五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(福建专用)09：基本作图和尺规作图问题（35题）（教师版）

专题09基本作图和尺规作图问题（35题）1．（2023·福建·中考真题）阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC,OD，使②分别以C,D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧在③作射线OM，连接CM,根据以上作图，一定可以推得的结论是（

）

A．∠1=∠2且CM=DM B．∠1=∠3C．∠1=∠2且OD=DM D．∠2=∠3【答案】A【分析】由作图过程可得：OD=OC,CM=DM，再结合【详解】解：由作图过程可得：OD=∵DM=∴△COM∴∠1=∠2．∴A选项符合题意；不能确定OC=CM,则∠1=∠3不一定成立，故不能确定OD=DM,故OD∥CM不一定成立，则∠2=∠3不一定成立，故故选A．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．2．（2025·福建·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB<(1)求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD,BC上，点F，H落在(2)若AB=2,AD=4【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）作BD的中垂线交AD于点E，交BC于点G，以EG为直径画圆，交BD于点F,H，即可得到正方形（2）勾股定理求出BD的长，进而求出OD的长，证明△EOD∽△BAD，求出【详解】（1）解：如图，四边形EFGH就是所求作的正方形．由作图可知，OB=OD，∵矩形ABCD，∴AD∥∴∠ADB=∠CBD∴△DOE∴OE=由作图可知，OE=∴四边形EHGF为矩形，∵EG⊥∴四边形EHGF为正方形；（2）由（1）知：OB=OD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A在Rt△ABD中，∴BD∴OD∵EG∴∠DOE又∵∠ODE∴△EOD∴OEAB=∴OE在Rt△EOH中，∴EH∴正方形EFGH的边长为102【点睛】本题考查尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．3．（2024·福建·中考真题）如图，已知直线l1∥l(1)在l1,l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与(2)在（1）的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A,B,C分别在【答案】(1)见解析；(2)△ABC的面积为1或5【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想：（1）先作出与l2的垂线，再作出夹在l1（2）分∠BAC=90°,AB=AC【详解】（1）解：如图，直线l就是所求作的直线．（2）①当∠BAC∵l∥l1∥l2，直线l1与l2间的距离为2，且l与l1间的距离等于∴AB∴S②当∠ABC分别过点A,C作直线l1∴∠AMB∵l∥l1∥l2，直线l1与l2间的距离为2，且l与l∴CN∵∠MAB+∠ABM∴∠MAB=∠NBC∴BM在Rt△ABM中，由勾股定理得∴AB∴S③当∠ACB=90°,CA综上所述，△ABC的面积为1或54．（2022·福建·中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线．(1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠【答案】(1)作图见解析(2)5【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形；（2）根据题意，作出图形，设∠ADB=α，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解BE=rtanα，再判定△ABE≌△CDF，根据BE=DF=rtan【详解】（1）解：如图所示，⊙A即为所求作：（2）解：根据题意，作出图形如下：设∠ADB=α，⊙A∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四边形AEFG是矩形，又AE=∴四边形AEFG是正方形，∴EF=在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD∴∠BAE在Rt△ABE中，tan∠∴BE=∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝∴∠ABE=∠CDF∴△ABE∴BE=∴DE=在Rt△ADE中，tan∠ADE=∴rtanα+∵tanα∴tanα=5-12【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键．