2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第04讲 正弦函数的图像与性质 （原卷版）

第04讲正弦函数的图像与性质内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：正弦函数的图像一、核心知识点：正弦函数图像的绘制方法1.几何法（精确作图）推导过程：利用单位圆中的正弦线来绘制正弦函数（）的图像，步骤如下：1.作单位圆：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，作半径为1的单位圆.2.等分单位圆：从单位圆与轴正半轴的交点开始，将单位圆平均分成12等份，对应角度分别为.3.作正弦线：过每个等分点作轴的垂线，垂足为轴上对应的角度点，垂线段的长度（向上为正，向下为负）即为该角度的正弦值，这些垂线段就是正弦线（如角度的正弦线是从到的线段）.4.平移正弦线：在轴上，将区间也平均分成12等份，对应标注各角度值，把每个角度对应的正弦线平移到轴上相应的角度位置，使正弦线的起点与该角度点重合，终点即为正弦函数图像上的点.5.连线：用光滑的曲线将所有正弦线的终点依次连接，得到在上的图像.6.拓展到全体实数：根据诱导公式（），将上的图像沿轴正、负方向每次平移个单位长度，即可得到（）的完整图像，称为正弦曲线.2.五点法（快速作图）推导过程：观察在上的图像，发现有5个关键点决定了图像的基本形状，这5个点分别是图像的起点、最高点、零点、最低点、终点，通过描出这5个点并光滑连线，可快速画出正弦函数的简图，步骤如下：1.确定关键点：在内，5个关键点的坐标为、、、、.2.描点：在平面直角坐标系中准确描出这5个点.3.连线：用光滑的曲线将5个点依次连接，得到上的正弦函数简图.4.拓展：同样利用周期性平移，得到全体实数范围内的正弦曲线.二、易错辨析易错点1：用五点法作图时，混淆关键点坐标.例如将误写为，或遗漏角度的周期性.辨析：牢记5个关键点的“横标等差、纵标特征”——横标间隔，纵标依次为0、1、0、-1、0，对应图像的升降、极值位置.易错点2：几何法作图时，将正弦线的方向或长度搞错.辨析：正弦线的方向由角度所在象限决定（第一、二象限为正，第三、四象限为负），长度等于对应角度正弦值的绝对值，且最大长度为1（单位圆半径）.易错点3：平移图像时，平移单位错误.例如认为平移个单位即可重复图像.辨析：正弦函数的最小正周期是，只有平移（）个单位，图像才会完全重合.三、概念比较：几何法与五点法的区别与联系比较维度几何法五点法精度高，可精确画出每一点的位置低，仅能画出近似简图步骤复杂度复杂，需作单位圆、正弦线、平移等多步简单，仅需找5个关键点、描点连线适用场景理解正弦函数图像的起源、精确研究局部性质快速解题、粗略分析函数变化趋势联系五点法的5个关键点本质是几何法中“正弦线端点的特殊位置”，两者均基于正弦函数的周期性和值域限制四、重点记忆+常考结论重点记忆：5个关键点的坐标是核心，必须熟练默写：、、、、.常考结论1：正弦曲线是“波浪线”，关于原点对称，在和之间波动，无间断点.常考结论2：用五点法画（）在上的图像时，关键点坐标为、、、、（代换法推导）.知识点2：正弦函数的性质一、核心知识点：正弦函数的核心性质（以，为例）1.定义域与值域推导过程：定义域：由正弦函数的定义（任意角的正弦值均可通过单位圆或三角函数线确定）可知，可取任意实数，故定义域为.值域：从单位圆的正弦线分析，正弦线的长度最大为单位圆半径1，最小为-1，且能取到区间内的所有值，因此值域为；当且仅当（）时，；当且仅当（）时，.2.周期性推导过程：周期定义：对于函数，若存在非零常数，使得对任意定义域，都有，则为函数的周期.正弦函数的周期性：由诱导公式（）可知，均为的周期；进一步观察图像，发现不存在比更小的正周期，因此最小正周期.3.奇偶性推导过程：根据奇偶性的定义，判断与的关系.对于，，由诱导公式可知，且定义域关于原点对称，因此是奇函数，其图像关于原点中心对称.4.单调性推导过程：结合正弦曲线的升降趋势分析：在内，正弦曲线从上升到，再下降到，最后上升到，因此单调递增区间为，单调递减区间为. 结合周期性拓展到全体实数：将上述区间沿轴平移（），得到：单调递增区间为（）；单调递减区间为（）.5.对称性推导过程：结合奇偶性和图像特征分析：中心对称：由奇偶性可知，是奇函数，其图像关于原点中心对称；结合周期性拓展，所有对称中心坐标为（），即对于任意，点是函数图像的对称中心.