湖南省邵阳市邵东县创新实验学校2026届高一数学第二学期期末联考模拟试题含解析

湖南省邵阳市邵东县创新实验学校2026届高一数学第二学期期末联考模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若，且，则xy的最大值为（）A． B． C． D．2．已知基本单位向量，，则的值为（）A．1 B．5 C．7 D．253．已知中，，，若，则的坐标为（）A． B． C． D．4．角α的终边上有一点P（a，|a|），a∈R且a≠0，则sinα值为（）A． B． C．1 D．或5．将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到数学函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（）A． B． C． D．6．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，第2小组的频数为12，则抽取的学生总人数是（）A．24 B．48 C．56 D．647．三角形的三条边长是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最大边长为（）A．4 B．5 C．6 D．78．已知数列满足是数列的前项和，则（）A． B． C． D．9．已知直线，平面，给出下列命题：①若，且，则②若，且，则③若，且，则④若，且，则其中正确的命题是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．①②10．在中，角，，的对边分别为，，，且.则（）A． B．或 C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知球的一个内接四面体中，，过球心，若该四面体的体积为，且，则球的表面积的最小值为_________．12．若直线的倾斜角为，则______.13．若正四棱锥的所有棱长都相等，则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为____.14．在数列中，，，若，则的前项和取得最大值时的值为__________．15．已知向量满足，则与的夹角的余弦值为__________．16．已知两个正实数x，y满足＝2，且恒有x+2y﹣m＞0，则实数m的取值范围是______________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在物理中，简谐运动中单摆对平衡位置的位移与时间的关系，交流电与时间的关系都是形如的函数.已知电流（单位：）随时间（单位：）变化的函数关系是：，（1）求电流变化的周期、频率、振幅及其初相；（2）当，，，，（单位：）时，求电流.18．如图，已知点和点，，且，其中为坐标原点.（1）若，设点为线段上的动点，求的最小值；（2）若，向量，，求的最小值及对应的的值.19．已知正方形的中心为,一条边所在直线的方程是.(1)求该正方形中与直线平行的另一边所在直线的方程;(2)求该正方形中与直线垂直的一边所在直线的方程.20．如图1所示，在四边形中，，且，，．（1）求的面积；（2）若，求的长．图1图221．已知数列的前项和为，点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列的前项和为，求证：.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

利用基本不等式可直接求得结果.【详解】（当且仅当时取等号）的最大值为故选：【点睛】本题考查利用基本不等式求解积的最大值的问题，属于基础题.2、B【解析】

计算出向量的坐标，再利用向量的求模公式计算出的值.【详解】由题意可得，因此，，故选B.【点睛】本题考查向量模的计算，解题的关键就是求出向量的坐标，并利用坐标求出向量的模，考查运算求解能力，属于基础题.3、A【解析】

根据，，可得；由可得M为BC中点，即可求得的坐标，进而利用即可求解．【详解】因为，所以因为，即M为BC中点所以所以所以选A【点睛】本题考查了向量的减法运算和线性运算，向量的坐标运算，属于基础题．4、B【解析】

根据三角函数的定义，求出OP，即可求出的值．【详解】因为，所以，故选B．【点睛】本题主要考查三角函数的定义应用．5、A【解析】分析：根据平移变换可得，根据放缩变换可得函数的解析式，结合对称轴方程求解即可.详解：将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，即，由，得，当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.6、B【解析】

根据频率分布直方图可知从左到右的前3个小组的频率之和，再根据频率之比可求出第二组频率，结合频数即可求解.【详解】由直方图可知，从左到右的前3个小组的频率之和为，又前3个小组的频率之比为，所以第二组的频率为，所以学生总数，故选B.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率，频数，总体，属于中档题.7、C【解析】

根据三角形满足的两个条件，设出三边长分别为，三个角分别为，利用正弦定理列出关系式，根据二倍角的正弦函数公式化简后，表示出，然后利用余弦定理得到，将表示出的代入，整理后得到关于的方程，求出方程的解得到的值，【详解】解：设三角形三边是连续的三个自然，三个角分别为，

由正弦定理可得：，

，

再由余弦定理可得：，

化简可得：，解得：或（舍去），

∴，故三角形的三边长分别为：,故选：C.【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题.8、D【解析】

由已知递推关系式可以推出数列的特征，即数列和均是等比数列，利用等比数列性质求解即可．【详解】解：由已知可得，当时，由得，所以数列和均是公比为2的等比数列，首项分别为2和1，由等比数列知识可求得，,故选：D．【点睛】本题主要考查递推关系式，及等比数列的相关知识，属于中档题．9、A【解析】

根据面面垂直，面面平行的判定定理判断即可得出答案。【详解】①若，则在平面内必有一条直线使，又即，则，故正确。②若，且，与可平行可相交，故错误③若，即又，则，故正确④若，且，与可平行可相交，故错误所以①③正确，②④错误故选A【点睛】本题考查面面垂直，面面平行的判定，属于基础题。10、A【解析】

