2025-2026学年其拍拍教案

2025-2026学年其拍拍教案课题：XX课时：1授课时间：2025课程基本信息课程名称：二次函数的应用

教学年级和班级：九年级（1）班

授课时间：2025年9月15日第2节课

教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标二、核心素养目标通过实际问题分析，提升数学建模能力；运用二次函数性质解决最值问题，发展数学运算与逻辑推理；体会函数与现实生活的联系，增强应用意识。学习者分析三、学习者分析学生已掌握二次函数的定义、图像及性质（开口方向、顶点、对称轴、增减性），具备一次函数、反比例函数的基础，接触过简单函数建模（如求最大利润）。九年级学生对与生活相关的数学应用题（如销售、运动轨迹）有一定兴趣，部分学生能熟练进行代数运算和图像分析，但逻辑推理与综合应用能力存在差异，学习风格上偏好直观演示或抽象推导。可能遇到的困难：实际问题转化为函数关系式时（如找变量、列表达式）易出错；结合图像解决最值问题时顶点坐标计算或对称轴应用不熟练；综合应用时需结合方程、不等式知识，易混淆条件或遗漏解题步骤。教学资源几何画板；二次函数图像动态演示软件；实物投影仪；希沃白板；二次函数最值问题例题库；篮球运动轨迹实物模型；二次函数应用题练习册；小组讨论记录单；黑板与彩色粉笔；课本配套习题资源包。教学过程设计（一）导入环节（5分钟）

教师手持篮球运动轨迹实物模型，播放篮球运动员投篮的短视频（约15秒），暂停在篮球达到最高点的画面。提问：“同学们，篮球在空中运动的高度随时间变化有什么规律？如何求篮球能达到的最大高度？”学生自由发言后，教师引导：“这个问题可以用我们学过的二次函数来解决，今天我们就来探究二次函数在解决实际问题中的应用。”教师用几何画板动态展示篮球运动轨迹的模拟动画（设定出手高度1.8米，初始速度10m/s，重力加速度10m/s²，高度h与时间t的关系式为h=-5t²+10t+1.8），提问：“观察图像，最高点对应的t值是多少？最大高度是多少？”学生观察后回答，教师板书课题：“二次函数的应用——最值问题”。

（二）讲授新课（15分钟）

1.问题建模（7分钟）

教师呈现例题1：某商店销售一种服装，进价每件60元，售价每件80元时，每天可售出20件。市场调研表明，售价每上涨1元，销量就减少1件；售价每下降1元，销量就增加1件。设售价为x元（x≥60），每天利润为y元，请写出y与x的函数关系式。

教师引导学生分析：“利润=售价×销量，售价x与进价60的差是每件利润，销量与售价的关系是什么？”学生小组讨论（2分钟），代表发言：“售价上涨（x-80）元时，销量减少（x-80）件，销量为20-（x-80）=100-x；售价下降（80-x）元时，销量增加（80-x）件，销量为20+（80-x）=100-x。所以销量都是100-x件。”教师追问：“x的取值范围是什么？”学生回答：“x≥60，且销量100-x≥0，所以60≤x≤100。”教师板书函数关系式：y=（x-60）（100-x）=-x²+160x-6000。

2.求最值方法（8分钟）

教师提问：“如何求利润的最大值？”学生回忆二次函数最值求法，教师引导：“这个函数的图像开口方向？顶点坐标公式？”学生回答：“开口向下，顶点横坐标x=-b/2a=-160/（-2）=80。”教师用几何画板动态演示函数y=-x²+160x-6000的图像，拖动x值，观察y值变化，验证x=80时y最大。计算最大利润：y=（80-60）（100-80）=400元。教师强调：“实际问题中求最值，要先确定自变量取值范围，再判断顶点是否在范围内，若不在，则取端点值。”

师生互动：教师提问“如果售价定为85元，利润是多少？x=90时呢？”学生快速计算，教师巡视指导，纠正计算错误。提问“为什么x=80时利润最大，而不是x=90？”学生结合图像回答：“顶点处函数值最大，开口向下。”

（三）巩固练习（20分钟）

1.基础巩固（8分钟）

学生独立完成练习1：用20米篱笆围一面靠墙的长方形菜园，设垂直于墙的一边长为x米，面积为S平方米，求S与x的函数关系式，并求菜园的最大面积。

教师巡视，收集典型解法：学生A列出S=x（20-2x）=-2x²+20x；学生B忘记x的取值范围（0＜x＜10）。教师用实物投影展示两种解法，提问：“谁的做法正确？为什么？”学生指出学生B未考虑取值范围，教师强调：“实际问题中自变量取值范围必须符合实际意义。”

2.综合应用（7分钟）

小组合作完成练习2：某企业生产一种产品，每件成本为50元，售价为80元时，每天可售出100件。售价每上涨1元，销量减少2件。设售价为x元，每天利润为y元。

（1）求y与x的函数关系式；

（2）售价定为多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？

小组讨论（3分钟），代表展示：（1）y=（x-50）（100-2x）=-2x²+200x-5000；（2）顶点x=50，但售价x≥50，销量100-2x≥0，所以x≤50，故x=50时，y=0，显然不对。教师引导：“这里顶点横坐标x=50，但x=50时销量为0，利润为0，说明顶点不在取值范围内，应取端点值。”学生重新分析取值范围：x≥50，100-2x≥0⇒x≤50，所以x=50，但利润为0，矛盾。教师追问：“售价能不能低于80元？”学生恍然大悟：“售价可以下降，x＜80时，销量增加，100-2（80-x）=100-160+2x=2x-60，所以销量为2x-60，y=（x-50）（2x-60）=2x²-160x+3000。”教师总结：“实际问题中要全面考虑变量关系，不能遗漏情况。”

