2026年高考数学二轮复习：专题20 排列组合（培优讲义）（全国适用）（原卷版）

10/59专题020排列组合与二项式定理目录第一部分研·考情精析锁定靶心高效备考第二部分理·方法技巧梳理知识总结技巧与方法第三部分攻·题型速解典例精析+变式巩固【题型01】组合问题【题型02】分类、分步计数原理【题型03】分组分配问题（平均分组和不平均分组）【题型04】捆绑法（相邻问题）【题型05】插空法（不相邻问题）【题型06】插板法（相同元素分配）【题型07】间接法【题型08】定序（倍缩法）【题型09】几何图形取点问题【题型10】涂色问题【题型11】排列组合综合问题【题型12】二项式定理的系数【题型13】系数和、二项式系数和【题型14】整除和杨辉三角第四部分练·决胜冲刺精选好题+通关训练考向聚焦排列组合与二项式定理是高中数学计数板块的核心内容，也是高考数学的高频考点，多以选择题、填空题形式出现，偶尔融入概率解答题，分值占比5%-8%，侧重考查逻辑推理与运算求解能力。核心考向一：排列组合的应用。重点考查有限制条件的计数问题，如元素相邻（捆绑法）、不相邻（插空法）、特殊元素优先安排、分组分配（均匀分组需除序）等经典模型。命题趋势呈现“情境化”特征，常结合分配任务、安排岗位、选排节目等实际场景，需注意区分“排列”（有序）与“组合”（无序）的本质差异，避免重复或遗漏计数。核心考向二：二项式定理的核心应用。高频考点集中在二项展开式的通项公式、特定项系数（如常数项、有理项）、二项式系数的性质（对称性、最值、和差关系）。近年命题常涉及“双项式”展开（如的系数问题，需转化为二项式分步求解）、系数和与差的赋值法应用（令或），偶尔结合不等式、函数求最值综合考查。命题特点与备考关键。试题难度以中档为主，注重基础方法与逻辑严谨性，避免复杂运算。备考需熟练掌握3类核心方法：排列组合的“模型化解题”（捆绑、插空、间接法）、二项式定理的“通项优先法”与“赋值法”。同时关注跨考点融合，如排列组合与古典概型结合、二项式系数与数列求和结合的创新题型，强化“分类讨论”“化归转化”的数学思想，提升解题的灵活性与准确性。关键能力模型识别与方法匹配能力：快速判断排列组合问题类型（相邻、不相邻等），精准选用捆绑、插空、间接法等模型；二项式问题优先锁定通项公式，明确特定项求解方向。​逻辑严谨性：区分排列与组合的有序无序属性，分组分配中注意均匀分组除序，避免重复或遗漏；二项式系数与项的系数辨析清晰，赋值法应用时条件设定准确。​化归与综合应用能力：将复杂情境（如多元素分配、三项式展开）转化为基础模型，跨考点题目中灵活融合计数与概率、数列等知识，运用分类讨论、转化思想突破解题瓶颈.备考策略夯实基础核心：熟记排列组合公式、二项式定理及通项公式，明确二项式系数性质，通过基础题巩固模型识别能力，杜绝公式混淆与概念模糊。​专项突破题型：针对相邻、不相邻、分组分配、特定项求解等高频题型集中训练，总结每种题型的解题模板，强化方法匹配熟练度。​强化实战应用：精选真题演练，重点关注跨考点综合题与情境化题目，训练化归转化思维；整理易错点（如均匀分组忘除序、系数与二项式系数混淆），定期复盘规避失误，提升解题准确率与速度。

方法技巧01选填的常用方法一：排列组合常用方法1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;6.间接法:正难则反、等价转化的方法.二：二项式定理常用方法1.通项公式法：二项式选填题核心，直接套用，快速求解特定项，系数等；2.赋值法：求二项式系数和/差、常数项等，令或特殊值，直接得出结果，无需展开；3.分类讨论法：多限制条件问题（如元素选排、分配任务），按关键条件分类，逐类计算再求和，保证不重不漏；4.模型转化法：将三项式转化为二项式分步求解，或把复杂分配问题转化为“隔板模型”，降低解题难度；5.性质速用法：活用二项式系数对称性（）、最值性（中间项系数最大），直接秒杀简单选填题.

