五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(广西专用)07：二次函数及实际应用（60题）（学生版）

专题07二次函数及实际应用（60题）一、单选题1．（2023·广西·中考真题）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（

）A． B．C． D．2．（2022·广西梧州·中考真题）如图，已知抛物线的对称轴是，直线轴，且交抛物线于点，下列结论错误的是（

）A． B．若实数，则C． D．当时，3．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·广西·中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B． C． D．5．（2022·广西玉林·中考真题）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：①向右平移2个单位长度

②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度

④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2021·广西河池·中考真题）二次函数的图象如图所示，下列说法中，错误的是（

）A．对称轴是直线 B．当时，C． D．7．（2021·广西百色·中考真题）如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（

）A． B．C． D．8．（2021·广西贺州·中考真题）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（）A．或 B．或 C． D．二、填空题9．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则．10．（2022·广西贵港·中考真题）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有个．11．（2021·广西贵港·中考真题）我们规定：若，则．例如，则．已知，且，则的最大值是．12．（2021·广西·中考真题）如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为．三、解答题13．（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．

(1)求证：；(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．14．（2022·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．(1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；(2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；(3)若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2022·广西柳州·中考真题）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．

(1)求b，c，m的值；(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．16．（2022·广西贵港·中考真题）如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若轴交于点E，求的最大值；(3)若以A，P，D为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．17．（2022·广西·中考真题）已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F(1)求抛物线的表达式；(2)求证：∠BOF＝∠BDF：(3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长18．（2022·广西桂林·中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)求CP+PQ+QB的最小值；(3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标．19．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．20．（2022·广西贺州·中考真题）如图，抛物线过点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．21．（2022·广西贺州·中考真题）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品，某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件，若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．(1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；(2)求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？22．（2022·广西·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．(1)求点A，点B的坐标；(2)如图，过点A的直线与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接，设点P的纵坐标为m，当时，求m的值；(3)将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．23．（2022·广西·中考真题）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗，某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图像如图所示．(1)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大?求出最大利润．24．（2022·广西玉林·中考真题）如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D为线段的中点，则能否是等边三角形？请说明理由；(3)过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．25．（2021·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线CA的解析式；（2）如图，直线与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，于点G，若E为GA的中点，求m的值．（3）直线与抛物线交于，两点，其中．若且，结合函数图象，探究n的取值范围．26．（2021·广西百色·中考真题）已知O为坐标原点，直线l：y＝﹣x＋2与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D．（1）求证：AD＝CD；（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝S△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．27．（2021·广西桂林·中考真题）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m）与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，m的值和点C的坐标；（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当时，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．28．（2021·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标．29．（2021·广西贵港·中考真题）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A(－3，0)，B两点，与y轴相交于点C(0，2)，对称轴是直线x＝－1，连接AC．（1）求该抛物线的表达式；（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．30．（2021·广西贺州·中考真题）如图，抛物线与轴交于、两点，且，对称轴为直线．（1）求该抛物线的函数达式；（2）直线过点且在第一象限与抛物线交于点．当时，求点的坐标；（3）点在抛物线上与点关于对称轴对称，点是抛物线上一动点，令，当，时，求面积的最大值（可含表示）．31．（2021·广西柳州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于两点，与y轴交于点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，过点B作，垂足为E，若，求点D的坐标；（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值．32．（2021·广西·中考真题）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．（1）当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，求的取值范围．33．（2021·广西玉林·中考真题）已知抛物线：（）与轴交点为，（在的左侧），顶点为．（1）求点，的坐标及抛物线的对称轴；（2）若直线与抛物线交于点，，且，关于原点对称，求抛物线的解析式；（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点在直线上，设直线与轴的交点为，原抛物线上的点平移后的对应点为点，若，求点，的坐标．四、单选题34．（2025·广西贵港·模拟预测）在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．甲：无论m取何值，都有．乙：若点P平移后的对应点为，则点P移动到点的最短路程为；丙：当时，随着m的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（

