）综合与实践：确定建筑物的打印模型的高度项目提出：图是某城市规划展览馆．树人中学的打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作打印模型提供数据．项目报告表

时间：2025年5月29日项目分析活动目标测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其打印模型的高度测量工具测角仪、皮尺项目实施任务一测量数据以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图．1．测出测角仪的高．2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角．3．测出测角仪底端D处到展览馆底端B处之间的距离．任务二计算实际高度根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆的高度．（结果精确到1m）（参考数据：，，）任务三换算模型高度将该城市规划展览馆的高度按等比例缩小，得到其打印模型的高度约为________．（结果精确到）项目结果为社团制作城市规划展览馆的打印模型提供数据请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．【答案】该城市规划展览馆的高度为；打印模型的高度约为【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，比例的基本性质，正确理解题意是解题的关键．任务二：先由矩形得到，，然后解即可；任务三：由比例尺等于图上距离比上实际距离求解即可．【详解】解：任务二：由题意得为矩形，∴，，∵在中，∴，∴，答：该城市规划展览馆的高度为；任务三：设打印模型的高度约为，则由题意得：，解得：，答：打印模型的高度约为．7．（2024·吉林·中考真题）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求吉塔的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，）【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意和添加辅助线是解题的关键．先解得到，再解，，即可求解．【详解】解：延长交于点G，由题意得，在中，，∴，在中，，∴，∴，答：吉塔的高度约为．8．（2023·吉林·中考真题）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：填写人：王朵

综合实践活动报告

时间：2023年4月20日活动任务：测量古树高度活动过程【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．

【步骤二】准备测量工具自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．

【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角．测出眼睛到地面的距离．测出所站地方到古树底部的距离．

________．．．【步骤四】计算古树高度．（结果精确到）（参考数据：）请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】．【答案】，【分析】根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可求得的度数，证明四边形是矩形得到，再解直角三角形求得的度数，即可求解．【详解】解：测角仪显示的度数为，∴，∵，，，∴，∴四边形是矩形，，

在中，，∴．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题的关键．9．（2022·吉林·中考真题）动感单车是一种新型的运动器械．图1是一辆动感单车的实物图，图2是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）【答案】点A到CD的距离AE的长度约为88cm．【分析】根据正弦的概念即可求解．【详解】解：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)，∵sin∠ACE=，即sin58°=，∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)，∴点A到CD的距离AE的长度约为88cm．【点睛】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．10．（2021·吉林·中考真题）数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；（2）如图，是经过南、北极的圆，地球半径约为．弦，过点作于点，连接．若，则以为半径的圆的周长是北纬纬线的长度；（3）参考数据：取3，，．小组成员给出了如下解答，请你补充完整：解：因为，，所以（

