2026年高考数学二轮复习：专题13 空间几何体与外接球内切球问题（培优讲义）（全国适用）（原卷版）

3/23专题13空间几何体与外接球内切球问题目录第一部分研·考情精析锁定靶心高效备考第二部分理·方法技巧梳理知识总结技巧与方法第三部分攻·题型速解典例精析+变式巩固【题型01】球的截面问题【题型02】长方体模型（三垂）【题型03】对棱相等的三棱锥【题型04】直棱柱模型（侧棱垂底的锥体）【题型05】圆锥、正棱锥模型【题型06】面面垂直模型【题型07】正棱台（圆台）模型【题型08】二面角模型【题型09】与外接球有关的最值问题【题型10】直棱柱的内切球模型【题型11】锥体的内切球【题型12】立体几何的外接球和内切球的综合应用第四部分练·决胜冲刺精选好题+通关训练考向聚焦一、外接球核心考向模型分类：重点考查长方体/正方体模型（体对角线为直径）、直棱柱模型（球心在上下底面外心连线中点）、棱锥模型（含墙角锥、正棱锥、侧棱垂直底面锥）。关键方法：“定球心”（利用球心到各顶点距离相等，结合对称性质）、“求半径”（构造直角三角形，用勾股定理列方程，如，为球心到面的距离，为底面外接圆半径）。高频题型：已知几何体棱长求外接球表面积/体积，折叠问题中外接球不变性，组合体中外接球位置关系判断。二、内切球核心考向适用几何体：多为规则几何体（正多面体、直棱柱、正棱锥），核心条件是“球心到各面距离相等（等于半径）”。求解关键：利用体积法（），通过几何体体积与表面积建立等式求；正棱锥内切球心必在高上，可结合相似三角形求解。易错点：混淆内切球与外接球适用条件，忽略非规则几何体无内切球的情况。三、备考要点高频模型需熟练掌握公式，非规则几何体可通过补形法（补成长方体/正方体）转化为规则模型；注重空间想象与方程思想结合，避免因球心定位错误导致失分。关键能力一是空间定位能力：外接球需精准判断球心位置（对称点、底面外心连线中点等），内切球明确球心到各面等距的本质；二是模型转化能力：非规则几何体通过补形（补成长方体）、分割转化为规则模型，适配公式应用；三是运算推理能力：外接球巧用勾股定理建立方程，内切球熟练运用体积法，结合几何体棱长、表面积等条件求解半径。同时需具备易错辨析能力，区分内外接球适用场景，避免公式混淆与定位失误。备考策略备考核心在于“模型固化+方法落地+易错规避”。首先，熟记高频模型（长方体、直棱柱、正棱锥等）的外接球球心定位规律与内切球适用条件，提炼“补形法”“体积法”等核心技巧，形成解题模板。其次，强化题型专项训练，重点突破“棱长求半径”“折叠/组合体”等高频题，熟练运用和两大核心公式。最后，建立错题本，聚焦球心定位失误、公式混淆、忽略几何体适配性等易错点，通过复盘深化理解，结合空间想象与方程思想，提升解题精准度与效率。

方法技巧01立体几何的外接球和内切球模型的常用方法一、规则模型直接法（1）长方体，正方体模型（墙角模型）：体对角线即为外接球的直径，即；（2）对棱相等模型：三棱锥满足，则三棱锥可以放入长方体中，即外接球的半径为；（3）直棱柱/圆柱模型（侧棱垂直于底面）：侧棱垂直于底面时，可以放入直棱柱中进行外接球的求解，即外接球的半径为，为底面外接圆的半径（正弦定理求解），为高；（4）正棱锥/圆锥模型：正棱锥的外接球半径，为底面外接圆的半径（正弦定理求解），为高；（5）正棱台/圆台模型：先求解上下底面外接圆的半径，和高，在两圆心的连线和一条侧棱上构建直角三角形进行求解，即；（6）面面垂直模型：求解两个垂面的几何图形的外接圆半径，两面的交线，即；（7）二面角模型：二面角为，求解两个形成二面角的平面图形的外接圆半径，两面的交线，即，其中；二、内切球常用方法（1）直棱柱/圆柱的内切球模型：求解直棱柱的上表面几何图形的内切圆的半径，，所以内切球的半径为；（2）锥体的内切球模型：锥体的内切球的半径（3）定位辅助法：正棱锥内切球心在高上，可通过相似三角形确定球心位置，再结合体积法或勾股定理求，避免盲目运算。

