2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第03讲 解三角形 （解析版）

第03讲解三角形内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：三角形的基本要素与内角和定理核心知识1.基本要素：在△ABC中，边、、分别对应角、、的对边；内角和；外角等于不相邻两内角之和.2.三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即，，.易错辨析误区：忽略三边关系直接用定理求边，导致解不存在.纠正：已知三边或两边及一边对角时，先验证三边关系，排除无效解.概念比较概念含义区别内角三角形内部的角，和为内角范围，外角是内角的补角外角三角形一边与另一边延长线的夹角，和为外角=不相邻两内角和，大于任何一个不相邻内角重点记忆+常考结论1.内角和恒为，是角度计算的核心依据.2.大边对大角、大角对大边，即.3.已知两角可直接求第三角，是解三角形的基础步骤.知识点2：正弦定理核心知识1.定理内容：在△ABC中，，为△ABC外接圆半径.2.常见变形，，；，，；.3.推导过程（外接圆法，分三类三角形证明）1.直角三角形：设，外接圆直径，，，故成立.2.锐角三角形：作外接圆，圆心为，连接并延长交圆于，，，在Rt△CBD中，，同理，.3.钝角三角形：作外接圆，延长交圆于，，在Rt△CBD中，，同理得其他边关系，综上定理成立.易错辨析误区：已知两边及一边对角（如），由求出时，直接取锐角解，忽略钝角解可能.纠正：结合“大边对大角”判断：若，则，必为锐角，一解；若，且，则有锐角、钝角两解；若，则，一解；若，无解.概念比较应用场景正弦定理余弦定理（预告）已知条件两角及一边；两边及一边对角两边及夹角；三边解的个数唯一解或无解唯一解计算核心边与对角正弦的比例关系边的平方与夹角余弦的运算重点记忆+常考结论1.正弦定理的核心是“边与对角正弦成正比，比例系数为”.2.已知两角及一边，优先用正弦定理求未知边；已知两边及一边对角，先判断解的个数再求解.3.常考结论：；若，则，反之亦然.一、正弦定理与边角互化1.基础铺垫：正弦定理公式在△ABC中，（为△ABC外接圆半径）核心变形（边角互化的关键）：边化角：，，角化边：，，比例关系：2.边角互化核心方法边化角：当已知条件或待求式中含“边的齐次式”（如、）时，用等代入，将边转化为角，利用三角恒等变换求解（如和角公式、二倍角公式）。角化边：当已知条件含“角的正弦关系”（如、）时，用等代入，将角转化为边，利用代数运算（如因式分解、均值不等式）求解.3.常见应用场景与易错点典型场景1：判断三角形形状（如由边化角得，推出，即等腰三角形）.典型场景2：求解含边角混合的等式（如由角化边得，推出直角三角形）.易错点：非齐次式不可随意边化角/角化边（如，需结合其他定理补充条件）；忽略的角度范围限制.二、射影公式1.公式内容在△ABC中，任意一边等于另外两边在该边上的射影之和：2.推导思路（基于正弦定理）由内角和，得.根据正弦定理，，，，代入上式：，两边同乘，得，其余两式同理可证.3.核心应用与优势快速转化边角关系：无需复杂平方运算，直接关联一边与另外两边的余弦值，简化含、等的表达式计算.辅助求解边角问题：当题目中同时出现“一边”和“另外两边的余弦值”时，优先使用射影公式（如已知，，，可直接求）.验证其他定理：可作为正弦定理、余弦定理的辅助验证工具，提升解题准确性.4.易错点提醒边角对应错误：牢记“边对应另外两边与它们对角的余弦值”，避免混淆夹角（如误写为）。过度依赖：射影公式适用于特定边角组合，复杂问题需结合正、余弦定理综合使用.正弦定理判断三角形解的个数核心前提：正弦定理判断解的个数，仅适用于“已知两边及一边对角”（记为：已知，其中为边，为边的对角）的情形。其他已知条件（如两角及一边、两边及夹角、三边）均有唯一解或无解，无需用正弦定理判断.一、判断核心依据1.三角函数值域：，若计算得，则无解；若，则，需验证是否符合三角形内角和；若，则有两解（，），需结合“大边对大角”筛选有效解.2.大边对大角：在△ABC中，；；（为三角形内角，均）.二、具体情形分类（已知）情形1：角为锐角（）步骤：由正弦定理得，结合值域和大边对大角判断：当时：，因为锐角，故必为锐角，且，唯一解.当时：，则，△ABC为直角三角形，唯一解。当时：，此时有两解（锐角、钝角），且（因，故，两解均满足内角和），两解.当时：，超出正弦函数值域，无解.情形2：角为直角（）分析：直角三角形中，斜边为最长边，则为斜边（最长边）：当时：为最长边，符合直角三角形斜边要求，为锐角（），唯一解.当时：，但为斜边应最长，矛盾，无解.情形3：角为钝角（)分析：钝角三角形中，钝角为最大角，故应为最长边（），且其他两角均为锐角（和为）：当时：为最长边，（大边对大角），因为钝角，必为锐角（），且，唯一解.