五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(山西专用)11：圆（学生版）

专题11圆（原卷版）考点1利用圆周角定理及其推论求解1．（2025·山西·中考真题）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（）A． B． C． D．3．（2023·山西·中考真题）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．4．（2022·山西·中考真题）如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（

）A．60° B．65° C．70° D．75°考点2切线的性质定理1．（2021·山西·中考真题）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．2．（2022·山西·中考真题）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．3．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．4．（2020·山西·中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（

）A． B． C． D．考点3求不规则图形面积1．（2023·山西·中考真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（

）．

A． B． C． D．2．（2021·山西·中考真题）如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为（

）A． B． C． D．3．（2020·山西·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，为半径的与相切于点，与相交于点，的延长线交于点，连接交于点，求和的度数．一、单选题1．（2025·山西吕梁·二模）水平放置的曲轴连杆的工作原理示意图如图所示，连杆在电机的带动下绕轴匀速转动，连杆拖动气缸中的活塞做直线运动．已知连杆，连杆，当连杆从位置顺时针运动至连杆与首次相切时，活塞移动的距离为（活塞移动的距离为线段的长度）（）A． B．C． D．2．（2025·山西·模拟预测）如图，半径为2的圆形纸片上有三点，分别沿弦折叠圆形纸片，使折叠后的与都经过圆心，则，围成的阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．3．（2025·山西阳泉·二模）如图，为的直径，为的弦，连接，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．4．（2025·山西长治·三模）如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．5．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，是半圆的直径，点是的中点，连接，，于点．若，，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．6．（2025·山西运城·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．7．（2025·山西吕梁·一模）如图，是的直径，点C在上，点D是弧的中点，连接，若，则的度数为（

）A． B． C． D．8．（2025·山西吕梁·一模）如图，为的直径，C，D是上两点，且，若，则的度数可以表示为（

）A． B． C． D．9．（2025·山西·模拟预测）如图，内接于，是的直径，过点D作的切线与的延长线交于点P．若，则的度数是（

）A． B． C． D．10．（2025·山西运城·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．11．（2025·山西·一模）如图，正八边形内接于，连接，．若的半径为2，则线段，与围成的图形（阴影部分）面积为（

）A． B． C． D．12．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，正五边形的内切圆分别切，于点，．若为优弧上的一点，连接，，则等于（

）A． B． C． D．13．（2025·山西吕梁·一模）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则的长为（

）A． B． C． D．14．（2025·山西大同·一模）如图，在中，，点O在边上，经过点B，交于点D，连接，恰好是的切线．若，，则的长为（

）A． B． C． D．15．（2025·山西·一模）如图，四边形内接于，对角线是的直径，是的切线．若，则的度数为（

）A． B． C． D．16．（2025·山西·三模）如图，在中，，，点是上的一点，以为直径作，交于点，过点作的切线交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．17．（2025·山西运城·模拟预测）如图，四边形内接于为的直径，，点为的中点，过点作的切线与的延长线交于点．若，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．18．（2025·山西朔州·一模）如图，向正六边形外作正方形，连接，交于点，则线段与一定满足的关系为（

）A． B． C． D．19．（2025·山西·模拟预测）平遥推光漆器是山西著名的工艺品，以手掌推出光泽而得名．如图①是平遥推光漆器的一个饰品盒盖，图②是其几何示意图(阴影部分为花朵图案)．已知正六边形的边长为2，分别以正六边形每个顶点为圆心，其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．20．（2025·山西长治·三模）如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（

）A． B． C． D．21．（2025·山西吕梁·二模）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图，这是部分巢房的横截面图，图中全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点，均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（

）A． B．C． D．22．（2025·山西晋中·模拟预测）如图，在中，，先以点C为圆心画弧，使其恰好与边相切于点E，再以边为直径，在BC边的上方作半圆且恰好经过点E．若，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．故选：A．23．（2025·山西·一模）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以为圆心，为半径画，最后以的中点为圆心，为半径画与交于点，若，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C．4 D．24．（2025·山西临汾·一模）如图是某宣传版面的平面示意图，其形状是扇形的一部分，AD和BC都是半径的一部分，小强测得，，，则这块宣传版面的周长为（