题型01组合问题典｜例｜精｜析典例1．某学校邀请五个班的班干部座谈，其中班有甲、乙两位班干部到会，其余班级各有一位班干部到会，会上共选3位班干部进行发言，则班至少选到一位班干部的不同的选法种数为（） A．10 B．12 C．16 D．20典例2．（多选）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（） A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法 B．分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有180种分法 C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法 D．分给甲、乙、丙、丁四人，两人各2本，另两人各1本，有1080种分法1、混淆“排列”与“组合”：这是最常见的错误。需明确“有序”用排列（），“无序”用组合（）。若交换元素位置产生新情况，则为排列；若不影响结果，则为组合。2、“分步”与“分类”不清：“分类”（加法原理）是“独立完成”，“分步”（乘法原理）是“缺一不可”。做题时需先确定是分类讨论还是分步执行。3、重复与遗漏：平均分组易重复：若将n个元素平均分成k组，需除以k!以消除组间顺序造成的重复。特殊元素易遗漏：应优先安排“受限”元素或位置，再排其余。混淆“至多”与“至少”：遇到“至少”问题，优先考虑间接法（排除法），即“总情况数减去反面情况数”，往往比直接分类更简便。变｜式｜巩｜固变式1．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种变式2．假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（） A．种 B．种 C．种 D．种变式2．甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（） A．150种 B．180种 C．300种 D．345种

题型02分类、分步计数原理典｜例｜精｜析典例1．从0，1，2，3中任取三个数字组成无重复数字的三位数，则下列结论错误的是（） A．三位数共有18个 B．百位数字为1的三位数共有6个 C．十位数字为1的三位数共有6个 D．个位数字为0的三位数共有6个典例2．（多选）定义：对一个三位数来说，如果其十位数字比个位数字和百位数字都小，则称它为“三位凹数”，如果其十位数字比个位数字和百位数字都大，则称其为“三位凸数”，现从1至9共9个数中，选取3个不同的数排成三位数，则（） A．排成的“三位凹数”共有168个 B．排成的“三位凸数”和“三位凹数”的可能性相等 C．从所有的中随机抽取一个三位数，该三位数是“三位凸数”的概率为 D．从所有的中随机抽取两个三位数，至少有一个是“三位凹数”的概率为典例3．已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（） A．16 B．24 C．32 D．481、混淆“类”与“步”：这是最大陷阱。分类（加法原理）是“独立完成”，各类方法互不干扰，用“+”；分步（乘法原理）是“缺一不可”，各步环环相扣，用“×”。切记：能直接做完用加法，分阶段做完用乘法。2、分类不独立或不全面：分类标准必须统一，各类别间应互斥（无交集），所有类别总和应完备（覆盖所有情况），否则易导致重复计数或遗漏。3、分步次序不当：涉及“特殊元素”或“相邻/不相邻”限制时，应优先安排受限步骤，再处理自由步骤，否则易因步骤混乱导致逻辑错误。变｜式｜巩｜固变式1．已知袋中装有红色、黄色、绿色的小球各5个，小球除了颜色外完全相同，现从中随机取出5个小球，则不同的取法种数为（） A．15 B．19 C．21 D．23变式2．要把5名农业技术员分到3个乡村支援工作，每名技术员只分配到1个村，甲村至少需要2名，乙村、丙村均不少于1名，则不同的分配方案共有（） A．180种 B．120种 C．90种 D．80种变式3．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”的个数为（） A．120 B．80 C．20 D．40变式4．若从1，3中选一个数字，从0，2，4中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是（） A． B． C． D．变式5．如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止，则下列说法错误的是（） A．甲从M必须经过到达N处的方法有9种 B．甲乙两人在处相遇的概率为 C．甲、乙两人相遇的概率为 D．甲从M到达N处的方法有120种

题型03分组分配问题（平均分组和不平均分组）典｜例｜精｜析典例1．把6名技术员分到3个车间工作，分到3个车间的人数各不相同，每个车间至少1人，则不同的分配方案共有（） A．270种 B．540种 C．720种 D．360种典例2．将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（） A．540 B．504 C．408 D．390典例3．（多选）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有138种不同的方案．1、混淆“分组”与“分配”：分组是将元素分堆，若组无编号且元素个数相同，属于平均分组，需除以组数的阶乘（）以防重复。分配是将组分给具体对象（如人、班级），组已隐含编号，不需要除以阶乘。2、忽视“局部平均”：若分组中仅有部分组的元素个数相同（如2,2,3），只需除以这部分相同组数的阶乘（2!），切勿将所有组数一起除。3、“先分后排”逻辑不清：解决分配问题时，标准做法是先分组再分配（乘以对象的全排列），若直接分步选取，需注意选取顺序是否已自然包含了分配对象的顺序。变｜式｜巩｜固变式1．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（） A．540 B．300 C．180 D．150变式2．中国空间站主体由天和核心舱、问天实验室、梦天实验舱构成．某次实验需要位宇航员同时在三个舱中开展，每个人只能去一个舱，每个舱至少安排名宇航员，其中甲宇航员只能去问天实验室和梦天实验舱中的一个，则不同的安排方法有（） A．72 B．88 C．100 D．144变式3．2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震．现从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（） A．1800 B．16800 C．14280 D．25200

