五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(福建专用)05：二次函数压轴题综合（学生版）

专题05二次函数压轴题综合（精选60题）一、单选题1．（2025·福建·中考真题）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．2．（2024·福建·中考真题）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（

）A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有3．（2023·福建·中考真题）根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（）A． B．C． D．4．（2021·福建·中考真题）二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则二、填空题5．（2023·福建·中考真题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是．6．（2022·福建·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为．三、解答题7．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点．(1)求的值；(2)已知二次函数的最大值为．①求该二次函数的表达式；②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：．8．（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．(1)求二次函数的表达式；(2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．9．（2023·福建·中考真题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若，且，求证：三点共线；(3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．10．（2022·福建·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．11．（2021·福建·中考真题）已知抛物线与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线过点，求的最小值；（2）已知点中恰有两点在抛物线上．①求抛物线的解析式；②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C．求证：与的面积相等．四、单选题12．（2025·福建厦门·二模）抛物线经过点、、．则下列说法正确的是（

）A．顶点可能在第一象限 B．若，则顶点在第三象限C．顶点不可能在第二象限 D．若，则顶点在第四象限13．（2025·福建福州·三模）下列关于的函数中，当时，函数值随的值增大而增大的是（）A． B．C． D．14．（2025·福建莆田·三模）已知点在二次函数的图象上，且满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．15．（2025·福建福州·三模）已知抛物线与轴交于点，其中．以下四个结论：①；②；③函数的最小值大于；④不等式的解集为．其中正确结论的序号为（）A．①② B．①③ C．②③ D．①④16．（2025·福建福州·二模）在平面直角坐标系中，是拋物线上的两点．若对于，都有，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或17．（2025·福建泉州·二模）已知抛物线经过点，点，将抛物线在A，B之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值记为w，且当时，y的最小值也为w，则m的取值范围为（）A． B．C． D．18．（2025·福建龙岩·一模）已知二次函数的图象经过两点，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．19．（2025·福建漳州·二模）已知抛物线与直线只有一个交点P，且点P在第一象限，若，则m的值可能是（

）A． B． C．3 D．420．（2025·福建福州·二模）已知抛物线上有三点，，．若，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．21．（2025·福建泉州·二模）已知点，，在二次函数的图象上，，，则下列判断正确的是（

）A．不存在实数a，使得B．存在实数a，使得C．无论非零实数a为何值，都有D．无论非零实数a为何值，都有22．（2025·福建泉州·一模）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）A． B． C． D．23．（2025·福建南平·二模）已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为（

）A．4或 B．4或C．4或 D．4或五、填空题24．（2025·福建泉州·二模）抛物线与轴交于点．过点作轴的垂线，若抛物线与直线有两个交点，设其中靠近轴的交点的横坐标为，且，则的取值范围是．25．（2025·福建厦门·二模）已知实数k、m、n，满足，．若m，n异号，则k的取值范围为．26．（2025·福建厦门·二模）已知二次函数，，都在该抛物线上，且，则的取值范围是．27．（2025·福建龙岩·二模）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是．28．（2025·福建宁德·二模）已知二次函数，当时，函数值；当时，．若点，都在函数上，且，则的取值范围是．29．（2025·福建莆田·二模）二次函数的图象过，，三个点．若，则a的取值范围是．30．（2025·福建·一模）已知抛物线，，是抛物线上任意两点，若对于，，都有，则的取值范围为．31．（2025·福建厦门·二模）已知函数，当取不同值时，函数会有不同的图象，它们组成的“图象集”记为．若存在的某个范围，对该范围内的任意，当时，相应的函数图象与（不含的部分）都不相交，则的该范围是．六、解答题32．（2025·福建厦门·二模）太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角。冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天：夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天。设冬至这天正午时刻太阳高度角为，夏至这天正午时刻太阳高度角为．厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线为遮阳棚，为遮阳棚安装在窗户上方的支架，，线段的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚所在的抛物线与抛物线的形状相同．如图2，为小明家的朝南窗户，测得，，窗户的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（的长）．(1)求小明家所需的遮阳棚的跨度；(2)春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米．若，，求d的最大值．33．（2025·福建厦门·二模）项目式学习：人工智能视觉识别项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，目标矩形是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框．概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴、y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数k为图形的纵横比．举例：如图2，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比．【概念理解】（1）如图，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比．（2）如图，铅笔经过计算机识别后的图形为线段，表达式为其目标矩形的纵横比．【联系实际】（3）如图和图，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，C到的距离为5米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）．【应用拓展】（4）为方便救助溺水者，拟在图的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并在图坐标系下求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）．（5）据调查，拱顶离水面最大距离为，该河段水位在此基础上再涨达到最高．当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．