当时：，则，但为钝角，会导致，违反内角和定理，无解.二、标准判断步骤（已知）1.第一步：计算；2.第二步：判断值域：若：无解；若：则，验证，成立则唯一解，不成立则无解；若：结合“大边对大角”判断的两解是否有效：若：，必为锐角，唯一解；若：，的锐角、钝角两解均有效（因），两解；若：，为锐角，唯一解.三、直观记忆：图形辅助法以已知（锐角）、边为例，边固定，角固定，边为待求边，边为定长：当：边长度不足，无法构成三角形（无解）；当：边与垂直，恰好构成直角三角形（唯一解）；当：边可与交于两点，构成两个不同三角形（两解）；当：边仅与交于一点，构成唯一三角形（唯一解）.四、易错点提醒1.适用范围混淆：仅“已知两边及一边对角”需判断解的个数，其他条件无需判断；2.边角对应错误：必须明确“是边的对角”，若已知“两边及另一边对角”（如已知），需调整对应关系（将作为对角，作为对应边）再判断；3.忽略内角和验证：当时，需确认（即），否则无解（如，则，，无解）；4.漏判两解：当且时，易直接取锐角解，忽略钝角解，需结合大边对大角确认两解有效性.知识点3：余弦定理核心知识1.定理内容；；.2.推论（求角公式）；；.3.推导过程（几何法，以为例）1.当为锐角时，过作于，，，，在直角三角形BCD中：2.当为直角时，，公式化为，即勾股定理，成立.3.当为钝角时，过作的延长线于，，，，同理在Rt△BCD中，化简得.易错辨析误区：边角对应错误，如求时误用.纠正：明确公式中边与角的对应关系，边的平方等于另外两边平方和减去这两边与它们夹角余弦的2倍，夹角是所求边的对角.概念比较公式适用条件与勾股定理关系余弦定理任意三角形勾股定理是余弦定理当夹角为时的特例勾股定理直角三角形余弦定理的特殊情况，重点记忆+常考结论1.余弦定理核心是“边的平方与夹角余弦的关联”，可用于求边、求角、判断三角形形状.2.判断三角形形状：若，则；若，则；若，则.3.已知三边必用余弦定理求角，已知两边及夹角必用余弦定理求第三边.知识点4：三角形的面积公式核心知识1.基本公式：（为边上的高）.2.三角公式（常用）：.3.海伦公式：，其中.4.外接圆相关：（为外接圆半径）.易错辨析误区：使用三角面积公式时，误将角用错（如用）.纠正：公式中角为两边的夹角，即中是与的夹角.概念比较面积公式已知条件计算难度一边及该边上的高低两边及夹角中海伦公式三边高重点记忆+常考结论1.三角面积公式是解三角形中求面积的首选，尤其结合正、余弦定理使用.2.常考结论：若△ABC的外接圆半径为，；若为定值，时面积最大.知识点5：解三角形的基本类型与步骤核心知识已知条件首选定理解的个数两角及一边正弦定理唯一解两边及夹角余弦定理唯一解三边余弦定理唯一解两边及一边对角正弦定理0个、1个或2个解易错辨析误区：解“两边及一边对角”问题时，不判断解的个数直接求解.纠正：先求另一边对角的正弦值，结合大边对大角和内角和定理判断解的个数，再计算.重点记忆+常考结论1.解三角形的核心是“边角互化”，正弦定理侧重“边与正弦的比例”，余弦定理侧重“边的平方与余弦的关联”.2.实际问题中，先抽象为三角形模型，明确已知条件，再选对应定理求解.六、整体常考结论汇总1.三角形内角和为，大边对大角，大角对大边.2.正弦定理比例系数为，余弦定理是勾股定理的推广.3.已知两边及一边对角时，注意多解或无解情况.4.面积公式优先用，结合正、余弦定理灵活转化.【题型1正弦定理解三角形】例1．（25-26高三上·上海杨浦·期中）在△ABC中，BC=20，∠ABC=75°，∠ACB=60°，则边AB的长度为.【答案】10【分析】由正弦定理求解.【详解】因为∠ABC=75°,∠ACB=60°，所以∠BAC=45°，由正弦定理，ABsin∠ACB=故答案为：106例2．（25-26高三上·上海·期中）在△ABC中，a=33，c=5，a=2bsinA，则【答案】π6或【分析】由正弦定理边化角，可得sinA=2sinB【详解】由正弦定理得sinA=2因为A∈(0,π)，所以所以sinB=因为B∈(0,π)，所以B=π故答案为：π6或变式1．（25-26高三上·上海·月考）在△ABC中，若a=3，B=π4，A=π3【答案】6【分析】根据正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理，得asin则332=故答案为：6.变式2．（25-26高三上·上海·期中）在△ABC中，cosC=(1)若a=7，求b的值；(2)若cosA=1114，求a【答案】(1)5(2)5；π【分析】（1）通过余弦定理得b2−2b−15=0，可求得（2）根据已知可得sinA=5314，sinC=43【详解】（1）在△ABC中，cosC=17由余弦定理得，c2所以64=b整理得b2−2b−15=0，解得b=5或所以b=5；（2）因为cosA=1114，0<A<因为cosC=17，0<C<又c=8，由正弦定理asin所以a=c则cos=−11因为0<B<π，所以B=【题型2正弦定理判断三角形解的个数】例1．