指数运算及指数函数（七类核心）-2026年高考数学一轮复习考点讲义

专题2.3指数运算及指数函数

目录

目录..................................................................1

一、5年高考•真题感悟.............................................2

二、课程标准・考情分析............................................6

【课程标准】......................................................6

【考情分析】......................................................6

【2026考向预测】..................................................6

三、知识点•逐点夯实..............................................6

知识点1、指数及指数运算..........................................6

知识点2、指数函数.................................................7

【常用结论】......................................................7

四、重点难点・分类突破............................................8

考点1指数运算、指数方程与指数不等式............................8

考点2指数函数的图像与性质.......................................9

考点3指数型“复合函数”的单调性与最值.........................12

考点4指数中的“恒成立问题”....................................15

考点5比较大小..................................................18

考点6指数的实际应用............................................19

考点7综合应用..................................................22

五、必考题型・分层训练...........................................28

A、基础保分........................................................28

B、综合提升........................................................36

一、5年高考•真题感悟

1.(2025・天津•高考真题)函数的零点所在区间是()

A.(0,0.3)B.(03,0.5)C.(0.5,1)D.(1,2)

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】判断零点所在的区间、比较指数塞的大小、由塞函数的单调性比较大小

【分析】利用指数函数与恭函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.

【详解】由指数函数、幕函数的单调性可知：丁=0.3,在R上单调递减，)，=4在［0,+8)单调递增，

所以/(力=0.3*-4在定义域上单调递减，

/(o)=1>0,y(0.3)=O.303-0.3OJ>0,/(0.5)=0.3°5-0.5^<0,

所以根据零点存在性定理可知/(x)的零点位于(030.5).

故选：B

2.(2024•天津•高考真题)已知诉R,则“/=/产是"3"=3'"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、比较指数累的大小、判断一般号函数的单调

性

【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.

【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和3"=3〃都当且仅当。=》，所以二者互为充要条件.

故选：C.

3.(2025•上海•高考真题)设a>0,seR.下列各项中，能推出的一项是()

A.a>\>且s>0B.々>1,且svO

C.0<avl,且s>0D.Ovavl,且s<()

【答案】D

【难度】0.94

【知识点】由指数函数的单调性解不等式

【分析】利用指数函数的性质分类讨论。与1的关系即可判定选项.

【详解】>〃，I"T>i=a0,

当〃w(O,l)时，)，=〃'定义域上严格单调递减，

此时若s—l<0,则一定有1=〃°成立，故D正确，C错误；

当〃«l,+oo)时，y=优定义域上严格单调递增，要满足需s>l,即A、B错误.

故选：D

4.(2023•全国甲卷•高考真题)已知函数〃x)=eg尸.记。=/去,b=f与,c=f4，则()

\/\7\/

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】比较指数哥的大小、匕较函数值的大小关系

【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.

【详解】令g(x)=-(x-l)2,则晨工)开II向下，对称轴为x=l,

因为4T-g=布:逐一；,TfiJ(\/6+V5)2-42=9+6>/2-16=6\/2-7>0,

所以乎誓即如-1>1-正

2(2)2222

由二次函数性质知g(当)<g吟),

因为1=",",fln(\/6+%/2)2—4?=8+4>/3—16=4>/3—8=4(>/3—2)<0♦

即当々〈I-4，所以8(*)>K《)・

乂¥二。'为增函数，故avcvZ?,即2>c>a.

故选：A.

5.(2023•全国乙卷•高考真题)己知/*)=_£二是偶函数，则。=()

e-1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】指数哥的化简、求值、由奇偶性求参数

【分析】根据偶函数的定义运算求解•.

【详解】因为〃力=若1为偶函数，则上_(二"，

aar-<w

e-1八J八"e-le-le^-l

乂因为x不恒为0,可得e*-e("T)'=0，即e，=e(“T'

则工=(a-l)x,即1=々一1,解得。=2.

故选：D.

6.(2023•天津•高考真题)已知函数/(x)的部分图象如卜.图所示，则/(x)的解析式可能为()

5sin.r

x2+\

5cosx

x2+I

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数型函数的图象形状、识别三角函数的图象(含正、余弦，

正切〉、根据函数图象选择解析式

【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在(0,E)上的函

数符号排除选项，即得答案.