题型04捆绑法（相邻问题）典｜例｜精｜析典例1．某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（） A． B． C． D．典例2．某电影院一排有7个座位，中间有条过道，过道左侧有4个座位，右侧有3个座位，现有包含小明，小刚，小强在内的7位同学购买了某一排的座位，其中小明想和小刚坐在一起，小强想坐在右侧，则共有（）种不同的排法． A．216 B．264 C．312 D．528捆绑法主要用于解决“相邻”问题，其核心是“先捆后松”，易错点如下：1、忽视内部排序：将相邻元素看作一个“大元素”与其他元素排列后，必须再乘以“大元素”内部各元素的全排列数。这是最常见的遗漏，切记“整体排完，内部也要排”。2、忽视“松绑”限制：在计算内部排列时，若元素自身有特殊要求（如甲必须在乙左边），则内部不能直接全排列，需按限制条件计算。3、混淆“相邻”与“定序”：捆绑法仅适用于要求元素相邻的情况。若题目仅要求元素相对顺序固定（不一定相邻），则不能用捆绑法，而应使用倍缩法或只选不排。变｜式｜巩｜固变式1．一个笔盒中装有10支除颜色外完全一样的笔，其中5支黑色､3支红色､2支蓝色，将这10支笔排成一排，则2支蓝色的笔排在一起的概率为（） A． B． C． D．变式2．现有把相同的椅子排成一排，甲、乙、丙三人每人选取其中的一把椅子入座，在这三人中有两人相邻坐的条件下，则三人均相邻（甲、乙、丙之间无空座）的概率为（） A． B． C． D．变式3．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（） A．种 B．种 C．种 D．种

题型05插空法（不相邻问题）典｜例｜精｜析典例1．甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（） A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种典例2．2024年10月30日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（） A．16种 B．32种 C．48种 D．64种插空法用于解决“不相邻”问题，核心是“先排无限制，后插空档”，易错点如下：1、插空对象搞反：必须先排无限制的元素，形成空隙后，再将不相邻的元素插入。若先排不相邻元素，空隙无法正确形成，极易导致逻辑混乱。2、空隙计数错误：n个元素排好后，产生的空隙数是n+1（含两端）。很多题目隐含“不排在两端”的限制，此时需扣除首尾，空隙数变为n−1，务必看清限制条件。3、忘记自身排序：这是最常见的遗漏。插入空隙时，不相邻元素本身通常是不同的，必须进行全排列（A），切勿误用组合（C）。变｜式｜巩｜固变式1．已知A、B、C、D、E、F六个人站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法共有（）种 A．186 B．264 C．284 D．336变式2．一个小型联欢会要安排1个诗词朗诵类节目，2个独唱类节目，2个歌舞类节目，则同类节目不相邻的安排方式共有（） A．44种 B．48种 C．72种 D．80种变式3．（多选）甲、乙、丙、丁、戊、己六名学生站成一排照相，则下列选项正确的为（） A．若甲和乙站在两端，则不同站法的种数为48 B．若甲不站排头，乙不站排尾，则不同站法的种数为480 C．若甲不站两端，乙和丙相邻，丁和戊相邻，则不同站法的种数为48 D．若甲、乙、丙三名学生两两不相邻，且丁、戊、己三名学生也两两不相邻，则不同站法的种数为72

