五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(重庆专用)09：相似和解直角三角形实际问题（教师版）

专题09相似和解直角三角形实际问题（重庆专用）考点1相似1．（2021·重庆·中考）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（

）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9【答案】A【来源】重庆市2021年中考数学真题（A卷）【分析】利用位似的性质得△ABC∽△DEF，OB：OE=1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题．【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．∴△ABC∽△DEF，OB：OE=1：2，∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．故选：A．【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．2．（2021·重庆·中考）如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是（

）A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3【答案】D【来源】重庆市2021年中考数学真题（B卷）【分析】直接利用对应边的比等于相似比求解即可．【详解】解：由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3；△OAB与△OCD的相似比等于；故选D．【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中求两个位似图形的相似比的概念，同时涉及到了位似图形的概念、平面直角坐标系中点的坐标、线段长度的确定等知识；解题关键是牢记相似比等于对应边的比，准确求出对应边的比即可完成求解，考查了学生对概念的理解与应用等能力．3．（2022·重庆·中考）如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（

）A．4 B．6 C．9 D．16【答案】B【来源】2022年重庆市中考数学真题（A卷）【分析】根据周长之比等于位似比计算即可．【详解】设的周长是x，∵与位似，相似比为，的周长为4，∴4：x=2：3，解得：x=6，故选：B．【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．4．（2022·重庆·中考）如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（

）A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9【答案】A【来源】2022年重庆市中考数学真题（B卷）【分析】根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即可求解．【详解】解：∵与位似∴∵与的位似比是1:2∴与的相似比是1:2∴与的周长比是1:2故选：A．【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质和相似三角形的性质．5．（2023·重庆·中考）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（

）A． B． C． D．【答案】B【来源】2023年重庆市中考数学真题（A卷）【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答．【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为，∴相似三角形的对应边比为，故选．【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关键．6．（2023·重庆·中考）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（

）

A．4 B．9 C．12 D．【答案】B【来源】2023年重庆市中考数学真题（B卷）【分析】根据相似三角形的性质即可求出．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，故选：B.【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.7．（2024·重庆·中考）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（

）A． B． C． D．【答案】D【来源】2024年重庆市中考真题（A卷）数学试题【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可．【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是，故选：D．8．（2024·重庆·中考）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（）A． B． C． D．【答案】D【来源】2024年重庆市中考数学试题B卷【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，∴这两个三角形面积的比是，故选：D．考点2解直角三角形实际问题9．（2021·重庆·中考）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i=1：1.25．若，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（

）（参考数据：）A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m【答案】C【来源】重庆市2021年中考数学真题（A卷）【分析】分别解直角三角形和，求出NE和MB的长度，作差即可．【详解】解：∵，DF的坡度i=1：1.25，∴，解得，∴，∴，∵，，∴，∴顶端M与顶端N的高度差为，故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键．10．（2021·重庆·中考）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为，坡顶D到BC的垂直距离米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：；；）A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米【答案】D【来源】重庆市2021年中考数学真题（B卷）【分析】作DF⊥AB于F点，得到四边形DEBF为矩形，首先根据坡度的定义以及DE的长度，求出CE，BE的长度，从而得到DF=BE，再在Rt△ADF中利用三角函数求解即可得出结论．【详解】如图所示，作DF⊥AB于F点，则四边形DEBF为矩形，∴,∵斜坡CD的坡度（或坡比）为，∴在Rt△CED中，，∵，∴，∴，∴，在Rt△ADF中，∠ADF=50°，∴，将代入解得：，∴AB=AF+BF=35.7+50=85.7米，故选：D．11．（2022·重庆·中考）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东．(1)求步道的长度（精确到个位）；(2)点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，）【答案】(1)283米(2)经过点到达点较近【来源】2022年重庆市中考数学真题（A卷）【分析】（1）过作的垂线，垂足为，可得四边形ACHE是矩形，从而得到米，再证得△DEH为等腰直角三角形，即可求解；（2）分别求出两种路径的总路程，即可求解．【详解】（1）解：过作的垂线，垂足为，∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，∴四边形ACHE是矩形，∴米，根据题意得：∠D=45°，∴△DEH为等腰直角三角形，∴DH=EH=200米，∴（米）；（2）解：根据题意得：∠ABC=∠BAE=30°，在中，∴米，∴经过点到达点，总路程为AB+BD=500米，∴（米），∴（米），∴经过点到达点，总路程为，∴经过点到达点较近．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．12．（2022·重庆·中考）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．(1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：）；(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）【答案】(1)湖岸A与码头C的距离为1559米(2)在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船【来源】2022年重庆市中考数学真题（B卷）【分析】（1）过点作垂线，交延长线于点，设，则，，，在中，，即可求出，根据中，即可求出湖岸与码头的距离；（2）设快艇将游客送上救援船时间为分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程=，列出方程，求出时间，再和5分钟进行比较即可求解．【详解】（1）解：过点作垂线，交延长线于点，如图所示，由题意可得：，，米，则，设，则，，，在中，，∴，解得，在中，，∴（米），∴湖岸与码头的距离为1559米；（2）解：设快艇将游客送上救援船时间为分钟，由题意可得：，，∴在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，一元一次方程应用中的行程问题、含30°角的直角三角形的三边关系等知识点，找到等量关系式，构建直角三角形是解答本题的关键．13．（2023·重庆·中考）为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方千米处，点D在点C的正西方千米处，点D在点A的北偏东方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西方向．（参考数据：