题型01球的截面问题典｜例｜精｜析典例1．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（） A． B． C． D．典例2．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（） A． B． C．1 D．典例3．已知球的半径为3，正方体所有顶点均在球面上，点是棱的中点，过点作球的截面，则所得截面面积的最小值为（） A． B． C． D．忽略截面性质前提：误将“截面圆半径、球半径、球心到截面距离”的关系用在非圆截面（如椭圆截面），须知球的任意截面必为圆，该公式恒成立但需明确“截面过球心时，”。距离计算失误：求球心到截面距离时，未利用几何体对称性（如棱柱底面中心、棱锥高的垂足）定位垂足，导致求解错误；或混淆“点到面距离”与“线段长度”。截面最值判断偏差：误以为截面圆最大半径由几何体棱长决定，实则最大截面为过球心的大圆（），最小截面为与球心连线垂直的截面（最大时最小）。组合体截面分析疏漏：多球或球与几何体组合时，未明确截面与各球的公共点，遗漏“截面同时过两球心时为公共大圆”等特殊情况。变｜式｜巩｜固变式1．设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（） A． B． C． D．变式2．如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是（） A． B． C． D．变式3．已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为___________________．

题型02长方体模型（三垂）典｜例｜精｜析典例1．一个底面积为的正四棱柱的所有顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正四棱柱的高为______________．典例2．已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为______________．典例3．已知正方体的棱长为，以顶点A为球心，为半径的球的球面与正方体的表面的交线总长为（） A． B． C． D．公式混淆：误将正方体外接球半径套用于长方体，忽略长方体需用（为棱长）。线判断失误：将面对角线当作外接球直径，尤其正方体中混淆“面对角线”与“体对角线”，导致半径计算减半。特殊长方体疏漏：含正方形面的长方体（如），未注意底面外心与球心位置关系，仍按正方体公式计算。组合体定位偏差：长方体与其他几何体组合时，未以长方体体对角线为外接球直径，误判球心位置。变｜式｜巩｜固变式1．长方体的各顶点都在半径为1的球面上,其中,则两、点的球面距离为（） A． B． C． D．变式2．长方体的各顶点都在球的球面上，其中．两点的球面距离记为，两点的球面距离记为，则的值为________________．

题型03对棱相等的三棱锥典｜例｜精｜析典例1．在三棱锥中，.该棱锥的各顶点都在球的表面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（） A． B． C． D．典例2．（多选）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，它是三组对棱分别相等的四面体．已知等腰四面体ABCD中，三组对棱长分别是，，，则对该等腰四面体的叙述正确的是（） A．该四面体ABCD的体积是． B．该四面体ABCD的外接球表面积是32π C． D．一动点P从点B出发沿四面体ABCD的表面经过棱AD到点C的最短距离是缺失：未掌握“对棱相等三棱锥可补成长方体”的核心转化，仍用常规棱锥外接球方法求解，导致计算复杂且出错。棱长对应失误：补成长方体时，误将三棱锥对棱当作长方体面对角线，正确对应应为“三棱锥三组对棱分别是长方体三组面对角线”，进而错算长方体棱长。外接球直径混淆：补形后未明确“长方体体对角线即为外接球直径”，仍单独求三棱锥顶点到球心距离，徒增难度。公式应用偏差：记错补形后半径公式，正确应为，（）为长方体棱长，由三棱锥对棱列方程求解）。变｜式｜巩｜固变式1．在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A． B． C． D．变式2．在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的表面积为（） A． B． C． D．变式3．在四面体中，已知点分别为棱的中点，且．若，则四面体外接球的表面积为_______________．

题型04直棱柱模型（侧棱垂底的锥体）典｜例｜精｜析典例1．已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，，则球的体积与三棱锥体积之比是（） A． B． C． D．典例2．已知直四棱柱的棱长均为2，．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为______________________．球心定位偏差：误将底面外接圆圆心当作球心，忽略球心在“上下底面外心连线中点”，且连线与侧棱平行（长度为侧棱长）。距离计算失误：套用时，错将取为侧棱长，正确应为（球心到底面距离）。底面外接圆半径疏漏：圆柱或直棱柱底面为非正多边形时，未先求底面外接圆半径，直接用底面边长代替计算。特殊情况混淆：圆柱外接球误按“直径等于母线长”计算，实则直径为，与直棱柱公式本质一致（为底面外接圆半径）。变｜式｜巩｜固变式1．若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为_____________________．变式2．已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则___________________．变式3．已知点在同一个球面上,若,则两点间的球面距离是__________________.

