2025-2026学年辽宁省沈阳市虹桥中学教育集团九年级（下）开学数学试卷(含部分答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年辽宁省沈阳市虹桥中学教育集团九年级（下）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯.如图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（）

A. B. C. D.3.东北四城市2025年1月份平均气温如表所示，其中气温最低的城市是（）城市沈阳大连哈尔滨长春1月份平均气温-7.3℃-1.1℃-10.52℃-16.9℃A.沈阳 B.大连 C.哈尔滨 D.长春4.下列计算正确的是（）A.m+3m=4m2 B.2m•3m=5m2 C.（mn）2=mn2 D.（m2）3=m65.下列命题是真命题的是（）A.对角线相等的四边形是矩形 B.矩形的对角线互相平分

C.对角线互相垂直的四边形是矩形 D.矩形的对角线互相垂直6.下列说法中正确的是（）A.一个抽奖活动的中奖率是10%，则抽100次奖一定会中奖10次

B.了解某批灯泡的使用寿命，采取普查方式

C.一组数据1、2、3、4的中位数是2.5

D.若甲组数据的方差是S甲2，乙组数据的方差是S乙2，若S甲2＞S乙2则甲组数据比乙组数据稳定7.如图，点E在正方形ABCD的内部，且△ADE为等边三角形，BD与CF交于点M，则∠DMC为（）A.30°

B.45°

C.60°

D.75°8.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行.问：人与车各多少？设有x人，y辆车，则符合题意的方程组是（）A. B. C. D.9.如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（）A.（9，4）

B.（4，9）

C.（1，）

D.（1，）10.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴的一个交点A的坐标为（-1，0），对称轴为直线x=1.下列结论：①c＜0；②a-b+c＞0；③若点B（-n,y1），C（n+2，y2）都在该抛物线上，则y1=y2.其中正确结论的个数为（）A.3

B.2

C.1

D.0二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.因式分解：x3-4x2+4x=

．12.连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上的的概率是______．13.如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD、CD.若，则∠D的度数为

.

14.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC=30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为

.

15.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＞AB，AD=a,AB=10，以点A为圆心，以AB长为半径作弧，与BC相交于点E，连接AE.以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA，EC相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P，作射线EP，与AD相交于点F，则FD的长为

（用含a的代数式表示）.三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题5分)

计算

（1）计算：；

（2）解分式方程：.17.(本小题10分)

某公司准备采购办公电脑，若采购1台A型电脑和2台B型电脑，需花费1.32万元；若采购3台A型电脑和1台B型电脑，需花费1.46万元.

（1）求A、B两种型号电脑每台的售价各是多少万元？

（2）若该公司采购A、B两种型号的电脑共30台，且总费用不超过14.1万元，求该公司至少要采购多少台A型电脑.18.(本小题10分)

某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：D：60≤x＜70，C：70≤x＜80，B：80≤x＜90，A：90≤x≤100），部分信息如下：

信息一：

信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：

80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89.

请根据以上信息，解答下列问题；

（1）求所抽取的学生成绩为C等级的人数；

（2）求所抽取的学生成绩的中位数；

（3）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数.19.(本小题10分)

如图①是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图②所示的示意图，已知点B，A，D，E在同一直线上，AB=AC=AD；测得BC=1.71m,DE=2，∠B=55°.

（1）连接CD，求证：∠BCD=90°；

（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）.（精确到0.1m,参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）20.(本小题10分)

某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试.测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，相关测试数据如表所示：行驶时间x（h）01234…剩余电量y（kW•h）8065503520…行驶路程S（km）080160240320…这辆新能源汽车电池的剩余电量y（kW•h）与行驶时间x（h），行驶路程S（km）与行驶时间x（h）之间满足不同的一次函数关系.

（1）①直接写出S与x之间的函数关系式______；

②求y与x之间的函数关系式（以上两问均不要求写出自变量x的取值范围）；

（2）当这款新能源汽车剩余电量为总电量的10%时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤.求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程.21.(本小题10分)

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在上，，点E在BA的延长线上，∠CEA=∠CAD.

（1）如图1，求证：CE是⊙O的切线；

（2）如图2，若∠CEA=2∠DAB，OA=8，求的长.

22.(本小题10分)

综合与实践.

【了解定义】

如图1，在△ABC和△DBC中，AB=AC，DB=DC，点A，D在底BC的同侧.我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形.在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线.图1中∠ABD和∠ACD是腰角，线段AD是轴线.

【探究性质】

小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边.

小明利用图1给出已知、求证，请帮助小明完成证明.

（1）已知：如图1，△ABC和△DBC是同位等腰三角形，连接AD.求证：∠ABD=∠ACD，直线AD是线段BC的垂直平分线.

