轴对称和平移的坐标课件2025-2026学年湘教版八年级数学下册

2.3轴对称和平移的坐标表示第2章

图形与坐标2.3.1

轴对称的坐标表示第2章

图形与坐标1.

探究在平面直角坐标系中关于

x

轴和

y

轴对称点的坐标特点；2.

能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于

x轴和

y轴的对称图形；3.能根据坐标系中轴对称点的坐标特点解决简单的问题.情境：北京中轴线

“北京中轴线”纵贯北京老城南北，始建于13世纪，形成于16世纪，此后经不断演进发展，形成今天全长7.8公里、世界上最长的城市轴线。问题1：小楠和小明暑假跟着一起去北京游玩.路上碰到一位游客在天安门询问太庙的位置，但小楠只知道社稷坛的位置，聪明的小明想了想，就准确的告诉了游客，你能猜到小明是怎么做的吗？

由图可知，太庙和社稷坛是关于北京中轴线对称的一对建筑，所以知道了社稷坛的位置，就能快速找到太庙的对应位置.问题2：如图，在平面直角坐标系中，点

A的坐标为(3，2).（1）分别作出点

A关于

x轴，y轴的对称点

A′，A″，并写出它们的坐标；（2）分析点

A与

A′之间，点

A与

A″之间的坐标关系.A′A″（1）A′(3，-2)，A″(-3,2)；（2）A(3，2)A′(3，-2)；关于

x轴对称A(3，2)A′′(-3，2).关于

y轴对称思考：结合坐标和图象，试着归纳关于坐标轴对称的点的坐标规律.变换横坐标纵坐标关于x轴对称不变互为相反数关于y轴对称互为相反数不变关于坐标轴对称的点的坐标的特点思考：如果改变点

A

的坐标，上述规律仍然成立吗？一般地，在平面直角坐标系中：点(a，b)关于

x轴的对称点的坐标为_________.点(a，b)关于

y轴的对称点的坐标为_________.(a，-b)横坐标相等，纵坐标互为相反数.(-a，b)横坐标互为相反数，纵坐标相等.思考：点

P(a，b)关于原点中心对称的点的坐标是什么？(-a，-b)问题3：如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为

A(2，4)，B(1，2)，C(5，2).（1）作出

△ABC关于

y轴的对称图形，

并写出其顶点坐标；（2）作出

△ABC关于

x轴的对称图形，

并写出其顶点坐标.思路引导：作一个图形关于坐标轴的轴对称图形，怎样画最简便呢？A2(2，-4)B1(-1，2)C1(-5，2)A1(-2，4)B2(1，-2)C2(5，-2)

如图，结合关于坐标轴对称的点的坐标的特点作图即可：①分别作出三角形三个顶点关于坐标轴的对称点；②连接三个对称点，所得图形即为所求作的图形.例1：如图，求出折线

OABCD各转折点的坐标以及它们关于

y轴的对称点

O′、A′、B′、C′、D′的坐标，并将

O′、A′、B′、C′、D′依次用线段连接起来.解：由图可知，折线

OABCD各转折点的坐标分别为：O(0，0)，A(2，1)，B(3，3)，C(3，5)，D(0，5)；因而它们关于

y轴的对称点的坐标分别是：

O′(0，0)，A′(-2，1)，B′(-3，3)，C′(-3，5)，D′(0，5).将各点依次连接起来，得到右图.回顾：结合本节课所学知识，回答下列问题.1.说说关于坐标轴对称的点的坐标的特点.2.简述在平面直角坐标系中画一个关于

x

轴或

y

轴对称的图形的基本步骤.变换横坐标纵坐标关于x轴对称不变互为相反数关于y轴对称互为相反数不变1.填空：（1）点

B(2，-3)关于

x轴对称的点的坐标是________；

（2）点

A

(-5，3)关于

y轴对称的点的坐标是________.(2，3)(5，3)2.（1）如果点

A(-4，a)与点

A′(-4，-2)关于

x轴对称，求

a的值.

（2）如果点

B(-2，2b+1)与点

B′(2，3)关于

y轴对称，求

b的值.解：（1）由题意得

a-2=0，解得

a=2.（2）由题意得2b+1=3，解得

b=1.北京中轴线官网：/2.3.2一次平移的坐标表示第2章

图形与坐标1.

掌握图形在平面直角坐标系中平移前后点的坐标的变化规律；2.

用点的坐标变化表示图形的平移.回顾：说说关于坐标轴对称的点的坐标的特点.变换横坐标纵坐标关于x轴对称不变互为相反数关于y轴对称互为相反数不变问题1：如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)分别沿坐标轴方向作以下变换，试作出点

A的像，并写出像的坐标.（1）点

A向右平移4个单位长度，像为点

A1；（2）点

A向左平移3个单位长度，像为点

A2；（3）点

A向上平移2个单位长度，像为点

A3；（4）点

A向下平移4个单位长度，像为点

A4.A(1，2)向右平移4个单位长度A1(5，2)A1A(1，2)向左平移3

个单位长度A2(-2，2)A2A3A4思考：观察平移时坐标变化的规律？A(1，2)向上平移2个单位长度A3(1，4)A(1，2)向左下平移4个单位长度A4(1，-2)不变加2不变减4加4不变减3不变平

移横

坐

标纵

坐

标向右平移4个单位长度向左平移3个单位长度向上平移2个单位长度向下平移4个单位长度点在平面直角坐标系中平移时坐标变化的规律注意：左右平移，纵坐标不变；上下平移，横坐标不变.

一般地，在平面直角坐标系中，将点

P(a，b)向右或向左平移

k个单位长度，其像的坐标为

(a+k，b)或(a-k，b).