【详解】由图知：函数图象关于)'轴对称，其为偶函数，且/(-2)=/(2)VO,

由5s：(,二？=一号'且定义域为R,即B中函数为奇函数，排除：

当力>0时5(e：-e*)>o、卑±£;2>。，即A、C中(0,+A)上函数值为正，排除：

x+2x+2

故选：D

7.（2023•天津•高考真题）设。=1.01。5*=1.01。6,。=0.6。5,则。也c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<h<aD.c<a<b

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】比较指数累的大小、由事函数的单调性比较大小

【分析】根据对应幕、指数函数的单调性判断大小关系即可.

【详解】由y=1.01*在R上递增，则a=1.01°s〈人=1.01°6,

由片户在[0,+oo）上递增,则〃=1.01a5>c=0.6°$.

所以

故选：D

8.（2023•新课标回卷•高考真题）设函数/（X）=2#P）在区间（OJ）上单调递减，则。的取值范围是（）

A.B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2收）

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值

或范围

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数y=2*在R上单调递增，而函数〃力=2«~）在区间（0,1）上单调递减，

则有函数），=1（工-〃）=。-4』-巨在区间（0,1）上单调递减，因此三21,解得。之2,

242

所以〃的取值范围是[2,+8）.

故选：D

二、课程标准・考情分析

【课程标准】

(1)理解有理数指数塞的含义，了解实数指数幕的意义，掌握指数幕的运算性质.

(2)通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.

(3)理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.

【5年考情分析】

5年考情分析

考题示例考点分析难易程度(简单、一般、校难、很难)

2025年天津卷，第7题,5分函数零点与比较大小较难

2025年上海卷,第14题,4分指数函数的图像与性质较难

2024年新I卷，第6题，5分判断指数函数的单调性一般

2024年新1卷，第4题，5分指数型自:合函数的单调性一般

2023年新I卷，第7题，5分比较指数哥的大小一般

【2026考向预测】

从近五年的高考情况来看，指数运算与指数函数是高考的一个重点也是一个基本点，常与二次函数、

家函数、对数函数、三角函数综合，考查数值大小的比较和函数方程问题.

三、知识点•逐点夯实

知识1、指数及指数运算

(1)、根式的定义：

一般地，如果父=〃，那么“叫做。的〃次方根，其中(〃>1,记为布，〃称为艰指数，。称

为根底数.

(2)、根式的性质：

当〃为奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负数.

当〃为偶数时，正数的〃次方根有两个，它们互为相反数.

(3)、指数的概念：指数是幕运算工0)中的一个参数，。为底数，〃为指数，指数位于底数的右上角，

暴运算表示指数个底数相乘.

(4)、有理数指数累的分类

①正整数指数与一小1〃（〃3）;

②零指数数。°=13。0）；

③负整数指数骞，”=》（"（），〃cN・）；

④0的正分数指数辕等于0,0的负分数指数累没有意义.

⑸、有理数指数制的性质

①。""二优'+"3>0,”，〃eQ）；

②（""）〃=am,,（a>0,〃？，八eQ）:

③(ab)m=amb,n(a>0,b>0,meQ)；

④行=消（。>0，〃？，

知识点2、指数函数

y=/

0<4V1a>\

图

1/

象

4t

o\~

性①定义域R,值域（0,+8）

质②〃。=|,即时x=0,>'=1,图象都经过（0，1）点

③，=a，即x=l时，y等于底数。

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤xvO时，ax>1;x>0时，0<«v<1xv。时，0<a1<1;x>0时，ax>1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

【常用结论】

1、指数函数常用技巧

⑴、当底数大小不定时，必须分“。>1〃和"0va<l”两种情形讨论.

（2）、当Ovavl时，XT+8，）,_>0；。的值越小，图象越靠近）'轴，递减的速度越快.

当时Xf+8，）,10；。的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.

(3)、指数函数y=优与尸(%的图象关于轴对称

a

四、重点难点・分类突破

考点1指数运算、指数方程与指数不等式

例1、(2025♦河南新乡•二模)(余)&=()

A.16B.8忘C.32D.16a

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】指数痔的化简、求值

【分析】应用指数暴运算的性质亿简求值.

【详解】由仔J"=图"'=/'冏=2,=16.

故选：A

例2、(2023・四川宜宾•一模)计算：J(6-2『-(0.25氤佶)+、黑端=-

【答案】-273

【难度】0.85

【知识点】对数的概念判断与求值、指数鼎的化简、求值、根式的化简求值

【分析】根据根式、指数索运算以及对数的定义运算求解.

