必修二《向量的减法运算》教案、导学案、同步练习

《6.2.2向量的减法运算》教案

课题6.2.2向量的减法单元第六单元学科数学年级高一

教材本节内容是平面向量的减法，由数的减法运算导入，学习平面向量的减法法则以及减法的几

分析何意义这些知识点，将数量与向量结合起来。

1.数学抽象：利用数量的减法运算抽象到平面向量的减法运算；

教学2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力.

目标3.数学建模：掌握平面向量减法法则，利用向量的运算解决实际问题。

与核4.直观想象：通过有向线段直观判断平面向量的减法运算；

心素5.数学运算:能够正确计算和判断向量的减法运算；

养6.数据分析:通过经历提出问题一推导过程一得出结论一例题讲解一练习巩固的过程，让学

生认识到数学知识的逻辑性和严密性。

重点相反向量，平面向量的减法及几何意义

难点平面向量的减法及几何意义

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课旧知导入：学生思考问设置问题情境，

问题一：你还能回想起实数的相反数是怎样定义的题,引出本节激发学刍学习兴

吗？新课内容。趣，并引出本节

实数a的相反数记作-a。新课。

问题二：什么是相反向量？

把大小相等方向相反的两个向量叫做相反向量。

6的相反向量仍是3。

问题三：两个实数的减法运算可以看成加法运算

吗？如设羽ysR,x—y=x+(-y)

讲授新课新知探究：向量的减法运算定义学生根据环环利用问题探究得

问题四：你能根据实数的减法运算定义向量的减法相扣的问题进出平面向量的减

运算吗？行思考，探究法定义和法则，

由两个向量和的定义已知平面向量的减培养学生探索的

1(_£)=(—必=6法定义和法精神.

则。

即任意向量与其相反向量的和是零向量。

这样，如其与3互为相反向量，

—♦—♦—♦—♦—♦—♦—♦

刃K么a=-b,b=-a,a+b=O

a加上曲勺相反向量，叫临与访勺差即a-B=〃+(-乙

求两个向量差的运算叫做向量的减法。我们看

至IJ,向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减

去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。

即

4力n上扇相反向量，

叫做々与万向差.即Z-分=3+(—为

新知探究(二)：向量减法的作图方法

问题五：已知向量&与6,试作出ii-b

B

卷

~bD-c

Da

作法_____________

(1)设0A=2,方==-h

(2)连接AB,由向量减法的定义知

a-b=a+(-/>)=OA+OD=OC

(3泅为平行四边形)CAB

J?fl^BA=c7c=<7-/?

由此，我们得到a-b的作图方法。

知识探究(三)：向量减法的几何意义

问题六：根据问题五，思考一下向量减法的几何意

义是什么？

-b

由图得：8A=aM.

即可以表示为从而终点指向漏终点的向量

这就是向量减法的几何意义。

学生根据例利用数形结合的

a

题，巩固向量思想，化抽象为

的减法法则，具体，提高学生

并能够灵活运的抽象能力和逻

则前J终点函I勺终点的向量漏用.辑思维能力。

由问题六可知£A=a-b.

又因为AB--BA,则A8=-（«-否）=b-a

注意：（1）起点必须相同.（2）指向被减向量的终点。

问题七：非零共线向量怎样做减法运算?

1.共线同向2.共线反向

—;

L

a-b

ACB

问题八：非零共线向量怎样做减法运算？

1.共线同向

~a

—♦—•

a-b

ACB

2.共线反向

a

b

a-b

B

小试牛刀

判一判（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）两个向量的差仍是一个向量。（V）

学生和教师共通过这3个题，

同探究完成3巩固基础知识，

个练习题。发散学生思维，

培养学生思维的

证明：作直径BD,连接DA,DC,

严谨性和对数学

则有OB=—OD

的探索精神。

又因为DAJ_AB,DCJ_BC,AII1BC,CH1AB,

所以CH//DA,AH//DC.

