广东省深圳市卓识教育深圳实验部2026届数学高一下期末统考试题含解析

广东省深圳市卓识教育深圳实验部2026届数学高一下期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，向量，，，则向量可以表示为（）A．B．C．D．2．已知函数，其中为整数，若在上有两个不相等的零点，则的最大值为()A． B． C． D．3．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）A． B．C． D．4．在中，角的对边分别是，若，且三边成等比数列，则的值为（）A． B． C．1 D．25．将一个底面半径和高都是的圆柱挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，剩余部分的体积记为，半径为的半球的体积记为，则与的大小关系为()A． B． C． D．不能确定6．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h），其中：三棱锥的体积为V，四棱锥的底面是边长为a的正方形，圆锥的底面半径为r，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，7．数列的首项为，为等差数列，且（），若，，则（）A． B． C． D．8．已知向量=(),=(-1,1),若,则的值为（）A． B． C． D．9．已知函数，且此函数的图象如图所示，由点的坐标是（）A． B． C． D．10．已知正方体中，、分别为，的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的反函数为__________.12．已知、、分别是的边、、的中点，为的外心，且，给出下列等式：①；②；③；④其中正确的等式是_________（填写所有正确等式的编号）.13．已知数列的前n项和为，，且（），记（），若对恒成立，则的最小值为__．14．已知，，且，则__________．15．在锐角△中，角所对应的边分别为，若，则角等于________.16．已知球为正四面体的外接球，，过点作球的截面，则截面面积的取值范围为____________________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知点A(1，2)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，m)(1)若向量∥，求实数m的值；(2)若m＝3，求向量与的夹角．18．已知f（α）=，其中α≠kπ（k∈Z）．（1）化简f（α）；（2）若f（+β）=-，β是第四象限的角，求sin（2β+）的值．19．（1）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式；（2）数列满足，（），求数列的通项公式.20．已知函数（1）解不等式；（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．21．等差数列的各项均为正数，，的前项和为，为等比数列，，且．（1）求与；（2）求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

利用平面向量加法和减法的运算，求得的线性表示.【详解】依题意，即，故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，属于基础题.2、A【解析】

利用一元二次方程根的分布的充要条件得到关于的不等式，再由为整数，可得当取最小时，取最大，从而求得答案.【详解】∵在上有两个不相等的零点，∴∵，∴当取最小时，取最大，∵两个零点的乘积小于1，∴，∵为整数，令时，，满足.故选：A.【点睛】本题考查一元二次函数的零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意为整数的应用.3、B【解析】

由平行线间的距离公式求出圆的直径，然后设出圆心，由点到两条切线的距离都等于半径，求出,即可求得圆的方程.【详解】因为两条直线与平行,所以它们之间的距离即为圆的直径,所以,所以.设圆心坐标为,则点到两条切线的距离都等于半径,所以,,解得,故圆心为,所以圆的标准方程为.故选：.【点睛】本题主要考查求解圆的方程,同时又进一步考查了直线与圆的位置关系,圆的切线性质等.本题也注重考查审题能力,分析问题和解决问题的能力.难度较易.4、C【解析】

先利用正弦定理边角互化思想得出，再利余弦定理以及条件得出可得出是等边三角形，于此可得出的值．【详解】，由正弦定理边角互化的思想得，，，，则.、、成等比数列，则，由余弦定理得，化简得，，则是等边三角形，，故选C．【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．5、C【解析】

根据题意分别表示出，通过比较。【详解】所以，选C。【点睛】，，。记住这几个公式即可，属于基础题目。6、D【解析】

由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，根据椎体体积公式即可求解.【详解】由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，则，解得，由，解得，所以.故选：D【点睛】本题考查了椎体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.7、B【解析】由题意可设等差数列的首项为，公差为，所以所以，所以，即=2n-8,=,所以,选B.8、D【解析】

对条件两边平方，得到该两个向量分别垂直，代入点的坐标，计算参数，即可．【详解】结合条件可知，，得到，代入坐标，得到，解得，故选D．【点睛】本道题考查了向量的运算，考查了向量垂直坐标表示，难度中等．9、B【解析】

先由函数图象与轴的相邻两个交点确定该函数的最小正周期，并利用周期公式求出的值，再将点代入函数解析式，并结合函数在该点附近的单调性求出的值，即可得出答案。【详解】解：由图象可得函数的周期∴，得，将代入可得，∴（注意此点位于函数减区间上）∴由可得，∴点的坐标是，故选：B．【点睛】本题考查利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：①求、：，；②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性。10、A【解析】