£

2

【详解】由题意可得：/^3-2)-(0.25)ix[-Lp75X1g1=173-2|-©1可+QX(T)

=2-y/3--x4-y/3=-2y/3,

2

即，(6-2)-(0.251+^X*S102b.

故答案为：-2\/3.

【对点训练1】(2025•四川•一模)已知正实数为〃，*且a>〃，若2“.3j+3』=l+2J则()

A.b>c.2b>a-\-cB.b<c,2b<>a-\-c

C.b>c,2b<>a+cD.b<c,2bNa+c

【答案】A

【难度】0.4

【知识点】指数基的运算、由指数（型）的单调性求参数、比较指数豪的大小

（分析】将20-3~+3，"=1+2〃变形为6"—6:3〃一3,，可判断人>c，继而变形为隼匚=缶，推出6j<3〜,

3^-16h

即可求解.

【详解】因为2,3""+3'-=1+2",故6。+3。=30+6",GP6U-6，?=3A-3S

因为a>方，所以6“一6”>0,3"-3'>0,。>c；

乂方亮，结合b>c>。，可得6u-b-l3C3e,

3"'—1

即得6"R-1<3"Y-1，即6""<3-'，则必有。一％〈〃一G，》>a+c,

Ki]Z>>c,2b>a+c,即选项A中不等式成立，

故选：A

【点睛】关键点睛:解答本题的关键在于将2"-3""+3-=1+2〃变形为6“-6〃=3'-3"继而变形为

6a-6_1

鼻」=三，即可求解.

3-16b

【对点训练2】（2025・湖北•模拟预测）若函数/（"=心2'+力2-、的图象关于直线x=l对称，则2―

a

【答案】4

【难度】0.85

【知识点】函数对称性的应用、指数鼎的化简、求值

【分析】由题意可得对任意xeR，恒有/（6=/（2-耳成立，进而求解即可.

【详解】由题意知,对任意kwR,恒有/（x）=/（2-x）成立，

即a2+〃•2-x=a•22T+b.2一恒成立，化简得（4a-力）（22-2-*）=0,

故只能46f—力=0,乂。工0,则2=4.

a

故答案为：4.

考点2指数函数的图像与性质

例3、（2025・河南•三模）函数〃x）=（2T-2'）封的大致图象是（）

X

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】判断指数型函数的图象形状、函数奇偶性的应用

【分析】根据函数的定义域可判排除D,根据图象对称性排除C,根据x>0时函数值的符号排除A,故

可得正确的选项.

【详解】•㈤的定义域为（F0）J（0,铐）,排除D；

因为"一）=（2'-2T）gl=（2T-2）N=/（x）,所以/（x）为偶函数,

图象关于），轴对称，排除C；

当工>0时，f（x）=（2-x-2V）^I=2-x-2x<0,排除A.

故选：B.

例4、（2024•安徽蚌埠•三模）函数/（1）=泌*的图象是

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】判断指数型函数的图象形状

【分析】通过/(0)=1,和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A.

【详解】/(外=丹\可得f(0)=l,排除选项C,D;

由指数函数图像的性质可得函数*x)>0恒成立，排除选项B,

故选A

【点睛】图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目.

x

【对点训练3】函数/(文)=兄2i的图象大致形状是()

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】判断指数型函数的图象形状、求指数函数在区间内的值域、函数图像的识别

【分析】利用函数的单调性、值域排除选项可得到结果.

【详解】由函数二八，

凶[-2\x<0

可得函数在(。,+e)上单调递增，且此时函数值大于1：

在(-8,0)上单调递减，且此时函数值大于一1且小于零,

结合所给的选项，只有B项满足条件,

故选:B.

【对点训练4】（2023・湖北武汉•二模）（多选题）函数y=（履.1）^的图像可能是（）

【难度】0.65

【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、判断指数型函数的图象

形状、利用导数研究函数图象及性质

【分析】分类讨论函数的单调性及极值点判断各个选项即可.