所以四边形AHCD是平行四边形，

所以A"=OC

又DC=OC-OD=OC+OB所以

OH=OA+~AH

=OA^~DC

=OA+OB+OC

提升训练

1、求下列向量的差

(1)AB-AD=(2)BA—BC=

(3)正-丽二(4)OD-OA=

⑸OA-OH=(6)Ad-BO=

(1)DB(2)CA(3)AC

(4)AO(5)AB小BA

2、根据右图,回答下列问题:

J—»f—♦—>

(1)当满足什么条件时，a+b与a-b

垂直？laH"

a+b=a-h

(2)当满足什么条件时，

Z和I互相垂直

—>—>—♦—♦

(3)4+6与4一办可能是相等向量吗？

不可能.因为平行四边形的两条对角线方向不同.

练习、如图，已知向量AB=a,AD=，NDA8=I20",

且|〃|=|。|=3,求|a+b|和|a-b|

C

A

解：以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD,

由于|而|二|屈|=3,故此四边形为菱形

由向量的加减法知

AC=a+b,DB=a-b

故|E|=|W+b|,|丽|二岸一6|

因为NZM8=120°,所以NOAC=60"

所以AAOC是正三角形，贝lj|/|=3

由于菱形对角线互相垂直平分，所以MOD是直角三角形，

\()D\=\AD|sin6(r=3x—=—

22

课堂小结1.相反向量学生回顾本节让学生莒握本节

2.向量的减法定义课知识点，教课知识点，并能

3.向量减法的几何意义师补充。够灵活运用。

板书§6.2.2平面向量的减法运算

一、情境导入2.减法作图三、课堂小结

二、探索新知3.减法儿何意义四、作业布置

1.减法定义例1、2、3

《6.2.2向量的减法运算》导学案

【学习目标】

素养目标学科素养

1.理解理解相反向量的概念。(重点)

1.数学运算；

2.掌握向量减法的运算法则及其几何意义。(重点)

2.直观想象

3.能用向量的加法和减法解决相关问题。(难点)

【自主学习】

一.相反向量

定义如果两个向量长度______,而方向______那么称这两个向量是相反向量

对于相反向量有：a+(-a)=___

性质若a、6互为相反句量，PMa=___,a+b=____

零向量的相反向量仍是零向量

—(-a)=a,a+(―a)=(―a)+a=0；

推论

如果a与b互为相反向量，那么a=—力，b=—a,a+力=0.

二.向量的减法

定义a—b=a+(—6),即减去一个向量相当于加上这个向量的______

在平面内任取一点。，作Il=a,~OB=b,则向量a—6=_如图所示

B

作法

4:

几何如果把两个向量a、b的起点放在一起，则a—b可以表示为从向量6

意义的_____指向向量a的______的向量

思免已知不共线的两个向量a,b,a+5与a—6的几何意义分别是什么？

三.|a一引与|a|,㈤之间的关系

(1)对于任意向量a,b,都有W\a-b\W

(2)当a,b共线，且同向时，有|a—引=或：

(3)当2力共线，且反向时，有|a—引=.

【小试牛刀】

1.思维辨析(对的打“J”，错的打“X”)

⑴相反向量一定是共线向量.(V)

⑵两个相反向量之差等于0.()

(3)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算.()

⑷两个向量的差仍是一个向量.()

2.设b是a的相反向铜，则下列说法一定错误的是］)

A.a与b的长度相等B.a//b

C.a与b一定不相等D.a是8的相反向量

【经典例题】

题型一向量加减法法则的应用

点拨：

「’可以通过相反向量，把向量减法的'

常

用-运算转化为加法运算」

方

法"运用向量减法的三角形法则，此时'

〕要注意两个向量要有共同的起点

V___________J

例1化简(花一应-(AC-M.

【跟踪训练】1化简：

⑴方/一百十/一防：

(2)(AC+'BO+M-(DC-'DO-m.