（救生圈大小忽略不计）34．（2025·福建福州·三模）已知二次函数．(1)求证：该二次函数图象必过定点；(2)若，在该二次函数图象上，，求k值；(3)若该二次函数图象与x轴有两个交点，其横坐标分别为，，求证：．35．（2025·福建福州·三模）已知：抛物线．(1)求证：抛物线与轴总有两个交点；(2)若抛物线与轴的交点为均为整数，且，求出的值．(3)在第（2）问的条件下，当时，抛物线上是否存在点，使得是直角三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．36．（2025·福建莆田·三模）平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点．(1)求该二次函数图象的顶点坐标；(2)已知平面内一点，将点向左平移2个单位长度，平移后的对应点在这个二次函数图象上，试求的值．37．（2025·福建三明·三模）图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为轴建立平面直角坐标系．(1)求此抛物线的解析式；(2)当该河段水位再涨达到最高时，有一艘货船它露出水面高，船体宽，需要从拱桥下通过，请通过计算判断该货船是否能顺利通行．(3)为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼．如图3，为了安全，灯笼底部距离水面不小于（此时水面是指（2）中最高水位的水面）；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．请设计悬挂方案，并说明悬挂的灯笼数量最多可以是多少个．38．（2025·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，已知二次函数是常数，．(1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标．(2)若函数图象经过点，当时，；当时，，求的值．39．（2025·福建龙岩·二模）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．(1)求此抛物线的解析式．(2)已知点D是抛物线上位于第三象限内的一个动点，过点D作轴于点E，连接交于点F设点D的横坐标为m．①当时，求m的值．②连接交于点P，连接，设，，．试探究：在点D运动的过程中，S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值；若不存在，请说明理由．40．（2025·福建厦门·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值．41．（2025·福建三明·二模）综合实践：根据以下素材，解决问题．如何确定拱桥形状？问题背景河面上有一座拱桥，对它的形状，同学们各抒己见有同学说拱桥的形状是抛物线，也有同学说是圆弧为确定拱桥的形状，九年级综合实践小组开展了一次探究活动．素材1在正常水位时，小组成员对拱形内水面宽度和拱顶离水面的距离进行了测量并绘制了图．测得拱形内水面宽为40米，拱顶离水面的距离为10米．素材2大雨过后，水位上涨．小组成员再对拱形内水面宽度和拱顶离水面的距离进行了两次测量．发现当拱形内水面宽为36米时，水位（相对正常水位）上涨米；当拱形内水面宽为32米时，水位（相对正常水位）上涨米．素材3如何检验探究过程中提出的假设是否符合实际情况呢？定义：离差平方和是实际观测值与预测值之间差的平方和，反映了基于假设算得的预测值与实际观测值之间的差异．离差平方和越小，说明预测值与实际观测值之间的误差越小，提出的假设与实际情况更为接近．解决问题假设1小组成员首先假设拱桥形状是抛物线．根据素材1建立如图所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式．假设2小组成员又提出拱桥形状可能是圆弧．请根据素材1求出该圆弧的半径．分析判断基于假设1和假设2，请分别计算拱形内水面宽36米和32米时水位上涨的预测值，直接填入下表（数据保留两位小数），并结合素材3分别求出两种假设下数据的离差平方和，判断拱桥更接近哪一种形状．（参考数据：6.4）水面宽36米水面宽32米水位上涨的实际观测值（m）假设1的预测值（m）假设2的预测值（m）42．（2025·福建三明·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．(1)求该二次函数的顶点坐标；(2)若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，的面积是面积的一半，求点的坐标．43．（2025·福建厦门·三模）已知二次函数．(1)若二次函数图象经过点，求该二次函数的解析式；(2)点在二次函数的图象上，且关于原点O对称，连接．①求直线的解析式；②将二次函数的图象向上平移3个单位得到抛物线C，探究直线与抛物线C的交点个数．44．（2025·福建厦门·三模）如图，有一栋底面呈长方形的建筑物，长，宽，墙角有一根木桩，木桩上拴着一只小狗，拴小狗的绳子长为x米．(1)若，当小狗的活动区域面积为时，求绳子长；(2)若，请判断小狗的活动区域面积能否达到，并说明理由．45．（2025·福建宁德·二模）学完二次函数知识后，小明利用抛物线设计了一个如图1所示的公园休憩凉亭，凉亭的支柱为抛物线的一部分，为保护支柱，要求设计时让每个柱脚到屋檐铅垂线的距离不小于．图2是凉亭的截面图，其中抛物线柱脚之间的距离，抛物线柱的最高点离地面的距离为，平屋面离地面的距离为，其一端恰好在抛物线柱上，根据设计要求，柱脚到过屋檐的铅垂线的距离，斜屋面与平屋面的夹角，档板与斜屋面的夹角．(1)在图2所示的平面直角坐标系中，求出抛物线的函数表达式；(2)求平屋面的长；（结果精确到）(3)判断柱脚到过屋檐的铅垂线的距离是否满足设计要求？（结果精确到）（参考数值：，，，）46．（2025·福建泉州·二模）已知：抛物线，其顶点为A，且与y轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线．