【详解】/U)=(^2+l)e\

当2=0时，f（x）=e*,A选项正确;

/,(x)=(^2+2Ax+l)ev,

^=4k2-4k<0^>0<k<],

f\x)=(jtr2+2Ax+l)el>0,/(x)=(H2+l)ev

攵＞1时，点?+2人+l）e'=0有两个根%,七,且%％=7，%+占=一2时

王＜0，王＜。,根据极值点判断，故C选项正确,D选项错误;

当2Vo时，/"（X）=（依2+2U+1）e'=0有两个根为＜W,且入内=；小+当=一2,此时

入］＜0,/＞0,故8选项正确.

故选：ABC.

考点3指数型“复合函数”的单调性与最值

例5、（2025•山东济宁•二模）若函数/（、）=在［1,+00）上单调递减，则实数。的取值范围是（)

A.a<2B.a>2C.d<lD.a>\

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性求参数值

11

【分析】f（x）=W）"2"是由y=（9"与〃=/-⑪复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调

性确定内层函数单调性，进而求出。的取值范围.

11

【详解】fM=2皿是由y=（；）"与〃=Y-如复合而成，

在），=（》"中，6=：，，所以y=g）"在R上单调递减.

因为/（工）=（》'-"在口，侄）上单调递减，且外层函数y=（g）"在R上单调递减，

根据复合函数“同增异减'’的原则，可知内层函数〃=*—如在0,3）上单调递增

对于二次函数〃=/一⑪，其图象开口向上，对称轴为x=—M=J.

2x12

二次函数在对称轴右侧单调递增，要使〃=/一如在［1,2）上单调递增，

则对称轴需满足^41，解得。W2.

故选：A.

例6、（2025・安徽•一模）函数），=3+［（%>1）的值域为.

【答案】„

【难度】0.85

【知识点】求指数函数在区间内的值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域

【分析】由函数的单调性即可求解.

【详解】因为/（力二£与g（x）=g在（1,巾）上均为减函数，

1113

目.»"->+8时，晟一>0,-y—>0,所以。<丁<=+1=7，

2rx222

故y=±+」（x>i）的值域为（0，：、.

2xI4/

故答案为：（。,|：

【对点训练5】（2023・湖南岳阳•模拟预测）函数/（x）=yT的单调递减区间为（）

A.B.[I,+oo)

C.(-oo,0]D.[0,+co)

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】判断指数型复合函数的单调性

【分析】根据指数函数的单调性结合复合函数的单调性即可得解.

【详解】令"=卜-1|=一二二，其减区间为（Y0』］,

X—1.X>I

而函数y=3"为增函数，

所以函数/（力=31T的单调递减区间为（田山.

故选：A.

【对点训练6】（2024•四川成都•二模）已知函数〃x）=2—的值域为M.若（1,+«0三”,则实数〃的取

值范围是（）

（r

B.-00,-

I4」

D・［卜s）

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据集合的包含关系求参数、求指数型复:合函数的值域

【分析】根据题意，转化为以2一%+1*（）有解且无最大值即可分类讨论得解.

【详解】由（1,+8）三加，可知/（"=2二*11有解，且/（幻无最大值，

即江-大+1W0有解，且便-x+1无最大值，

当〃=0时，-X+1W0有解，/*）=2-7无最大值，符合题意；

当〃<0时，加-3+1$0有解，但/"）有最大值，不符合题意；

当〃>0时，a——x+lKO有解需满足△=1一4。20,解得

此时/（%）=2-川无最大值，满足题意.

综上，实数。的取值范围是

4

故选：A

考点4指数中的“恒成立问题”

例7、(2024高三上•河南周口•月考)已知函数/,")=22'-。.2'+4,若/(幻20恒成立，则实数。的取值范

围为()

A.(-20,4]B.(-<»,2]C.[4,+oo)D.[2,+co)

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式恒成立问题、根据指数函数的最值求参数

【分析】参变分离可得心2\皆4恒成立，结合基本不等式求出2、94的最小值，即可求出参数的取值范

用.

【详解】因为0恒成立，即22f2+4N0恒成立,

所以"2'+之恒成立，乂由2'+±2力2、&=4(当且仅当x=l时取等号)，

22、V2"

所以〃W4.

故选:A.

例8、(2024•贡州遵义•一模)当》<7),一日时，不等式(〃/-〃。⑷-2yo恒成立，则实数m的取值范围

是

A.(-1,2)B,(-4,3)C.(-2,1)D,(-3,4)

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题

户

【分析】由题意川得m2-m〈aWI在眼(一，F时恒成立，则只要n?-mV夕1•的最小值，然后解

不等式可m的范围.