题型二利用已知向量表示其他向量

点拨：三个技巧

(D搞清楚图形中的相等向最、相反向最、共线向尾以及构成三角形的三个向我之间的

关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道.

(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解

决问题.

(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则.

例2如图，。为平行四边形力及力内一点，OA=a,~OB=b,OC=c,则应=

【跟踪训练】2如图，在五边形月80必中，若四边形47应是平行四边形，且应?=2,AC

=b,赤=。，则筋=_______.

8

A

DE

题型三向量减法的应用

例3已知向量a=2,引=4,且a,6不是方向相反的向量，则Ia—b的取值范围是

【跟踪训练】3（1）已知。为四边形力四所在平面外的一点，且向量位曲0C,而满

足应+亦=应+应则四边形力解的形状为O

分析：注意向量a+瓦a-6的几何意义.对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角

线具有的性质要熟悉并会应用.

（2）在平行四边形月鳍中，若|荔+花|=|通一而则必有（）

A.旃=0B.必=0或茄=0

C.四边形力夕以为矩形D.四边形力磨9为正方形

【当堂达标】

1.化简而一砺+而一葩得（）

A.~ABB.DA

C.BCD.0

2.在UABCD中,应一拓瞥于（）

A.ABB.BA

C.~Cl）I）.1）8

3.（多选题）对于菱形加口，下列各式正确的是（）

A.~Ali=lfCB.|赤|=|而|

C.|花一出=|加而|D.|砺+而|=|而-函

4.如图，已知力比妍是一正六边形，0是它的中心,其中应=5,应三c,则赤等于

5.已知诵=1（）,|而=7,则|扇;的取值范围为—

6.若。是△力4c所在平面内一点，且满足|为一成1=|应一而十比一而试判断△月〃C

的形状.

【课堂小结】

知识点：

1.相反向量2.向量减法3.|a—与|a|,|6|之间的关系

题型：

1.向量加减法法则的应用2.利用已知向量表示其他向量

3.向量减法的应用

【参考答案】

【自主学习】

一.相等相反00

二.相反向量讪终点终点

思考：如图，以/区力〃为邻边作平行四边形/仍切，则两条对角线所对应的向量以a

+力，~DB=a-b,这一结论在以后的学习中应用非常广泛.

三.a\—ba—ba\—ba4-1b

【小试牛刀】

1.（1）V（2）X⑶J（4）V

2.C可能为零向量，此时C选项错误。

【经典例题】

例1［解析］方法一（统一成加法）（而一葩一（就一励=葩一而一元+砺=刖比

+而+赤=刖而+应+5=茄+初1=0.

方法二（利用减法）（葩-cb）-（AC-丽=~AB~CD-AC+~BD=（AB~~AO~~CD^~BD=~CB

【跟踪训练】1解.：⑴应一示十.研一防=而升赤一筋=,正-法=崩

⑵（尼+瓦H■血一（虎一加-丽=（应'+而）-（OC-M=前一&=0.

例2a—b+c解析：因为威=而,BA=OA-~OB,~CD=~OD-OC,所以而一应'=而一应，~OD

=而一应+应；所以而=a-b+c.

【跟踪训练】2b-a+c

解析：•・•四边形力物为平行四边形，，而=前'=c,~BC=~AC-~AB=b-a.

：.~Sb=~BC-¥Cb=b-a^c.

例3［2,6)解析：根据题意得||a|一|6||W|a一4V|a|+|引,即2W|a-b|V6.

【跟踪训练】3(1)平行四边形

［解析］•・,应+应'=为+而，：JOA-~OD=~OB-OC.：.DA=7B.

：,\DA\=\CB\,且加〃.•.四边形力攻⑦是平行四边形.

(2)C解析：因为|而+拓=|诵一砺|,所以|而=|赤，即平行四边形力比刀的对角

线相等，所以平行四边形力比力为矩形.故选C.

【当堂达标】

1.D［解析］原式=(尼一丽+(而+砺=击+•=0.

