河北省承德市第八中学2026届数学高一下期末联考试题含解析

河北省承德市第八中学2026届数学高一下期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在数列中,,则数列的前n项和的最大值是（）A．136 B．140 C．144 D．1482．《九章算术》卷第六《均输》中，提到如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容，各多少？”其大致意思是说，若九节竹每节的容量依次成等差数列，下三节容量四升，上四节容量三升，则中间两节的容量各是（）A．升、升 B．升、升C．升、升 D．升、升3．已知函数的部分图象如图所示，则（）A． B．C． D．4．执行如下图所示的程序框图，若输出的，则输入的的值为（）A． B． C． D．5．某产品的广告费用(单位：万元)与销售额(单位：万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售为()A．63.6万元 B．65.5万元C．67.7万元 D．72.0万元6．已知，，则的值域为（）A． B．C． D．7．设非零向量，满足，则（）A． B． C．// D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．54 B． C．90 D．819．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则.其中正确的命题是（）A．②③ B．①③ C．②④ D．①④10．下列命题中正确的是（）A．第一象限角必是锐角； B．相等的角终边必相同；C．终边相同的角相等； D．不相等的角其终边必不相同.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，，则________12．辗转相除法，又名欧几里得算法，是求两个正整数之最大公约数的算法，它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至汉朝时期出现的《九章算术》．下图中的程序框图所描述的算法就是辗转相除法．若输入、的值分别为、，则执行程序后输出的的值为______．13．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积为______；14．函数的最小值为____________．15．已知函数一个周期的图象（如下图），则这个函数的解析式为__________．16．______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，四边形是边长为2的正方形，为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.18．已知关于，的方程：表示圆.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若，过点作的切线，求切线方程.19．某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元（1）求该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系；（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？20．如图，某地三角工厂分别位于边长为2的正方形的两个顶点及中点处.为处理这三角工厂的污水，在该正方形区域内（含边界）与等距的点处建一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，记辅设管道总长为千米.（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设，将表示成的函数；（ii）设，将表示成的函数；（2）请你选用一个函数关系，确定污水厂位置，使铺设管道总长最短.21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC=2，点M，N分别是边AB，CD上的点，且MN∥BC，.若将矩形ABCD沿MN折起使其形成60°的二面角(如图)．(1)求证:平面CND⊥平面AMND；(2)求直线MC与平面AMND所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

可得数列为等差数列且前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，可得前8或9项和最大，由求和公式计算可得．【详解】解：∵在数列中,，

，即数列为公差为−4的等差数列，

，

令可得，

∴递减的等差数列中前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，

∴数列的前8或9项和最大，

由求和公式可得

故选：C．【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的判定，属基础题．2、D【解析】

由题意知九节竹的容量成等差数列，至下而上各节的容量分别为a1，a2，…，an，公差为d，利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出中间一节的容量．【详解】由题意知九节竹的容量成等差数列,至下而上各节的容量分别为a1，a2，…，a9，公差为d，即=4，=3，∴=4，=3，解得,，∴中间两节的容量,，故选：D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，利用等差数列的通项公式列出方程组，解出首项与公差即可，考查计算能力，属于基础题.3、D【解析】

由函数的最值求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,从而得出结论.【详解】根据函数的图象求出函数的周期,然后可以求出,通过函数经过的最大值点求出值,即可得到函数的解析式.由函数的图象可知:,

.

当,函数取得最大值1,所以,

，

故选D.4、D【解析】由题意，当输入，则；；；，终止循环，则输出，所以，故选D.5、B【解析】

试题分析：，回归直线必过点，即．将其代入可得解得，所以回归方程为．当时，所以预报广告费用为6万元时销售额为65.5万元考点：回归方程6、C【解析】

根据正弦型函数的周期性可求得最小正周期，从而可知代入即可求得所有函数值.【详解】由题意得，最小正周期：；；；；；且值域为：本题正确选项：【点睛】本题考查正弦型函数值域问题的求解，关键是能够确定函数的最小正周期，从而计算出一个周期内的函数值.7、A【解析】

根据与的几何意义可以判断.【详解】由的几何意义知，以向量，为邻边的平行四边形为矩形，所以.故选：A.【点睛】本题考查向量的加减法的几何意义,同时，本题也可以两边平方，根据数量积的运算推出结论.8、A【解析】

由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正方形为底面的斜四棱柱，进而得到答案．【详解】由三视图可知，该多面体是一个以正方形为底面的斜四棱柱，四棱柱的底面是边长为3的正方形，四棱柱的高为6，则该多面体的体积为.故选：A.【点睛】本题考查三视图知识及几何体体积的计算，根据三视图判断几何体的形状，再由几何体体积公式求解，属于简单题.9、B【解析】

利用空间中线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定与性质即可作答.【详解】垂直于同一条直线的两个平面互相平行,故①对；平行于同一条直线的两个平面相交或平行，故②错；若，，，则或与为异面直线或与为相交直线，故④错；若，则存在过直线的平面，平面交平面于直线，，又因为，所以，又因为平面，所以，故③对.故选B.【点睛】本题主要考查空间中，直线与平面平行或垂直的判定与性质,以及平面与平面平行或垂直的判定与性质，属于基础题型.10、B【解析】