）A． B．C． D．25．（2025·山西大同·三模）如图，在矩形中，，分别以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分Ⅱ与阴影部分I的面积差为（

）A． B． C． D．26．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）机械学家莱洛研究发明的“莱洛三角形”是：分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形(如图)．已知一个“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为，则此“莱洛三角形”的面积为（

）A． B． C． D．二、填空题27．（2025·山西晋城·三模）在数学活动课上，老师让同学们测一个残缺圆形工件（如图所示）的半径，实践小组给出了解决方案：在工件圆弧上任取两点，连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，交弦于点，经测量，，则圆形工件的半径为．28．（2025·山西晋中·一模）如图，点是为直径的半圆上一点，连接，将沿直线翻折，翻折后的圆弧恰好经过点．若，则图中阴影部分的面积为．29．（2025·山西大同·二模）如图，已知的直径，，则的长为．30．（2025·山西太原·一模）如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为.31．（2025·山西临汾·二模）如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是．三、解答题32．（2025·山西朔州·一模）如图，是的直径，直线l与相切于点C，连接，于E，的延长线交直线l于点D．(1)试判断和的大小关系，并说明理由；(2)若的半径为2，，求的长．33．（2025·山西太原·二模）如图，内接于，为的直径，D为延长线上一点，作直线，过点O作于点E，交于点F，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．34．（2025·山西·一模）如图，内接于，是的直径，是的平分线，交于点，过点作的切线交的延长线于点．试判断与的位置关系，并说明理由．35．（2025·山西·模拟预测）阅读与思考请阅读以下材料并完成相应的任务．伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理．这个引理的作图步骤如下：①如图，已知，C是弦上一点，作线段的垂直平分线，分别交于点D，于点E，连接．②以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接．引理的结论：．(1)任务一：用尺规完成材料中的作图，保留作图痕迹，并标明字母．(2)任务二：请你完成引理结论的证明过程．36．（2025·山西晋中·一模）阅读与思考圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角．如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角．下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角．如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF．是直径，，（__________）……请你认真阅读以上内容，完成下列任务：任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________；任务二：请结合图2补全上述证明过程；任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________．37．（2025·山西运城·模拟预测）阅读与思考直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线…证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理来证明．添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直．图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，，垂足为O，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，当点B恰好落在上时，，请判断此时与的位置关系并说明理由．小王的解题思路如下：与相切．理由：连接．∵点B恰好落在上，．（依据1），．，，．，（依据2），∴与相切．任务：(1)依据1：_____________________________．依据2：________________________________．(2)在图2中，的半径为6，，求的长．38．（23-24九年级上·山西大同·期中）阅读以下材料，并完成相应的任务：定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．下面是该定理的部分证明过程：已知：如图，与相切于点A，点，在上，连接，，．求证：．证明：连接并延长，交于点，连接．与相切于点A（依据1）是的直径（依据2）