连接,则，所以为所求的角．【详解】连结，，因为、分别为，的中点，所以，则为所求的角，设正方体棱长为1，则，，，三角形AD1B为直角三角形，,选择A【点睛】本题主要考查了异面直线所成的夹角;求异面直线的夹角，通常把其中一条直线平移到和另外一条直线相交即得异面直线所成的角．属于中等题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由得，即，把与互换即可得出【详解】由得所以把与互换，可得故答案为：【点睛】本题考查的是反函数的求法，较简单.12、①②④.【解析】

根据向量的中点性质与向量的加法运算,可判断①②③.【详解】、、分别是的边、、的中点,为的外心,且,设三条中线交点为G,如下图所示:对于①,由三角形中线性质及向量加法运算可知,所以①正确;对于②,,所以②正确;对于③,,所以③错误;对于,由外心性质可知,所以故正确.综上可知,正确的为①②④.故答案为:①②④.【点睛】本题考查了向量的线性运算,三角形外心的性质及应用,属于基础题.13、【解析】

,即为首项为，公差为的等差数列，，，，由得，因为或时，有最大值，，即的最小值为，故答案为.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.14、【解析】

根据向量平行的坐标表示可求得；代入两角和差正切公式即可求得结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查两角和差正切公式的应用，涉及到向量平行的坐标表示，属于基础题.15、【解析】试题分析：利用正弦定理化简，得，因为，所以，因为为锐角，所以．考点：正弦定理的应用．【方法点晴】本题主要考查了正弦定理的应用、以及特殊角的三角函数值问题，其中解答中涉及到解三角形中的边角互化，转化为三角函数求值的应用，解答中熟练掌握正弦定理的变形，完成条件的边角互化是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，同时注意条件中锐角三角形，属于中档试题．16、【解析】

在平面中，过圆内一点的弦长何时最长，何时最短，类比在空间中，过球内一点的球的大圆面积最大，与此大圆垂直的截面小圆面积最小.利用正四面体的性质及球的性质求正四面体外接球的半径、小圆半径，确定答案.【详解】因为正四面体棱长为AB=3，所以正四面体外接球半径R=.由球的性质，当过E及球心O时的截面为球的大圆，面积最大，最大面积为；当过E的截面与EO垂直时面积最小，取△BCD的中心，因为为正四面体，所以平面BCD,O在上，，所以,在三角形中，由,，,，由余弦定理在直角三角形中所以过E且与EO垂直的截面圆的半径r为，截面面积为.所以所求截面面积的范围是.【点睛】本题考查空间想象能力，逻辑推理能力，空间组合体的关系，正四面体、球的性质，考查计算能力，属于难题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)1；（2）.【解析】

(1)先求出，的坐标，再根据两向量平行坐标交叉相乘相减等于零求解；(2)先求出，的坐标和模，再求，的数量积，即可求向量与的夹角．【详解】(1)因为A(1，2)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，m)，所以，，若向量∥，则，即，(2)若m＝3，则，，所以，，，所以，故向量与的夹角为.【点睛】本题考查向量平行与夹角的计算.向量平行根据向量共线定理，求向量的夹角要选择合适的公式.18、(1)(2)【解析】

（1）直接利用三角函数的诱导公式，化简运算，即可求解；（2）由，得，进一步求得，得到sin2与cos2，再由sin（2+）展开两角和的正弦求解．【详解】（1）由题意，可得=；（2）由f（+）==-，得sin．又β是第四象限的角，∴cos=．∴sin2，cos2．∴sin（2+）=sin2cos+cos2sin=．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，及诱导公式及两角差的正弦公式的应用，其中解答中熟记三家函数的恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用求出数列的通项公式；（2）利用累加法求数列的通项公式；【详解】解：（1）①当时，即当时，②①减②得经检验时，成立故（2）（）……将上述式相加可得【点睛】本题考查作差法求数列的通项公式以及累加法求数列的通项公式，属于基础题.20、（1）；（2）【解析】

（1）根据一元二次不等式的求解方法直接求解即可；（2）将问题转化为恒成立的问题，通过基本不等式求得的最小值，则.【详解】（1）或所求不等式解集为：（2）当时，可化为：又（当且仅当，即时取等号）即的取值范围为：【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、恒成立问题的求解问题.解决恒成立问题的关键是通过分离变量的方式，将问题转化为所求参数与函数最值之间