广东省广州市暨南大学附属实验中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2025-2026学年广东省广州市暨南大学附属实验中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A.x2=2 B.1x2+x=2

2.如图，下列关于抛物线y=ax2+bx+c的图象描述正确的是(

)A.当x<0时，y随着x的增大而增大

B.当x<0时，y随着x的增大而减小

C.当x<−1时，y随着x的增大而增大

D.当x>−1时，y随着x的增大而增大3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A. B.

C. D.4.一元二次方程x2−5x+7=0的根的情况是(

)A.有两个不相等的实数根 B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根 D.没有实数根5.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2A.x=1

B.x=3

C.x=1或x=3

D.x=2或x=36.已知点P(−3,1)关于原点对称的点的坐标是(

)A.(1,3) B.(3,−1) C.(−3,−1) D.(−1,3)7.一份摄影作品(长7分米，宽5分米)，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同(如图)，矩形衬纸的面积为照片面积的2倍，设照片四周外露衬纸的宽度为x分米，下面所列方程正确的是(

)A.2(7+x)(5+x)=7×5 B.(7+x)(5+x)=2×7×5

C.2(7+x)(5+2x)=7×5 D.(7+2x)(5+2x)=2×7×58.如图，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数y=2x2−4的图象上，则图中阴影部分的面积之和为(

)A.6

B.8

C.10

D.129.如图，正方形ABCD和正方形EFGO的边长都是2，正方形EFGO绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是(

)A.12

B.1

C.2

D.10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴交于A(−1,0)，对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)(不包括这两个点)之间，下列结论：①当−1<x<3时，y>0；②−1<a<23；③当m≠1时，a+b>m(am+b)；④4ac−A.①③ B.①②③ C.①②④ D.①④二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.已知方程x2−mx+3=0的一个根是1，则m的值为

.12.将抛物线y=(x−1)2−4向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的新抛物线解析式为

13.某班同学毕业时都与全班其他同学握手一次，全班共握手1770次，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为

.14.如图，△DBE是由△ABC绕点B按逆时针方向旋转40∘得到的，若AB⊥DE，则∠A的度数为

.

15.设m，n分别为一元二次方程x2+5x−2025=0的两个实数根，则m2+7m+2n=16.在平面直角坐标系xOy中，△OAB的位置如图所示，将△OAB绕点O顺时针旋转90∘得△OA1B1；再将△OA1B1绕点O顺时针旋转90∘得△OA2B2；再将△OA2B2绕点O三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题4分)

解方程：x2+4x−12=0.18.(本小题6分)

如图△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4).

(1)请画出△ABC绕点O逆时针旋转90∘的△A1B1C1.

(2)请画出△ABC关于原点O19.(本小题6分)

已知关于x的一元二次方程kx2+(2k+1)x+k=0有实数根.

(1)求k的取值范围；

(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，当k=220.(本小题8分)

二次函数y=ax2+bx+c中的x，x…−10123…y…0−3m−30…(1)观察表中信息，发现c=______，抛物线的对称轴为______.

(2)求该抛物线的解析式.

(3)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象，结合图象，请直接写出当−3<y时，自变量x的取值范围.21.(本小题8分)

如图，四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=4，AB=7，求：

(1)指出旋转中心______和顺时针旋转角度为______；

(2)求DE的长度；

(3)判断BE与DF的关系，并证明你的结论.22.(本小题8分)

商店销售某种商品进价每千克20元，现在的售价为30元/千克，每天可卖100千克，现准备对价格进行调整，由实际销售经验可知，售价每涨1元销售量要少卖10千克；且物价局规定每千克的利润不低于12元且不高于18元.

(1)若商店某天的利润为750元，求售价为多少元？

(2)求该商店每天销售这种商品的最大利润.23.(本小题8分)

素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱桥结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件，如图(1)是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形.在正常水位时测得桥拱处水面宽度OB为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米.

素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽DE为16米，露出水面的高DG为7米.四边形DEFG为矩形，OD=BE.现以点O为原点，以OB所在直线为x轴建立如图(2)所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线.

(1)求此抛物线的解析式.

(2)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？

24.(本小题12分)

已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60∘得到AE，连接DE.

(1)如图1，猜想△ADE是什么三角形？______；(直接写出结果)

(2)如图2，猜想线段CA、CE、CD之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)当BD为何值时，∠DEC=30∘，请说明理由．25.(本小题12分)

已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(m−2,0)和B(2m+1,0)(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x=1.