轴对称：观察正弦曲线，在处，图像左右对称，且时函数取得最大值1；结合周期性拓展，所有对称轴方程为（），即对于任意，直线是函数图像的对称轴.二、易错辨析易错点1：混淆正弦函数的对称中心和对称轴.例如将对称中心误记为对称轴，或把对称轴误记为对称中心.辨析：对称中心是函数图像绕该点旋转180°后与原图像重合的点（在x轴上），对称轴是函数图像沿该直线折叠后与原图像重合的直线（垂直于x轴），可结合图像辅助记忆.易错点2：单调性区间书写不规范.例如遗漏，或把闭区间写成开区间.辨析：正弦函数在单调区间的端点处连续，端点属于单调区间，因此需用闭区间；不可遗漏，否则仅表示一个周期内的单调区间.易错点3：求最值时忽略.例如仅写出时，未考虑周期性.辨析：正弦函数的最值在每个周期内均会出现，因此需加上（）表示所有取最值的x值.易错点4：判断奇偶性时忽略定义域对称性.例如认为（）是奇函数.辨析：奇偶性的前提是定义域关于原点对称，不关于原点对称，因此该区间内的正弦函数不具有奇偶性.三、概念比较：正弦函数性质的关联与区别性质类型核心特征关联性质周期性图像周期性重复，最小正周期单调性、对称性均具有周期性，可由一个周期内的性质拓展到全体实数奇偶性关于原点中心对称，是中心对称性的特殊情况（对称中心为原点）单调性在特定区间内单调升降，区间间隔单调区间的端点对应函数的最值点，与值域直接相关对称性既有中心对称，又有轴对称轴对称的对称轴均过函数的最值点，中心对称的对称中心均在x轴上四、重点记忆+常考结论重点记忆1：正弦函数（）的核心性质汇总：定义域，值域，最小正周期，奇函数，单调递增区间（），单调递减区间（），对称中心（），对称轴（）.重点记忆2：取最值的条件：（）；（）.常考结论1：若，则（）；若，则（）；若，则（）.常考结论2：正弦函数在一个周期内的图像与x轴有3个交点，分别为、、，对应全体实数范围内的交点即为对称中心（）.常考结论3：利用单调性比较大小：同名正弦函数值比较大小，需将自变量转化到同一单调区间内，再根据单调性判断.例如比较与，可将和转化到（单调递减区间），因，故.知识点3：正弦型函数核心性质一、核心知识精讲基础铺垫：正弦型函数的图像是由经“伸缩、平移”变换得到.其性质与参数、、、密切相关.各参数几何意义：（振幅）影响图像纵向伸缩.（角频率）决定周期.（相位）影响左右平移.（纵向平移量）决定图像上下位置.（一）周期性1.定义：对于函数.若存在非零常数.使得对定义域内任意.都有.则称为函数的一个周期；其中最小的正数称为最小正周期（高频考点.需熟记）.2.核心公式：最小正周期3.推导思路：由基本函数的最小正周期为.当变为（横坐标伸缩变换）时.周期变为原来的倍.故得.4.典例点拨：求的最小正周期.解析：由公式得.（二）单调性1.解题核心：“整体换元法”——将视为整体变量.转化为基本函数的单调性问题求解.2.基础依托：的单调区间（）增区间：；减区间：3.求解步骤：①当时.直接解不等式：增区间：（）.整理得的范围；减区间：（）.整理得的范围；②当时.先提取负号将化为正数（如）.再求反向单调区间（原函数增区间对应转化后函数的减区间）.4.典例点拨：求的增区间.解析：先转化为.求原函数增区间即求的减区间.解不等式（）.得（）.即为原函数增区间.（三）奇偶性1.前提条件：函数定义域必须关于原点对称（若定义域不关于原点对称.函数一定是非奇非偶函数.此为易错点）.2.判定结论（）：①奇函数：满足.等价条件为.此时函数可化为；②偶函数：满足.等价条件为.此时函数可化为；3.典例点拨：判断的奇偶性.解析：定义域为（关于原点对称）..满足偶函数条件.故为偶函数.验证：.而是偶函数.（四）对称性正弦型函数图像既是轴对称图形.也是中心对称图形.对称性可通过“整体换元”结合的对称性推导.1.对称轴（过函数最值点的直线）：推导：由的对称轴为（）.令.解得对称轴方程：（）2.对称中心（函数图像与平衡线的交点）：推导：由的对称中心为（）.令.解得对称中心坐标：（）3.典例点拨：求的对称轴和对称中心.解析：①对称轴：令.解得（）；②对称中心：令.解得.纵坐标为.故对称中心为（）.二、易错警示（高频易错点突破）（一）周期性常见错误1.公式遗漏绝对值：误将周期记为.忽略的正负性；正确公式必须带绝对值.周期恒为正数.2.周期定义理解偏差：认为“存在某个满足即可”.实际需对定义域内所有成立.3.复合函数周期错判：如的周期为（是原正弦函数周期的一半）.易误记为.（二）单调性常见错误1.忽略符号影响：当时.未反转不等式方向.导致单调区间求解错误.2.未结合定义域限制：求解出的单调区间需是函数定义域的子集.若有定义域范围（如）.需截取对应部分.