五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(安徽专用)16：二次函数压轴题（学生版）

专题16二次函数压轴题（原卷版）1．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点．(1)求该抛物线的对称轴；(2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）．①若，且，比较与的大小；②当时，若是一个与无关的定值，求与的值．2．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．(1)求b的值；(2)点在抛物线上，点在抛物线上．（ⅰ）若，且，，求h的值；（ⅱ）若，求h的最大值．3．（2023·安徽·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．(1)求的值；(2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．（ⅰ）当时，求与的面积之和；（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．4．（2022·安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．5．（2021·安徽·中考真题）设抛物线，其中a为实数．（1）若抛物线经过点，则；（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是．6．（2021·安徽·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线．（1）求a的值；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．一、单选题1．（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，若点为线段上的动点（与，不重合），作射线交抛物线于点，在点的运动过程的最大值为（

）A． B． C． D．不存在二、填空题2．（2025·安徽合肥·二模）羽毛球发球时，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点P到球网的水平距离．某次发球后，击出的羽毛球的飞行高度y（单位：）与水平距离x（单位：）的几组数据如下：水平距离01234竖直高度1.11.61.921.9根据上述信息，回答下列问题：（1）羽毛球飞行的最大高度为；（2）已知球网的高度是，接球一方在球过网后且高度不低于时，可以采用“平抽”技术将球快速击打过网，若球发出后水平向前的速度是，接球者在球过网后可以用“平抽”技术的时长为．（“平抽”技术：快速平直的回球，球的飞行轨迹低平，速度快．）3．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线．（1）当时，抛物线的顶点坐标为；（2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是．4．（2023·安徽合肥·二模）已知函数（m为常数）的图形经过点．（1）．（2）当时，y的最大值与最小值之和为2，则n的值．5．（2025·安徽合肥·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”，其“半值点”为．（1）函数的图象上的“半值点”是．（2）若关于x的函数的图象上存在唯一的“半值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为．6．（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点在抛物线上，点在抛物线上．（1）当时，抛物线的对称轴为直线；（2）当，时，总有，则的取值范围是．三、解答题7．（2025·安徽淮北·三模）已知抛物线L：的系数满足等式．(1)若抛物线L经过点，求的值．(2)若，抛物线还经过另一点，且．①求b的取值范围．②记抛物线的顶点纵标为，求的最小值．8．（2025·安徽蚌埠·三模）已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于点、B两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)已知点P抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标；(3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最大值．9．（2025·安徽宣城·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（a，b，c为常数，且）与x轴交于，两点，与y轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式．(2)P，Q两点均在抛物线上，轴于点D，轴于点E，与y轴交于点F．已知P，Q两点的横坐标分别为t和，且．（ⅰ）分别记和的面积为，，求的最小值．（ⅱ）分别记和的面积为，，若，求t的值．10．（2025·安徽亳州·三模）二级火箭是航天发射中常见的一种火箭类型，其第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某数学兴趣小组受到启发，根据二级火箭的运行路径，运用信息技术设计了一种小球运动模型．如图，小球P从点O处发射，以发射点O为坐标原点，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系．已知小球P飞行轨迹的段为抛物线的一部分，A为小球P飞行轨迹的最高点．小球P在距离地面高度为的点B处开始加速冲击目标C，冲击目标阶段为直线的一部分．(1)求b的值．(2)已知小球P上升阶段在竖直方向上的平均速度为，下降阶段在竖直方向上的平均速度为，冲击目标阶段在竖直方向上的平均速度为，那么小球P从点O发射开始，到击中目标C这一过程中，一共用时多少秒？(3)现要在线段上的点M处设置一个拦截装置，发射小球Q来拦截小球P，小球Q的拦截轨迹为直线的一部分，且与平行．若要在小球P下降阶段（不包含点A）拦截，求出点M的横坐标m的取值范围．11．（2025·安徽阜阳·三模）已知抛物线与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，直线经过点．(1)求A，B两点的坐标；(2)当时，直线与抛物线的对称轴交于点．①若点向上平移2个单位就与点重合，求的值；②若点在第四象限并且在点的上方，记，求的最大值．12．（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．(1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围；(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．13．（2025·安徽合肥·三模）已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点、两点，与轴交于点．(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)已知点抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标：(3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求的最大值．14．（2025·安徽阜阳·二模）随着高产农田项目的推进，新型灌溉方式——喷灌逐步推广，如图1，它比传统的渠道灌溉节省了土地，减少了水资源的浪费．为此，学校数学兴趣小组开展数学项目式实践活动，对某种喷灌系统建立数学模型．如图2，以喷水管所在直线为轴，地面为轴，喷水管的底部为原点建立平面直角坐标系，喷出的水柱最外层的形状为抛物线，轴上的点为水柱的最外落水点．经测量：以点为喷水口，水管高度，喷水管底部点与点的距离为，，在点用标杆测得．(1)求最外层水柱所在抛物线的函数表达式；(2)观察到该喷灌系统可顺、逆时针往返喷洒，但平面旋转角度不超过，且喷出的水可渗透到外，这个喷头最多可灌溉多少平方米土地?(3)同学们把喷水管换成了不同的长度，水压不变，观察到：水柱的最外落水点与点的距离也不同，测量数据如下：喷水管长度1.0m的距离若与成二次函数关系，求：①当喷水管长度为_____时，水柱的最外落水点与点的距离最大；②最大距离为多少米?15．（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点、，且，点是该抛物线上位于，两点之间的动点．(1)当，时，求抛物线的解析式；(2)在（）的条件下，当面积最大时，求点的坐标；(3)设抛物线顶点的横坐标为，当，且时，求证：．16．（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P为抛物线的顶点，直线交x轴于点D．(1)若点C的坐标为．（ⅰ）当点A的坐标为时，求抛物线的顶点坐标；（ⅱ）当时，求直线的解析式；(2)若，，求b的值．17．（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点，若抛物线的对称轴为直线．(1)求的值；(2)若点是抛物线上不与点重合的点，且，求证：点，，三点共线；(3)点，是抛物线上的两点，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），图象上任意两点纵坐标差的最大值记为，若，求的值．18．（2025·安徽合肥·一模）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)若点为线段上任意一点（不与端点重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的垂线交抛物线与点，以为邻边构造矩形．设点的横坐标为，矩形的周长为，求关于的函数表达式；当直线与中函数的图象交点有个时（从左到右依次为），直线与中函数的图象交点有个时（从左到右依次为），且满足，直接写出的值．19．（2025·安徽芜湖·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线为常数，且与轴交于点．(1)若，该抛物线与轴交于点．①求该抛物线与轴的另一个交点的横坐标．②过线段上一点作轴于E，的延长线交抛物线于，若，求的值．(2)已知点在该抛物线上，且直线经过该抛物线的顶点，设与轴，轴所围成的三角形面积为，且，求的最小值．20．（2025·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与直线l：交于点，交x轴正半轴于点B．