(1)求AD的长度．（结果精确到1千米）(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？【答案】(1)AD的长度约为千米(2)小明应该选择路线①，理由见解析【来源】2023年重庆市中考数学真题（A卷）【分析】（1）过点作于点，根据题意可得四边形是矩形，进而得出，然后解直角三角形即可；（2）分别求出线路①和线路②的总路程，比较即可．【详解】（1）解：过点作于点，

由题意可得：四边形是矩形，∴千米，∵点D在点A的北偏东方向，∴，∴千米，答：AD的长度约为千米；（2）由题意可得：，，∴路线①的路程为：（千米），∵，，，∴为等腰直角三角形，∴，∴，由题意可得，∴，∴，，所以路线②的路程为：千米，∴路线①的路程路线②的路程，故小明应该选择路线①．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义，掌握特殊角三角函数值是解本题的关键．14．（2023·重庆·中考）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西方向，B在灯塔C的南偏东方向，且在A的正东方向，米．

(1)求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；(2)甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？（参考数据：，）【答案】(1)2545米(2)能，说明过程见解析【来源】2023年重庆市中考数学真题（B卷）【分析】（1）过点作于点，先根据含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定可得米，再解直角三角形即可得；（2）先解直角三角形求出的长，从而可得的长，再根据时间等于路程除以速度即可得．【详解】（1）解：如图，过点作于点，

由题意得：，，米，米，答：养殖场与灯塔的距离为2545米．（2）解：米，米，则甲组到达处所需时间为（分钟）分钟，所以甲组能在9分钟内到达处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．15．（2024·重庆·中考）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，）(1)求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．【答案】(1)，两港之间的距离海里；(2)甲货轮先到达港．【来源】2024年重庆市中考真题（A卷）数学试题【分析】（）过作于点，由题意可知：，，求出，即可求解；（）通过三角函数求出甲行驶路程为：，乙行驶路程为：，然后比较即可；本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．【详解】（1）如图，过作于点，∴，由题意可知：，，∴，∴，∴，∴（海里），∴，两港之间的距离海里；（2）由（）得：，，，∴，∴，由题意得：，，∴，∴，（海里），∴甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里），∵，且甲、乙速度相同，∴甲货轮先到达港．16．（2024·重庆·中考）如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，）

(1)求的长度（结果精确到千米）；(2)甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？【答案】(1)千米(2)甲选择的路线较近【来源】2024年重庆市中考数学试题B卷【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用：（1）过点B作于E，先求出，再解得到千米，进一步解即可得到千米；（2）过点C作于D，先解得到千米，则千米，再得到千米，千米，最后解得到千米，千米，即可得到千米，千米，据此可得答案．【详解】（1）解：如图所示，过点B作于E，