（24-25高一下·上海闵行·期末）如果满足∠ABC=45∘,AB=6,AC=b的△ABC有且只有一个，那么实数b【答案】6,+【分析】由正弦定理结合A到BC距离，然后根据题意结合图形求解即可.【详解】因为在△ABC中，∠ABC=45°，AB=6，所以A到BC距离d=ABsin因为△ABC有且只有一个，所以由图可知b=32或b≥6即实数b的取值范围是6,+∞故答案为：6,+例2．（24-25高一下·上海·期末）在△ABC中，已知A=30∘，b=10，当B有两解时，a的取值范围为【答案】5,10【分析】根据正弦定理，结合30∘【详解】由正弦定理可知，asinA=若B有两解，则B>A=30∘，且B<150所以5<a<10.故答案为：5,10变式1．（24-25高一下·上海·期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，【答案】2【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解.【详解】在△ABC中，由a=2,B=π4及正弦定理asin∵△ABC有两解，∴b<asinA<1故答案为：(2变式2．（24-25高一下·上海·期中）在△ABC中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（

）A．b=10,A=45∘,C=C．a=18,b=10,A=120∘ 【答案】D【分析】根据正余弦定理，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A:b=10,A=45∘,C=对于B:a=6,c=10,B=60∘,cosB=对于C:a=18,b=10,A=120∘,a>b对于D:a=12,c=16,A=45∘,，由正弦定理sinC=16故选：D.【题型3正弦定理求外接圆半径】例1．（25-26高三上·上海·期中）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若∠A=π3,b=3,acosC+c【答案】3【分析】利用正弦定理化边为角，再根据两角和的正弦公式结合三角形和内角和定理化简，进而求出边a，再利用正弦定理即可得解.【详解】因为acos由正弦定理得sinA即sinA+C=sin由正弦定理得b=a=3，设△ABC外接圆的半径为R，则2R=a所以△ABC外接圆的半径R=3故答案为：3.例2．（24-25高一下·上海·期中）边长是5、7、9的三角形的外接圆半径等于．【答案】151111【分析】不妨令△ABC的三边a=5、b=7、c=9，利用余弦定理求出cosA，即可求出sin【详解】不妨令△ABC的三边a=5、b=7、c=9，由余弦定理cosA=所以sinA=由正弦定理2R=asinA故答案为：15变式1．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，∠A=60°,AB=4,AC=3，则△ABC的外接圆的半径为.【答案】393/【分析】利用余弦定理求解BC，再用正弦定理求△ABC的外接圆的半径即可.【详解】由余弦定理可知BC所以BC=13则△ABC的外接圆的半径为BC2故答案为：393变式2．（2024·上海徐汇·二模）在△ABC中，AC=1，∠C=2π3，∠A=π6【答案】1【分析】由正弦定理求解．【详解】由已知∠B=π6，设三角形外接圆半径为R，则2R=AC故答案为：1.【题型4正弦定理判断三角形的形状】例1．（24-25高一下·安徽合肥·月考）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若已知c(cosA+cosB)=a+b，则A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】由已知及正弦定理得sinCcosA+sinCcosB=【详解】由题干条件和正弦定理可得sinC又因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin所以上述等式可化为sinC即(sinA+sinB)cos所以cosC=0⇒C=π2故选：B.例2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）在△ABC中，cos2B2=a+c2c（a，A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【分析】根据条件，利用倍角公式得到cosB=【详解】因为cos2B2=a+c又由正弦定理asinA=所以sinCcosB=又B∈(0,π)，所以sinB≠0，得到cosC=0，又故选：B.