5．（2021·福建·中考真题）如图，已知线段MN=a,（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK,AR上，且AB=BC=（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB,CD的中点，求证：直线【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据AB=a，点B在射线AK上，过点A作AB=a；根据等边三角形性质，得AB=BC=AC，分别过点A、（2）设直线BC与AD相交于点S、直线PQ与AD相交于点S'，根据平行线和相似三角形的性质，得ADS'【详解】（1）作图如下：四边形ABCD是所求作的四边形；（2）设直线BC与AD相交于点S，∵DC//∴△SBA∴SA设直线PQ与AD相交于点S'同理S'∵P，Q分别为AB,∴PA=1∴PA∴S'∴S'∴ADS∴S'∴点S与S'重合，即三条直线AD【点睛】本题考查了尺规作图、等边三角形、直角三角形、平行线、相似三角形等基础知识，解题的关键是熟练掌握推理能力、空间观念、化归与转化思想，从而完成求解．一、单选题6．（2025·福建漳州·二模）在Rt△ABC中，∠BAC=90°,∠B=30°，用尺规在AB边上求作点A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查角平分线，垂直平分线的尺规作图，作一个角等于已知角，掌握作图方法是解题的关键．根据角平分线，垂直平分线的性质，及角相等，逐项分析，即可解答．【详解】解：∵∠BAC∴∠ACBA．∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD∴AD=12∴AD=故A正确．B．由垂直平分线可得CD=∴∠BCD=∠B同理可知AD=故B正确．C．有作图可知∠BCD同理可证AD=故C正确．D．无法证明AD=故答案选D．7．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,AC=5，以A为圆心，适当长为半径画弧交AB,AC分别于点D，E两点，再分别以D，E为圆心，以DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AFA．4 B．103 C．3 D．【答案】B【分析】本题考查了尺规基本作图、角平分线、全等三角形和勾股定理等核心知识，熟练掌握5种尺规基本作图、全等三角形和用勾股定理建立方程是解决问题的关键．过G点作GH⊥AB于H点，利用勾股定理计算出AC=12，利用基本作图得到AF平分∠BAC，则根据角平分线的性质得到GH=GC，再证明Rt△AGH≌Rt△【详解】解：过G点作GH⊥AB于∵AB=13,AC=5,∴BC由作图痕迹得AF平分∠BAC，得∠∵∠∴∠C∵在△ACG和△∠CAG∴△ACG∴AH∴BH设CG=x，则在Rt△BHG中，(12-x解得x∴CG故选：B．8．（2025·福建漳州·模拟预测）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于12FG的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于M、NA．∠AED=∠ABCC．BC=AE D．当AC【答案】B【分析】本题主要考查了等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质．根据等腰三角形两底角相等与∠A=36°，得到∠ABC=∠C=72°，根据角平分线定义得到∠ABD=∠CBD=36°，根据线段垂直平分线性质得到EB=ED，得到∠EBD=∠EDB，推出∠EDB=∠CBD，得到DE∥BC，推出∠AED=∠ABC，即可判断A；根据等角对等边得到AD=AE,AD【详解】解：∵△ABC中，AB=AC∴∠ABC由作图知，BD平分∠ABC，MN垂直平分BD∴∠ABD=∠CBD∴∠EBD∴∠EDB∴DE∥∴∠AED=∠ABC∠ADE∴∠AED∴AD=∵∠A∴AD=∵∠BDC∴∠BDC∴BC=∴BC=AE，设ED=x，则AD=a，∴CD=∵DE∴△AED∴EDBC∴xa∴x2∵x>0∴x=即ED=5-当AC=2时，CD∵CD=∴5-∴AD=5-故选：B．二、解答题9．