将点

P(a，b)向上或向下平移

k个单位长度，其像的坐标为(a，b+k)或(a，b-k).问题2：如图，线段

AB的两个端点坐标分别为

A(1，1)，B(4，4).（1）将线段

AB向上平移2个单位长度，作出它的像

A′B′，并写出点

A′，B′的坐标；（2）若点

C(x，y)是平面内的任一点，在上述平移下，像点

C′(x′，y′)与点

C(x，y)的坐标之间有什么关系？（1）A′(1，3)，B′(4，6)；（2）像点

C′与点

C之间的坐标关系为：x′=x，y′=y+2.A′B′例1：如图，△ABC的顶点坐标为

A(3，3)，B(2，1)，C(5，1).（1）将

△ABC向下平移5个单位长度，作出它的像，并写出像的顶点坐标；（2）将

△ABC向左平移7个单位长度，作出它的像，并写出像的顶点坐标.A1B1C1A2B2C2（1）A1(3，-2)，B1(2，-4)，C1(5，-4)；（2）A2(-4，3)，B2(-5，1)，C2(-2，1)；回顾：结合本节课所学知识，回答下列问题.1.说说点平移的坐标特征；2.简述图形的平移方法及平移后顶点坐标的对应关系.点

的

平

移横

坐

标纵

坐

标左右平移向右平移

x个单位长度+x不变向左平移

x个单位长度-x不变上下平移向上平移

y个单位长度不变+y向下平移

y个单位长度不变-y1.填空：（1）点

A(-1，2)向右平移2个单位长度，它的像是点

A′_________；（2）点

B(2，-2)向下平移3个单位长度，它的像是点

B′_________.(1，2)(2，-5)解：A′(-2，-5)，B′(2，-1)，C′(x，y-3)，像点

C′与点

C之间的坐标关系为：x′=x，y′=y-3.2.如图，线段

AB的两个端点的坐标为A(-2，-2)，B(2，2)，点

C(x，y)是平面内的任一点，将线段

AB和点

C均向下平移3个单位长度，分别得到它们的像是线段

A′B′和点

C′(x′，y′).试写出点

A′，B′，C′的坐标，点

C′与点

C的坐标之间有什么关系？A′B′3.如图，正方形

ABCD的顶点坐标为A(2，2)，B(2，-2)，C(6，-2)，D(6，2)，将正方形

ABCD向左平移4个单位长度，作出它的像，并写出像的顶点坐标.A′B′C′D′A′(-2，2)B′(-2，-2)C′(2，-2)D′(2，2)2.3.3二次平移的坐标表示第2章

图形与坐标1.

掌握图形在平面直角坐标系中平移前后点的坐标的变化规律；2.

用点的坐标变化表示图形的平移.情境：如图，小楠同学每天上课可以选择三条路径.假如将小楠同学看成是一个人形的图形，将这个图形分别沿着三条路径移动到学校位置，则移动后的三个图形与原始图形有什么关系？家学校①②③

把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫作平移.

平移后图形只改变位置，形状、大小不变.问题1：如图，△ABC的顶点坐标为

A(-4，-1)，B(-5，-3)，C(-2，-4).（1）将

△ABC向右平移7个单位长度，

作出它的像

△A1B1C1；（2）将

△A1B1C1向上平移5个单位长度，

作出它的像

△A2B2C2.ABCA1B1C1A2B2C2思考：将

△ABC沿射线

AA2的方向平移线段

AA2

的长度，则△ABC的像是△A2B2C2吗？ABCA1B1C1A2B2C2问题2：如图，结合平移前后点的坐标，总结图形平移的规律.A(-4，-1)，B(-5，-3)，C(-2，-4).A1

(3，-1)，B1

(2，-3)，C1

(5，-4)A2

(3，4)，

A2

(3，4)，

C2

(5，1)

在这个平移下，平面内任一点

P(x，y)

与其像点

P′(x′，y′)的坐标之间有如下关系：x′=x+7y′=y+5图形平移的方向与距离图形上点的平移的方向与距离点平移时坐标变化规律图形上点的坐标变化图形平移时点的坐标变化规律例1：如图，四边形

ABCD四个顶点的坐标为

A(1，2)，B(3，1)，C(5，2)，D(3，4).将四边形

ABCD先向下平移5个单位长度，再向左平移6个单位长度，它的像是四边形

A′B′C′D′.（1）写出四边形

A′B′C′D′的顶点坐标，并

作出该四边形.（2）四边形

A′B′C′D′可看作是将四边形

ABCD怎样平移得到的？解：（1）A′(-5，-3)，B′(-3，-4)，

C′(-1，-3)，D′(-3，-1).A′C′D′B′（2）将四边形

ABCD沿射线

AA′的方向平移线段

AA′的长度，则可得四边形

A′B′C′D′.练一练：如图，菱形

ABCD四个顶点的坐标为

A(4，7)，B(2，4)，C(4，1)，D(6，4).将菱形

ABCD先向下平移3个单位长度，得到像

A′B′C′D′.再将菱形

A′B′C′D′向左平移6个单位长度，得到像

A″B″C″D″.分别写出菱形

A′B′C′D′与菱形

A″B″C″D″的顶点坐标，并作出图形.B′(2，1)A′(4，4)C′(4，-2)D′(6，1)B′′(-4，1)A′′(-2，4)C′′(-2，-2)D″(0，1)回顾：结合本节课所学知识，回答下列问题.1.说说图形在坐标系中平移的坐标特征；2.构建知识导图.图形在坐标系中的平移沿x轴平移沿y轴平移纵坐标不变向右平移，横坐标加上一个正数向左平移，横坐标减去一个正数横坐标不变向上平移，纵坐标加上一个正数向下平移，纵坐标减去一个正数1.如图，以

x轴为对称轴作轴对称变换，画出Rt△ABC在该轴对称变换下的像，并写出像与原像的