变式1．（23-24高一下·上海·期中）若b2+c2−bc=a2A．直角三角形 B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】由b2+c2−bc=a2【详解】因为b2+c因为A,B,C∈0,π，所以又因为bc=tan即cosB=cosC故△ABC是等边三角形，故选：D.变式2．（23-24高二下·上海闵行·月考）在△ABC中，b=2acosC，则△ABC为（A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理及三角恒等变换计算即可.【详解】由正弦定理可得：sinB=2sinA所以sinB=则2sinAcosC易知cosA≠0,cos在三角形中A、C∈0,π，所以故选：C.【题型5射影公式】例1．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若ccosB+bcosC=2asinA，A．30° B．90° C．45° D．60°【答案】B【分析】根据给定条件，利用三角形射影定理及三角形面积公式分别求出A,C即可.【详解】在△ABC中，由三角形面积公式及S=32ab⋅则tanC=3，而0∘<C<180由三角形射影定理得ccosB+bcos则2asinA=a，又a>0，解得sinA=所以∠B=90故选：B变式1．（24-25高一下·吉林长春·月考）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，S表示△ABC的面积，若ccosB+bcosC=asinA，A．90° B．60° C．45° D．30°【答案】B【分析】利用三角形射影定理求出角A，再利用面积定理求出角C即可计算作答.【详解】在△ABC中，由射影定理a=ccosB+bcosC及ccos而0∘<A<180∘，则A=90∘，由余弦定理而S=12absinC，因此，cosC=3所以B=180故选：B【题型6余弦定理解三角形】例1．（25-26高三上·上海·期中）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形最大角的正弦值等于.【答案】32/【分析】由余弦定理可求得最大角，进而求出正弦值即可.【详解】∵△ABC中，最大的边长为7，∴边长为7的边所对应的角最大，设最大的角为θ，由余弦定理可得：cosθ=又θ为三角形的内角，0<θ<π，∴θ=∴sin故答案为：32例2．（25-26高二上·上海·开学考试）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若A=60°, a=19,【答案】2或3【分析】利用余弦定理可得19=25+c【详解】在△ABC中，由余弦定理可得a2又A=60°, a=19所以c2−5c+6=0，解得c=2或经检验，c=2，c=3均符合题意.故答案为：2或3.变式1．（24-25高一下·上海·开学考试）三角形ABC中，a=3，b=4，A=π4，则c=【答案】22+1【分析】根据余弦定理即可求解.【详解】由余弦定理得a2即9=16+c2−42c经检验，符合题意，所以c=22+1或故答案为：22+1变式2．（24-25高三上·上海·月考）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=4、b=5、c=6，则sinA=【答案】7【分析】利用余弦定理可得cosA=34【详解】因为a=4、b=5、c=6，由余弦定理可得cosA=且0<A<π，所以sin故答案为：74【题型7余弦定理求角】例1．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，a,b,c是△ABC的三边且满足a2=b2+【答案】2【分析】根据题意利用余弦定理边角转化即可得结果.【详解】因为a2=b由余弦定理可得cosA=且A∈0,π，所以故答案为：2π例2．（2024·上海·模拟预测）已知△ABC的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a2=b2【答案】π2或π6【分析】利用余弦定理以及二倍角的正弦公式即可求解.【详解】因为a2所以由余弦定理可得，cosA=从而cosA(2sinA−1)=0，即cos又因为0<A<π，所以A=π2或π6或故答案为：π2或π6或变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）在△ABC中，(3b−c)cosA=a【答案】3【分析】利用余弦定理角化边，然后化简整理后，再使用余弦定理求得cosA【详解】(3(3b3b3bcosA故答案为：33变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且2b=c+2acosC.