【详解】0(m2-m)4x・2x<0在xl3(-叼-1]时恒成立，

7X1

回m?-mV不=齐在xEl(-〜-1]时恒成立，

由于f(x)=/在曲(-8,-1]时单调递减，

0x<-1,0f(x)>2,0m2-m<2,

0-l<m<2,

故选A.

【点睛】本题主要考查了函数的恒成立问题mwf(x)恒成立=门价(x)得最小值(mzf(x)恒成立=m2f

(x)的最大值)，体现出函数恒成立与最值的相互转化.

【对点训练7】(2025•广西•模拟预测)若对任意的”(T+8),不等式［'-〃)［小。+1)-川>。恒成立，则

4一〃的最小值是()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】由导数求函数的最值(不含参)、利用导数研究不等式恒成立问题、指数函数最值与不等式的

综合问题、根据对数函数的最值求参数或范围

【分析】根据题意确定y=ln(x+l)-b有公共零点，设为小,/>-1,即可得到

«-/2=e^-ln(x0+l),(.r0>-l),构造函数f(x)=eX-ln(x+l),(x>T),求出其最小值，即可求得答案.

【详解】由于函数)，=/-4广=111*+1)-人在(-1,+00)上均单调递增，故均至多有一个零点，

而不等式(e*-«)［ln(x+l)-^］之0恒成立，

若aWO,则需皿―NO恒成立,由于y=ln(x+l)的值域为R,故ln(x+-0不恒成立;

故。>0,则y=。-=ln(%+l)-b有公共零点,设为

r

e,-4=0a=e"

'ln($+l)-b=O,人=ln(x«+l)

故"Z?=e%+>-l).

4-/(x)=ev-ln(x+l),(x>-l),则/(力=/-±,

r(0)=l,由于/e\y=-1在(一1,位)上均单调递增，

x+［

故f(x)=e，-击在(-1,-HX))上单调递增，

则-IvxvO时，r(x)<0：x>0时，/(6>0；

故f(“>在(一L°)上单调递减，在(。,转)上单调递增，

故fC%„"(0)=1，即的最小值为1,

故选：c

【对点训练8】(2025•北京大兴・三模)已知函数/("=广：:2若最小值为贝匹

U+2x+o,x<1

的一个取值为:。的最大值为.

【答案】2(答案不唯一，aw[2,4]即可)4

【难度】0.65

【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、根据分段函数的值域(最值)求参数、求二次函数的值域

或最值、对勾函数求最值

【分析】分别研究xNl和x<l时函数的最小值情况，确保两个区间内的最小值都不小于/(1)，且/(1)是整

体的最小侑，结合两段函数的性质,求解。的取值.

【详解】由题意知，原函数中/⑴为最小值，

①当XN1时,令f=2"则电2,函数变为g⑺='+卜2,

求导得g(f)=l-，，令g")=0,贝iJz=G,

i)当右之2,即。之4时，最小值在7处，

此时g(右)=2&-2,因为f(x)的最小值为/⑴,

所以有—2之■!，可得。=4；

ii)当G<2,即。<4时，/3在xNl上单调递增,

最小值/⑴二|.

②当x<l时，f(x)=，+2x+〃，最小值在T=-1处，

此时f(-D=a-l,因为/(X)的最小值为〃1),

所以有。一1引，可得。之2；

综上所述，2,4].

故答案为：2(答案不唯一，。目2,4]即可)；4

考点5比较大小

例9、（2025•天津红桥•二模）若口=ln2,2〃=5,c=2°2,则a,4c的大小关系为（）

A.c>a>bB.a>b>c

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】比较对数式的大小、匕较指数累的大小

【分析】利用指数函数的单调性与值域可得0<C<l,再由对数函数的单调性可得2<人<3,由此可

得结果.

【详解】因为2〃=5,所以2=log24Vb=log所vlog28=3,

0<o=ln2<lne=l,2=21>c=202>2°=1,

所以

故选：D.

例10、（2025•天津河东•二模）已知4=/J,b=\ogL-tc=41,则a,4c的大小关系是（）

A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】比较指数塞的大小、匕较对数式的大小

【分析】根据指数函数的性质可判断再由对数函数的性质可判断〃>2,即可得出答案.