由题意得，，∴，在中，千米，∴千米，在中，千米，∴的长度约为千米；（2）解：如图所示，过点C作于D，

在中，千米，∴千米，在中，千米，千米，在中，，∴千米，千米，∴千米，千米，∵，∴甲选择的路线较近．17．（2025·重庆·中考）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，）(1)求的长度（结果保留小数点后一位）；(2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？【答案】(1)千米(2)千米【来源】2025年重庆市中考数学试题【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。（1）过点A作于E，过点B作于F，由题意得，，解得到千米，千米，证明四边形是矩形，得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的长；（2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，由题意得，，解得到千米，千米，则千米，设千米，则千米，千米，解得到千米，千米，则千米，由勾股定理得，解方程即可得到答案。【详解】（1）解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F，∴，由题意得，，在中，千米，千米，∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，∴，∴，∴四边形是矩形，∴千米，千米，∴千米，∴千米，答：的长度约为千米；（2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，由题意得，，在中，千米，千米，∴千米，设千米，则千米，千米，在中，千米，千米，∴千米，在中，由勾股定理得，∴，∴或（此时大于的长，舍去），∴千米，答：甲无人机飞离B处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．考点1相似1．（2025·重庆巴蜀中学·三模）如图，在中，，，则与的面积之比为（

）A．2：1 B．9：4 C．2：3 D．4：9【答案】D【来源】2025年重庆巴蜀中学校中考三模数学试题【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．证明，根据，计算求解即可．【详解】解：∵∴∵在中，，∴，∴，故选：D．2．（2025·重庆西大附中·三模）如图，与是点为位似中心的位似图形，已知与的面积比为，若的长为2，则的长为（

）A．8 B．4 C．2 D．6【答案】B【来源】2025年重庆市西南大学附属中学中考三模数学【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的性质求出，得到答案．【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，∴，，∵的周长与的面积比是，∴，∵，∴，故选：B．3．（2025·重庆开州中学·中考模拟）若两个相似三角形的面积之比是1：4，则这两个相似三角形的周长之比是（

）A． B． C． D．【答案】C【来源】重庆市开州中学2025年中考模拟测试数学试题【分析】本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知了两个相似三角形的面积比，即可求出它们的相似比；再根据相似三角形的相似比等于周长比即可得解．【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4，∴两个相似三角形的相似比为1：2，∴这两个相似三角形的周长之比为1：2．故选：C．4．（2025·重庆巴南·二模）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，且，若，则的长度为（

）．A．16 B．14 C．12 D．10【答案】C【来源】2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模数学试题【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的性质可得，据此可得答案．【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，且，∴，∵，∴，故选：C．5．（24-25九下·重庆九十五中·三模）若，它们对应高的比为，那么它们面积的比为（

）A． B． C． D．【答案】B【来源】重庆市第九十五初级中学校2024-2025学年九年级下学期第三次模拟诊断数学试题【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．【详解】解：∵，对应高的比为，∴对应面积的比为，故选：B．6．（24-25九下·重庆一中·二模）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若和的周长之比为，若的面积为4，则的面积为（

）A．6 B．9 C．14 D．25【答案】D【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟数学试题【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据位似图形证明，再由相似三角形面积比等于相似比平方即可求解．【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选：D．7．（2025·重庆西大附中·二诊）如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是（

）A．2 B．5 C．10 D．20【答案】C【来源】2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊数学试题【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质求解即可．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【详解】解：与位似，点为位似中心，相似比为，的周长的周长，∵的周长为5，的周长，故选：C．8．（2025·重庆育才中学·二模）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的周长比为，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【来源】2025年重庆市育才中学校九年级中考二模数学试题【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的周长比等于相似比得到答案．【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形，，．．．与的周长比为，与的相似比为，即．∴．故选：C．9．（2025·重庆巴蜀中学·二模）若两个相似三角形的周长比为，则这两个相似三角形的相似比为（）A． B． C． D．【答案】C【来源】重庆巴蜀中学2025年中考二模数学试卷【分析】本题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为，∴两个相似三角形的相似比为，故选：C．10．（2025·重庆八中·一模）如图，与是以为位似中心的位似图形，若已知，的面积为，则的面积是（）A． B． C． D．【答案】D【来源】2025年重庆市第八中学校中考一模数学试题【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比相似比的平方，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质．【详解】解：∵与是以为位似中心的位似图形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴∵，∴，∵的面积为，∴的面积为，故选：．11．（24-25九下·重庆实验外国语学校·一诊）如图，和是以为位似中心的位似图形，且，的周长是，则的周长是（

）A． B． C． D．【答案】B【来源】重庆实验外国语学校2024-2025学年九年级下学期一诊数学试题【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由和是以为位似中心的位似图形得，进而根据相似三角形的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：∵和是以为位似中心的位似图形，∴，∵，∴相似比为，∴，∴的周长的周长，故选：．12．（2025·重庆开州云枫教育集团·一模）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若位似比为，则与的面积比是（

