2026年湖南长沙雅礼中学自主招生数学试卷真题（含答案）

2026年湖南省长沙市雅礼中学理科实验班自主招生数学试卷一、填空题：（每小题5分，共50分）1．计算：_____．2．已知实数满足，则的平方根是_____．3．若，那么的最小值等于_____．4．如图，在中，高和交于点，且，则_____．5．四条边长分别为的梯形的面积是_____．6．已知实数满足的最小值为_____．7．平面上的条直线恰有2011个交点，则的最小值为_____．8．从长为1、2、3、4、5的5条线段中任取3条，能构成钝角二角形的概率是_____．9．如图，在中，，，是内一点，，，，则的面积是_____．10．如图所示，直径为的一个圆盘没有任何滑动的沿一个直径为的铁环的内侧滚动，当圆盘的圆心返回到起始位置时，圆盘已围绕自己的圆心转了_____。二、解答题：11．（10分）已知为正整数，关于的方程的两个实根为，关于的方程的两个实根为，且，求的最小值．12．（10分）已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内交于点，其中一次函数的图象过点和．（1）求反比例函数的解析式；（2）请问在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．13．（15分）如图，是的外接圆，点是它的内心，射线、各交对边于点、，射线、各交于点．求证：．14．（15分）如图，与外切于点，以直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，在轴上方的两圆的外公切线与相切于点，与相切于点，直线与轴交于点，若．（1）求终过三点的抛物线的解析式；（2）若，求证：；（3）如图，设直线（1）中的抛物线相交于、两点，且线段被轴平分，求：当时，的面积．参考答案一、填空题：（每小题5分，共50分）1．解：原式．故答案为：．2．解：已知实数满足，，，的平方根为．故答案为：．3．解：，，不妨设，建立平面直角坐标系，连接，过点作轴于点，如图所示：那么，，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作轴于点，如图所示：，当三点共线时，最短，最小值为，由题意可得：，，故答案为：13．4．解：为锐角三角形，高和在三角形内．高和交于点，．，，又，（AAS），，，．故答案为5．解：给出4条线段分别为1、2、3、4，因为要构成梯形需满足一定条件，如图所示：过点作交于，，，，若，则，，此时不能构成三角形，也就不能组成梯形，同理可得，只有当时，才能组成梯形，过点作，过点作，，，，，，．故答案为：．6．解：实数满足，的符号为两负一正，设，则，由，得．由条件可得，．．，故表达式为．令，则所求式子．证明均值不等式，当时，，，（当仅当时等号成立），由均值不等式，，等号成立当且仅当，即．此时所求式了最小值为，故的最小值为，故答案为：．7．解：，且为整数）条直线在同一平面内两两相交时，最多有个交点，，当时，最大交点数为：，当时，最大交点数为：，的最小值为64．故答案为：64．8．解：从5条线段中任取3条，共有10种可能组合：，，其中能构成三角形的组合有，由勾股定理的逆定理可知：当三角形两短边的平方和等于最长边的平方时，三角形为直角三角形，当三角形中较小的两边的平方和小于第二边的平方时，三角形为钝角三角形，，构成的是钝角三角形，能构成钝角三角形的概率是．故答案为：．9．解：由题意可得：，连接，，为等腰直角三角形，，，，为直角三角形，，，，点在同一直线上，过点作，则，的面积为，故答案为：．10．解：圆盘在铁环内侧滚动时，其圆心的运动轨迹是一个圆，半径为“铁环半径—圆盘半径”，即，圆心轨迹的周长（即圆盘滚动的距离）为，圆盘的周长为，无滑动滚动时，圆盘滚动的距离等于自身转动的弧长，转动圈数为滚动距离圆盘周长，即．故答案为：2．二、解答题：11．解：方程的两个实根为：，方程的两个实根为：，设，当时，，为正整数，，，不符合题意；当时，（不满足题意）；当时，（不满足题意）；当时，为正整数，，，符合题意，，，，为正整数，当时，，此时，解得，当时，，此时，解得，当时，，此时，解得（不符合题意）；当时，，此时，解得（不符合题意）；综上所述，的最小值为165．12．解：（1）⋅次函数的图象过点和，将点代入得：，即①；将代入得：，即②，由①②得：，反比例函数解析式为；（2）在轴上存在点，使为等腰三角形；现由如下：反比例函数解析式为，一次函数解析式为，联立得：，整理得：，解得：，点在第一象限，，，如图，以为圆心，以为半径画圆，交轴于，，即、为等腰三角形，或，以为圆心，以半径画圆，交轴于，，即为等腰三角形，，，过A作轴，交轴于，，，即为等腰三角形，，，，综上所述，在轴上存在点，使为等腰三角形；所有符合条件的点坐标为，．13．证明：如图，是的外接圆，点是它的内心，连接，分别平分，，，，，义，，，．14．（1）解：如图1，、是两圆的公切线，标记点，点，连接、，，，，，在直角三角形，由勾股定理得：，点坐标为足的直径，，，，，点的坐标为，同理可得点的坐标为，设经过三点的抛物线的解析式为，将点、点、点的坐标分别代入得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）证明：，，，，；（3）解