利用余弦定理和正弦定理化简已知条件，求得的值，即而求得的大小.【详解】由于，所以，由余弦定理和正弦定理得，即，由于是三角形的内角，所以为正数，所以，为三角形的内角，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理边角互化，考查三角形的内角和定理，考查两角和的正弦公式，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

求出面积的最大值，结合棱锥的体积可得到平面距离的最小值，进一步求得球的半径的最小值得答案．【详解】解：在中，由，且，

得，得．

当且仅当时，有最大值1．

过球心，且四面体的体积为1，

∴三棱锥的体积为．

则到平面的距离为．

此时的外接圆的半径为，则球的半径的最小值为，

∴球O的表面积的最小值为．

故答案为：．【点睛】本题考查多面体外接球表面积最值的求法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，考查空间想象能力，是中档题．12、【解析】

首先利用直线方程求出直线斜率，通过斜率求出倾斜角.【详解】由题知直线方程为，所以直线的斜率，又因为倾斜角，所以倾斜角.故答案为：.【点睛】本题主要考查了直线倾斜角与直线斜率的关系，属于基础题.13、【解析】

先作出线面角，再利用三角函数求解即可．【详解】如图，设正四棱锥的棱长为1，作在底面的射影，则为与底面所成角，为正方形的中心，，，，故答案为．【点睛】本题考查线面角，考查学生的计算能力，作出线面角是关键．属于基础题.14、【解析】

解法一：利用数列的递推公式，化简得，得到数列为等差数列，求得数列的通项公式，得到，，得出所以，，，，进而得到结论；解法二：化简得，令，求得，进而求得，再由，解得或，即可得到结论．【详解】解法一：因为①所以②，①②，得即，所以数列为等差数列．在①中，取，得即，又，则，所以．因此，所以，，，所以，又，所以时，取得最大值．解法二：由，得，令，则，则，即，代入得，取，得，解得，又，则，故所以，于是．由，得，解得或，又因为，，所以时，取得最大值．【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，以及数列的最值问题的求解，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，合理利用数列的性质是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等，属于中档试题.15、【解析】

由得，结合条件，即可求出，的值，代入求夹角公式，即可求解．【详解】由得与的夹角的余弦值为.【点睛】本题考查数量积的定义，公式的应用，求夹角公式的应用，计算量较大，属基础题．16、(-∞,1)【解析】

由x+2y（x+2y）（）（1），运用基本不等式可得x+2y的最小值，由题意可得m＜x+2y的最小值．【详解】两个正实数x，y满足2，则x+2y（x+2y）（）（1）（1+2）＝1，当且仅当x＝2y＝2时，上式取得等号，x+2y﹣m＞0，即为m＜x+2y，由题意可得m＜1．故答案为：（﹣∞，1）．【点睛】本题考查基本不等式的运用：“乘1法”求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）周期：，频率：,振幅：，初相：；（2）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.【解析】

（1）按照函数的周期、频率、振幅和初相的求法求解即可；（2）将，，，，分别代入函数关系中计算即可.【详解】（1）周期：，频率：,振幅：，初相：；（2）当时，，当时，，当时，，当时，，当时，.【点睛】本题考查函数模型在物理学中的应用，考查对基础知识的掌握，考查计算能力.18、（1）；（2），或.【解析】

（1）设，求出，把表示成关于的二次函数；（2）利用向量的坐标运算得，令把表示成关于的二次函数，再求最小值.【详解】（1）设，又，所以，，所以当时，取得最小值.（2）由题意得，，，则=，令，因为，所以，又，所以，，所以当时，取得最小值，即，解得或，所以当或时，取得最小值.【点睛】本题考查利用向量的坐标运算求向量的模和数量积，在求解过程中用到知一求二的思想方法，即已知三个中的一个，另外两个均可求出.19、(1);(2)或.【解析】

（1）由直线平行则斜率相等，设出所求直线方程，利用M点到两直线距离相等求解；（2）由直线垂直则斜率乘积为-1，设出所求直线，利用M点到两直线距离相等求解.【详解】（1）设与直线平行的另一边所在直线方程为，则，解得，或(舍).所以与直线平行的正方形的另一边所在直线的方程为.（2）设与直线垂直的正方形的边所在直线方程为，则，解得，或.所以与直线垂直的正方形的边所在的直线方程为或.【点睛】本题考查直线平行或垂直与斜率的关系，以及点到直线的距离公式，属直线方程求解基础题.20、（1）；（2）．【解析】

（1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；

（2）利用余弦定理求出AC，通过，利用余弦定理求解AB的长．【详解】（1）因为，，所以，又，所以，所以．（2）由余弦定理可得，因为，所以，解得．【点睛】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21、（1）（2）见解析【解析】

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