）A． B． C． D．【答案】C【来源】2025年重庆市开州区云枫教育集团九年级中考一模数学试题【分析】本题考查了位似变换，解题关键是掌握位似变换的相关性质，运用比例解题．先根据位似的性质得到与的位似比为，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．【详解】解：与是位似图形，点为位似中心，，∴与的面积比是，故选：C．13．（24-25九下·重庆育才中学·自主作业一）已知，且的周长为10，则的周长为（

）A．5 B．10 C．20 D．30【答案】C【来源】重庆育才中学2024-2025学年九年级下学期第一次自主作业数学试题【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长比等于相似比是解题的关键．根据“相似三角形周长比等于相似比”列比例式求解即可．【详解】解：∵，∴相似比为，∴，即，解得：．故选C．14．（24-25九下·重庆杨家坪中学教育集团·一质测）如图，四边形与四边形位似，位似中心是，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为（

）A． B． C． D．【答案】B【来源】重庆市杨家坪中学教育集团2024-2025学年九年级下学期第一次质量监测数学试题【分析】本题考查了位似图形的性质，根据相似比等于位似比可得四边形的周长四边形的周长，据此解答即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵四边形与四边形位似，位似中心是，∴四边形与四边形的相似比为，∴四边形的周长四边形的周长，∵四边形的周长为，∴四边形的周长为，故选：．考点2解直角三角形实际问题15．（2025·重庆巴蜀中学·三模）如图，甲、乙两艘海上巡逻艇同时从A岛出发，甲先沿北偏东方向航行140海里到B岛领取物资（领取物资的时间忽略不计），再沿东南方向航行到E岛与乙巡逻艇汇合，E岛恰好在A岛的正东方向．乙巡逻艇从A岛出发后，先沿南偏东方向航行到岸边的C处，再沿海岸线水平向右航行70海里到D处加油，加油完毕后，再沿东北方向航行至E岛．(1)请求出的长度；（结果保留根号）(2)若甲、乙巡逻艇的航行速度都为50海里／小时，且甲、乙巡逻艇恰好同时到达E岛，请问乙巡逻艇在D处加油花了多少小时？（计算结果精确到0.01）（参考数据：，）【答案】(1)的长度为海里(2)乙巡逻艇在D处加油花了小时【来源】2025年重庆巴蜀中学校中考三模数学试题【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键：（1）作于点，分别解，求出的长，进而求出的长即可；（2）作垂足分别为，易得，，，设，易得，解，求出的值，进而求出的长，用甲巡逻艇所用的时间，减去乙巡逻艇不加油到达E岛所用的时间即可得出结果．【详解】（1）解：作于点，由题意，得：，，在中，，∴，，在中，，∴；答：的长度为海里；（2）解：由题意，得：，，作垂足分别为，则：，由（1）可知：，，∴，设，在中，，，∴，在中，，∴，，∴，解得：，∴，，∴乙巡逻艇在D处加油花了（小时）；答：乙巡逻艇在D处加油花了小时．16．（2025·重庆南开中学·模拟）小明和他的宇树机器狗“汪汪”周末准备在湖心公园散步，湖心公园步道如图所示，公园书吧D在湖心公园大门A的西北方向上，儿童游乐场E在公园书吧D的北偏东方向上，湖心公园后门C在儿童游乐场E的正东方向米处，休闲美食区B在公园大门A的东北方向米处．（参考数据：(1)求公园大门A和公园书吧D的距离；（精确到个位）(2)周日上午小明和他的宇树机器狗到达湖心公园大门A，小明为了测试机器狗的性能，设定机器狗沿着路线到达公园后门C，而小明沿着路线步行走到公园后门，小明步行速度是60米／分，宇树机器狗的速度是80米／分，请通过计算说明，机器狗和小明谁先到达后门.【答案】(1)米(2)小明【来源】2025年重庆市南开中学九年级中考数学模拟卷【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）过点D作，过点A作，分别交的延长线于一点，交于一点，交的延长线于一点，证明四边形是矩形，在中，，解得米；在中，解得米；得米，，在中，把数值代入，解得，，（2）结合，得米；再算出（米），再分别求出机器狗所走的路程和机器狗所花费的时间，同理得出小明所花费的时间，因为，故小明先到后门．【详解】（1）解：过点D作，过点A作，分别交的延长线于一点，交于一点，交的延长线于一点，如图所示：∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴，由题意可得，，如图所示：，在中，，即，解得米；在中，即，解得米；∴米；∴米；∴米；在中，，∴，设，则∴∴，，在中，，即解得，经检验：是原分式方程的解，∴（米）；（2）解：由（1）得，，米，米，米；∴（米）∴（米）∴米；∴米；∴（米），在中，，∴∴（米）则机器狗所走的路程为（米）∴机器狗所花费的时间（分），则小明所走的路程为（米）∴小明所花费的时间（分），∵，∴小明先到后门．