任务：(1)上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：________________________依据2：________________________(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．(3)已知图中的半径2，弦切角，直接写出的长．39．（2025·山西晋中·三模）阅读与思考请认真阅读材料，并完成相应任务．婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，这类四边形被称为“婆罗摩笈多四边形”．我们一起了解这位数学家的研究成果吧！如图1，已知⊙O的内接四边形，对角线于点．婆罗摩笈多发现等于⊙O半径平方的4倍．下面是他的探究思路：于点，．．（依据1）如图2，连接并延长交⊙O于点，连接，则．（依据2）．又，．，．．．……任务：(1)填空：材料中的依据1是指：，依据2是指：；(2)请完成材料中的剩余证明；(3)如图3，⊙M的半径为5，四边形内接于⊙M，且于点，则的长为．40．（2025·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考下面是数学小组研究性学习的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务．在四边形中，．我们把这种有一组对角相等，且都为．另一组对角不相等的四边形称为“垂直四边形”．“善思”小组对“垂直四边形”的性质，展开了探究．初步得到三条性质：①“垂直四边形”对角互补；②“垂直四边形”是圆内接四边形：③“垂直四边形”的对角线的比值（短比长）等于该四边形最小内角的正弦值．性质证明：如图（依据1），，，“垂直四边形”对角互补．如图2、连接，取的中点，连接．，（依据2），四边形内接于以点为圆心，的长为半径的圆，“垂直四边形”是圆内接四边形．如图3，连接相交于点，过的中点作于点，以点为圆心，的长为半径作圆．，．四边形内接于，，．．．．．．任务：(1)材料中的依据1是指___________；依据2是指___________．(2)将材料中第三条性质的证明过程补充完整．(3)如图4，将矩形沿对角线所在直线折叠，点的对应点为点，且交于点，连接交于点．若，请直接写出的值．41．（2025·山西运城·一模）阅读与思考阅读下列材料，完成下面的任务．关于“三角形的内切圆”的研究报告【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有．任务：(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______．(2)如图，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长．(3)如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求．42．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师让同学们运用两个直角三角形构造图形，探究问题．【问题初探】（1）勤思小组的同学构造出的图形，如图1，其中与均为等腰直角三角形，，，，连接，．请判断与的数量和位置关系，并说明理由；【问题再探】（2）慎思小组的同学构造出的图形，如图2，其中与仍然为等腰直角三角形，若，，求的长；【拓展应用】（3）笃思小组的同学构造出的图形，如图3，其中，，连接，，点A，D，E在一条直线上，若，，请直接写出的长度．43．（2025·山西·模拟预测）【创新考法】阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记（部分），请仔细阅读并完成相应任务．等面积法在解题中的应用等面积法是初中几何中的重要解题方法，它一般是利用等面积把几何问题中的线段关系或量与量之间的关系转化为面积关系来解决问题的一种方法．这种方法可以把问题简捷化，提高学习效率．下面是我利用等面积法证明勾股定理的例子．例：如图1，，点在线段上，．记，，．求证：．证明：连接，，过点作边上的高，则．，，．．任务：(1)如图，是的内切圆，半径为，的周长为，则的面积为______．(2)将两个全等的直角三角形按图3所示摆放，其中．参照阅读材料中例题的证明方法，求证：．(3)如图4，在菱形中，对角线，交于点，是上一点，且．若，，则图中阴影部分的面积为______．44．（2025·山西阳泉·模拟预测）毛主席有诗云“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”．这是因为地球围绕地轴自转时，除两个极点以外，每个在地球表面静止的物体相对于地轴来说都是运动的．地球赤道的全长为40076千米（1千米=2里），这就是诗句中“坐地日行八万里”所指的意思．小聪同学计划计算一下我国最北方的城市漠河每日绕地轴旋转大约多少千米，于是他进行了如下数学实践，请阅读并回答问题．实践名称坐地日行几万里实践目的计算我国最北方的城市漠河每日绕地轴旋转大约多少千米方案设计①如图，为地球截面示意图，为地轴，为赤道所在平面，地球的平均半径约为6371千米，即．点是北回归线（北纬）上一点，即；②太阳光线可近似地看作平行线，即；③分别为两点的地平面，即为的切线，切点分别是；④太阳高度角：太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，如；⑤夏至日正午时，太阳光直射北回归线，即点，，三点共线，；⑥夏至日正午时分小聪在漠河某地（点），他利用阳光下的影长测量出当时的太阳高度角············任务：(1)求出点的纬度．(2)结合小聪的方案，计算漠河某地（点）每日绕地轴旋转大约多少千米．（结果保留．参考数据：）45．（2025·山西朔州·二模）如图，内接于，是的直径，是的平分线，交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E．试判断与的位置关系，并说明理由．46．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，是的切线，过点C作于点F．(1)试判断与的数量关系，并说明理由．(2)若，，求直径的长．47．（2025·山西临汾·二模）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点F，连接，过点D作的切线，交于点E．(1)求证：；(2)若的半径为5，，直接写出阴影部分的面积．48．（2025