则角A=【答案】π【分析】由已知及余弦边角关系得b2【详解】由题设，2b=c+2a×a2+所以cosA=b2+c故答案为：π【题型8正弦定理与余弦定理实际应用】例1．（23-24高三下·上海·月考）雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设：假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”：假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为60°的直线；假设3：伞柄OT长为60cm，可绕矩形“纸片人”上点O假设4：伞面为被伞柄OT垂直平分的线段AB，AB=120cm以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”．(1)如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到0.1cm(2)请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如果建议超过两条仅对前两条评分）【答案】(1)65.7(2)答案见解析【分析】（1）过点A作对边的垂线，垂足为点C，过点D作对边的垂线，垂足为点E，连接OA,OB，先求出OA,OB，在△AOH中，利用正弦定理求得sin∠HAO，再根据∠BAC=π2−∠BAH求得cos∠BAC（2）可以从行进的视线，伞面面积等角度入手，建议只要合理即可.【详解】（1）如图，过点A作对边的垂线，垂足为点C，过点D作对边的垂线，垂足为点E，连接OA,OB，由题意AB=120,OT⊥AB，因为T为AB的中点，所以AT=BT=60，又OT=60，所以OA=OB=602又∠AHO=π由正弦定理OHsin∠HAO=又∠HAO<π2，所以cos=6所以DE=AC=AB⋅cos所以DF=MN+MF−DN==170所以阴影部分面积为12（2）①雨伞不遮挡人行进的视线；②伞面为弧线，改进模型将伞设为一段圆弧，扩大伞面的面积；③考虑伞柄可以伸缩，等等.（只要合理即可）例2．（23-24高三上·上海杨浦·月考）如图所示，A，B两处各有一个垃圾中转站，B在A的正东方向18km处，AB的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面P处建一个发电厂，利用垃圾发电.要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得A，B两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为40吨和50吨.

(1)当AP=15km时，求∠APB(2)发电厂尽量远离居民区，也即要求△PAB的面积最大，问此时发电厂与垃圾中转站A的距离为多少?【答案】(1)∠APB=(2)选址方案满足PA=1041km，【分析】（1）由题意可求得PB=9，利用余弦定理可求cos∠APB的值，进而可求∠APB（2）设PA=5x，则PB=4x，利用余弦定理可求cos∠PAB=x20+95x，利用同角三角函数基本关系式可得sin∠PAB=【详解】（1）由题意PA=15，PAPB可得PB=12，可得cos∠APB=所以∠APB=arccos（2）cos∠PAB=PA2+A可得cos∠PAB=x20P到AB距离h=PAsinh=5x当x2−164=0，即x=241，h因此选址方案满足PA=1041km，变式1．（23-24高一下·上海青浦·月考）如图，在曲柄CB绕C点旋转时，活塞A作直线往复运动，设连杆AB长为340mm，曲柄CB长为85mm，求曲柄CB从初始位置CB0按顺时针方向旋转60°时，求活塞从A0移动到A【答案】50.56mm

.【分析】在△ABC中，作垂线构造直角三角形，利用勾股定理，依次求出DC，BD，AD的长，然后求出AC的长，再利用A0A=【详解】如图所示，过点B作BD⊥AC于D，则∠BDC=∠ADB=90根据题意有，∠ACB=60∘，CB所以CA在△BDC中，cos∠ACB=sin∠ACB=所以DC=BC×1BD=BC×3在直角△ABD中，由勾股定理得，AD=A所以AD=85所以AC=AD+DC=85+85所以AA所以AA因为61≈7.810所以AA故活塞从A0移动到A的距离A0A变式2．（24-25高三下·上海宝山·月考）已知三角形花园ABC，顶点A、B、C为花园的三个出入口，满足AB=2076，BC=2061，(1)求三角形花园的面积（精确到1平方米）；(2)若三角形3个内角均小于120∘，到三角形三个顶点距离之和最短的点M必满足MA、MB、MC正好三等分M点所在的周角，该点所对三角形三边的张角相等，均为120∘．