根据终边相同的角和象限角的定义，举反例或直接进行判断可得最后结果.【详解】是第一象限角，但不是锐角，故A错误；与终边相同，但他们不相等，故C错误；与不相等，但他们的终边相同，故D错误；因为角的始边在x轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故B正确.故选：B【点睛】本题考查了终边相同的角和象限角的定义，利用定义举出反例进行判断是解决本题的关键.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

直接利用反三角函数求解角的大小，即可得到答案.【详解】因为，，根据反三角函数的性质，可得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了三角方程的解法，以及反三角函数的应用，属于基础题.12、【解析】

程序的运行功能是求，的最大公约数，根据辗转相除法可得的值．【详解】由程序语言知：算法的功能是利用辗转相除法求、的最大公约数，当输入的，，；，，可得输出的．【点睛】本题主要考查了辗转相除法的程序框图的理解，掌握辗转相除法的操作流程是解题关键．13、【解析】

先根据以及余弦定理计算出的值，再由面积公式即可求解出的面积.【详解】因为，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查解三角形中利用余弦定理求角以及面积公式的运用，难度较易.三角形中，已知两边的乘积和第三边所对的角即可利用面积公式求解出三角形面积.14、【解析】

将函数构造成的形式，用换元法令，在定义域上根据新函数的单调性求函数最小值，之后可得原函数最小值。【详解】由题得，，令，则函数在递增，可得的最小值为，则的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查了换元法，以及函数的单调性，是基础题。15、【解析】

由函数的图象可得T=﹣，解得：T==π，解得ω=1．图象经过（，1），可得：1=sin（1×+φ），解得：φ=1kπ+，k∈Z，由于：|φ|＜，可得：φ=，故f（x）的解析式为：f（x）=．故答案为f（x）=．16、【解析】

先令，得到，两式作差，根据等比数列的求和公式，化简整理，即可得出结果.【详解】令，则，两式作差得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查数列的求和，熟记错位相加法求数列的和即可，属于常考题型.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解析】

（1）先由线面垂直的判定定理得到平面，进而可得平面平面；（2）先取中点，连结，，证明平面平面，在平面内作于点，则平面.以点为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系.分别求出两平面的法向量，求向量夹角余弦值，即可求出结果.【详解】（1）因为四边形是正方形，所以折起后，且，因为，所以是正三角形，所以.又因为正方形中，为的中点，所以，所以，所以，所以，又因为，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）取中点，连结，，则，，又，则平面.又平面，所以平面平面.在平面内作于点，则平面.以点为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系.在中，，，.∴，，故，，，∴，.设平面的一个法向量为，则由，得，令，得，，∴.因为平面的法向量为，则，又二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定，以及二面角的余弦值，熟记面面垂直的判定定理、以及二面角的向量求法即可，属于常考题型.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】

（Ⅰ）根据圆的一般方程表示圆的条件,可得关于的不等式,即可求得的取值范围.（Ⅱ）将代入,可得圆的方程,化为标准方程.讨论斜率是否存在两种情况.当斜率不存在时,可直接求得直线方程;当斜率存在时,由点斜式设出直线方程,结合点到直线的距离即可求得斜率,即可得直线方程.【详解】（Ⅰ）若方程表示圆则解得故实数的取值范围为（Ⅱ）若,圆：①当过点的直线斜率不存在时,直线方程为圆心到直线的距离等于半径,此时直线与相切②当过点的直线斜率存在时,不妨设斜率为则切线方程为,即由圆心到直线的距离等于半径可知,解得,即切线方程为综上所述,切线方程为或【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用,圆的一般方程与标准方程的关系和转化,属于基础题.19、（1），（2）这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元【解析】

（1）运用等差数列前项和公式可以求出年的维护费，这样可以由题意可以求出该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系；（2）利用基本不等式可以求出年平均利润最大值.【详解】解：（1）由题意知，年总收入为万元年维护总费用为万元.∴总利润，即，（2）年平均利润为∵，∴当且仅当，即时取“”∴答：这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元.【点睛】本题考查了应用数学知识解决生活实际问题的能力，考查了基本不等式的应用，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力.20、（1）（i）（，其中）.（ii).（2）污水厂设在与直线距离处【解析】

（1）（i）设的中点为，则，，，，由此可得关于的函数；（ii）由题意，则，，由此可得关于的函数；（2）设，，则，然后利用基本不等式求最值．【详解】解：（1）（i）设中点，则，，，，∴（，其中）；（ii），，；（2）设，，则，，当，即时，取最小值，∴污水厂设在与直线距离处时，铺设管道总长最短，最短长度为千米．【点睛】本题主要考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用换元法及基本不等式求最值，属于中档题．21、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）转化为证明MN⊥平面CND；（2）过点C作CH⊥ND与点H，则MH是MC在平面AMND内的射影，所以∠CMH即直线MC与平