（2025·福建福州·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90,(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在边AB上找一点E，使得∠DEC(2)在（1）的条件下，若tan∠DEC=【答案】(1)见解析(2)CE【分析】（1）尺规作边AD的垂直平分线，得出AD中点点O，以点O为圆心，AD为直径作圆O，圆O交边AB于点E，连接CE，则∠DEC（2）根据∠DEC=∠DAC，得出tan∠DEC=tan∠DAC=23=DCAC，设DC=2x,AC=3x，则BC=4x【详解】（1）解：如图，点E即为所求；理由，∵∠ACB=90°，AD为圆∴点C在圆O上，∵CD=∴∠DEC（2）解：∵∠DEC∴tan∠设DC=2x,∵AB=5∴4x2+∴DC=2,过C作CH⊥则12∴CH=∴AH=∴BH=∵AD为圆O的直径，∴∠DEA∴DE∥∴BE=∴CE=【点睛】该题考查了勾股定理，圆周角定理，平行线分线段成比例，解直角三角形等知识点，解题的关键是正确作出图形．10．（2025·福建厦门·二模）如图，在△ABC中，∠A>90°，点D在BC(1)尺规作图：求作点D；（不写作法，保留作图痕迹）(2)若DC=5AD【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）构造一对共边的相似三角形求解；（2）先根据△ABD∽△CBA，列出比例式ABBC=BDAB=ADAC，设BD=x，再用x表示出【详解】（1）解：如图，点D即为所求作；理由：∵∠C=∠BAD∴△ABD∴ABBC∴BD⋅即点D即为所求作；（2）∵△ABD∴ABBC设BD=∵DC=∴DC=3x，∴BC=∴AB4∴AB∵AB∴AB=2∴2x4x∴AD∴CA⊥【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形求作点，勾股定理的定理与逆定理，解题关键是找准相似三角形求解．11．（2025·福建福州·三模）如图，∠ABC为锐角且AB(1)尺规作图：在∠ABC内部找一点D，使得DA∥BC(2)连接BD，AC，求证：BD，AC垂直且互相平分．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质.（1）以A为圆心，作一个等于∠B的角，用圆规截取DA（2）由（1）证明四边形ABCD为平行四边形，进而证明▱ABCD为菱形，即可证明【详解】（1）解：在∠ABC内部找一点D，如图所示（2）连接CD，∵DA∥BC且∴四边形ABCD为平行四边形，∵AB∴▱ABCD∴BD，AC12．（2025·福建三明·三模）如图，在△ABC中，AB=AC，AB>BC．点D在△ABC外，点(1)求作△BDE(2)若DE交AB于点F，连接CD，分别交AB，BE于点G，H，过点C作CM⊥AB，垂足为M，交BE于点【答案】(1)作图见详解(2)根据题意作图见详解，证明过程见详解【分析】本题主要考查尺规作垂线，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键．（1）运用尺规作垂线，垂直平分线的方法作图即可；（2）根据题意得到BE是CD的垂直平分线，∠ECD=∠EDC，由角的关系得到BE是CD的垂直平分线，∠ECD=∠EDC，可证【详解】（1）解：如图所示，以点B为圆心，以BC为半径画弧，交CB延长线于点P，分别以点P,C为圆心，以大于12连接BQ并延长，则BQ⊥以点B为圆心，以BC为半径画弧，交BQ点D，则BC=BD，连接CD，分别以点C,D为圆心，以大于12CD为半径画弧交于点R，连接BR交AC于点E，则∴EC=∴BC=∴△BDE∴△BDE（2）解：根据题意作图如下，∵△BDE∴BC=∴BE是CD的垂直平分线，∠ECD∴BH⊥CD，CH=∴∠DBH∵AB=∴∠ABC∴∠ABC-∠HBC∴∠EDC=∠ABH∵∠FGD∴∠DFG∴DF⊥∵CM⊥∴DF∥∴∠FDG∴∠ACD∴CD平分∠ACM13．（2025·福建厦门·二模）如图，在△ABC中，∠(1)在AC边上确定一点O，以O为圆心，OC为半径作⊙O，使得⊙O与AB边相切于点(2)已知AC=3，BC=4，在所作的图形中，求【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查了基本作图，勾股定理，切线的性质，切线长性质，熟练掌握性质是解题的关键．（1）根据题意，只需作∠ABC的平分线，与AC的交点就是所求作的圆心O（2）根据勾股定理，切线的性质计算即可．【详解】（1）解：如图：⊙O为所作．（2）解：连接OD，在△ABC中，∵∠ACB=90°，AC∴AB∵AC⊥BC，且点O∴BC为⊙∵AB与⊙O相切于∴BD∴AD设⊙O的半径为r在Rt△AD∴解得：r=43，即⊙14．