【辨析理解】

（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，点D在AB上，∠ACD=45°，AE⊥CD，垂足为E，AE的延长线与BC相交于点F，点G在线段EC上，且EG=EF，连接BG.求证：△ABC和△GBC是同位等腰三角形.

【拓展应用】

（3）如图3，△ABC和△DBC是同位等腰三角形，∠ACB=60°，点E在DB的延长线上，且∠DCE=∠ACB，AD的延长线与BC，EC分别交于点M，N，点F在EC上，BF∥AC.若CD=3，BE=4，求FN的长.

23.(本小题10分)

已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a＞0）的顶点为P，且2a+b=0，对称轴与x轴相交于点D，点M（m,1）在抛物线上，m＞1，O为坐标原点.

（I）当a=1，c=-1时，求该抛物线顶点P的坐标；

（Ⅱ）当时，求a的值；

（Ⅲ）若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，∠MDN=90°，DM=DN，点E在线段MN上，点F在线段DN上，，当DE+MF取得最小值为时，求a的值.

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】D

10.【答案】B

11.【答案】x（x-2）2

12.【答案】

13.【答案】45°

14.【答案】2

15.【答案】a-10

16.【答案】；

无解．

17.【答案】每台A型电脑的售价是0.32万元，每台B型电脑的售价是0.5万元；

该公司至少要采购5台A型电脑．

18.【答案】解：（1）样本容量为：12÷40%=30，

30-1-12-10=7（人），

即所抽取的学生成绩为C等级的人数为7人；

（2）所抽取的学生成绩的中位数为=85；

（3）360×=120（人），

答：该校七年级估计成绩为A等级的人数大约为120人．

19.【答案】证明∵AB=AC=AD，

∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠ADC

∵∠B+∠ADC+∠BCD=180°

即2（∠B+∠ADC）=180°

∴∠B+∠ADC=90°

即∠BCD=90°

雕塑的高约为4.1米

20.【答案】①S=80x；

②y=-15x+80；

行驶的最远路程为384km．

21.【答案】（1）证明：如图1，连接OC，

∵∠CAO是△ACE的一个外角，

∴∠CAO=∠CEA+∠ACE，

即∠CAD+∠DAB=∠CEA+∠ACE，

∵∠CEA=∠CAD．

∴∠DAB=∠ACE，

∵，

∴∠ABC=∠DAB，

∴∠ABC=∠ACE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠OAC=90°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠ABC+∠OCA=90°，

∴∠ACE+∠OCA=90°，

即∠OCE=90°，

∵OC是⊙O的半径，

∴CE是⊙O的切线；

（2）解：如图2，连接OD，

设∠DAB=x,

∵∠CEA=2∠DAB，

∴∠CEA=2x,

∵∠CEA=∠CAD，

∴∠CAD=2x,

∵，

∴∠ABC=∠DAB=x,

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠BAC=90°，

∴x+2x+x=90°，

∴x=22.5°，

即∠DAB=22.5°，

∴∠BOD=2∠DAB=45°，

∵OA=8，

∴的长为=2π．

22.【答案】见解析；

见解析；

．

23.【答案】解：（I）∵2a+b=0，a=1，

∴b=-2a=-2，

又∵c=-1，

∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-1，

∵y=x2-2x-1=（x-1）2-2，

∴该抛物线顶点P的坐标为（1，-2）．

（II）如图，过点M（m,1）作MH⊥x轴，垂足为H，m＞1，

则∠MHO=90°，HM=1，OH=m,

在Rt△MOH中，由，

∴，

解得（舍），

∴点M的坐标为，

∵2a+b=0，即，

∴抛物线y=ax2-2ax+c的对称轴为x=1．

∵对称轴与x轴相交于点D，

∴OD=1，∠ODP=90°．

在Rt△OPD中，由，

∴，

解得（负值舍去），

由a＞0，得该抛物线顶点P的坐标为，

∴该抛物线的解析式为，

∵点在该抛物线上，

∴，

∴a=10．

（III）过点M（m,1）作MH⊥x轴，垂足为H，m＞1，

则∠MHO=90°，HM=1，OH=m,

∴DH=OH-OD=m-1，

在Rt△DMH中，DM2=DH2+HM2=（m-1）2+1，

如图，过点N作NK⊥x轴，垂足为K，则∠DKN=90°，

∵∠MDN=90°，DM=DN，

又∵∠DNK=90°-∠NDK=∠MDH，

在Rt△NDK和△DMH中，

，

∴△NDK≌△DMH（AAS），

∴点N的坐标为（2，1-m），

在Rt△DMN中，∠DMN=∠DNM=45°，

∴MN2=DM2+DN2=2DM2，即．

∵，

∴ME=NF，

在△DMN的外部，作∠DNG=4