17．（2025·重庆西大附中·三模）如图，四边形是某公园的休闲步道，经测量，点在点的西南方向，点在点的南偏西方向，相距400米，点在点的北偏东方向，在点的正西方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，，）(1)求的距离（结果保留根号）；(2)小唐和小刘以相同的速度分别去往点，小唐沿的方向步行，小刘沿的方向步行，请问两人谁先到达点，说明理由．（结果精确到0.1）【答案】(1)米；(2)小唐先到达点．理由见解析【来源】2025年重庆市西南大学附属中学中考三模数学【分析】本题考查了解直角三角形的应用．（1）作交的延长线于点，在中，解直角三角形求得米，米，证明是等腰直角三角形，据此求解即可；（2）作交于点，先证明是等腰直角三角形，求得米，在中，求得米，米，再求得小唐和小刘的路程，比较即可求解．【详解】（1）解：作交的延长线于点，由题意得，米，，在中，米，米，∵，，∴是等腰直角三角形，∴米，米，∴米；（2）解：作交于点，由题意得，，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∵米，∴米，在中，，米，米，∴小唐沿的方向步行，路程为米，小刘沿的方向步行，路程为米，∵，∴小唐先到达点．18．（2025·重庆开州中学·中考模拟）某校组织开展研学活动，现有两条线路供大家选择，如图：①；②．经勘测，点在点正东方向，点在点正北方向，且千米；点在点东北方向，点在点南偏东60°方向，且千米．（参考数据：，）(1)求，两地之间的距离；（结果保留根号）(2)甲、乙两班同时从地出发，分别选择研学线路①和线路②．已知甲班的步行速度为3.6千米/小时，且在途径点处参观了1.5小时；乙班的步行速度为3千米/小时，且在途径点处参观了1小时，请计算说明甲班和乙班谁先到达处．（结果精确到0.1）【答案】(1)千米；(2)乙班先到达处．【来源】重庆市开州中学2025年中考模拟测试数学试题【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数是关键．（1）过点作，垂足分别为，求出千米，得到千米，千米，则千米，得到千米，勾股定理即可求出答案；（2）分别求出两个班用的时间，比较后即可得到结论．【详解】（1）解：过点作，垂足分别为，则，∵，∴四边形是矩形，∴千米，在中，千米∴千米，千米，∴千米，在中，千米，∴千米，∴千米，即，两地之间的距离为千米；（2）由题意可得，甲班到达处的时间为：小时，乙班到达处的时间为：小时，∵，∴乙班先到达处．19．（2025·重庆巴南·二模）公园里有一条围绕河CE修建的五边形健身步道．清晨，小屹和爸爸到公园晨练．从B前往D处，有两条线路，如图：①；②．经勘测，点B在点A的正南方向，米，点C在点B的正东方向，米，点D在点C的北偏东方向，点E在点A的东北方向，点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向．（参考数据：，）(1)求AE的长度（结果精确到1米）(2)小屹选择线路①，爸爸选择线路②，小屹跑步速度是110米/分钟，爸爸步行速度是95米/分钟，小屹和爸爸同时从B处出发且始终保持匀速前进，请计算说明小屹和爸爸谁先到达D处？（结果精确到0.1）【答案】(1)的长度是564米(2)小屹先到达D处【来源】2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模数学试题【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是构建直角三角形：（1）过点A作于点H，易得四边形是矩形，推出是等腰直角三角形，勾股定理求出的长即可；（2）解，求出的长，根据时间等于路程除以速度，求出两人的速度，进行比较即可．【详解】（1）解：如图，过点A作于点H，则；由题意知，即，故四边形是矩形，∴米，；∴，即是等腰直角三角形，∴米，由勾股定理得：（米），∴的长度是564米．（2）由（1）知，四边形是矩形，∴米，∴米；∵点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向，∴；在中，，则米，米；∴（米），（米），小屹到达D处的时间为：（分）．爸爸到达D处的时间为：（分）．∵，∴小屹先到达D处．20．（2025·重庆南开中学·二模）如图，A，B，C，D，E分别是某公园同一平面内的五个打卡点，B在A的正东方向，E在A的正北方向，D在A的东北方向且在E的北偏东方向，C在D的正南方向且在B的北偏西方向．经测量A，E两打卡点相距2000米．（参考数据：