题型05圆锥、正棱锥模型典｜例｜精｜析典例1．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则求的表面积为（） A． B． C． D．【详解】由题意，设外接球的半径为，则，典例2．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（） A． B． C． D．典例3．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，分别是的中点，，则球的体积为（） A． B． C． D．球心定位错误：误将正棱锥/圆锥的高中点当作球心，实则球心在高所在直线上，需通过方程求解（为底面外接圆半径，为几何体高）。底面半径混淆：圆锥中误将底面圆半径当作（正确），正棱锥中错用底面边长代替底面外接圆半径，需先根据底面多边形类型求。公式套用失误：直接套用直棱柱公式，忽略正棱锥/圆锥中（球心可能在高上或延长线），导致符号错误。特殊情况疏漏：正四面体（特殊正棱锥）误按常规正棱锥公式计算，实则可补成长方体简化求解，避免复杂运算。变｜式｜巩｜固变式1．已知棱长为的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为（） A． B． C． D．变式2．已知正四棱锥中，，若此正四棱锥的外接球为球，则侧面所在平面被球所截的面积为（） A． B． C． D．变式3．已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（） A． B． C． D．

题型06面面垂直的模型典｜例｜精｜析典例1．已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（） A． B． C． D．典例2．在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（） A． B． C． D．典例3．在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________________．球心定位偏差：未利用面面垂直性质（如两平面交线为轴），误将单一平面外心当作球心，实则球心在两平面外心向交线作垂线的交点处。距离关系误用：套用时，混淆“球心到两平面的距离”，未结合面面垂直条件（一平面外心到另一平面距离为0）简化计算。外接圆半径疏漏：仅求一个平面的外接圆半径，忽略另一平面的外接圆半径与球心位置的关联，导致方程列错。补形思路缺失：未将面面垂直的棱锥补成直棱柱（以垂直面为底面），仍按一般棱锥求解，增加运算难度与失误率。变｜式｜巩｜固变式1．在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（） A． B． C． D．变式2．已知球O的半径是1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点间的球面距离都是，B、C两点间的球面距离是，则二面角的大小是（） A． B． C． D．变式3．已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（） A． B． C． D．

题型07正棱台（圆台）模型典｜例｜精｜析典例1．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（） A． B． C． D．【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．典例2．已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为________________.球心位置误判：球心不在几何体内部中心，而在两底面中心的连线上。需通过作轴截面（等腰梯形或等腰三角形）辅助分析。半径关系混淆：设球半径为，圆台上下底面半径为，高为。若球心在圆台外（偏向底面较大一侧），方程应为与，切勿遗漏或符号错误。正棱台转化失误：需先求底面多边形的外接圆半径，再将其视为圆台模型求解，不可直接用棱长计算。变｜式｜巩｜固变式1．已知某正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，用一个平行于底面的平面截去一个底面边长为2的正四棱锥后，得到一个正四棱台，则该正四棱台的外接球的表面积为（） A． B． C． D．变式2．已知正四棱台，，高为，则该正四棱台外接球的表面积为_____________________.变式3．已知圆台上､下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为__________________.

题型08二面角模型典｜例｜精｜析典例1．如图1，在等腰梯形中，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示.则当二面角的平面角的大小为时，三棱锥的外接球的表面积为（） A． B． C． D．典例2．在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（） A．或 B．或 C． D．找圆心错误：忽略球心在两个半平面上的投影分别是各自截面三角形的外心，而非重心或垂心。距离计算失误：设二面角大小为，两半平面外心到棱的距离为。球心到棱的距离满足；，常因记错公式或三角函数关系导致计算错误。方程建立遗漏：最终求半径时，需利用（为截面圆半径），切勿只计算到球心到棱的距离即停止。变｜式｜巩｜固变式1．在四面体中，与都是边长为6的等边三角形，且二面角的大小为，则四面体外接球的表面积是（） A．52π B．54π C．56π D．60π变式2．两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为_______________.变式3．已知半径为4的球，被两个平面截得圆，记两圆的公共弦为，且，若二面角的大小为，则四面体的体积的最大值为（） A． B． C． D．

题型09与外接球有关的最值问题典｜例｜精｜析典例1．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（） A． B． C． D．典例2．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（） A． B． C． D．轨迹判断错误：常见模型（如墙角模型、定弦定角模型）中，球心轨迹通常是直线或圆，易误判为平面或抛物线，导致后续距离公式套用错误。忽略变量范围：利用函数（如求最值时，未结合几何体实际限制条件（如高或边长关系），导致求出的极值点不在定义域内。“形”“数”转化脱节：遇到动点问题，未能灵活运用对称性或几何不等式（如两点之间线段最短）直接求解，盲目建立坐标系导致计算量过大而算错变｜式｜巩｜固变式1．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（） A． B． C． D．变式2．在梯形中，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（） A． B． C． D．变式3．已知四面体的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为是边长为3的正三角形，则四面体的体积的最大值为_______________.变式4．在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为________________.