（2025·福建福州·三模）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD边上一点，AE与BE分别为∠DAB(1)作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O(2)在（1）的条件下，连接OE，当AB∥CD，求证：四边形【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，圆的有关概念，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）先作AB的垂直平分线，找到AB的中点O，再以O为圆心，OA为半径作圆即可；（2）先证明AD∥OE，结合AB∥CD可证四边形AOED是平行四边形，再由【详解】（1）解：如图，⊙O（2）证明：∵AE与BE分别为∠DAB和∠∴∠BAE∵AD∥BC∴∠BAD∴∠BAE∴点E在以AB为直径的圆上．∴在⊙O中，OA∴∠OAE又AE平分∠BAD∴∠OAE∴∠AEO∴AD又AB∥∴四边形AOED是平行四边形，又OA=∴四边形AOED是菱形．15．（2025·福建厦门·二模）如图，在Rt△ABC中，(1)尺规作图：将△ABC绕点B按顺时针方向旋转得到△DBE，使得点C的对应点E恰好落在线段(2)在（1）的条件下，连接AD,∠ABD的平分线BF交AD于点F，连接EF．求【答案】(1)见解析(2)EF【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质；（1）先以B为圆心，BC=6为半径画弧与AB的交点即为E，再分别以B为圆心，AB为半径画弧，以E为圆心，AC=8为半径画弧，两弧交点即为（2）由（1）可得AB=BD=10，AC=DE=8，BC=BE=6，∠C=∠【详解】（1）解：如图所示，△DBE（2）解：如图，∵∠C∴AB=由（1）可得AB=BD=10，AC=DE∴AE=∴AD=∵∠ABD的平分线BF交AD于点F，AB∴AF=∴EF=16．（2025·福建龙岩·二模）如图，已知△ABC中，AB(1)求作⊙O，使圆心O在边BC中点，且⊙O与边AB相切于点(2)求证：AC是⊙O【答案】(1)作图见解析；(2)证明见解析．【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，作垂线，切线的判定与性质，角平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．（1）先作∠BAC角平分线，交BC于点O，然后过O作AB的垂线，以OD（2）过O作OE⊥AC于点E，由⊙O与边AB相切于点D，则OD⊥AB，由作图可知AO【详解】（1）解：如图，⊙O（2）证明：过O作OE⊥AC于点∵⊙O与边AB相切于点D∴OD⊥由作图可知AO平分∠BAC∴OD=∵OD是⊙O∴OE是⊙O∴AC是⊙O17．（2025·福建三明·二模）如图，在△ABC中，AB(1)尺规作图：作∠A的平分线交BC于点D，在AB上截取AE=AC(2)在（1）的条件下，求证：∠C【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据作角平分线与作一条线段等于已知线段的步骤作图即可；（2）先证明△ADE≌△ADC，可得∠AED=∠【详解】（1）解：如图，AD，AE即为所求；；（2）证明：如图，连接DE，∵AE=AC，∠EAD∴△ADE∴∠AED∵∠AED∴∠C【点睛】本题考查的是作已知角的角平分线，作一条线段等于已知线段，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练的作图是解本题的关键．18．（2025·福建福州·二模）如图，在△ABC中，AB(1)尺规作图：求作点D，使得∠DBC(2)在（1）的条件下，若tan∠ACB=【答案】(1)见解析(2)40【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关知识是解题的关键．（1）先作∠ACD=∠ACB，再作∠DBC=∠ACB，（2）设BF交AC于J点，过J点作JT⊥BC于T点，设BC=8a，由等边对等角得到JB=JC，则BT=CT=4a，解直角三角形得到JT=3a，则可求出BJ=JC=5a，证明【详解】（1）解；如图所示，点D即为所求；（2）解：如图所示，设BF交AC于J点，过J点作JT⊥BC于T点，设∵∠JBC=∠∴JB=∴BT在Rt△JCT中，∴JT∴JC∴BJ∵∠DCJ∴△DCJ∴DJ设DJ=5x，则∵△DCJ∴DJDC=解得x=25∴BD∴BD19．（2025·福建·一模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C

