2025北京首师大附中高一12月月考数学试题及答案

试题2025北京首都师大附中高一12月月考数学本试卷共4页，共100分.考试时长60分钟.第一部分（选择题共40分）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B. C. D.2.已知向量，，若，则等于（）A. B.2 C.4 D.3.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.4.设集合，，则集合等于（）A. B.C. D.5.在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（）A.B.C. D.6.已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知函数f(x)=x+1,x≤a2x,x>a,若的值域为,A. B. C. D.8.已知，若实数满足，且，实数满足，那么下列不等式中，一定成立的是A. B. C. D.9.教室常常通风，有利于改善高三学习环境.若教室内二氧化碳浓度在，则教室如同一般室外环境，若浓度介于之间，教室内则空气清新，呼吸顺畅，若高于浓度，则教室内空气浑浊，会使人开始觉得昏昏欲睡.经测定，某教室刚下课时，空气中二氧化碳浓度为，开窗通风后教室内二氧化碳浓度随时间(单位：分钟)的变化规律用函数（）描述，若要让教室内二氧化碳浓度低于，则至少要开窗通风（）分钟.（参考数据）A. B. C. D.10.已知函数，，其中表示，二者中的较大值，设，且对任意的，均存在，使得成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D.第二部分（非选择题共60分）二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）11.计算：_________.12.已知角的终边经过点，则____________________.13.函数的单调增区间是___________.14.如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若（），则_________．15.已知，若（），则的最小值为________.16.设函数（1）若，则的最小值为_____；（2）若恰有2个零点，则实数的取值范围是_____．三、解答题（本大题共2小题，共30分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.已知不等式.（1）求不等式的解集；（2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围.18.已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且，.（1）用定义证明：在上单调递增；（2）求，，，；（3）设，若在上有唯一的零点，求实数的取值范围.

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）题号12345678910答案DDACCCBBCA第二部分（非选择题共60分）二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）11.【答案】原式.故答案为：1112.【答案】依题意，，，则故答案为：；.13.【答案】由，所以或，二次函数的对称轴为：，所以二次函数的单调递增区间为，递减区间为，而函数是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知：函数的单调增区间为.故答案为：14.【答案】试题分析：所以，则；考点：1.平面向量的运算；2.平面向量基本定理；15.【答案】因为，且不妨设，则一定有，且即，即可得，解得.因为故可得当且仅当，且，即时，取得最小值.故的最小值为.故答案为：.16.【答案】（1）当时，函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，所以当时，取得最小值．（2）①若函数的图象在时与轴有一个交点，则，并且当时，，则，函数的图象与轴有一个交点，所以且，则；②若函数的图象与轴无交点，则函数的图象与轴有两个交点．当时，的图象与轴无交点，的图象在时与轴无交点，不合题意；当，即时，的图象与轴有两个交点，即和，由于，两交点横坐标均满足．综上所述，的取值范围为或．故答案为：①；②或.三、解答题（本大题共2小题，共30分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.【答案】（1）解：由不等式，可得，解得，所以不等式的解集为.（2）解：令，则不等式恒成立，等价于，设，可得，则，又由的图像的开口向上，且对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，所以实数的取值范围为.18.【答案】（1）任取，且，，因为，所以，且，因此，即，所以在上单调递增；（2）因为是奇函数，是偶函数，所以，由①，得，即②，①②得：，所以；①②得