题型10直棱柱的内切球模型典｜例｜精｜析典例1．“圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，球与圆柱的体积之比为，表面积之比为，则（） A．， B． C．， D．典例2．在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则该球体积V的最大值是（） A． B． C． D．存在性判断失误：忽略前提条件（为高，为底面内切圆半径）。若高不等于底面直径，内切球不存在，更无法求解半径。底面半径计算混淆：误将底面多边形的“外接圆半径”当作“内切圆半径”代入公式。例如正三角形，内切圆半径，外接圆半径，两者相差一倍，极易算错。体积公式乱用：体积表是多面体有内切球的通用公式，切勿与外接球体积公式混淆，也不要漏掉表面积表中的侧面积部分。变｜式｜巩｜固变式1．已知球与正三棱柱的各个面均相切，记平面截球所得截面的面积为，球的表面积为，则（） A． B． C． D．变式2．如图，一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为的实心铁球，水面高度恰好升高,则____________________．变式3．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是________________cm.变式4．已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（） A． B． C． D．

题型11锥体的内切球典｜例｜精｜析典例1．如图，在一个底面边长为4，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为（）． A． B． C． D．典例2．一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（） A． B． C． D．公式记忆偏差：通用体积公式中，是表面积（含底面积），极易误算为侧面积，导致结果偏小。相似比找错：在轴截面（如圆锥、正四棱锥）中，利用求解时，常混淆球心到底面距离与球半径的关系，或搞错线段对应比例。忽略正棱锥特性：正棱锥的内切球球心必在高线上，且到各侧面距离相等。若未利用这一对称性建立直角三角形，计算会变得繁琐且易出错。变｜式｜巩｜固变式1．已知正四面体（四个面都是正三角形）的体积为，若能装下它的最小正方体的体积为，设正四面体的内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（） A． B． C． D．变式2．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_______________．变式3．一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为_________________．

题型12立体几何的外接球和内切球的综合应用典｜例｜精｜析典例1．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球）.如图：已知粽子三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（）. A． B． C． D．典例2．（多选）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则（） A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 C．勒洛四面体的截面面积的最大值为 D．勒洛四面体的体积内外混淆：外接球关注“顶点到球心距离相等”，内切球关注“球心到面距离相等”。综合题中常因混淆半径公式导致整体思路错误。模型识别不清：遇到折叠、切割、组合体时，不能快速还原到基础模型（如墙角、棱锥、圆台），导致无法找到球心位置。转化不彻底：多面体与旋转体结合时，未利用轴截面将立体问题转化为平面几何问题，或未利用等体积法、相似三角形进行代数化，使问题复杂化。变｜式｜巩｜固变式1．如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（） A．这两个球体的半径之和的最大值为 B．这两个球体的半径之和的最大值为 C．这两个球体的表面积之和的最大值为 D．这两个球体的表面积之和的最大值为变式2．（多选）如图1所示，在四边形中，，，．如图2所示，把沿边折起，使点不在平面内，连接．则下列选项正确的是（） A．当面面时，点到面的距离为 B．异面直线与所成角的取值范围为 C．当二面角的大小为时，三棱锥的外接球的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积的最小值为变式3．（多选）如图所示，两个正方形,的边长为，两个动点分别在正方形对角线和上,中点为且,.则（） A．运动过程中，不存在 B．若平面平面,,则平面平面 C．当在线段上运动时（不包括端点），二面角可以为直二面角 D．当在线段上运动时（不包括端点），四面体的外接球表面积的最小值为变式4．已知正的边长分别为边的中点，将沿直线翻折到，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为_____________，此时分别过作球的两个相切的平面，设相交所成的二面角大小为，则____________________.一、单项选择题1．（2025·重庆·模拟预测）已知，，是球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（） A． B． C． D．2．（2025·四川绵阳·三模）已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（） A． B． C． D．3．（2025·贵州铜仁·三模）在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（） A