）（填推理依据），因为，所以，在中，．_______（填“”或“”）．所以北纬的纬线长（填相应的三角形函数值）（）（结果取整数）．【答案】两直线平行，内错角相等；；0.72；27648【分析】由平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．【详解】解：因为，，所以（两直线平行，内错角相等）（填推理依据），因为，所以，在中，．（填“”或“”）．所以北纬的纬线长．（填相应的三角形函数值）（结果取整数）．故答案为：两直线平行，内错角相等；；0.72；27648.【点睛】本题考查了解直角三角形和平行线的性质，解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方法．11．（2025·吉林长春·二模）如图，在坡角为的山坡上有A、B两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据题意可得，则米．【详解】解：在中，，∴米，故选：A．12．（2025·吉林长春·模拟预测）如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至，此时测得点B的俯角为，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．在中，根据正切的定义求解即可．【详解】解：由题意，得，，，∴．故选：B．13．（2025·吉林长春·模拟预测）为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩，也可绕点转动，其底部离地面的距离为米，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为米，若，则此时云梯顶端离地面的高度的长是（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的应用，比较简单，掌握正切的定义是解题的关键．根据的正切可得，而，进而即可求解．【详解】解：在直角三角形中，，，根据题意可得：，，故选：A．14．（2025·吉林长春·二模）如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度（即的长）为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先求出，再解即可．【详解】解：如图，∵四边形是矩形，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴杯中水的最大深度为．故选：B．15．（2025·吉林长春·二模）如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为米，则气球顶部离地面的高度是（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】C【分析】先解直角三角形得，后根据解答即可．本题考查了矩形的判定和性质，仰角的计算，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．【详解】解：根据题意，得到四边形是矩形，故，由得，故,故选：C．16．（2025·吉林长春·二模）如图，小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线（近似的看做直线）与平地面构成的角为．若小明身高1.4米，那么他的风筝高为（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】C【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据题意可知：米，米，，，再根据正弦的定义得出，再表示出即可得出答案，准确构造直角三角形是解题的关键．【详解】解：如图所示，根据题意可知：米，米，，，∴米，∴米，即他的风筝高为米，故选：C．17．（2025·吉林长春·一模）如图为建造楼梯的设计图，虚线为楼梯的倾斜线，与地面的夹角．现在要在楼梯上铺地毯（沿台阶从点铺到点），已知米，则所铺地毯的总长度为（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的应用和平移的性质，根据正切求出的长，再通过平移性质即可求出地毯的长度，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴所铺地毯的总长度为（米），故选：．18．（2025·吉林长春·二模）伪满皇宫博物院位于吉林省长春市宽城区，是一座在溥仪宫廷旧址建筑群基础上建立面成的宫廷遗址型博物馆．其中辑熙楼二楼屋顶为等腰三角形，经测量腰长米，底角，则等腰三角形的高为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据的正弦求解即可．【详解】∵是的高∴∵米，∴（米）．故选：A．19．（2025·吉林长春·二模）如图是梯子两梯腿张开的示意图，米，梯腿与地面的夹角，则梯子顶端离水平地面的高度可表示为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．根据计算，得到答案．【详解】解：∵，∴在中，，∴米，故选：A．20．（2025·吉林长春·模拟预测）某飞机于空中处探测到目标，此时飞行高度米，从飞机上看地面控制点的俯角为，则飞机到控制点的距离为（