所以这个点也称为三角形的等角中心．请根据此知识求出三角形花园的最佳会合点【答案】(1)12817平方米(2)300米【分析】（1）由余弦定理、同角三角函数的基本关系结合三角形的面积公式可求得结果；（2）利用三角形面积公式可求得PA⋅PB+PA⋅PC+PB⋅PC的值，再利用余弦定理可求得PA2+P【详解】（1）由余弦定理可得cosA=AB所以，sinA=所以，S△ABC（2）解：△ABC中，AC最长，cosB=AB故△ABC为锐角三角形，由（1）可知S△ABC所以，PA⋅PB+PA⋅PC+PB⋅PC=29600，根据余弦定理可得AB同理可得AC2=P以上三个等式相加可得AB所以，PA因此，PA+PB+PC2则PA+PB+PC=300（米）.因此，三角形花园的最佳会合点P到三个出入口的最小距离和为300米.【题型9三角形面积公式】例1．（2025·上海徐汇·一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=4，b=5．(1)若cos2C=45(2)若内角C的对边c=6，求角A的正弦值及△ABC外接圆的半径R．【答案】(1)10(2)sinA=7【分析】（1）利用二倍角的余弦公式求出sinC（2）利用余弦定理结合同角三角函数的平方关系可得出sinA的值，再利用正弦定理可求得R【详解】（1）由二倍角余弦公式可得cos2C=1−2sin2因为C∈0,π，所以sinC>0故△ABC的面积为S△ABC（2）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，由余弦定理可得cosA=故A为锐角，且sinA=由正弦定理可得2R=asinA例2．（25-26高三上·上海松江·期中）在△ABC中，AC=3，3sinA=2sinB，且cosC=【答案】3【分析】根据题意，利用正弦定理得到3a=2b，求得a=2，再由三角函数的基本关系式，求得sinC【详解】在△ABC中，由AC=3，即b=3，因为3sinA=2sinB，由正弦定理得又因为cosC=14，且C∈(0,所以△ABC的面积为S=1故答案为：315变式1．（25-26高三上·上海·开学考试）在△ABC中，角A、B、C对应边为a、b、c，其中b=2．(1)若A+C=2π3，且a=2c(2)若A−C=π12,【答案】(1)2(2)3−【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角差的正弦公式化简，可求出C=π6，即可求出（2）利用正弦定理边化角化简可求出C，结合两角和的正弦公式即可求出sinB，继而求出c【详解】（1）由a=2c，可得sinA=2sinC得sin2π3则32cosC=由于0<C<2π3，故C=故csinC=（2）由题意知 a=2c由于sinA>0，故sin结合A−C=π12，可知C为锐角，则故A=π3,B=故csinC=所以S△ABC变式2．（25-26高三上·上海·月考）在△ABC中，a=3(1)求sinB(2)求c以及S△ABC【答案】(1)2(2)c=【分析】（1）由正弦定理即可求解；（2）由余弦定理及面积公式即可求解.【详解】（1）由b2=2因为sinB>0，所以b=由asinA=bsin（2）由余弦定理得，a2则3=2+c2−2×所以S△ABC【题型10求三角形的周长】例1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知bsin(1)求B；(2)若c=2a,△ABC的面积为233，求【答案】(1)π3(2)23【分析】（1）由正弦边角关系及已知可得sinB=cosB−（2）由三角形面积公式列方程求得c=233【详解】（1）由正弦边角关系bsinA=acos所以sinB=cosB−所以12sinB−32（2）由（1）知B=π3，又则S△ABC=12ac由余弦定理cosB=所以△ABC的周长为23例2．（2025·四川德阳·模拟预测）在△ABC中，若角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且sinA+3cosA=2，(1)求角A；(2)求△ABC的周长.【答案】(1)π(2)4+2【分析】（1）通过三角恒等变换构造正弦函数求角；（2）结合面积公式与余弦定理，利用完全平方公式配方法求边长和，进而得周长.【详解】（1）对sinA+3cosA=2变形，得因A∈0,π，故A+π3∈（2）由S△ABC=12bc由余弦定理a2=b2+得4=b2+则(b+c)2=b因此，△ABC的周长为2+23变式1．（2025·上海杨浦·模拟预测）在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边.