(1)求抛物线的函数表达式和点B的坐标；(2)将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，得到平移后的抛物线，直线l与抛物线交于点D．若点P是抛物线上A，B之间（包含端点）的一点，作轴交抛物线于点Q，设点P的横坐标为m．①用含有m的代数式表示线段的长；②连接，，当m为何值时，的面积最大，并求出最大值．21．（2025·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，若抛物线的对称轴为直线．(1)求a的值；(2)若点是抛物线上，且，求证：点C在所在的直线上；(3)点是抛物线上的两点，记抛物线在P，Q之间的部分为图象G（包含P，Q两点），图象G上任意两点纵坐标差的最大值记为h，若，求t的值．22．（2025·安徽安庆·二模）已知二次函数（为常数，且）．(1)若二次图象经过坐标原点，请求出此时函数图象的顶点坐标；(2)二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，当点的纵坐标取到最大值时，求出此时的面积：(3)当时，函数在处取得最大值，请直接写出的范围．23．（2025·安徽合肥·二模）在同一直角坐标系中，抛物线C1：2与抛物线C2：2关于轴对称，C2与轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧交y轴于点D．（1）求A、B两点的坐标；（2）对于抛物线C2：2在第三象限部分的一点P，作PF⊥轴于F，交AD于点E，若E关于PD的对称点E′恰好落在轴上，求P点坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点G，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以A、B、G、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出G、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2025·安徽合肥·二模）已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)当时，求的取值范围；(3)将抛物线向上平移个单位长度，平移后的抛物线与直线相交于（点在点的左边）两点，若，求的最大值．25．（2025·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象经过点，，且与轴交于点．(1)试求此二次函数的解析式；(2)试证明：（其中是原点）；(3)若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此