2.A［解析］~AC-~AD=~DC,-在UABCD中,~DC=~AB.

3.BCD解析

菱形的)中,如图,|丽=|应1，・・・B正确.

又I防一而|=|拓+应1=1耘+底=21而|,

|孤应1=|砺+而|=2|而|=2|花

・・・C正确；又|茄+办|=|而+应1=|而|,|宓-而|=|筋|=|而・・・D正确;A肯定

不正确，故选BCD.

4.b—c解析：~EF=OA=~CB=~OB~OC=b-c.

5.［3,17］

解析：因为&葩一正所以|函=|花一花.

又|\AB\-\AC\|^\'AB-AC\^\~AB\+\AC\y即34|初一葩W17,所以3W|函告17.

6.解：因为宓一瓦+应'一游=懑+花OB-OC=CB=AB-AC.

又|宓一应1=|应一应+比一而|,

所以|砺+就?|=|荔一葩，所以以"，〃'为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相

等，所以该平行四边形为矩形，所以力员UC,所以△4比是直角三角形.

《6.2.2向量的减法运算》同步练习

A组基础题

一、选择题

1.在平行四边形［应力中，下列结论错误的是（）

A.防一应=0B.~AD~~BA=~AC

C.彘一前=而D.~AD+~CB=^

2.在△抽。中，~BC=a,~CA=b,则涵于（）

A.a-\-bB.—a+（-b）

C.a-bI）.b-a

3.已知非零向量a与力同向，则a—5（）

A.必定与a同向

B.必定与6同向

C.必定与a是平行向量

D.与b不可能是平行向量

4.化简彳5+眇一而二（）

A.mB.OC.BCD.DA

5.若。，A,8是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）

^AB=OA+OB^.AB=OB-OA

C.AB=-:OB+OAD.AB=:OB-OA

6.（多选）化简以下各式，结果为。的有（）

K.AB+BC+CA

B.AB-AC+BD-CD

C.OA-OD+AD

D.NQ+QP+MN-MP

7.（多选）下列各式中能化简为赤的是（）

A.（AB-~D€）-~CB

B.防-而+应）

C.一（而+位）一（而十励

D.一访一而+砺

8.（多选）若a,8为非零向量，则下列命题正确的是（）

A.若|a|+|6=|a+引，则a与力方向相同

B.若|a|+|b=|a-b|,则a与b方向相反

C.若|以|+1〃=|月一用，贝I]|月|=|用

D.若||a|—|引|=|a—引，则a与力方向相同

二、填空题

9.如图，在△/1比中，若〃是边小的中点，〃是边力〃上一点，则而一加+砺=

10.如图所示，已知0为平行四边形ABCD内一点，OA=a,OB=b,OC=c,则如=

，（用a,b,c表示）

11.已知向量a=2,|引=4,且a,6不是方向相反的向量，则|a—引的取值范围是

三、解答题

12.如图，。为△?!比内一点，OA=a,OB=b,%=c.求作:

13.已知△016中，0A=a,0B=b,满足/a/=/）/=/a—6/=2,求/a+8/与△。仍的

面积.

B组能力提升

一、选择题

1.设点必是线段比的中点，点4在直线函外，I而三⑹|薪+而=|法一而，则

4M—（

2.已知万？恐，而力，0C=c,而R,且四边形力功力为平行四边形，则（）

A.a小圮B.a-b^c-d-0

C.a也~cYOD.aJ-C'MO

3.（多选）对于菱形月仇力，下列各式正确的是（）

A.~AB=~BC

B.|茄|=|应1

c.\~AB-'CD\=\'AD+'BC\

D.\'AD+CD\=\cb-CB\

4.（多选）下列说法中正确的是（）

A.若而=DC,则A,B,C,〃四点构成一个平行四边形

B.若a〃b,b〃c,则a〃c

C.互为相反向量的两个向量模相等

D.OC-OA+CD=AD

5.（多选）己知a,b为非零向量,则下列命题中是真命题的是（）

A.若/a//=/a他/,则a与b方向相同

B.若/a/*/b/=/a-b/,则a与b方向相反

C.若则a与b有相等的模

D.若//a,/-/b//-=/a~b/,则a与b方向相同

二、填空题

6.己知|Ol|=a,|0B\=Z?（a>Z?）,|月8|的取值范围是[5,15],则a=_______,b=

7.在△力比中，|耘|=|而|=|之|=1,则|防一击=.