（三）奇偶性常见错误1.跳过定义域判断：直接代入判断.忽略定义域是否关于原点对称.2.颠倒奇偶性条件：误将作为奇函数条件.作为偶函数条件.（四）对称性常见错误1.混淆对称轴与对称中心条件：误将对称轴条件记为.对称中心条件记为.2.忽略对称中心纵坐标：误将对称中心纵坐标记为.实际应为纵向平移量.三、核心速记手册（一）必背公式1.最小正周期：2.单调区间（，）：增区间：；减区间：3.奇偶性条件（）：奇函数：；偶函数：4.对称性（）：对称轴：；对称中心：（二）关键结论1.与周期成反比：越大.周期越小；越小.周期越大.2.的正负不影响单调区间的位置.仅影响函数值的增减幅度.3.对称轴必过函数最值点（或）.对称中心必在平衡线上.【题型1五点法作正弦（型）函数图像】例1．（24-25高一上·上海·课前预习）（1）利用正弦线画出y=sinx，（2）结合y=sinx，例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）用“五点法”作出y=2+sinx，变式1．（2024高一下·上海·专题练习）用“五点法”作出下列函数的简图.(1)y=2sinx，(2)y=sinx+π(3)y=sin(1变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）用“五点法”作出函数y=−sinx【题型2含绝对值的正弦函数图像】例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）利用图象变换法作出y=sinx，例2.（23-24高一下·上海浦东新·期末）若函数f(x)=sinx+3|sinx|，x∈[0,2π]的图像与变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）作出函数y=sin变式2．（2024高三·全国·专题练习）画出函数y=1【题型3求正弦（型）函数的单调性】例1．（23-24高三上·上海·期末）已知fx(1)求函数y=fx(2)求函数y=f2x+例2.（25-26高三上·上海闵行·期中）求函数fx=sin2x−π变式1．（24-25高一下·上海普陀·月考）函数y=2sin−2x+π6，变式2．（24-25高二下·上海浦东新·期末）函数y=3sin2x−3【题型4解正弦不等式（求正弦型函数的定义域）】例1．（24-25高一下·上海杨浦·月考）函数fx=sin例2.（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数y=2sinx−1变式1．（23-24高一上·河北邢台·月考）函数f(x)=sinx+πA．2kπ−πC．2kπ+π变式2．（24-25高一下·上海浦东新·月考）函数y=1sinx−【题型5求正弦（型）函数的值域】例1．（25-26高三上·上海松江·期中）函数y=sin2x+π6在区间例2.（2025·湖北黄冈·一模）已知函数fx的定义域为R，y=fx−sinx为偶函数，y=f变式1．（2025·上海·模拟预测）fx=3sinx+cosx变式2．（24-25高一下·上海·期中）函数y=sinx+π6，【题型6由正弦（型）函数的值域最值求参数】例1．（25-26高三上·上海·期中）已知f(x)=sinωx−2cosωx(ω>0)，若两个不等的实数x1,x2满足f(x例2.（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知函数y=asinx+2cosx,a>0的最大值为3，则实数变式1．（24-25高一下·上海·期中）已知函数fx=2sinx⋅sinx+3cosxA．7π12 B．π2 C．5变式2．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数y=sinx+cosx的定义域为a,b，值域为−1,2A．3π4,5π4 B．π【题型7换元法求正弦（型）函数的最值】例1．（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数y=sin2x+例2.（24-25高一下·上海长宁·期中）函数fx=2sinx⋅cos变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时的所有x值的集合：(1)y=2−3sinx，(2)y=−sin2x+2(3)y=2sinx−5，(4)y=cos2x−变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数y=1−cos2x+5sinx【题型8求正弦（型）函数的奇偶性】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由：(1)y=sin(2)y=sin(3)y=xsin(4)y=2sin例2.