(1)在AB下方求作∠ADB，使得∠ADB=45°(2)在（1）的条件下，若E是AB的中点，连接DE并延长交BC于点F，求证：F是BC的中点．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了圆周角定理，正方形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，尺规作图等等，熟知相关知识是解题的关键．（1）过点C作AB的垂线，交AB于O，以O为圆心，OC的长为半径画弧交直线OC于T，以T为圆心，AT的长为半径画弧，以A为圆心，AC的长为半径画弧，二者交于点D，则∠ADB（2）连接DT，可证明EC=ET=EA=EB，则可证明四边形ATBC是正方形，得到AT∥BC，AC=AT，再证明AD=AT=【详解】（1）解：过点C作AB的垂线，交AB于O，以O为圆心，OC的长为半径画弧交直线OC于T，以T为圆心，AT的长为半径画弧，以A为圆心，AC的长为半径画弧，二者交于点D，则∠ADB可证明∠ATB=90°，则由圆周角定理可得∠ADB=1

（2）证明：如图所示，连接DT，由（1）的作图方法可知TA=TD，EC=∵∠ACB=90°，∴EC=∴四边形ATBC是正方形，∴AT∥BC，∵AD=∴AD=又∵EA=∴DE垂直平分AT，∴DE⊥∴DF⊥∵CE=∴点F为BC中点．

20．（2025·福建厦门·三模）在等腰△ABC中，AB=AC，点D(1)尺规作图：在边BC上作一点F，使得点F到AB,(2)在（1）的条件下，连接DE,AF．求证：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查等腰三角形的性质（三线合一）、角平分线的性质与判定、三角形中位线性质、菱形的判定与性质以及尺规作图．解题关键是利用等腰三角形特性确定满足条件的F点，并依据相关几何性质定理完成AF⊥（1）解题思路利用等腰三角形“三线合一”性质或角平分线性质，通过尺规作图作出∠BAC的平分线、BC的中垂线或高，其与$BC$的交点即为到AB、AC距离相等的点F（2）由点F到两边距离相等得AF平分∠BAC，结合等腰三角形三线合一证AF⊥BC；再利用D、E为中点得DE【详解】（1）如图点F即为所求．解法一（作线段BC的中垂线交BC于点F）：解法二（作∠BAC的平分线交BC于点F解法三（以D为圆心，BD为半径作弧交BC于点F）：解法四（过点A作BC的垂线交BC于点F）：解法五（以B和C分别为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧交于点H，连结AH交BC于点（2）解法一：∵点F到AB,∴AF平分又∵∴AF⊥∵点D,E分别为∴∴∠∴解法二：∵点F到AB,∴AF平分又∵∴AF⊥∵在Rt△ABF与Rt△ACF中，点∴∴四边形ADFE为菱形∴解法三：∵点F到AB，∴AF平分又∵AB=AC且点D∴又∵AF平分∴21．（2025·福建泉州·三模）如图，△ABC中，BC=2n，AC(1)在边AC上求作一点D，使得∠CBD(2)在（1）的条件下，求∠ABD【答案】(1)见解析(2)60°【分析】（1）过点B作AC的垂线即可；（2）由（1）知∠CBD=30°，∠C=60°，∠BDC=90°．则CDBC=sin∠CBD【详解】（1）解：如图，点D即为所求，

理由：∵∠C=60°，∴∠CBD（其他方法也可，如下，法2法3

法4）（2）解：如图，由（1）知∠CBD=30°，又∴∠BDC∵CDBC又BCAC∴CDBC又∠C∴△BDC∴∠A∴∠ABD【点睛】该题考查了三角形内角和定理，尺规作图，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出图形．22．（2025·福建泉州·二模）如图，AB⊥直线l，垂足为B，AB=5(1)求作⊙A，使得⊙A与直线BC相切，切点为(2)在（1）的条件下，求点T到直线l的距离．【答案】(1)见解析(2)16【分析】（1）过点A作BC的垂线，垂足为T，再以点A为圆心，AT为半径作圆，则⊙A（2）连接AT，过点T作TH⊥l，垂足为H．在Rt△ATB中，利用三角函数求得AT=3【详解】（1）解：如图，⊙A（2）解：如图，连接AT，过点T作TH⊥l，垂足为∵BT是⊙A∴BT⊥即∠ATB∴∠ATB在Rt△ATB中，sin∠由勾股定理，得BT=∵AB⊥l，∴∠ATB=∠BHT∴∠BTH∴△ATB∴TBHT∴4HT解得HT=∴点T到直线BC的距离为165【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．23．