已知△ABC是一个面积为5的锐角三角形，且a=2,b=3，则△ABC的周长为.【答案】5+5/【分析】先由面积求出正弦值，再用同角三角函数关系式求出cosC，再用余弦定理得到c【详解】由于三角形的面积为5，所以12因为cos2C=1−5当cosC=23时：c则△ABC的周长为5+5故答案为：5+5变式2．（2024·上海黄浦·二模）在△ABC中，cosA=−513(1)求sinC(2)若AB=4，求△ABC的周长和面积.【答案】(1)1665(2)周长32，面积24.【分析】（1）利用两角和的正弦公式即可求得sinC（2）先利用正弦定理求得△ABC的a,b的长，进而求得△ABC的周长和面积．【详解】（1）在△ABC中，cosA=−513则sinA=则sinC=（2）c=AB=4，又sinA=1213则由正弦定理得a=sin则△ABC的周长为15+13+4=32△ABC的面积为12一、核心基础1.三角形要素：边（对顶角）、内角和、三边关系（其余同理）2.核心原则：大边对大角大角对大边二、核心定理（重点）1.正弦定理公式：（为外接圆半径）变形：；；适用：两角及一边、两边及一边对角（注意多解/无解判断）2.余弦定理公式：（其余边角轮换同理）变形（求角）：（其余同理）适用：两边及夹角、三边、判断三角形形状（用与大小关系）三、面积公式（常用）1.三角公式：（首选）2.其他：、、海伦公式（）四、解三角形类型与步骤1.已知两角及一边：正弦定理求第三角求未知边2.已知两边及夹角：余弦定理求第三边正弦/余弦定理求其余角3.已知三边：余弦定理求三个角4.已知两边及一边对角：先求对角正弦值判断解的个数再求解五、高频考点/易错点1.易错：两边及一边对角忽略多解；边角对应错误；未验证三边关系2.常考结论：；；定边定角（夹角）面积最大值一、单选题1．（25-26高三上·上海浦东新·期中）在△ABC中，a=2bcosC，则△ABC的形状是（

A．直角三角形 B．底边为BC的等腰三角形C．底边为AC的等腰三角形 D．底边为AB的等腰三角形【答案】B【分析】由余弦定理化简得出b=c，即可得出结论.【详解】由余弦定理可得a=2b⋅cos整理可得b2=c2，所以b=c，所以故选：B.2．（24-25高三上·上海·开学考试）已知△ABC的三边长分别为4、5、7，记△ABC的三个内角的正切值所组成的集合为M，则集合M中的最大元素为（

）A．−265 B．265 【答案】B【分析】设△ABC的三边长分别为a=4,b=5,c=7，根据余弦定理确定三角形最大角角C为钝角，利用大边对大角及正切函数的性质，可知三个内角的正切值最大为tanB，再利用余弦定理及同角三角关系即可求得tan【详解】不妨设△ABC的三边长分别为a=4,b=5,c=7，则由大边对大角可得A<B<C，所以最大角为C，由余弦定理得cosC=a2+b所以0<A<B<π又函数y=tanx在0,π2上递增，此时tanx>0所以三个内角的正切值最大为tanB由余弦定理得：cosB=a2所以tanB=故选：B.3．（25-26高三上·上海·期中）在△ABC中各角所对的边分别为a，b，c，下列结论错误的是（

）A．acosA=B．已知a+b+ca+b−c=3ab，则C．已知a=7，b=43，c=13，则最小内角的度数为D．在a=5，A=60∘，【答案】D【分析】利用正弦定理和余弦定理，以及三角形的边、角的关系定理逐一判断即可.【详解】对于A，由acosA=bcos因0<A,B<π，0<A+B<π，故A=B，同理可得故可得△ABC为等边三角形，即A正确；对于B，由a+b+ca+b−c=3ab可得(a+b)2由余弦定理，cosC=a2+b对于C，因c<b<a，则最小内角为角C，由余弦定理，cosC=因0∘<C<180对于D，由正弦定理，sinB=因为b<a，则B<A=60∘，故角故选：D.二、填空题4．（2025·上海静安·一模）在△ABC中，将角A,B,C所对边的边长分别记作a,b,c.设b=2c−a.若c=1，cosC=15【答案】612/【分析】由余弦定理及已知条件，整理得到2a−a2【详解】由余弦定理得cosC=∵b=2c−a，c=1，∴a2整理得12a2−122a+5=0∵C∈0,π，∴∴S△ABC故答案为：6125．（25-26高一上·上海黄浦·月考）如图，在△ABC中；AB=AC，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，若DE//BC, EF//AB,【答案】4【分析】通过四边形BDEF是平行四边形，确定DE=DF=BF，设AE=x,EC=y，在△ADE，△BDF中分别应用余弦定理即可求解.【详解】因为DE//BC，所以∠ADE=∠B，又所以△ADE∼△ABC，又EF//AB，所以四边形所以DE=BF,BD=EF,又DE=DF，所以DE=DF=BF，即△DEF,△BDF均为等腰三角形。