(1)求抛物线解析式．

(2)直线y=kx+2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1,y1)，N(x2,y2)(x1<x2)，当|x1−x2|最小时，求抛物线与直线的交点M与N的坐标．

参考答案一．选择题1.A

2.C

3.D

4.D

5.C

6.B

7.D

8.B

9.B

10.A

二、填空题11.4

12.y=(x+1)13.x(x−1)214.50∘15.2015

16.(2,−1)

三、解答题17.解：分解因式得：(x−2)(x+6)=0，

可得x−2=0或x+6=0，

解得：x1=2，18.解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求；

(2)19.解：(1)∵关于x的一元二次方程kx2+(2k+1)x+k=0有实数根，

∴k≠0△=(2k+1)2−4×k×k≥0，

解得：k≥−14且k≠0.

(2)当k=2时，原方程为20.解：(1)二次函数y=ax2+bx+c过点(0,−3)，

∴c=−3，

∵由表中x、y的对应值可知，当x=−1与x=3时y的值相等，

∴对称轴是直线x=−1+32=1，

故答案为：−3，直线x=1；

(2)∵抛物线经过点(−1,0)，(3,0)，

∴设解析式为y=a(x+1)(x−3)，

代入点(0,3)得，−3a=−3，

解得a=1，

∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x−3)，即y=x2−2x−3；

(3)由题意，∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，

∴令y=x2−2x−3=0，则x=−1或x=3；令x=0，则y=−3，

∴抛物线与x轴交点为(−1,0)，(3,0)；与y轴交点为(0,−3).

如图所示，

∴由图象可知，当−3<y时，自变量x的取值范围是x<0或x>2.

21.解：(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90∘.

∵△ADF旋转一定角度后得到△ABE，

∴旋转中心为点A，顺时针旋转角度为90∘.

故答案为：点A；90∘.

(2)∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB=7，

∵△ADF旋转一定角度后得到△ABE，

∴△ADF≌△ABE，

∴AE=AF=4，

∴DE=AD−AE=7−4=3.

(3)BE=DF，BE⊥DF.

证明：延长BE交DF于点G，

∴∠BEA=∠DEG.

∵△ADF旋转一定角度后得到△ABE，

∴△ADF≌△ABE，

∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，

∴180∘−(∠ABE+∠BEA)=180∘−(∠ADF+∠DEG)，

即∠BAD=∠DGE=90∘，

∴BE⊥DF.

22.解：(1)设商品售价为x元，

根据题意得：(x−20)[100−10(x−30)]=750，

整理得：x2−60x+875=0，

解得x1=25，x2=35，

∵12≤x−20≤18，

∴32≤x≤38，

∴x=35，

答：商品售价为35元时，商店某天的利润为750元；

(2)该商店每天销售这种商品的利润为y元，

根据题意得：y=(x−20)[100−10(x−30)]

=(x−20)(400−10x)

=400x−10x2−8000+200x

=−10x2+600x−8000

=−10(x−30)2+1000，

∵−10<0，

∴x>30时，y随x的增大而减小，

∵32≤x≤38，

∴当x=32时，y取得最大值，最大值为960，

答：该商店每天销售这种商品的最大利润为960元．

23.解：(1)由题可知，O(0,0)，B(40,0)，抛物线的顶点为点(20,10)，

∴可设抛物线的解析式为y=ax2+bx将(40,0)，(20,10)代入得：1600a+40b=0400a+20b=10，

∴a=−140,b=1

∴抛物线的解析式为y=−140x2+x；

(2)此时该货船能安全过桥；理由如下：

由题意得：∵水位上升0.5米，

∴相当于将抛物线y=−140x2+x向下平移0.5个单位长度，

∴平移后抛物线的解析式为y=−140x2+x−12，

把x=12代入y=−140x2+x−12，

∴y=−140×122+12−12=7.9.

∵7.9>7，

∴此时该货船能安全过桥．

24.解：(1)由旋转变换的性质可知，AD=AE，∠DAE=60∘，

∴△ADE是等边三角形，

故答案为：等边三角形；

(2)CA+CD=CE，

证明：由旋转的性质可知，∠DAE=60∘，AD=AE，

∵△ABC是等边三角形

∴AB=AC=BC，∠BAC=60∘，

∴∠BAC=∠DAE=60∘，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴BD=CE，

∴CE=BD=CB+CD=CA+CD；

(3)BD为2或8时，∠DEC=30∘，

当点D在线段BC上时，

∵∠DEC=30∘，∠AED=60∘，

∴∠AEC=90∘，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=90∘，又∠B=60∘，

∴∠BAD=30∘，

∴BD=12AB=2，

当点D在线段BC的延长线上时，

∵∠DEC=30∘，∠AED=60∘，

∴∠AEC=30∘，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=30∘，又∠B=60∘，

∴∠BAD=90∘，

∴BD=2AB=8，

∴BD为2或8时，∠DEC=30∘；

25.解：(1)由已知对称轴为x=1，得−b2×(−1)=1，

∴b=2，

抛物线y=−x2+bx+