（2025·福建福州·二模）已知矩形ABCD中，E为CD边上一点，连接AE，BE，F为EB上一点，且EF=(1)如图1，作⊙O，满足圆心O在AB上，且⊙O经过点(2)在（1）的条件下，如图2，若点B在⊙O上，求证：BA【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接AF，作线段AF的垂直平分线，交AB于点O，再以点O为圆心，OA的长度为半径画圆即可；（2）连接AF，利用圆周角定理和矩形的性质可证Rt△ADE≌Rt△AFEHL【详解】（1）解：如图所示，⊙O（2）证明：连接AF，∵AB是直径，∴∠AFB=∠∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠AFE∵AE=AE，ED∴Rt△ADE∴∠AED=∠∵CD∥∴∠AED=∠∴∠AEF∴BA=【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，圆周角定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键．24．（2025·福建莆田·二模）问题探究（1）如图1，在四边形ABCD中，点A在直线l上，且BD∥l，求作▱EFGH，使得点E，H在直线l上，边EF，FG，GH分别经过点B，C，D问题解决（2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形ABCD草坪，顶点A，B，C，D处均有一棵荔枝古树，点P处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持4棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由．【答案】（1）图见解析，S▱EFGHS【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．（1）连接AC，过点C作BD的平行线，再过点B、点D分别作AC的平行线，四条线的交点为E、F、G、H，则四边形EFGH即为所求，根据平行四边形的性质可得出S▱（2）连接BD，过点A和C分别作BC的平行线，再连接BP分别交过点A、过点C的直线于点E、F，最后过点D作BP的平行线分别交过点A、过点C的直线于点H、G，则四边形EFGH即为所求．【详解】解（1）如图，▱EFGH∵EH∥BD∥∴四边形BDHE和四边形BDGF均是平行四边形，∴EH=∵直线l与BD间的距离处处相等，FG与BD间的距离处处相等，∴S△ABD=∴S▱∴S▱（2）能实现这一设想，如图，连接BD，过点A和C分别作BC的平行线，再连接BP分别交过点A、过点C的直线于点E、F，最后过点D作BP的平行线分别交过点A、过点C的直线于点H、G，则四边形EFGH即为所求，理由如下：∵EH∥BD∥∴四边形BDHE、四边形EFGH和四边形BDGF均是平行四边形，∴EH=∵直线l与BD间的距离处处相等，FG与BD间的距离处处相等，∴S△ABD=∴S▱∴S▱25．（2025·福建龙岩·一模）如图，AB是⊙O的弦．P是AB(1)过点P作⊙O的切线PC，切点C在直线AB(2)在（1）的条件下，连接AC，BC．求证：【答案】(1)作图见解析；(2)证明见解析．【分析】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定，圆周角定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）连接OP，作OP的垂直平分线交OP于点G，以G为圆心，OG为半径作⊙G，交⊙O于点C，连接OC,（2）连接OB,OC，设∠PCB=α，根据切线的性质，得到∠OCP=90°，进而得到∠【详解】（1）解：连接OP，作OP的垂直平分线交OP于点G，以G为圆心，OG为半径作⊙G，交⊙O于点C，连接OC,由作图可得：∠PCO∴OC⊥∴PC为⊙O（2）解：连接OB,设∠PCB∵PC是⊙O∴∠OCP∴∠OCB∵OB=∴∠BOC在⊙O中，∠∴∠PCB26．（2025·福建南平·二模）如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90∘，点(1)尺规作图：在△ABC的外侧作△CBE，使得(2)在（1）所作的图形中，当AD=2DB时，求【答案】(1)见解析(2)3【分析】本题考查了利用尺作一个三角形，全等三角形的判定与性质综合，解直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识，并能熟练运用求解．（1）法一，利用SSS作全等三角形；法二：利用SAS作全等三角形；法三：通过作一次垂直构造全等三角形；法四：通过作两次垂直构造全等三角形；（2）先利用等腰直角三角形的性质，说明∠CAB=∠CBA=∠ACF=∠BCF=45∘，再设BD=a，可用a表示出AD，接着用【详解】（1）解：作图．法一：作BE=AD,CE=法三：作BE⊥AD,BE=如图所示，△CBE（2）过点C作CF⊥AB，垂足为点∵等腰三角形ABC中，∠ACB∴∠CAB设BD=a，则∴AF∴DF又∵△CBE∴∠CEB∴tan27．（2025·福建泉州·一模）如图，已知∠EAF=27.42°，点C在(1)求作矩形ABCD，使点B在AE上，点D在AF上方；（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接BD交AC于点O．