8.如图所示,在梯形ABCD中，AD〃吃AC与切交于。点，则瓦5-近-6？+而+

DA=.

9.若aWO,b#O,且/a/=/b/=/ab/»则a与a，b所在宜线的夹角是.

10.已知非零向量a,b满足/a/W7^1,/b/W7-l,且a-b/=4,则/.

三、解答题

11.已知△力比是等腰直角三角形，/力⑦=90°,朗是斜边相的中点，万Ua,~CA=b.

求证：（1）la—bl=\a；

⑵|a+（a—6）|=|6|.\\

《6.2.2向量的减法运算》同步练习答案解析

A组基础题

一、选择题

1.在平行四边形力8⑦中，下列结论错误的是（）

A.'AB~~DC=^B.~AD-~BA=~AC

C.~AB-7l）=~BDD.赤+8=0

答案C[因为四边形/以力是平行四边形，

所以拓=应；诵一应=0,

~AD~~BA=~AD-\-~AB=~AC,

~AB~~AD=~DB,

法+而=茄+而=0,故只有C错误.]

2.在△/1比'中，~IiC=a,~CA=b,则漏于（）

A.a+bB.—a+(—6)

C.a~bD.b-a

答案B[如图，'：~BA=~BC^~CA=a^b,

：Sf3=-~BA=-a-b]

3.已知非零向量a与方同向，则a—6（

A.必定与a同向

B.必定与。同向

C.必定与a是平行向量

D.与b不可能是平行向量

答案C但一6必定与a是平行向量.]

4.化简同+瓦5—前二（）

A.ACB.0C.BCD.DA

解析方+BD-CD=AD-CD=AD+DC=AC.故选A.

答案A

5•若0,48是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）

K.AB=OA+OB^.AB=OB-OA

C.AB=-:OB+OAWAB^^OB-OA

解析由平面向量的线性运算可知,而=砺-d.故选B.

答案B

6.（多选）化简以下各式，结果为0的有（）

K.AB+BC+CA

B.AB-AC+BD-CD

C.OA-OD+AD

\\~NQ+QP+MN-VP

解析通+近+石？=而5+石?R;

AB-AC+BD-CD=CB+JD-CD=CD-CD-O;

OA-OD+AD=DA+AD=DA-~DA-O;

丽+而+而一丽=而+丽=而一/VP-O.故选ABCD.