【详解】因为a==206G（1,2）,

r121211r12

^=»Og|->>ogig=log.-=2,C=43=23e（l,2）»且2〃2°6=4，

故〃<CV〃.

故选：A.

【对点训练9】（2025•甘肃白银•二模）已知则（）

A.ba<ab<a('<bhB.ah<aa<ba<bh

C.bb<ah<aaD.ah<ba<aa<bb

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】比较指数暴的大小

【分析】利用指数函数的单调性匕较大小即可.

【详解】因为函数y=a'（0va<D是减函数，所以

同理，函数丁="。>1）是增函数，所以1<"<//.

综上,可得/

故选：B

【对点训练10】（2025•辽宁•二模）已知4=203/=0.2°3,。=。.2°6,则（）

A.b>a>cB.a>c>bC.b>c>aD.a>b>c

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】比较指数累的大小、由事函数的单调性比较大小

【分析】由幕函数与指数函数的单调性比较指数幕的大小即可.

【详解】对于。，力，由于y=x°3在（0,+a）单调递增，所以2°3>0.2°3,

对于九%由于y=0.2，单调递减,故0.2°3>0.208.

所以a>b>c.

故选：D

考点6指数的实际应用

例11、（2024・上海静安•一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水

处理装置每小时从处理池清除掉12%的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的10%,大约需要

的时间为（）（参考数据：1g0.88。-0.0555）

A.14小时B.18小时C.20小时D.24小时

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】指数函数模型的应用（1）、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化

【分析】分析可知，/小时后，处理池中的残留物为〃（1-12%）',根据题意可得出关JT的等式，解之即可.

【详解】设处理池中的残留物初始时为。，则7小时后，处理池中的残留物为41-12%）',

根据题意可得。（1-。.⑵'=0.1。，即0.88,=0.1,解得，=1。1诩01=兰意=18.

IgU.oo

因此，要使处理池中的污染物水平降到最初的10%,大约需要的时间为18小时.

故选:B.

例12、（2024•安徽合肥・二模）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称

做半衰期，记为丁（单位：天）.铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为[，（.开始记录

时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的;，则几（满足的关系式为（）

r512512r512512

A-2+-----=------

1T2

…512.512rI512I512

C.-2+l«g2—=log2—D.2+log2—=log2—

/[12

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】指数函数模型的应用（1）

【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可

得答案.

【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，

15121512

则512天后，甲的质量为：（”，乙的质量为：（产,

[至[[IE12也

由题意可得g产=?《）’=（》-，，

c512512

所以2+7=可.

故选：B.

【对点训练11】.（2024•河南郑州•二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是年C,空气的

温度是火C,那么/min后物体的温度0（单位：。C）可由公式6=，+（a-4）e"求得，其中k是一个随着

物体与空气的接触情况而定的正常数.现有63℃的物体，放在15℃的空气中冷却，60分钟以后物体的温度

是39c.要使物体的温度变为21℃,还要经过________分钟.

【答案】120

【难度】0.85

【知识点】指数幕的运算、解析法表示函数、指数函数模型的应用（1）

【分析】先把现有63°。的物体，放在15℃的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是39c代入公式

e=q+（q-4）e-，再列出此物外的温度变为21℃时的关系式，联立二式组成方程组，解之即可求得要使

物体的温度变为21℃,还要经过的时间.

【详解】团现有63℃的物体，放在15℃的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是39C,

回15+（63-15把3=39,即产二g①，

要使物体的温度变为21C,则15+48e*=21,即②，

O

e，=_L

联立①②，J,解得/=180,

8

故还要经过180-60=120分钟.

故答案为：120.

【对点训练12】.（2024・上海普陀•一模）由于疫情防控需要，某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在

药物释放过程中，站内空气中的含药量）’（亳克/每立方米）与时间（小时）成正比.药物释放

完毕后，》与x满足关系y=/*"常数，X?!）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到;考克以下时，

JJ

乘客方可进站，则地铁站应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作.

【答案】50

【难度】0.85

【知识点】指数函数模型的应用（1）

【分析】当XN：时.，求出y关于牙的函数解析式，然后解不等式即可得解.

【详解】由于函数y=9"x的图象过点（小），则储=1，可得b4

故当xN：时，\,=9丁",由v==33'x<3T,可得:—2x<—1,解得工>3，此时

3366

故地铁站应安排工作人员至少提前2x60=50分钟进行消毒工作.