(1)当时，①求抛物线的解析式，并直接写出顶点A的坐标．②点D在抛物线上，延长至E使得，若点E落在抛物线上，求D的坐标．(2)动点M在抛物线的对称轴上（M不与A重合），过M作直线垂直于y轴，交于点P（P在对称轴左侧），交于点Q（Q在对称轴右侧）．当点P与点B重合时，若时，求h的值．47．（2025·福建泉州·三模）已知二次函数（b、c是常数）的图象经过，两点．(1)求c的值；(2)令，求当时，y的取值范围．48．（2025·福建莆田·二模）【问题背景】在古代，人们通过观察日出日落时间来确定二十四节气、安排农事活动．某校综合实践小组希望通过建立数学模型来探究2024年某地在冬至日前后昼长的变化规律．【数据收集】研究小组收集了如下几个节气的数据：日期日出时间日落时间白昼时长（日落时间-日出时间）/小时11月7日立冬06：1617：1911.0511月22日小雪06：2617：1410.8012月7日大雪06：3817：1410.6012月22日冬至06：4617：1910.551月6日小寒06：5117：2710.601月21日大寒06：5117：3910.802月4日立春06：4617：5011.07【建立模型】从11月7日开始的每15天记作一个单位时间，记为时间，白昼时长记为y（单位：小时），列出下表，并在直角坐标系中描出表格中各对数值所对应的点，然后连接这些点，画出该函数的图象（如图）．实践小组观察曲线发现，可以用抛物线近似地刻画y与x的关系．x0123456y11.0510.810.610.5510.610.811.07任务1：请求出以点为顶点，且过点的抛物线的解析式；【反思优化】经检验，发现图中有其他的点不在任务1中的抛物线上，存在偏差．小组决定利用以下方法优化函数解析式，减少偏差．选取x为1，2，3，4，5，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与表格中对应y的值之差的平方和S．若S的值越小，则偏差越小．任务2：请求出a的值，使得的值最小；【模型应用】很多智能手机开发了护眼模式，可以识别日出、日落时刻，并在黑夜时长内开启该模式．任务3：请利用任务2中优化后的函数解析式来推测2024年11月7日—2025年2月4日期间手机开启护眼模式时长（即黑夜时长）超过13小时的天数．（白昼时长黑夜时长小时，参考数据：，）49．（2025·福建漳州·二模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且其顶点在直线上．(1)求a的值；(2)直线与x轴交于点D，若，求直线的函数表达式；(3)直线l与抛物线相交于M，N两点，若，试探究直线l是否经过一个定点Q，若经过，求出点Q的坐标；若没有，请说明理由．50．（2025·福建泉州·二模）定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限．(1)求二次函数的表达式；(2)若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积．51．（2025·福建福州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线．(1)求证：当时，抛物线与轴有两个交点；(2)抛物线与轴有两个交点，，其中为正整数，且．①设抛物线与轴交于点，是否能存在成立？若能，求此时的数量关系：若不能，请说明理由；②求证：当为正整数时，．52．（2025·福建龙岩·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点，是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)已知是射线上的两点（点在点的下方），连接．若，求的面积；(3)将抛物线沿直线平移一定长度，使得顶点平移至点，此时的抛物线与轴交于两点，且，求点的坐标．53．（2025·福建厦门·二模）某公园有一个地面喷泉景观区，如图，在景观区内的点处竖直装有水管，地面上、下的长度分别为，，点处连接水泵，点处装有喷头，使其向右喷出抛物线形水柱（简称喷泉）．该抛物线上与点离地高度相同的点记为，喷泉的最大高度（即最高点的离地高度）记为，通常当时喷泉达到最佳观赏比例．小梧用无人机拍摄喷泉景观区．无风时，观测到与射线的夹角为，且此时该喷泉正好达到最佳观赏比例．(1)通常来说，在不考虑水管对水的摩擦和阻力的情况下，水泵能把水从水泵竖直压上去的最大高度近似为该水泵的压水扬程．但实际上，考虑到水管对水的摩擦和阻力，以及若要保持水柱特定形状（如抛物线形），都需要水泵有更大的压水扬程．小桐推断：这个喷泉的水泵的压水扬程为．你同意吗？请说明理由；(2)根据测算，当有风且风力不超过3级时，该喷泉仍保持抛物线形，但受风力影响，喷泉的最大高度是无风时的至，的长度也会改变，表三是测算所得的数据．表三3.203.253.303.353.413.50的长度8.809.009.209.409.6010.00当有风且风力不超过3级时，①判断喷泉是否还可能达到最佳观赏比例，并说明理由；②记喷泉落地点为．无人机从射线正上方且与点水平距离处出发，水平向左飞行，是否会穿进喷泉？请说明理由．（参考数据：，，，）54．（2025·福建南平·二模）已知二次函数．(1)请完善下表，通过描点、连线，在网格图中画出函数图象，利用图象回答：当时，的取值范围是；…00.51………(2)两个不相等