年山西省中考数学二轮复习课件综合与探究

综合与探究

综合与探究类试题是山西中考历年必考题型，2022年版课程标准在“评价建议”中指出，学业水平考试要适当提高综合性与探究性试题的比例，因此2024年开始山西中考将几何图形为背景的压轴题定位为“综合与探究”，但命题思路仍然延续之前的“综合与实践”类试题.这类题型通常以图形的操作探究为主要形式，结合图形的平移、折叠、旋转等变化或者由特殊到一般的变式，引导学生动手操作、自主探究、小组合作、交流共享，考查学生综合运用几何基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验解决问题的能力，同时考查学生推理能力、几何直观、应用意识和创新意识.专题解读典例精讲例1综合与探究问题情境：小彬、小颖和小明对一道数学问题进行研究.如图1，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是线段OC上一点，过点A作AF⊥BE于点F，交线段OB于点G，易知OG=OE．类型1

一般的猜想与证明变式探究：分析完图1之后，小彬和小颖继续进行研究，并提出了下面两个问题，请回答：（1）小彬：如图2，将图1中的点E改为线段OC延长线上一点，过点A作AF⊥BE，交EB的延长线于点F，交OB的延长线于点G.求证：OG=OE．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD.∴∠AOG=∠BOE=90°.∴∠AGO+∠GAO=90°.∵AF⊥BE，∴∠AFE=90°.∴∠FEA+∠FAE=90°.∴∠AGO=∠BEO.∴△AOG≌

△BOE（AAS）.∴OG=OE.

类比图1到图2的变化过程，猜想图3到图4的变化对结论的影响.根据图3猜想：变化为图4时基本图形间的关系是否发生改变？进一步得出结论.思路导引

图形的类比探究题通常以“特殊与一般”的形式展开，解答此类问题，首先要从题图入手，分解出其中的基本图形，准确把握题图位置时所得结论和解题思路，然后在变化后的新图形或新位置中进一步探究已有结论是否仍然成立.无论是特殊到特殊、特殊到一般，还是一般到特殊，在分析过程中都要注意问题的延续性，关注图形变化过程中影响结论的决定性因素是否发生变化，从而确定解题思路是迁移还是推广.策略指导

一般的猜想与证明探究题解题思路训练·反思1.综合与探究——探究图形中角之间的等量关系及相关问题问题情境：在正方形ABCD中，P是射线DB上的一个动点，作射线AP，过点C作CE⊥AP于点E，点Q与点P关于点E对称，连接CQ.设∠DAP=α（0°<α<135°），∠QCE=β.初步探究：（1）如图1，为探究α与β之间的等量关系，勤思小组的同学画出了0°<α<45°时的图形，射线AP与CD边交于点F.他们得出此时α与β之间的等量关系是β=2α.借助这一结论可得,当点Q恰好落在线段BC的延长线上（如图2）时，α=

°，β=

°.3060深入探究：（2）如图3，敏学小组的同学画出了45°<α<90°时的图形，射线AP与BC边交于点G.请猜想此时α与β之间的等量关系，并证明.解：β=2（90°-α）.证明：如解图，连接PC.∵点Q与点P关于点E对称，∴EP=EQ.∵CE⊥AP，∴CE垂直平分PQ.∴CP=CQ.∴∠QCE=∠PCE.∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABG=90°，∠ABD=∠CBD=45°.深入探究：（2）如图3，敏学小组的同学画出了45°<α<90°时的图形，射线AP与BC边交于点G.请猜想此时α与β之间的等量关系，并证明.又∵BP=BP，∴△ABP≌

△CBP（SAS）.∴∠BAP=∠BCP=∠BAD-∠DAP=90°-α，AP=CP.∵∠ABG=∠CEG=90°，

∴∠BAP+∠AGB=90°，∠GCE+∠CGE=90°.又∵∠AGB=∠CGE，∴∠BAP=∠GCE.∴∠PCG=∠GCE=90°-α.∴∠QCE=∠PCE=2∠GCE=2（90°-α），即β=2（90°-α）.拓展延伸：（3）请你借助图4进一步探究：①当90°<α<135°时，α与β之间的等量关系为

；（用含α的代数式表示）β=2（α-

90°）

根据90°<α<135°，确定点P的位置在DB的延长线上，且AP不与DB平行.先根据题意作出垂线确定点E的位置，再根据对称性确定点Q的位置.作图分析

②当α=β时，若正方形ABCD的边长为2，则PQ的长为

．

当α=β时，根据前面探究的三种情况分类讨论，可得出α的取值范围为45°<α<90°，进一步计算得出α=β=60°，即可画出图形.将所求线段PQ根据对称性转化为2EQ，进一步解含30°角的直角三角形即可求解.思路导引