设AE=x,EC=y，则AB=AC=x+y，又△ADE∼△ABC，所以ABAD因为AB=AC，所以AD=AE=x,BD=y，在△ADE中由余弦定理：AD代入AD=AE=x，cosx解得：DE=x在△BDF中，BD=y,BF=DF=由余弦定理得：D代入数据可得：x解得：y=x所以​AE故答案为：46．（2025·上海浦东新·二模）如图，某建筑物OP垂直于地面，从地面点A处测得建筑物顶部P的仰角为30°，从地面点B处测得建筑物顶部P的仰角为45°，已知A、B相距100米，∠AOB=60°，则该建筑物OP高度约为米．（保留一位小数）【答案】66.4【分析】先在Rt△AOP和Rt△BOP中，根据仰角分别用建筑物高度OP表示出OA和OB，然后在△AOB中利用余弦定理建立关于OP的方程，最后求解方程得到【详解】在Rt△AOP中，已知从地面点A处测得建筑物顶部P的仰角为30°，即∠PAO=30°.因为在Rt△BOP中，从地面点B处测得建筑物顶部P的仰角为45°，即∠PBO=45°.因为tan∠PBO=在△AOB中，已知AB=100米，∠AOB=60°.根据余弦定理AB2=O1002=可得OP则OP=10000(4+故答案为：66.4.7．（2024·山西·模拟预测）已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且a=1,c=2,∠B=π3，则b=【答案】3【分析】利用余弦定理即可得解.【详解】因为在△ABC中，a=1,c=2,∠B=π所以b2则b=3故答案为：3.8．（25-26高三上·上海浦东新·期末）△ABC中，A=2π3，b=1，sinC=2【答案】7【分析】根据正弦定理以及余弦定理，可得答案.【详解】由题意可得sinC=2因为A=2π3故答案为：7.9．（25-26高三上·上海·期中）在△ABC中，5sinA=7sinB,8sin【答案】5314【分析】由正弦定理可得a=75b，c=85【详解】∵5sinA=7sinB，同理，由8sinB=5sin在△ABC中，由余弦定理得cosB=∴sin故答案为：5310．（25-26高三上·上海虹口·月考）在△ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，若a=3，b=5，C=2A，则c=．【答案】2【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换求得cosA，再次利用正弦定理求得c【详解】由正弦定理得asinA=5=3sin由于C=2A，所以A为锐角，cosA>0,所以12cos由正弦定理得asin则a=c故答案为：211．（25-26高三上·上海杨浦·月考）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A=2π3，b+c=6，sinC=2【答案】2【分析】根据正弦定理进行角化边，由题意解得两边的长，利用余弦定理，可得答案.【详解】因为sinC=2sinB代入b+c=6，可得b+2b=6，解得b=2，c=2b=4.所以由余弦定理可得a2=b故答案为：2712．（25-26高三上·上海·开学考试）在△ABC中，AC=2，B=π3，且sinA+sin【答案】277【分析】由正弦定理得，a+c=877，由余弦定理得ac=【详解】b=AC=2，由正弦定理得，asin由sinA+sinC=得a+c=8由余弦定理得，b2得4=8得ac=12则a,c为一元二次方程x2则x−2得a=277则AB=c=27故答案为：27713．（24-25高一下·上海·期末）在△ABC中，若a=3,b=3,A=π3，则【答案】π【分析】由正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理得asinA=bsin又因为b<a，所以0<B<A，所以B=故答案为：π614．（2025·上海杨浦·一模）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA，NB均与水平面ABC垂直，在已测得可直接到达的两点间距离AC，BC，且AC<BC，用测角仪测得∠MCA，∠NCB的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：①∠ABC；②∠ACB；③∠BAC；④∠MCN，其中一定能唯一确定M,N之间的距离有【答案】②③④【分析】结合题目给出条件以及直角三角形的边角关系，可知MA,MC,NB,NC均已确定，对于①②③，可先根据余弦定理判断AB是否确定，再根据勾股定理判断MN是否确定；对于④，可直接根据余弦定理进行判断.【详解】设AB=c,AC=b,BC=a,MA=h在Rt△MAC中，CM=m=同理可得CN=n=a由于a,b,θ,α均为已知量，故m,n,h对于①：