若BC=9.2，求OB的长．（参考数据：sin27.42°≈0.46，【答案】(1)作图见解析(2)OB【分析】本题考查基本尺规作图、矩形性质及解直角三角形求线段长，根据题意，准确作出矩形是解决问题的关键．（1）尺规作图过点C作AE的垂线，再以A为圆心、BC为半径画弧；以C为圆心、BA为半径画弧；两条弧交于点D，则四边形ABCD就是要求作的矩形；（2）根据题意，作出图形，由矩形性质及解直角三角形即可得到答案．【详解】（1）解：如图1所示：∴四边形ABCD就是要求作的矩形；（2）解：如图2所示：∵四边形ABCD为矩形，∴AC=BD，OB=在Rt△ABC中，∠EAF∴sin∠∴AC=20∴OB=28．（2025·福建泉州·一模）如图，在△ACD中，DE=6．点P在DE的延长线上，连结(1)尺规作图：过点A求作CD的平行线，与PC、DP的交点分别为B、F；(2)在（1）的条件下，若点F是DP的中点，AD∥CP．试求【答案】(1)见解析(2)3【分析】本题主要考查角的尺规作图、平行四边形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握角的尺规作图、平行四边形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键；（1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交AC,CD于两点，然后再以点（2）由题意易得四边形ABCD是平行四边形，则有AB=CD，然后可得△PBF【详解】（1）解：AB为所求作的线，所作图形如下：（2）证明：∵AD∥∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∵AB∥∴△PBF∴BF∵点F是DP的中点，∴BF∴BF∵AD∴△AEF∴EF∵DE∴EF29．（2025·福建泉州·一模）如图，已知△ABC，AB=AC(1)求作△ABC的外接圆O(2)若AB=13，BC=10．求【答案】(1)画图见解析(2)169【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，交AD于点O，以点O为圆心，OA的长为半径画圆，则⊙O（2）连接OB，由等腰三角形的性质得BD=CD=12BC=5，即由勾股定理得AD=AB2本题考查了画三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，正确画出图形是解题的关键．【详解】（1）解：如图所示，⊙O（2）解：连接OB，∵AB=AC，∴BD=CD=∴AD=设⊙O的半径为x，则OA∴OD=在Rt△ODB中，∴12-x解得x=∴△ABC外接圆的半径为16930．（2025·福建三明·一模）如图，在△ABC中，∠(1)尺规作图：在边BC上求作点D，使∠ADC(2)在（1）的条件下，若AD是∠BAC的平分线，试判断线段AB与AC【答案】(1)作图见解析(2)AB=2【分析】（1）直接根据垂直平分线的作法作出AB的垂直平分线与BC交于点D即可；（2）根据AD=BD，得出∠BAD=∠B【详解】（1）解：如图，点D即为所求作的点．∵MN垂直平分AB，∴AD=∴∠DAB∴∠ADC（2）解：AB=2∵AD=∴∠BAD∵AD平分∠BAC∴∠CAB∴∠CAB∵∠CAB∴∠B∴AB=2【点睛】本题主要考查了尺规作一个线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握垂直平分线的性质．31．（2025·福建三明·一模）如图，已知△ABC(1)求作四边形BCDE，使得点D在AC上，点E在AB上，且DE∥BC，(2)在（1）所作图形中，若∠A=40°，AD=【答案】(1)画图见解析(2)120°【分析】（1）如图，作∠ABC的角平分线交AC于D，过D作∠ADE=∠ACB，DE与AB的交点为E，则（2）由EB=DE，AD=BE，证明DE=AD，可得【详解】（1）解：如图，作∠ABC的角平分线交AC于D，过D作∠ADE=∠ACB，DE与AB的交点为E，则理由：∵BD平分∠ABC∴∠ABD∵∠ADE∴DE∥∴∠EDB∴∠ABD∴EB=（2）解：∵EB=DE，∴DE=AD∵∠A∴∠A=∠AED∴∠ABD∴∠ADB【点睛】本题考查的是作角平分线，作一个角等于已知角，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练的作图是解本题的关键．32．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，已知∠AOB=90°，点C在射线OB上，OC=23，动点(1)尺规作图：求作Rt△CDE，使得点E在CD的下方，(2)在（1）的基础上，求OE的最小值．【答案】(1)见解析(2)3【分析】本题