答案ABCD

7.（多选）下列各式中能化简为而是（）

A.(AB-【心一CB

B.~AD~（CD+~DO

C.一（为+瓦）一（防+威

D.一筋一百十砺

答案ABC［选项A中，（花一而一花=赤+^I■瓦?=耘+而+旃=砺;选项B中，AD-

（而+应）=为一0=崩;选项C中，一（而+而-（筋+励=一而一说一而一正定+为什茄

+砺=（砺+应斗办十五二亦选项D中，一访/-赤+M砺+而+砺=2砺+前］

8.（多选）若a,6为非零向量，则下列命题正确的是（）

A.若|a|+|b=++引,则a与力方向相同

B.若|a|+|6一|&-引，则&与6方向相反

C.若|a|+|b=|a—引，则|a|=|b|

D.若||a|一|川=|a—引,则a与方方向相同

答案ABD［当a,b方向相同时,有|a|+|b|=|a+b|,I\a\-\b\\=\a-b\,当a,

b方向相反时，有|a|+|b|=|a—引，\\a\-\b\\=\a-b\,故A,B,D均正确.］

二、填空题

9.如图，在△/［欧中，若〃是边回的中点，£是边/历上一点，则读一应十砺=

A

BD

答案0［因为〃是边砥的中点，

所以谦一应斗砺

=而+防_应、

=SD-&=Q1

10.如图所示，已知0为平行四边形ABCD内一点，OA=a,OB=b,OC=c,则勿=

.（用a,b,c表示）

答案a-b+c［由题意，在平行四边形力腼中，因为而=a,OB=b,所以血=而一应

=a-b,

所以。=胡=8-b,

所以而=应+防=a-6+c.］

11.已知向量a=2,\b\=4,且a,入不是方向相反的向量，则|a—引的取值范围是

答案⑵6）［根据题意得||a|一|b||W|a-b|V|a+|”,即2W|ci<6.］

三、解答题

12.如图，0为△/1比内一点，~OA=a,~OB=b,g=c.求作：

1

N

答案（l）b+c—a：（2）a~b—c.

［解］⑴以谦应为邻边作口俯〃C,连接如,AD,则而=而+而=b+c,所以b+c-a

=OD-OA=AD,如图所示.

(2)由a—b—c=a—(b+c),如图，作口OBEC,连接在；则应'=2+应-8+c,

连接力区则瓦l=a—(b+c)=a—。一c.

13.已知△018中，9A=a,OB=b、满足/a/=/方/=/a—力/=2,求/a+b/与△。道的

面积.

答案镉［解］由已知得I曲=|砺，以协，应为邻边作平行四边形OACB,则可知其

为菱形，且仇r=a+6,BA=a-b,

由于/a/=/8/=/a—b/,则的=08=为，

•••△如”为正三角形，

.•・/a+b/=|应1=2X镉=24,

乙

B组能力提升

一、选择题

1.设点必是线段a'的中点，点1在直线比外，I而2=16,|赤+而|=|通一就1，则

14M=()

A.8B.4

C.2D.1

答案C［根据|赤+而=|筋-法可知,

△月8C是以力为直角的直角三角形，・・・|应y=i6,

・・・|瓦1=4,又一”是「的中点,

IA\f\=^的=^X4=2.]

2.已知工5刃,砺巾，而又，而R,且四边形为平行四边形,则（）

A.B.ab^dX）

C.a，b~cd=0D.ab~c，d刃

解析易知砺-OA=AB,OC-OD=DCt而在平行四边形ABCD中,AB=DCt所以丽-

=0C-0D,即b-a^c-d,也即a力允YR.故选B.

答案B

3.（多选）对于菱形月仇以，下列各式正确的是（）

A.~AB=~BC

B.|而|=|而

C.\AB-Q）\=\AD+BC\

D.17H•防|=|而-而|

答案BCD[菱形]比〃中，如图，|丽=|而，・・・B正确.

_____________________________\\

又|皿一。9|=|46+%|=|49+力8|=2|"|,/「____I

|施+而i=|茄+茄|=2|筋|=2|而|,

-C正确;又|茄+办|=|赤+应1=|而|而一游|=|防=|而，・・・D正确；A肯定

不正确，故选BCD.]

4.（多选）下列说法中正确的是（）

A.若而=DC,则A,&C,〃四点构成一个平行四边形

B.若&〃匕6〃5则a〃c

C.互为相反向量的两个向量模相等

D.OC-OA+CD=AD

答案CD

解析当A,氏C〃四点共线时,不成立,故A错误;零向量与任何向量共线，当b-0时,a〃

b,b〃c,则a/7c不成立，故B错误;互为相反向量的模相等,方向相反，故C正确;沆一而+

而=而+而=而，故I）正确；故选CD.