☆折叠类问题例2（2025山西）综合与探究问题情境：如图1，在三角形纸片ABC中，AB>BC，点D在AB边上，AD>BD.沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB′与BC平行，且折痕与BC边交于点E，得到△DB′E，然后展平.类型2与图形变化有关的综合与探究猜想证明：（1）判断四边形BDB'E的形状，并说明理由.解：四边形BDB'E是菱形.理由如下：由折叠的性质，得BD=B'D，BE=B'E，∠B'DE=∠BDE.∵DB'∥BC，∴∠B'DE=∠BED.∴∠BDE=∠BED.∴BD=BE.∴BE=BD=B'D=B'E.∴四边形BDB'E是菱形.拓展延伸：（2）如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A'落在射线DB'上，且折痕与AC边交于点F，然后展平.连接A'E交AC边于点G，连接A'F.①若AD=2BD，判断DE与A'E的位置关系，并说明理由；解：DE⊥A'E.理由如下：由（1），得BD=B'E=B'D.∴∠EDB'=∠DEB'.由折叠的性质，得AD=A'D.又∵AD=2BD，∴A'D=2B'D.拓展延伸：（2）如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A'落在射线DB'上，且折痕与AC边交于点F，然后展平.连接A'E交AC边于点G，连接A'F.①若AD=2BD，判断DE与A'E的位置关系，并说明理由；∴B'D=B'A'.∴B'A'=B'E.∴∠B'EA'=∠B'A'E.∵∠EDB'+∠A'ED+∠B'A'E=180°，∴∠EDB'+∠DEB'+∠B'EA'+∠B'A'E=180°.∴∠DEB'+∠B'EA'=90°.∴DE⊥A'E.②若∠C=90°，AB=15，BC=9，当△A'FG是以A'F为腰的等腰三角形时，请直接写出A'F的长.

训练·反思2.综合与探究问题情境:在矩形纸片ABCD中，E为AD边上一动点，连接BE，将△BAE沿BE折叠得到△BFE，并展开铺平.实践操作:（1）在图中，过点A作AH⊥BF，垂足为H，交BE于点G.(要求:尺规作图，保留痕迹，不写作法，标明字母)解：如解图1即为所求.猜想证明:（2）在（1）所作的图形中连接GF，猜想并证明AE与GF之间的数量关系和位置关系.解：AE=GF，AE∥

GF.证明:如解图2.∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=90°.∴∠ABE+∠AEB=90°.由折叠的性质，得EF=AE，∠BFE=∠BAE=90°，∠FBE=∠ABE.

∵AH⊥BF，∴∠AHB=90°.∴∠EBF+∠BGH=90°，∠AHB=∠EFB.猜想证明:（2）在（1）所作的图形中连接GF，猜想并证明AE与GF之间的数量关系和位置关系.∴∠AEB=∠BGH，AG∥

EF.又∵∠BGH=∠AGE，∴∠AGE=∠AEB.∴AE=AG.∴AG=EF.∴四边形AEFG为平行四边形.又∵AE=AG，∴四边形AEFG为菱形.∴AE=GF，AE∥GF.问题解决:（3）已知AB=4，AD=6，沿BF所在直线折叠矩形纸片ABCD，折痕交矩形纸片的边于点M.当FM=DM时，请直接写出AE的长.

☆平移类问题例3（2025省调研卷）综合与探究问题情境：如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是对角线BD上的点，且CE=CD，过点E作EF⊥AD于点F，过点D作CE的平行线，与EF的延长线交于点G.猜想证明：（1）试判断四边形CEGD的形状，并说明理由.解：四边形CEGD是菱形.理由如下：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC=90°.∵EF⊥AD，∴∠AFE=90°.∴∠AFE=∠ADC.∴EG∥CD.∵DG∥CE，∴四边形CEGD是平行四边形.又∵CE=CD，∴四边形CEGD是菱形.深入探究：（2）将图1中的△GED沿射线BD平移，得到△G′E′D′（点G，E，D的对应点分别为G′，E′，D′）①如图2，当点E′在线段DE上的某一位置时，将△G′E′D′沿G′E′所在直线翻折，得到△G′E′M，设线段G′E′，ME′分别与线段AD交于点H，N.猜想线段MN与EE′之间的数量关系，并说明理由；解：MN=EE′.理由如下：根据平移的性质，得E′G′

∥EG，EE′=DD′.∵EF⊥AD，∴∠AFE=90°.

∴∠AHE′=∠AFE=90°.

∴∠DHE′=180°-∠AHE′=90°.∴∠HNE′+∠NE′H=∠HDE′+∠DE′H=90°.①如图2，当点E′在线段DE上的某一位置时，将△G′E′D′沿G′E′所在直线翻折，得到△G′E′M，设线段G′E′，ME′分别与线段AD交于点H，N.猜想线段MN与EE′之间的数量关系，并说明理由；根据翻折的性质，得∠HE′N=∠HE′D，E′D′=E′M.∴∠E′NH=∠E′DH.

∴E′D=E′N.又∵ME′-E′N=E′D′-E′D，即MN=DD′.