）米.A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了解直角三角形，由图得到，利用的正弦即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键．【详解】解：由图可得，，∴，∴，故选：B．21．（2025·吉林长春·一模）如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点，取，，．要使点A、C、E在同一条直线上，那么开挖点离点的距离是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了三角形的外角性质及解直角三角形，解题的关键是判断出是直角三角形．根据三角形的外角性质求出，然后判断出是直角三角形，利用解直角三角形即可求解．【详解】解：，，是直角三角形，开挖点离点的距离：，故选：C．22．（2025·吉林长春·一模）某地正午时，太阳光线与地面形成的夹角为．为了使太阳能板获得最大效率，需将其倾斜角调整为与太阳光线垂直．已知太阳能板的长度为米，此时太阳能板顶端离地面的垂直高度为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握三角函数的定义．由题意得，然后由【详解】解：由题意得，∵，∴，∴，∴（米），故选：．23．（2025·吉林松原·模拟预测）如图①．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休息．如图②所示，遮阳篷长为，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为，当太阳光线与地面的夹角为时，解答下列问题（结果精确到，参考数据：，，）．(1)遮阳篷边缘点A到墙体的距离为____________m．(2)求阴影的长．【答案】(1)4.8(2)【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．（1）根据余弦的定义计算，得到答案；（2）根据正弦的定义求出，进而求出，根据等腰直角三角形的性质求出，进而求出．【详解】（1）解：在中，，∵，∴，故答案为：4.8；（2）解：依题意，四边形为矩形，∴，在中，，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，答：阴影的长约为．24．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，小瑞放学后回家，到小区的门口处时，看到自己家的窗户的仰角，他向前走了后到达点处时，看到自己家窗户的仰角，小瑞的身高，求小瑞家到地面的高度（结果取整数，参考数据：，，）．【答案】【分析】本题考查解直角三角形的应用，连接并延长，交于点，易得出四边形和四边形是矩形，从而得出，，再根据正切的定义得出，，从而即可列出等式，解出，进而即可求出，最后由求解即可．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．【详解】解：如图，连接并延长，交于点，由题意可知，四边形和四边形是矩形，，，在中，，．在中，，，，即，，．答：小瑞家到地面的高度为．25．（2025·吉林四平·模拟预测）如图是某电脑显示器示意图，由显示屏（矩形）和支架组成，显示屏对角线的中点O固定在支架直杆的一端，显示屏可绕点O顺时针或逆时针旋转，已知，．为避免在旋转过程中显示屏与支架平台发生磕碰，求支架直杆的最小值（结果精确到1cm，参考数据：，，）．【答案】支架直杆的最小值约为【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中，根据余弦的定义求出，根据线段中点的定义求出，然后根据当时，旋转过程中显示屏与支架平台刚好不发生磕碰求解即可．【详解】解：在中，∵，．∴，∵点O是的中点，∴，∴当时，旋转过程中显示屏与支架平台刚好不发生磕碰，∴支架直杆的最小值约为．26．（2025·吉林松原·三模）周末，某数学兴趣小组进行实践活动．如图，小明在点处利用测倾器测得古城墙的顶端的仰角，王强站在矩形平台上，在点处利用测倾器测得古城墙顶端的仰角．已知，点在上，点在同一直线上，所有点均在同一平面内，．请利用以上数据，求出该古城墙的高度（结果精确到，参考数据：，tan）．【答案】【分析】设古城墙高度为米，利用矩形性质得到相关线段关系，再结合两个直角三角形（和）中的仰角，根据正切函数表示出对应线段，建立方程求解的高度．本题主要考查了解直角三角形的实际应用（仰角问题），熟练掌握矩形的性质、仰角的概念以及正切函数的定义，通过设未知数建立方程求解是解题的关键．【详解】解：由题意，得，设，则．，在中，，即，∴，解得∴该古城墙的高度约为．27．（2025·吉林松原·模拟预测）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图①为单车实物图，图②为单车示意图，与地面平行，坐垫C可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，求此时坐垫C离地面的高度约为多少厘米？（结果保留整数.参考数据：）【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键；如图，作于H，作地面于P，利用锐角三角函数求出即可解决问题.【详解】解：如图，作于H，作地面于P，由题知，cm，cm，，∴，∴；小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为.28．（2025·吉林通化·模拟预测）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图①所示是一款智能送货机器人，图②是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，求该机器人的最高点F距地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）【答案】【分析】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．过点分别作，垂足为，过点作，垂足为，分别解，，求出的长，进而求出最高点距地面的高度即可．【详解】解：过点分别作，垂足为，过点作，垂足为，则：四边形为矩形，，在中，，∴，∵，∴，∴，∴，∴点到的高度为，∵矩形底座的高为，∴点到底面的高度约为．29．（2025·吉林·二模）图1是吉林市临江门大桥，它是我国桥梁史上的第一座独塔斜拉桥．如图2，是其中一条斜拉索，测得斜拉索底端到桥塔的水平距离，，求斜拉索顶端到桥面的距离的长（结果保留整数）．（参考数据：，，）【答案】斜拉索顶端到桥面的距离约为．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在中，得到，代入数据求解即可．【详解】解：在中，，，∵，∴．答：斜拉索顶端到桥面的距离约为．30．（2025·吉林·一模）如图，坐落于吉林文庙前方的孔子行教像，从与相距的点D处观测塑像顶部A的仰角，观测塑像底部B的仰角，求塑像的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，，）【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，在中，利用正切函数求得，在中，利用正切函数求得，即可根据求得旗杆的高度．【详解】解：由已知得，，在中，，∴，在中，，∴，∴．答：塑像的高度约为．31．（2025·吉林延边·二模）图1是开封市龙亭大殿，龙亭大殿是公园内整个清代建筑群中的主体大殿坐北朝南，殿前是用青石雕刻的蟠龙盘绕的御道．某数学活动小组到龙亭景区测量龙亭大殿的高度，如图2，他们选取的测量点与大殿底部在同一水平线上，级蹬道平台高度为米，在处测得平台的仰角为，顶部的仰角为．根据以上测量数据，请帮助该数学活动小组求出龙亭大殿的高度．（结果精确到米，参考数据：，，，）【答案】米【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得：米，，然后在，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；【详解】解：由题意得：米，，，在中，，（