题型06优先法（特殊位置）典｜例｜精｜析典例1．（多选）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每人都要安排一项工作，每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则这5名同学全部被安排的方案数是 D．若司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为典例2．（多选）现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（） A．若自由放置，共有3125种不同的放法 B．恰有一个盒子不放球，共有240种放法 C．每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有20种 D．将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有20种典例3．某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（） A．72 B．84 C．90 D．96特殊位置优先法（优限法）用于解决“元素/位置受限”问题，核心是“先排受限，后排自由”，易错点如下：1、对象选择失误：当“特殊元素”和“特殊位置”同时存在时，优先处理被限制得最死的一方（即选择范围最小的），否则易导致后续步骤选择范围错误。2、忽视“包含”关系：若特殊元素必须排在特殊位置上，处理完后，该元素和位置均被消耗，后续计算总数时务必扣除已用的元素和位置，否则会导致总数计算错误。3、逻辑重复：切勿在排完特殊位置后，又在排剩余位置时重复考虑该特殊元素，或在分步乘法中混淆了元素与位置的对应关系。变｜式｜巩｜固变式1．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是（） A．360 B．396 C．432 D．756变式2．现有甲、乙、丙、丁、戊5人参加社区志愿者服务活动，每人从事团购、体温测量、进出人员信息登记、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.若甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（） A．234 B．152 C．126 D．108变式3．（多选）甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到，，，四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（） A．不同的安排方法共有240种 B．甲志愿者被安排到学校的概率是 C．若学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种 D．在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的概率是变式4．（多选）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（） A．某学生从中选3门，共有30种选法 B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 C．课程“礼”“乐”“数”排在相邻三周，共有144种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法

题型07插板法（相同元素分配）典｜例｜精｜析典例1．学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（）种分配方案. A． B． C． D．典例2．将16个扶困助学的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额数互不相等，则不同的分配方法种数为（） A．42 B．78 C．90 D．84典例3．不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的四元数组的组数为（） A．1360 B．2380 C．2510 D．760插板法用于解决“相同元素分给不同对象”的问题，核心是“”，易错点如下：1、忽视“至少一个”前提：公式仅适用于每组分得至少1个元素的情况。若允许“分不到”（即可以为0），需先给每组“借”1个元素（化为至少1个），计算后再“还”回去，此时公式变为。2、混淆“同”与“异”：插板法要求元素必须相同且对象必须不同。若元素不同，需用分步乘法；若对象相同，则属于分组问题，均不可直接套用插板法。3、忽视上限限制：若题目规定某组“最多”分k个，直接用插板法会包含超过k的情况。此时应优先用排除法（总情况减去违规情况），或通过转换将“最多”转化为“至少”问题求解。变｜式｜巩｜固变式1．某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有5个班级，现将7个参赛名额分配给这5个班级，每班至少1个参赛名额，则不同的分配方法为（） A．21种 B．18种 C．15种 D．10种变式2．某地举办科技博览会，有个场馆，现将个志愿者名额分配给这个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有种（） A． B． C． D．变式3．（多选）某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴某市的四个区参加防疫工作，每名医生只能去一个区，则下列说法正确的是（） A．若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法 B．若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法 C．若甲不去区，乙不去区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法 D．若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服，且每区至少发放3箱，则共有84种不同的安排方法

题型08间接法典｜例｜精｜析典例1．某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为（） A．84 B．90 C．96 D．100典例2．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（） A．14 B．16 C．20 D．48典例3．有甲､乙､丙等8名学生排成一排照相，计算其排法种数，在下列答案中正确的是（） A．甲排在两端，共有种排法 B．甲､乙都不能排在两端，共有种排法 C．甲､乙､丙三人相邻（指这三个人之间都没有其他学生），共有种排法 D．甲､乙､丙互不相邻（指这三人中的任何两个人都不相邻），共有种排法间接法（排除法）的核心是“正难则反”，即用总情况减去反面情况，易错点如下：1、“反面”找不全：这是最大陷阱。反面情况必须与正面情况互补（即并集为全集，交集为空）。例如“都不”的反面不是“都”，而是“至少有一个”；“至少两个”的反面是“至多一个”。2、总情况数计算错误：使用间接法时，总情况数必须是无任何限制条件下的所有可能。若总情况数算错（如忘记某些隐含限制），后续所有计算都将无效。3、反面情况计算复杂：不要盲目使用间接法。若反面情况分类繁多（如“至少3人”的反面是“0人、1人、2人”），计算量可能比直接法还大，需灵活判断。变｜式｜巩｜固变式1．甲，乙两名大学生计划今年寒假分别从黄果树风景名胜区、龙宫景区、天龙屯堡景区、安顺古城四个不同的景区中随机选两个景区前往旅游打卡，则这两人恰好有一个景区相同的选法共有（） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种变式2．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（） A．140种 B．120种 C．35种 D．34种变式3．在某次太空旅行中，宇航员们要对需要完成的A，B，C，D，E，F六个科学实验进行排序，则下列说法正确的是（） A．若A，B相邻，则不同的排序种数有240种 B．若C，D相隔一个实验，则不同的排序种数有96种 C．若E不在第一个，F不在最后一个，则不同的排序种数有504种 D．A排在B，C之前的概率为