5.（多选）已知a,b为非零向量,则下列命题中是真命题的是（）

A.若/a/巧b/=/a+/,则a与b方向相同

B.若/a/巧b/=/a~b/,则a与b方向相反

C.若,/a/巧b/=/a~b/,则a与b有相等的模

D.若//a/-/〃=/a~b/,则a与b方向相同

答案ABD

解析如图，根据平:面向量的平行四边形或三角形法则，

当a,b不共线时，根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,有

//a/-/b//</a±b/</ai+b/.当a,b同向时有/a曲/=/a"/b/,//a/-/b//=/a~b/.当a,b反向

时有/a4）/=//a/-/b//,/a/*/b/=/a-b/,故选ABD.

二、填空题

6.已知|而|=a,|而|=6（a>。），I诵I的取值范围是［5,15］,则a=,b=

答案105[因为a-力=||而|一|而I|W|/一而|=|拓|W0|+|府=a+b,

a+6=15,

所以

a-b=5,

a=10,

解得]

〃=5.

7.在△力欧中，|崩|=|而=|/|=1,则|逐一而=_

答案镉［如图，延长⑦到点〃，使3=8〃，连接力〃.

在△力皿7中，AB=MJ=1,

N力初=120°,

前一狂防+游

=砺+砺=砺

易求得

即|AD\=#.

所以I法—而=/.]

8.如图所示,在梯形ABCD中，力〃〃B&AC与BD交于0点,则瓦5-BC-OA+OD+

DA=.

解析0-BC-OA-¥OT)+DA=(BA-阮)+(OD-04)痂CA+AD+DACA.

答案后？

9.若a#0,b#0,且/a/=/b/=/a4)/,则a与a为所在直线的夹角是.

答案30°

解析：设福田,而4,以例勿为邻边作平行四边形0ACB,如图所示，

则a也=0C,a-b=BA,因为/a/-/b/-/a~b/,所以gc

0A!=)OB!=■/,

所以△。仍是等边三角形，所以/加住60°,0^aV

在菱形OACB^V,对角线0C平分/B0A,

所以a与a曲所在直线的夹角为30°.

10.已知非零向量a,b满足/a；,W7+1,,/b/W7T,且a-b/=l,则/a%]=..

答案4

解析如图所示，设[谓3。5力，

则瓦5/=/a力/,以0/1,必为邻边作平行四边形0ACB,则;况/二启布/,

由于(6

故/OAZ2+;产二福『,乍'―

所以△勿8是直角三角形，NA0B令0°,b

(y^--~■-~-^^4

从而所以平行四边形犯⑦是矩形，°

根据矩形的对角线相等得/0d/=/B//N,即瓜也

三、解答题

11.已知△力比是等腰直角三角形，N〃7?=90°,3是斜边力"的中点，Cif=a,7/=b.

M

求证：(1)\a-b\=|a|：

(2)|a+［a-6)\=\b\.

［证明］因为△月比是等腰直角三角形，N力⑦=90°,

所以。=".乂M是斜边力〃的中点，

所以CM=AM=BM.

⑴因为中一办=看，

又14M=I制,所以|a—引=|a.

(2)因为"是斜边44的中点，

所以高=砺，

所以a+{a~b)=芯(CM-~CA)=扇+向=为什砺=而,

因为|。|=|刎,所以|a+(a—6)|=|引.

《6.2.2向量的减法运算》同步检测试卷

一、基础巩固

1.设非零向量品5满足|万+很\=\a-b\＞则()

A.G_1_5B./=|5

c.a//bD.\d\>\hI

2.在五边形ABCDE中（如图），AB+BC-DC=（）

A.ACB.ADC.~BDD.BE

3.如图，E,尸分别为正方形A8CO的边DC,3c的中点，设印方=2,印力=B,则EF=

（）

D

A.-a+-bB.-a--b

2222

C.D.

44

4.若A、B、C、Z）是平面内任意四点,给出下列式子：①通+①=配+砺,

②/+而=配+而，③而一而二祝+通.其中正确的有（）.