3.拓展提升（5分钟）

教师提问：“生活中还有哪些问题可以用二次函数最值解决？”学生举例：“喷泉水柱高度、商品定价、材料最省等。”教师呈现开放题：设计一个生活中能用二次函数最值解决的问题，并列出函数关系式。学生自由创作，教师选取典型案例展示，如“用定长篱笆围矩形鸡舍，如何设计尺寸使面积最大？”

（四）课堂小结（3分钟）

学生总结：“本节课学会了用二次函数解决实际问题，步骤是：找变量、列关系式、定范围、求最值。”教师补充：“关键是建立数学模型，体会数学与生活的联系。”

（五）作业布置（2分钟）

1.课本PXX习题第1、3题；

2.完成拓展设计的实际问题并求解。

总用时：5+15+20+3+2=45分钟学生学习效果六、学生学习效果本节课后，学生在二次函数应用方面取得显著效果。知识掌握上，学生能准确建立实际问题中的二次函数模型，如销售利润问题中正确列出y=(x-60)(100-x)的关系式，确定60≤x≤100的取值范围；围栏面积问题中写出S=x(20-2x)并明确0＜x＜10的限制条件。90%以上学生能熟练运用顶点坐标公式求最值，80%学生能判断顶点是否在取值范围内，如练习2中通过分析顶点x=50不在有效范围x≥50且销量100-2x≥0内，调整思路重新建立函数关系式。能力提升方面，数学建模能力显著增强，学生能将篮球运动轨迹转化为h=-5t²+10t+1.8的函数式，并求出最大高度；数学运算能力提高，能快速展开、化简二次函数表达式，如y=(x-50)(100-2x)=-2x²+200x-5000，准确计算顶点坐标和最值；逻辑推理能力得到锻炼，小组讨论中能清晰分析变量制约关系，如“售价每上涨1元，销量减少1件”转化为销量=100-x。素养发展上，应用意识明显提升，学生主动举例生活中二次函数最值问题，如“用定长篱笆围矩形鸡舍求最大面积”“商品定价求最大利润”；创新意识增强，开放题中设计出“喷泉水柱高度与时间关系式”“材料最省问题”等符合实际的应用题；严谨性养成，学生养成检查取值范围的习惯，如基础练习中能纠正“忘记x＜10”的错误，理解数学结论需符合实际条件。课堂互动中，学生能积极参与讨论，主动展示解题思路，如练习2小组代表正确展示函数关系式并分析取值范围；课后作业完成质量高，95%学生能独立完成课本习题，80%学生能设计并解决拓展应用题，体现从知识掌握到能力迁移再到素养内化的学习效果。作业布置与反馈作业布置：

1.基础巩固：完成课本PXX习题第1、3题，重点巩固二次函数关系式建立和取值范围确定。

2.拓展应用：设计一个生活中能用二次函数最值解决的问题（如商品定价、材料优化），列出函数关系式并求解最值。

3.预习任务：阅读课本下一节内容，尝试解决课本例题中的实际问题，标注疑问点。

作业反馈：

1.批改时标注常见错误类型：关系式建立错误（如变量关系混淆）、取值范围遗漏、顶点坐标计算失误。

2.针对拓展应用题，选取典型案例在班级展示，点评模型合理性与实际意义，强化应用意识。

3.对预习任务中的疑问进行分类整理，下节课前5分钟集中讲解共性难点，如复杂情境中的变量提取。

4.对基础薄弱学生进行面谈辅导，重点强化建模步骤：找变量→列关系式→定范围→求最值，确保知识内化。重点题型整理1.销售利润问题：某商店销售服装，进价60元/件，售价80元时日售20件。售价每涨1元，销量减1件；售价每降1元，销量增1件。设售价x元，利润y元，求y与x关系式及最大利润。

答案：y=(x-60)(100-x)=-x²+160x-6000。顶点x=80，y=400元。

2.运动轨迹问题：篮球投篮，出手高度1.8米，初速10m/s，重力加速度10m/s²。求最大高度。

答案：h=-5t²+10t+1.8。顶点t=1，h=6.8米。

3.面积最值问题：用20米篱笆围靠墙长方形菜园，垂直墙边长x米，面积S平方米。求S与x关系式及最大面积。

答案：S=x(20-2x)=-2x²+20x。顶点x=5，S=50平方米。

4.材料优化问题：矩形纸片长20厘米、宽16厘米，剪去四角小正方形（边长x厘米）折无盖盒。求最大体积。

答案：V=x(20-2x)(16-2x)。顶点x=2，V=512立方厘米。

5.综合应用题：企业生产产品，成本50元/件，售价80元时销量100件。售价每涨1元，销量减2件。求最大利润。

答案：y=(x-50)(100-2x)=-2x²+200x-5000。顶点x=50，但销量为0，实际最大在x=75，y=1250元。内容逻辑关系①重点知识点：二次函数建模步骤、变量关系建立、取值范围确定。词：建模、变量