故答案为：50.

考点7综合应用

例13、(2025・北京•模拟预测)已知函数〃x)=LIog“x+l,a,〃e(0,l)U(l,yo)

①当〃=〃=2时，/'(力恰有1个零点；

②若0>1,则对于任意的〃，/(“都有零点；

③当〃=〃时，若函数/(“恰有1个零点，则满足条件的。取值唯一；

④当〃=/?时，存在。的取值，使得/(M有3个零点.

其中所有正确结论的序号是：.

【答案】①②

【难度】0.4

【知识点】指数函数图像应用、函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数、对数函数图象的应

用

【分析】利用函数零点问题转化为方程，然后再构造两个函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合

来解决问题.

【详解】对于①，当匕=2时，由/(x)=2'log〕x+l=0=log|x=,

222y2)

分别作出函数户原:与y=的图象，

由图像可得两函数必有一个交点，则/(x)=2'」°g；"+l有唯一零点，故①正确;

对「②，若由『(x)=///og0x+l=0ok)g“x=-，

分别作出函数尸1%工与y=的图象，当。>1时作图可得：

J

此时由图像可得两函数必有一个交点，但当OvOvl时又作图可得：

此时由图像可得两函数也必有一个交点，则/(X)都有零点，故②正确；

对于③，若4=〃时，由f(x)=b"-logux+1=0ologaX=，

分别作出函数y=10gaX与y=-([J的图象，当时作图可得：

此时由图像可得两函数必有•个交点，说明对任意的都满足/(X)有•个零点，即满足条件的〃的取

值并不唯一，故③错误；

l

对于④，若a=匕时，由/(.r)=b-logrtx+l=0<=>log“x=一(')，

分别作出函数y=log)与y=的图象，当a>l时作图“J得：

此时由图像可得两函数必有•个交点，说明对任意的不满足/（X）有三个零点,

此时由图像可得两函数可能没有交点，或只有一个交点，或有两个交点，但一定没有三个交点，所以不满

足“X）有三个零点，故④错误，

故答案为：①②.

例14、（2025・天津和平•三模）定义域为R的函数/（x）满足/（工+4）=2/（工），当代口力时，

■^x2-X,XG[0,2)

,，则实数加的取值范围是（）

/(x)=,,若xw[—8,-4)时，f(x)>

47n

-rXG[2,4)

A.(3,—2]D(0,2]B.[-2,2]

C.[-2,0)U(0,2]D.[-2,0)u[2,+x)

【答案】A

【难度】0.4

【知识点】函数不等式恒成立问题、根据分段函数的值域（最值）求参数、指数函数最值与不等式的综合

问题

m-\

【分析】结合题意求出函数/（x）在区间［-8,T）上的最小值，根据题意得出/（%）1nm2解该不等

4

式即可得解.

【详解】当xw[-8,-4）时，"力之与一5恒成立，则/（同.之竺

因为定义域为R的函数/（x）满足/（x+4）=2/（x）,

^x2-x,Ae[0,2）

当14。,4）时，/（x）=-|x-j|,

七）一«2,4）

当工«-8,-6)时，x+8e[0,2),

则f(x)=?(x+4)=、(x+8)=；x1(X+8)?-(A+8)=1(x+8)2-i(x+8)

=：[(工+8)2-2(工+8)+1卜:=36+7)2-《‘

Ou-Jooo

因为-1KX+7<1,此时〃x)N〃—7)=—：；

o

当jcw[—6,—4)时，x+8e[2,4),

则f(x)=/(x+4)=；〃x+8)=；x—(；)=+(£)

I（I、卜+$1

因为-1KX+5V1,则0小+5区1,贝宁"，所以"X）之/（—5）=—『

所以，函数“X）在[一8T）上的最小值为〃6.=〃-5）=-；，

所以，=-,W〃立而=-，即:-’40,即江二乜o,解得加工-2或0v/〃W2.

4in、加044in4m

因此，实数加的取值范围是2]50，2].

故选：A.

【对点训练13]（2024•黑龙江哈木滨•一模）己知函数/。）=J,+：；（E|若方程/⑴-25（x）+:=0

有4个不相等的实数根，则实数。取值范围为（）

A.（当,油（”）B.（当.⑵+⑹

54

C.'⑵D.（―,+co）

【答案】D

【难度】0.4

【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围、

指数函数图像应用