题型09定序法（倍缩法）典｜例｜精｜析典例1．某公司销售六种不同型号的新能源电动汽车、、、、、，为了让顾客选出自己心仪的电动汽车，把它们按顺序排成一排，必须安排在前两个位置，、不相邻，则不同的排法有（） A．144种 B．156种 C．160种 D．178种典例2．（多选）2023年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名，在极超音速和水下无人机等23个领域中，中国在其中19个领域领先.某科技博主从这19个领域中选取了A，，，，，六个领域，准备在2024年1月1—6日对公众进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则（） A．A，在后3天介绍的方法种数为144 B．，相隔一天介绍的方法种数为96 C．不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为504 D．A在，之前介绍的概率为定序倍缩法用于解决“顺序一定”问题，核心是“总数除以阶乘”，易错点如下：1、误用除法对象：倍缩时，除数必须是定序元素的全排列数，而非所有元素的阶乘。例如“甲乙丙顺序一定”，应除以3!，而非2、混淆“相邻”与“定序”：倍缩法仅适用于相对顺序固定（不要求相邻）的情况。若题目要求“甲乙丙必须相邻且顺序不变”，则应使用捆绑法将其视为一个整体，不可直接倍缩。3、忽视“部分定序”：若仅有部分元素顺序固定（如5人中甲乙顺序一定），其余元素任意排列，公式应为（即），切勿漏掉对其余元素的全排列计算。变｜式｜巩｜固变式1．某学校文艺汇演准备从甲、乙、丙、丁、戊5人中选4人参加演出．要求甲和乙必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足甲在前、乙在后，那么不同的演出顺序种数有（） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种变式2．某单位晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三个，节目乙和节目丙相邻，该晚会节目演出顺序的编排方案共有（） A．120种 B．156种 C．188种 D．240种变式3．某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（） A．若哪吒每次使用两种法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 B．若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 C．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种 D．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有种

题型10几何图形取点问题典｜例｜精｜析典例1．格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点.一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”（如：，则点到原点的格点距离为）.格点距离为定值的点的轨迹称为“格点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径.当格点半径为6时，格点圆的半径有______________条（用数字作答）.典例2．四面体的一个顶点为A，从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法共有（） A．30种 B．33种 C．36种 D．39种排列组合中的几何取点问题，核心在于“图形容斥”，易错点如下：1、忽视“共线”陷阱：这是最致命的错误。直接用组合数计算三角形或四边形个数时，往往包含了三点或四点共线的退化情况。必须减去这些共线点的组合数。2、立体几何维度不清：在立体图形（如四面体、正方体）中取点，需注意点是否在同一平面内。例如计算异面直线时，易将共面直线误算进去；计算平面个数时，易漏掉由对角面或截面构成的平面。3、混淆“点”与“线/面”：题目问“能构成多少个三角形”，有时会误算成“能连多少条线”。需明确最终几何图形的定义（如三角形需3点不共线），严格区分计数目标。变｜式｜巩｜固变式1．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是__________________.变式2．二维码是一种由黑色和白色组成的双色方格阵图，规定如果一个的二维码有对称轴且绕其中心逆时针旋转后能与自身重合，称其为“转转码”，则“转转码”的个数为______________.（用数字作答）

题型11涂色问题典｜例｜精｜析典例1．给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（） A．216种 B．168种 C．192种 D．180种典例2．提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（） A．288种 B．296种 C．362种 D．384种1、混淆“先选色再涂色”与“直接涂色”，忽略颜色数量限制；2、选色时未考虑颜色是否必须全部使用，导致重复或漏算；3、涂色时未按相邻关系正确分步，造成颜色冲突或顺序依赖错误；4、环形或对称图形未处理首尾相邻或对称重复，误用除法去重；5、对“至少/至多”条件未分类讨论，直接计算导致偏差；6、复杂图形未先固定关键区域颜色再扩展，使计数变得混乱；7、忽略颜色相同与不同的区别，尤其是在选色后再排列时出错.变｜式｜巩｜固变式1．如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（） A．24种 B．48种 C．72种 D．84种变式2．重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（） A． B． C． D．变式3．如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有________________种不同的染色方案.

