2025北京十二中高一3月月考数学试题及答案

试题2025北京十二中高一3月月考数学考生须知：1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名、在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码．2．本次练习所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚．3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效．4．本练习卷满分共150分，作答时长90分钟．第I卷（选择题共60分）一、选择题：本部分共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项．1.已知向量，，则（）A. B. C.3 D.52.若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（）A. B.C. D.3.已知角的终边与单位圆交于点，则（）A. B. C. D.4.在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（）A.3 B. C. D.5.向量，，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则（）A.1.5 B.2 C.-4.5 D.-36.在中，为的重心，满足，则（）A. B. C. D.7.已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.若，，，，则（）A. B. C. D.9.若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.10.向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题：①集合是“凸集”；②若为“凸集”，则集合也是“凸集”；③若，都是“凸集”，则也是“凸集”；④若，都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”．其中，所有正确的命题的序号是（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④第II卷（非选择题共100分）二，填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知向量，，若，则实数______．12.已知，，则______．13.已知角为第二象限角，且，则______．14.已知为所在平面内一点，满足，且，，设为向量的夹角，则__________；__________．15.乾坤八卦由乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八个卦象组成，分别代表天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列命题：①；②；③在上的投影向量为；④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4．其中正确命题的序号是______．三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在中，．（1）求的大小；（2）若，再从条件①、条件②中任选一个作为已知，求的值．条件①：的面积为；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．17.如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，．（1）用，表示向量；（2）求的值；（3）求与夹角的余弦值．18.已知函数．（1）求的单调递减区间；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．19.已知向量，．（1）求与平行的单位向量的坐标；（2）设，，若存在，使得成立，求的取值范围．20.如图，已知是边长为2的正三角形．如图，、是边的两个四等分点．（1）求的值；（2）若为线段上一点，且，求实数的值；（3）若为线段上的动点，求的最小值．

参考答案第I卷（选择题共60分）一、选择题：本部分共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项．1.【答案】B【详解】向量，，则，所以.故选：B2.【答案】ABC【详解】对于选项A，因为，则与共线，所以不能作为平面向量的基底，故选项A正确，对于选项B，因为，则与共线，所以不能作为平面向量的基底，故选项B正确，对于选项C，，则与共线，所以不能作为平面向量的基底，故选项C正确，对于选项D，因为不存在实数，使，即与不共线，所以能作为平面向量的基底，故选项D错误，故选：ABC.3.【答案】C【详解】角的终边与单位圆交于点，，.故选：C.4.【答案】B【详解】由余弦定理可得，，故选:B.5.【答案】D【详解】如图，建立平面直角坐标系，由图可知，，，则，所以.故选：D6.【答案】A【详解】设相交于点，为的重心，可得为中点，，，所以，所以.故选：A.7.【答案】D【详解】若，，所以，，当时，，当时，，此时故“”是“”的不充分条件，因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故，但两个向量间的系数不确定，不能推出“”；综上可知，，那么“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D8.【答案】C【详解】由题意，可得，，因为，，可得，，则.故选：C.9.【答案】C【详解】如图，设，，则，由已知，有，所以三角形为等腰三角形.设C为的中点，则，且，所以，即，所以.故选：C.10.【答案】B【详解】由题意得，若对于任意，线段上任意一点，都有，则集合是“凸集”，由此对结论逐一分析对于①，，若对于任意满足，则，由函数的图象知，对线段上任意一点，都有，即，故为“凸集”，①正确对于②，若为“凸集”，则对于任意，此时，其中，对于任意，，故为“凸集”，②正确对于③，可举反例，若，，任取，，则对于任意任意，，所以集合是“凸集”，任取，，则对于任意任意，，所以集合是“凸集”，取，，但，所以不是“凸集”，故③错误，对于④，若都是“凸集”，则对于任意，任意，则，且，故，故也是“凸集”，④正确；故选：B.第II卷（非选择题共100分）二，填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】【详解】由，则，解得.故答案为：.12.【答案】【详解】将两边平方可得.则，.将因为，在这个区间内，，所以.可得.故答案为：13.【答案】【详解】因为，所以，因为是第二象限角，所以，所以，所以，故答案为：14.【答案】①.##②.【详解】，，，即，解得，.同理可得：，即，解得..故答案为：；.15.【答案】②③④【详解】由题意，正八边形每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离都是2，有，，如图，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，因为，所以由正八边形性质得，则，，，，，，下面，我们开始逐个分析题目中给定结论的正确性，对于①，易得，，则，故①错误，对于②，易得，，，则，，满足，故②正确，对于③，易得，，由投影向量公式得在上的投影向量为，故③正确，对于④，易得，且设的夹角为，而，则，易得，故，如图，延长交的延长线于，连接，此时在上的投影为，当点在线段上时，此时在上的投影最大，易得是等腰直角三角形，，则，由勾股定理得，在直角三角形中，，在等腰三角形中，，则的最大值为，故④正确.故答案为：②③④三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.【答案】（1）（2）【小问1详解】由得：，即，，.【小问2详解】若选条件①，，；若选条件②，，，，由正弦定理得：，由余弦定理得：，解得：（舍）或，.17.【答案】（1）（2）（3）【小问1详解】如图，连接，因为为线段的中点，，所以，因为，所以，由向量的加法法则得，故，即成立.【小问2详解】由于，可得，又有，所以；，故.【小问3详解】由向量的减法法则得，由于，可得，又有，得到，故，则，由上问得，故.18.【答案】（1）（2）．【小问1详解】因为．令，解得，所以的单调递减区间为．【小问2详解】当时，不等式恒成立，即不等式在上恒成立，因为，所以，所以，所以，所以，即实数的取值范围为．19.【答案】（1）或（2）【小问1详解】由题意可得，所以与平行的单位向量为或，即或.【小问2详解】因为，，所以，，，，.问题