（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数fx=3sin3x−cos变式1．（24-25高一下·上海·期中）已知函数fx=sin(2x+φ)变式2．（23-24高一下·上海松江·期末）设函数fx=3sinx+φ+cosx+φ【题型9求正弦（型）函数的周期性（注意含绝对值类型）】例1．（2025·上海杨浦·一模）函数y=3sin(2x+π例2.（25-26高三上·上海·期中）函数fx=sin变式1．（24-25高一·上海·课堂例题）函数y=sinx的最小正周期是变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的最小正周期.(1)y=2sin(2)y=sin(3)y=sin【题型10求正弦（型）函数的对称轴，对称中心】例1．（24-25高一下·上海·期中）对于函数fx①函数y=fx的图象关于点−②函数y=fx的对称轴是x=③函数fx的零点为x=④若函数y=fx+φ是偶函数，则φ的最小值为π其中正确的命题个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3例2.（24-25高一下·上海·月考）函数y=sin3x+π变式1．（23-24高一下·上海闵行·期末）对于函数fx①函数y=fx的图象关于点π②函数y=fx的对称轴是x=kπ③若函数y=fx+φ是偶函数，则φ的最小值为π④函数y=fx在π6,其中正确的命题个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3变式2．（24-25高一下·上海·月考）函数f(x)=2sinx+1图像的对称轴方程是【题型11正弦（型）函数的零点/方程的根与不等式】例1．（25-26高三上·湖北·月考）已知函数fx=sinωxcos(1)求fx(2)若方程fx=12在例2.（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知函数fx(1)求y=fx(2)求函数y=fx−1(3)对任意的x∈π6,π4变式1．（24-25高二下·上海·月考）已知函数fx(1)求函数y=fx(2)设a∈R，若关于x的方程fx=a在x∈0,变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数fx(1)求函数fx(2)求函数fx(3)若方程fx=2在x∈0,π3上有两个不相等的实数根x一、核心知识框架（一）正弦函数的图像1.绘制方法几何法：单位圆→正弦线→平移→连线（精确作图）五点法：关键五点、、、、→描点→连线（快速作图）2.图像特征：波浪线，关于原点对称，在之间波动，周期重复（二）正弦函数的性质（，）1.定义域：2.值域：，最值条件：（）（）3.周期性：最小正周期，周期通式（，）4.奇偶性：奇函数，图像关于原点中心对称5.单调性（）：递增区间：递减区间：6.对称性（）：中心对称：对称中心轴对称：对称轴二、核心考点梳理1.图像绘制：用五点法快速画指定区间内的正弦函数简图2.性质应用：求最值及对应的取值集合判断单调性及求解单调区间利用奇偶性、周期性化简或求值判断对称性（对称中心、对称轴）3.比较大小：利用单调性比较同名正弦函数值的大小（转化到同一单调区间）4.解方程：求解（）的解三、易错提醒（核心记忆要点）1.五点法关键点坐标不可混淆，平移单位为（）2.单调区间、对称中心/轴需标注，不可遗漏3.判断奇偶性需先验证定义域关于原点对称4.比较大小需先将自变量转化到同一单调区间一、单选题1．（24-25高一下·上海·期中）下列函数图像所对应的函数解析式可能为（

）A．y=4sinxC．y=x2+42．（25-26高三上·上海·月考）已知函数fx=sinA．函数y=fx在−B．对任意x∈R，都有C．函数y=fx在−4D．若函数y=fx在区间0,m上恰有2个零点，则实数m的取值范围为3．（25-26高三上·上海·期中）数学中一般用mina,b表示a，b中的较小值.关于函数f(x)=①fx的最小正周期为π②fx的图象关于直线x=③fx的值域为−2,2④fx在区间−其中是真命