）(1)求D，E两打卡点之间的距离（结果保留根号）；(2)早上9点，小王从A点出发以每分钟200米的速度沿路线匀速跑步到D点，再从D点出发坐观光车以每分钟500米的速度沿路线返回A点．已知小王在段上跑步用时是段上跑步用时的2倍，请通过计算说明小王9点45分前能否回到A点（等车上车时间忽略不计，结果保留整数）【答案】(1)米(2)能，理由见解析【来源】2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键．（1）过点作于点，由题意得，分别解即可；（2）如图：延长交于，由题意得：，，，在中，，那么，设，则，则，解，得，则，解得，则，求得，而，即可求解时间．【详解】（1）解：过点作于点，由题意得：，∴，∵∴，∵，∴米，答：D，E两打卡点之间的距离米；（2）解：小王9点45分前能回到A点，理由如下：如图：延长交于，由题意得：，，∴在中，，∴，设，则，∴，∴在中，，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴（分钟），而早上9点，小王出发，则大概9点42分能回到点A，∴小王9点45分前能回到A点．21．（24-25九下·重庆九十五中·三模）如图，早上一渔船以60海里/时的速度从海港出发沿正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，航行2个小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向，同时测得灯塔正东方向的避风港在的北偏东方向上．(1)求海港与灯塔之间的距离；（结果保留根号）(2)天气预报显示12：30台风将登陆渔船所在海域，渔船立即沿方向加速驶向避风港．出于安全考虑，渔船至少需要比台风到达所在海域的时刻提前1个小时抵达避风港，求渔船加速后的最小速度．（结果精确到0.1，参考数据：，，）【答案】(1)海里(2)73.5海里/时【来源】重庆市第九十五初级中学校2024-2025学年九年级下学期第三次模拟诊断数学试题【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．（1）作辅助线，构建直角三角形，设，则，根据30角的正切列式可得的值，确定的长；（2）渔船从早上出发，航行2个小时到达处，天气预报显示台风将登陆渔船所在海域，渔船提前1个小时抵达避风港，即在上航行需要2个小时，根据速度路程可得结论．【详解】（1）解：如图，过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，由题意可知，，，，，，在中，，在中，，，，设，则，，，，，（海里）；答：海港与灯塔之间的距离是海里；（2），，，，∴是等腰直角三角形，，，加速后的最小速度为：（海里/时），答：渔船加速后的最小速度73.5海里时．22．（24-25九下·重庆一中·二模）周末，小红和小亮计划从各自家中出发到城市中央公园的喷泉广场点A集合，然后一起前往正北方向的科技馆点．小红的家在点，小亮的家在点．已知点在点的正东方向，点在点的北偏西方向，距离为，点在点的北偏西方向，点在线段上，且在点北偏东方向，点是线段的中点，且在点的东南方向．（参考数据：，，）(1)求的长度；（结果保留根号）(2)小亮在出发前得知路段因市政施工封闭，于是小亮改道路线前往科技馆，求小亮新路线的路程比原计划路线的路程少多少千米？（精确到）【答案】(1)；(2)小亮新路线的路程比原计划路线的路程少千米【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟数学试题【分析】本题考查了解直角三角形的应用．（1）作于点，求得，，在中，利用正弦函数的定义求得，在中，解直角三角形即可求解；（2）根据，计算即可求解．【详解】（1）解：作于点，如图，由题意得，，，∴，∴，在中，，在中，，；（2）解：由题意得，答：小亮新路线的路程比原计划路线的路程少千米．23．（2025·重庆西大附中·二诊）如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M的正东方向．（参考数据：）(1)求灯塔M到巡逻船航线的距离；（结果保留根号）(2)巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M的设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇前往灯塔M进行检查，预计检查时间为30分钟．同时，巡逻船从B处出发，先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M．已知巡逻船的速度为25海里/小时，小艇的速度为20海里/小时．