∴MN=EE′.②当点E′在射线BD上的某一位置时，重复①中操作，设直线G′E′，ME′分别与直线AD交于点H，N，连接G′N.当△G′MN是直角三角形时，请直接写出线段ND的长.

【满分提示】（1）由△G′MN是直角三角形，知需分为三个内角的度数分别为90°的三种情况讨论.又因为∠G′MN的度数是固定的，所以只需讨论另两个内角的度数分别为90°的情况即可.②当点E′在射线BD上的某一位置时，重复①中操作，设直线G′E′，ME′分别与直线AD交于点H，N，连接G′N.当△G′MN是直角三角形时，请直接写出线段ND的长.（2）将满足条件的草图画出，如解图1、解图2.训练·反思3.综合与探究在综合探究课上，老师让同学们对一张长AB=4，宽BC=3的矩形纸片ABCD进行剪拼操作，如图1，希望小组沿对角线AC剪开得到两张三角形纸片△ABC和△A′DC′.操作与发现：(1)将这两张三角形纸片按如图2所示的方式摆放，连接BD，他们发现AC⊥BD，请证明这个结论.证明：在图1中，由矩形的性质，得AB=C′D，∠BAC=∠DC′A′.∴在图2中，△ABD为等腰三角形，AC平分∠BAD.∴AC⊥BD.操作与探究：(2)在图2中，将△A′C′D纸片沿射线AC平移，连接BC′，BA′.如图3，当BA′

∥C′D时，试判断四边形A′BC′D的形状，请说明理由，并求出此时△A′C′D平移的距离.解：四边形A′BC′D是矩形.理由如下：如解图1，过点B作BH⊥AC于点H，则∠BHC=90°.∵BA′

∥C′D，∴∠1=∠2.又∵∠A=∠1，∴∠A=∠2.∴AB=A′B.∵AB=C′D，∴A′B=C′D.∴四边形A′BC′D是平行四边形.操作与探究：(2)在图2中，将△A′C′D纸片沿射线AC平移，连接BC′，BA′.如图3，当BA′

∥C′D时，试判断四边形A′BC′D的形状，请说明理由，并求出此时△A′C′D平移的距离.

操作与探究：(2)在图2中，将△A′C′D纸片沿射线AC平移，连接BC′，BA′.如图3，当BA′

∥C′D时，试判断四边形A′BC′D的形状，请说明理由，并求出此时△A′C′D平移的距离.

操作与实践：(3)请你参照以上操作过程，利用图1中的两张三角形纸片，拼摆出新的图形.在图4中画出图形，标明字母，说明构图方法，并直接写出所要探究的问题，不必解答.解：答案不唯一，例如：如解图2，将△A′C′D纸片沿射线AC平移，当点C与点C′重合时，连接AD，BA′，求四边形ABA′D的面积.☆旋转类问题例4（2025太原一模）综合与探究问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系.如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是射线BC上的一个动点，连接AD，将线段AB绕点D逆时针旋转90°得到线段EF（E，F分别是点A，B的对应点）.特例分析：（1）如图2，创思小组先研究了点D与点C重合时的情形，连接AE，CE，CF.请判断此时线段AE与CF的数量关系和位置关系，并证明你的结论.解：AE=CF，AE∥CF．证明：∵线段AB绕点D逆时针旋转90°得到线段EF，∴AB=EF，CA=CE，CB=CF，∠ACE=90°.∴△ABC≌

△EFC（SSS）.∴∠FEC=∠BAC=90°.∴∠FEC=∠ACE.∴EF∥AC.∵AB=AC，∴EF=AC.∴四边形AEFC是平行四边形.∴AE=CF，AE∥CF．深入探究：（2）博闻小组沿着上述思路继续探究，他们改变点D的位置，提出了如下问题，请你解答：①如图3，当点D在线段BC上，连接AE，CF，猜想线段AE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由；

深入探究：（2）博闻小组沿着上述思路继续探究，他们改变点D的位置，提出了如下问题，请你解答：①如图3，当点D在线段BC上，连接AE，CF，猜想线段AE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由；∵线段AB绕点D逆时针旋转90°得到线段EF，∴AB=EF，DA=DE，DB=DF，∠BDF=90°.∴△ABD≌

△EFD（SSS）.∴∠B=∠EFD=45°.∵∠CDG=∠BDF=90°，∴∠DGC=90°-∠ACB=45°.∴∠DGC=∠EFD.∴EF∥AC.又∵EF=AB=AC，∴四边形AEFC是平行四边形.∴AE=CF，AE∥CF．②点D在沿射线BC运动的过程中，是否存在某一时刻使△BED是以BD为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出相应的B，D两点间的距离；若不存在，请说明理由.

训练·反思4.综合与探究问题情境：四边形ABCD是边长为3的菱形，连接BD.将△BCD绕点B按顺时针方向旋转α（0°<α<180°）得到△BEF，点C，D的对应点分别为E，F，直线