A.3个B.2个C.1个D.0个

5.点。是平行四边形A3CO的两条对角线的交点，则布+而—而等于（）

A.ABB.BCC.CDD.DR

6.如图，在空间四边形。43c中，OA=a^（）8=6，（元=3.点M在。4上,

且OM=2MA,N是8c的中点，则用户=（）

12厂1乙ir>

A.—a——b+—cB.——a^—b+—c

232322

112221

C.—a+—br——cD.—a+—br——c

223332

7.在平行四边形ABC。中，|通+而|=|丽一而I，则必有（).

A.|AD|=OB.网=0或师卜0

C.48co是矩形D.ABC。是正方形

_1一一一

8在△力比'中，』V是“边上一点，且AN=QNC,P是上的一点，若A尸=»AB+

2—

-AC,则实数力的值为i）

11

A・—B.-C.1D.3

93

9.（多选）下列命题不正确的是（）

A.单位向量都相等

B.若M与日是共线向量，B与口是共线向量，则日与乙是共线向量

C.a+b\=\a-b，则Gig

D.若日与日单位向量，则/=\b\

10.（多选）下列命题不正确的是（）

A.单位向量都相等

B.若"与加是共线向量，坂与之是共线向量，则"与"是共线向量

C.a+b=a-b,则

D.若7与加是单位向量，则口卜%

11.（多选）下列各式中，结果为零向量的是（）

A.AB+MB+BO-iOMB.AB+BC-¥CA

c.OA-i-OC+Bd+CdD.AB-AC+BD-CD

12.（多选）己知正方体ABC。-AMGR的中心为。，则下列结论中正确的有（）

A.OA+OD与OB[+OC]是一对相反向量

B.。月一。6与。《一。£）；是一对相反向量

C.+。月+oC+O力与Q《+OB；+OC；+O"；是一对相反向量

O^-OAqoc-OG是一对相反向量

D.

二、拓展提升

13.作图验证：一（4+万）=一日一5.

14.如图，在AABC中，A8=4,AC=6,N8AC=60。，点。，E分别在边A及AC

上，且丽=2标,正二3恁.

（1）若旃=—g丽+；抚，试用而，4g线性表示而;

（2）在（1）的条件下，求南•衣的值.

15.如图，已知空间四边形A8CZ）,连接AC,BD，E，F，G分别是3C,CD,

的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.

（1）AB-¥BC-DC\

（2）AB-DG-CE-

答案解析

一、基础巩固

1.设非零向量品。.满足I5+51=1〃-5I，则（）

A.d-LbB.a\=\b

c.a//bD.laI>I5

【答案】A

【详解】

利用向量加法的平行四边形法则.

在。4%力中，设丽=々，AD=b

由15+很1=1互一61知|恁|=|而|，如图所示.

从而四边形相切为矩形，即加LU〃，

故万_L5.

2.在五边形人BCDE中（如图），AB+BC-DC=（

A-ACB.而C.而D.BE

【答案】B

【详解】

AB+I3C-DC=AB+BC+CD=AD.

3.如图，民尸分别为正方形A8CO的边。C,8c的中点，设而=£,而=几则乔=

)

DE

1-1

A.—a+—br

22

C.

44

【答案】I）

【详解】

^F=AF-AE=AB+BF-AD-DE

=AB^-AD-AD--AB

22

=-AB--AD

22

4.若A、B、C、。是平面内任意四点，给出下列式子：①A月+8=4。+。/，

②衣十8万=8。+4万，③AC-BD=iyC+AR.其中正确的有（）.

A.3个B.2个C.1个【）.（）个

【答案】B

详解：①式的等价式是丽一力4=阮-丽，左边=7历+而，右边=阮+反，不

一定相等；

②/+丽=沅+而的等价式是：AC-AD=BC-BD＞左边=右边=反，故正

确；

③*-防=反+福的等价式是：*-通=丽+反，左边=右边=而，故正

确;

5.点。是平行四边形ABC。的两条对角线的交点.则