）A．只有甲说得对 B．只有乙说得对C．只有甲和乙说得对 D．甲、乙、丙都说得对35．（2025·广西·二模）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．36．（2025·广西防城港·模拟预测）如图是小颖家门口的路灯示意图，为垂直于地面的竖直灯杆（点在地面上），灯杆顶端与灯泡之间用一根曲杆连接，曲杆的形状可看成是一条抛物线的一部分，以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知该拋物线的顶点，竖直灯杆的高度为，灯泡到轴的水平距离为，则灯泡到地面的高度为（

）A． B． C． D．37．（2025·广西崇左·三模）如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则关于x的方程的一个根可能是（

）A． B． C． D．38．（2025·广西梧州·二模）已知点，，在同一个函数的图象上，其中，这个函数可能是（

）A． B． C． D．39．（2025·广西河池·一模）剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美．如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．40．（2025·广西南宁·一模）二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（

）A． B． C． D．41．（2025·广西崇左·一模）将函数的图象平移后得到函数的图象，平移方式正确的是（

）A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位B．向右平移3个单位，再向下平移2个单位C．向左平移3个单位，再向上平移2个单位D．向左平移3个单位，再向下平移2个单位42．（2025·广西南宁·模拟预测）二次函数的图象中，以下性质正确的是（

）A．图象开口向下B．图象的对称轴为直线C．图象向左平移1个单位得到D．当时，随的增大而增大43．（2025·广西来宾·一模）抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．44．（2025·广西南宁·一模）某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（

）A． B． C． D．五、填空题45．（2025·广西来宾·模拟预测）投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，若小西投壶恰好投中，则的长为m．46．（2025·广西南宁·三模）已知点和点在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，是x轴上的一个定点．当最短时，此时抛物线的解析式为．47．（2025·广西南宁·三模）如图，点P是菱形对角线上的一点，，点E，F分别在上，且，分别连接并延长交于点H，G．记，当k的值达到最大时，的长为．48．（2025·广西贵港·一模）如图，在等腰中，，，点M是边上的动点，以为腰作等腰，，连接，若N为的中点，连接，则线段的最小值为．49．（2025·广西崇左·一模）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．斜坡上点处有一棵树，，小球恰好越过树的顶端，那么这棵树的高度为．六、解答题50．（2025·广西来宾·模拟预测）如图，在中，是边上的动点（不与点A，B重合），过点作于点，连接．(1)求证：；(2)设的长为的面积为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(3)结合（2）所得的函数，判断当的长为多少时，的面积最大．51．（2025·广西·一模）已知抛物线过点．(1)求抛物线的解析式．(2)抛物线C如图所示，小正方形的边长均为1个单位长度．①求抛物线C的顶点坐标，并在图中补全平面直角坐标系；②若，是抛物线C上不同的两点，且，求n的值；③图中有一个矩形框（四个顶点的横、纵坐标都是整数），将抛物线C中对应的曲线记为图象G，并将图象G沿y轴竖直向上平移t个单位长度得到图象，当图象在矩形框内（包括边界）时，请直接写出t的取值范围．52．（2025·广西南宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)求抛物线的对称轴；(2)已知当时，函数值的取值范围是．①求和的值；②将该抛物线在间的部分记为图象，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，此时将翻折所得部分与未翻折部分组成的新图象记为．设图象的最高点、最低点的纵坐标分别为，，若，求的取值范围．53．（2025·广西南宁·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)求抛物线的对称轴；(2)若抛物线的顶点恰好在直线上，求它的解析式；(3)在（2）的条件下，抛物线与轴交于点，点为抛物线上的一点，且到轴的距离为3个单位长度，点为抛物线上点之间（不含点）的一个动点，求的取值范围．54．（2025·广西梧州·一模）如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的交点，点A在y轴上，点B的横坐标为5．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线的下方．(1)求点A的坐标；(2)求二次函数的表达式；(3)过P作轴于点M，交直线于点N，设点M的横坐标为m，当时，求m的值．55．（2025·广西贵港·一模）如图，抛物线：，抛物线交轴于点、（点在点的右侧），交轴于点，抛物线与抛物线关于原点成中心对称．(1)求抛物线的函数表达式和直线对应的函数表达式：(2)点是第一象限内抛物线的一个动点，连接、，与相交于点．①作轴，垂足为，当时，求点的的横坐标；②请求出的最大值．56．（2025·广西柳州·二模）“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变）(1)请