2025北京东直门中学高一10月月考数学试题及答案

试题2025北京东直门中学高一10月月考数学2025.10考试时间：120分钟总分150分一、选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分）1.若，则等于（）A.1 B. C.0或1 D.0或1或2.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.3.下列集合中，与集合相等的是（）A. B.C. D.4.若，则的最小值是（）A. B. C.4 D.55.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.6.设，，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.设，则“”成立的必要不充分条件是（）A. B. C. D.8.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线.下列结论：①；②；③.其中结论正确的为（）A.② B.①② C.①③ D.②③9.对于实数a，b，c，下列说法错误的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.若不等式的解集是，则的值为（）A. B. C.10 D.1411.已知集合，.若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.12.数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（）A. B. C. D.二.填空题：（本题有8道小题，每小题4分，共32分）13.多项式可分解为，则的值为_____.14.设命题，，则命题的否定为_____.15.能够说明“设是任意实数.若，则”是假命题的一组整数的值依次为__________.16.不等式的解集是_____.17.学校举办秋季运动会时，高一（2）班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田赛和径赛的有__人．18.若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是______．19.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个边长为（单位：）的内接矩形花园（阴影部分），该矩形花园的面积最大值是_____，此时_____m.20.已知集合为非空数集，且同时满足下列条件：（ⅰ）；（ⅱ）对任意的，任意的，都有；（ⅲ）对任意的且，都有．给出下列四个结论：①；②；③对任意的，都有；④对任意的，都有．其中所有正确结论的序号是________．三.解答题（本题有6小题，共70分）21.已知全集，集合，.（1）求，；（2）求，并写出它的所有子集.22.已知集合A、B，，.（1）若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合；（2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.23.设全集为R，集合，.（1）若，求；（2）在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围.24.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.25.已知关于的一元二次方程.（1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若上述方程有两个不等负根，求的取值范围；（3）设该方程的两个实根为，求的最小值.26.给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质．（1）分别判断集合与是否具有性质；（2）若集合具有性质，求的值；（3）若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合．

参考答案一、选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分）123456789101112BDCADABDDBAB二.填空题：（本题有8道小题，每小题4分，共32分）13.【答案】因为，所以；由，解得.可得.故答案为：14.【答案】全称命题的否定是存在量词命题，将“”改为“”，并否定结论，即为，.故答案为：，.15.【答案】当时，满足，但是，.故答案为：（答案不唯一）16.【答案】因为，整理可得，等价于，解得或，所以不等式的解集是{或}.故答案为：{或}17.【答案】设同时参加田赛和径赛的有人，由题意作出韦恩图，结合图形得：，解得．同时参加田赛和径赛的有4人．故答案为：4．18.【答案】①当，即时，不等式为恒成立，所以满足题意；②当时，需满足，解得.综上，的取值范围是.故答案为：.19.【答案】设的高为，的高为，∵，∴，即，∴，则矩形花园的面积，当且仅当，即时取等号.所以当时，矩形花园面积最大，最大值是.故答案为：400，20.20.【答案】由题意可知，，则，结论①正确；，有，，，结论②错误；对任意的，则，有，结论③正确；，则，可得，，即，所以，即，得，由，有，∴当，可得，，故结论④正确.故答案为：①③④三.解答题（本题有6小题，共70分）21.【答案】（1），所以，；（2），则，子集有：22.【答案】（1）当时，，符合条件；当时，中只有一个元素，即只有一个解，可得，解得，此时，综上所述：当时，；当时，；（2）由题意得，解得或，即，当命题是命题的必要不充分条件时，则或或，当时，即且，解得，当时，，解得，此时，不符合题意；当时，，解得，此时，不符合题意；所以的取值范围为.23.【答案】（1）全集为，集合或，；．又时，集合，；（2）选择①作为已知条件．，，又由或得，当时，，解得；当时，或，或，或．选择②，解法同①；选择③，，解法同①，综上，可得的取值范围为，，．24.【答案】（1），当且仅当时，即取“=”，符合题意；∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.（2）又，∴当时，.答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.25.【答案】对于关于的一元二次方程，则，所以无论为何值，方程总有两个不相等的实数根.（2）由（1）可设该方程的两个实根为，若上述方程有两个不等负根，则，解得，所以实数的取值范围为.（3）由（2）可知，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.26.【答案】（1）集合中的，，所以集合不具有性质，集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质；（2）若集合具有性质，记，则，令，则，从而必有，不妨设，则，且，令，，则，且，且，以下分类讨论：1）当时，若，此时，满足性