请通过计算说明巡逻船能否在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M？（近似值精确到0.1）【答案】(1)海里(2)能，见解析【来源】2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊数学试题【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键．（1）过点作交的延长线于点，由题意得：，，，，则，，，解，设，则，解得到，，解得，即可求解；（2）过点作于点O，解，求出，可求小艇从到再检查用时小时，可得为等腰直角三角形，则，那么，由勾股定理得，则，那么用时：小时，由，得到能及时将维修配件送达灯塔M．【详解】（1）解：过点作交的延长线于点，由题意得：，，，，∴，，，在中，，设，则，在中，，∴，解得：，∴海里；（2）解：过点作于点O，在中，，，∴，∴小艇从到用时（小时），而检查用时分钟小时，∴小艇从到再检查用时（小时），由题意得：，∵中，，∴为等腰直角三角形，∴，∴，，∴，∴用时：（小时），∵，∴能及时将维修配件送达灯塔M．24．（2025·重庆育才中学·二模）周末小明和小亮准备去公园景点C放风筝．如图，A，B，C，D为同一平面内的四个景点．已知景点B位于景点A的正北方向500米处，景点D位于景点A的北偏东方向，景点D位于景点B的北偏东方向，景点C位于景点B的东北方向，景点C位于景点D的正北方向．（参考数据：，）(1)求景点C到景点D的距离（结果保留根号）；(2)小明选择路线以的速度前往景点C处，小亮选择路线以的速度前往景点C处．已知两人同时出发且匀速前进，请通过计算说明谁先到达景点C（结果保留整数）．【答案】(1)景点C到景点D的距离约为183米(2)小明先到达景点C【来源】2025年重庆市育才中学校九年级中考二模数学试题【分析】本题考查解直角三角形的应用-方位角问题，正确作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．（1）过点C作交延长线于E，过点D作交延长线于F，先求得米，再解，求得米，米，然后证明四边形是矩形，得米，，最后解，求得米，从而得到米）中由求解；（2）解，求得米，从而得到米，即可求出小明到达景点C要用的时间；再解中，求得米，从而求得米，即可求出小亮到达景点C要用的时间，最后比较两人所用时间即可得出结论．【详解】（1）解：如图，过点C作交延长线于E，过点D作交延长线于F，由题意可得：，，，米，，∵∴∴∴米，在中，（米），（米），∵，，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴四边形是矩形，∴米，，在中，∴∴米，∴（米），∴米，答：景点C到景点D的距离约为183米．（2）解：在中，（米），∴（米），∴小明到达景点C要用的时间为，在中，，米，∴米，∴（米），∴小亮到达景点C要用的时间为，∵，∴小明先到达景点C．25．（2025·重庆巴蜀中学·二模）五月，一年中最美时节，阳光柔软，微风不燥．周日上午，小嘉和爸爸妈妈一起去观云湖湿地公园游玩．如图，小嘉和妈妈在公园大门A处下车，小嘉和妈妈下车后立即沿湖边栈道步行前往观景平台D．同时爸爸沿正西方向行驶到公园停车场B，在停车场停好车后，踏上湖边栈道，步行去观景平台D与小嘉她们汇合．已知：点C在大门A的北偏西方向，距离400米．观景平台D在点C的北偏东方向，距离米，停车场B在观景平台D的东南方向．（参考数据：，）(1)求A与B之间的距离；（结果保留根号）(2)小嘉和妈妈步行的平均速度为50米/分钟，若爸爸步行的平均速度为70米/分钟，爸爸能否比小嘉和妈妈先到达平台D？（结果保留一位小数）【答案】(1)(2)爸爸不能比小嘉和妈妈先到达平台D，理由见解析【来源】重庆巴蜀中学2025年中考二模数学试卷【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键：（1）如图，过作于，过作于，过作于，再利用，，，利用三角函数解答即可；（2）分别计算小嘉和妈妈步行的时间与爸爸步行的时间，再比较即可.【详解】（1）解：如图，过作于，过作于，过作于，结合题意可得：四边形是矩形，∴，，在中，，，∴，，在中，，，∴，，∴，，在中，，∴，∴.（2）解：由题意可得：，∴小嘉和妈妈步行的时间为（分钟），在中，，，∴，∴爸爸步行的时间为（分钟）；∴爸爸b不能比小嘉和妈妈先到达平台D.26．（2025·重庆八中·三模）今年校庆期间，小南和小开相约从宿舍大门出发去参观学校的津之南美术馆．如图，小南选择路线1：，小开选择路线．经勘测，A，D，E三点共线，且点，点在点的北偏东方向上，点在点的正西方向，且在点的北偏西方向；点在点的正北方向，且在点的正东方向，所有点A，B，C，M，D，E都在同一平面内．测量得知，点恰好为中点，米，米．