题型12排列组合综合问题典｜例｜精｜析典例1．设正整数其中，记，则下列说法错误的是（） A．(10)=2. B．(16n+5)=ω(4n+3). C．(8n+5)=ω(4n+5). D．若n<256且(n)=3，则符合条件的n有56个.典例2．若为的任意排列，设，，则（）（已知表示中最小的数，表示中最大的数） A．排列总数为个 B．满足的排列有80个 C．的概率小于 D．的概率为1、混淆“有序盒”与“无序盒”，把编号盒当相同盒处理。2、分配时未分清“每个盒至少一个”还是“允许空盒”。3、均分问题未除以组数阶乘，导致重复计数。4、非均分误用除法，造成漏算。5、先分组后分配时顺序混乱，未乘以盒的排列数。6、元素相同与不同未区分，模型选错。7、限制条件（如某盒必放某元素）未优先处理，导致依赖关系出错。变｜式｜巩｜固变式1．现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次（每个球被抽取的可能性相同），记录被抽取的球的序号分别为，，，则满足的情况有（）种. A．54 B．55 C．56 D．58变式2．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如：，，现将、、、、的函数值排成一列，则组成的不同五位数的个数为（） A． B． C． D．变式3．（多选）数字按如图形式随机排列，设第一行的数为，第二､三行中的最大数分别为，第二､三行中的最小数分别为，则（） A．排列总数为720个 B．的概率为 C．满足的排列有120个 D．的概率为

题型13二项式定理的系数典｜例｜精｜析典例1．的二项展开式中，的系数为__________________.典例2．的展开式中含项的系数是_______________．典例3．的展开式中项的系数是__________________.1、混淆“二项式系数”与“项的系数”，忽略符号、数字因数和字母系数。2、通项公式写错：指数、组合数下标上标对应错误，或漏掉中的幂次关系。3、求特定项时未先求r再代入，直接凭直觉写系数。4、含负号时未正确处理，导致符号错误。5、多项展开或乘积形式展开时，未按分配律逐项相乘再合并同类项，漏项或算错系数。6、系数与“二项式系数最大项”“系数最大项”混淆，未比较相邻项系数大小。7、忽略展开式中某项可能为常数项，指数计算错误。变｜式｜巩｜固变式1．二项式的展开式中的系数为，则________________.变式2．的展开式中的系数为_______________.变式3．若展开式中的系数为，则________________.变式4．的展开式中，的系数为__________________.

题型14系数和、二项式系数和典｜例｜精｜析典例1．若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（） A．12 B．15 C．20 D．30典例2．若，则（） A．180 B． C．360 D．典例3．已知的二项式系数和为64，则其中错误的是（） A． B．常数项是第3项 C．二项式系数最大值为20 D．所有项系数之和等于1典例4．（多选）设，则（） A． B． C． D．1、混淆“二项式系数和”与“各项系数和”，前者只用组合数，后者需代入赋值。2、求系数和时未正确赋值，如令x=1或x=-1时符号处理错误。3、求奇、偶项系数和时公式记忆混乱，导致加减颠倒。4、含常数项或负系数时未注意项的范围，求和时漏项或多算。5、多项展开或乘积形式中误用单一二项式的系数和公式。6、忽略“系数”与“二项式系数”在最大项问题中的区别。7、对“所有项系数绝对值和”未正确处理符号，直接求和出错。变｜式｜巩｜固变式1．若的展开式中，所有二项式系数之和为32，则该展开式中的常数项为（） A．－48 B．48 C．－80 D．80变式2．（多选）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（） A． B．第4项的二项式系数最大 C．的系数为 D．展开式各项系数之和为变式3．（多选）设，则下列结论正确的是（） A．常数项为2 B．第4项系数为 C．奇数次系数和为32 D．当时，该式的值为2916变式4．（多选）已知，则（） A． B． C． D．

题型15整除和杨辉三角典｜例｜精｜析典例1．若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（） A． B． C． D．典例2．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数1、混淆“整除”与“余数为0”，忽略被除数或除数的范围。；2、用杨辉三角找规律时，把组合数性质记错，如对称性、递推关系；3、处理整除问题时未正确分解因数，导致无法判断整除性；4、对二项式展开中的整除性依赖项未分离常数项和含因子项；5、用数学归纳法证明整除时，归纳假设使用不完整或递推步骤出错；6、忽略杨辉三角中组合数的奇偶性规律，误用“模2”性质；7、对“能被某个数整除的项”未按指数或组合数分类讨论，导致漏项.变｜式｜巩｜固变式1．若的展开式中，各项的二项式系数之和为128，系数和为，则除于13的余数是（） A．0 B．3 C．10 D．11变