(1)求A，E两地之间的距离（结果保留根号）；(2)已知小南的速度为每分钟50米，小开的速度为每分钟60米，小南和小开同时从宿舍大门A出发沿着各自选择的路线匀速前往津之南美术馆M，请通过计算时间说明他们俩谁先到达M（时间精确到0.1）？（参考数据：）【答案】(1)米(2)小开先到达M【来源】2025年重庆市第八中学校九年级中考三模数学试题【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定和性质：（1）作于N，交于H，先证四边形是矩形，推出．设，则，利用锐角三角函数解和求出x的值，进而求出，再解即可；（2）通过解直角三角形分别计算出和的长度，再结合二人速度求出二人所用时间，比较大小即可．【详解】（1）解：如图，作于N，交于H，由题意知，，，四边形是矩形，．设，则，在中，，在中，，，解得，即，，，在中，，A，E两地之间的距离为米；（2）解：在中，，由（1）知四边形是矩形，，在等腰中，，，，（米），（米），小南所用时间为：（分钟），小开所用时间为：（分钟），，小开先到达M．27．（2025·重庆八中·一模）如图，是某动物园入口，是入口附近的三个展区．小明和小华相约从入口一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．如图是路线平面示意图，已知展区在起点的东北方向，小明从起点出发沿正北方向走了米到展区，在展区参观分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区，小华从起点出发向正东方向走到展区，在展区参观分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区．（参考数据：，，）(1)求的长度；（结果精确到米）(2)已知小明的平均速度为米分钟，小华的平均速度为米分钟，，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区？（结果精确到）【答案】(1)米(2)小华先到【来源】2025年重庆市第八中学校中考一模数学试题【分析】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．（）过点作于点，则，故有为等腰直角三角形，，从而求出，又米，然后用线段和差即可求解；（）过点作延长线于点，求出，在中，，，则，在中，，，所以，，然后求出所花时间，再比较即可．【详解】（1）解：过点作于点，则，由题意得：，米，∴，∴为等腰直角三角形，，∴，即，∴米，∴（米），∴（米），答：的长度约为米；（2）解：如图，过点作延长线于点，在中，，米，∴米，在中，，（米），∴（米），在中，，（米），∴（米），（米），∴米，∴小明所花时间：（秒），小华所花时间：（秒），∵，∴小华先到达展区．28．（24-25九下·重庆实验外国语学校·一诊）如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在A点登船，沿水路游览沿途风光：路线二：先坐观光车从A至B，沿途游览，再在B点登船，沿水路游览沿途美景，已知点C在点A的东北方向，点C在点B的北偏东方向，点B在点D的南偏西方向，点D在点C的南偏东方向，相距20千米．（参考数据：，，）(1)求的距离（结果保留根号）；(2)小聪和小明同时从点A出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船的速度为20千米/小时，观光车的速度为15千米/小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点，说明理由．（结果精确到）【答案】(1)千米(2)小明先到达点【来源】重庆实验外国语学校2024-2025学年九年级下学期一诊数学试题【分析】本题考查了解直角三角形的应用、平行线的性质、三角形的内角和定理等知识，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．（1）过点作，交延长线于点，先在中，解直角三角形可得的长，再在中，解直角三角形可得的长，然后根据计算即可得；（2）过点作，交延长线于点，交于点，过点作于点，先根据平行线的性质、三角形的内角和定理可得，再在中，解直角三角形可得的长，在中，解直角三角形可得，的长，然后根据两条路线的长度和速度计算时间，由此即可得．【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于点，由题意得：，，千米，在中，千米，千米，在中，千米，则千米，答：的距离为千米．（2）解：如图，过点作，交延长线于点，交于点，过点作于点，由题意得：，，，∴，∴，由（1）可知，，∴，在中，千米，千米，在中，千米，千米，∴千米，在中，千米，∴小聪选择路线一所需时间