2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第05讲 余弦函数的图像与性质 （原卷版）

第05讲余弦函数的图像与性质内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：余弦函数的图像1.1余弦函数的定义对于任意实数，都有唯一确定的实数与之对应，称函数（）为余弦函数.易错辨析易错点：混淆余弦函数的定义域与三角函数线中角的范围.辨析：余弦函数的定义域是全体实数，而三角函数线中角通常在单位圆中研究（），但这并不意味着余弦函数的定义域受限，任意实数都可对应单位圆上的角（终边重合的角三角函数值相等）.概念比较与正弦函数定义比较：两者定义域均为，核心区别在于函数表达式的核心符号不同（vs），本质是单位圆上点的横、纵坐标对应关系不同（余弦对应横坐标，正弦对应纵坐标）.重点记忆+常考结论重点记忆：余弦函数的定义域为，对应关系是“实数（弧度制角）→单位圆上对应点的横坐标”.常考结论：当时，（余弦函数的最大值点）；当时，（余弦函数的最小值点）.1.2余弦函数图像的绘制1.描点法：先取上的关键点，如下表：|010-1012.图像特征：余弦函数的图像叫做余弦曲线，是一条关于轴对称的周期性平滑曲线，在上呈现“先降后升”的趋势，以为起点，经过、、，最后回到.3.平移法：余弦函数图像可由正弦函数图像平移得到，即，故将的图像向左平移个单位长度，即可得到的图像.易错辨析易错点1：描点时忽略“平滑连接”，绘制出折线.辨析：余弦函数是连续光滑的三角函数，各关键点之间需用平滑曲线连接，不能用直线段拼接.易错点2：平移方向错误，将向右平移得到.辨析：三角函数图像平移遵循“左加右减”原则（针对本身），是对加上，故应向左平移个单位；若向右平移，得到的是，与余弦函数图像关于轴对称.概念比较与正弦曲线比较：两者均为周期性平滑曲线，形状相同但位置不同.正弦曲线关于原点对称，过点；余弦曲线关于轴对称，过点，本质是相位差导致的平移关系.重点记忆+常考结论重点记忆：1.在上的5个关键points坐标必须熟练掌握；2.平移规律“左加右减”（针对的变换）.常考结论：余弦曲线的对称轴为（），对称中心为（）（可通过图像直观记忆）.知识点2：余弦函数的性质2.1定义域与值域1.定义域：（全体实数）；2.值域：，其中：-最大值：当（）时，；-最小值：当（）时，.易错辨析易错点：误将“”当作余弦函数取最大值的条件.辨析：当时，（为偶数时取1，为奇数时取-1），并非都是最大值.正确的最大值条件是（），最小值条件是（）.概念比较与正弦函数值域比较：两者值域均为，但取最值的自变量取值不同.正弦函数最大值在（），最小值在（），与余弦函数的最值点相差，呼应两者的相位差关系.重点记忆+常考结论重点记忆：余弦函数的值域范围及取最值的精确自变量条件.常考结论：1.若，则（）；2.若，则（）；3.对于任意实数，，可用于判断相关函数的值域范围（如的值域为）.2.2周期性1.定义：对于函数，若存在非零常数，使得对任意，都有，则称为余弦函数的周期.2.最小正周期：余弦函数的周期有无数个，其中最小的正数周期为，即.易错辨析易错点1：认为余弦函数的周期只有.辨析：所有非零常数（且）都是余弦函数的周期，是最小的正周期，解题中若无特殊说明，“周期”通常指最小正周期.易错点2：误将当作余弦函数的周期.辨析：验证可知，故不是余弦函数的周期，而、的最小正周期才是.概念比较与正弦函数周期性比较：两者的最小正周期均为，周期性质完全一致（周期都是，且），这是正弦、余弦函数的共性，源于三角函数的周期性本质（终边相同的角三角函数值相等）.重点记忆+常考结论重点记忆：余弦函数的最小正周期为，周期通式为（且）.常考结论：1.若函数（，），则其最小正周期为（提前铺垫余弦型函数周期公式，方便后续衔接）；2.利用周期性可将任意角的余弦值转化为内角的余弦值计算（如）.2.3奇偶性1.判定：对于任意，都有，故是偶函数.2.图像特征：偶函数的图像关于轴对称，这与余弦曲线的图像特征一致（前文已提及）.易错辨析易错点：混淆“奇偶性的定义域前提”与余弦函数的奇偶性.辨析：奇偶性的前提是函数定义域关于原点对称，余弦函数定义域为，满足关于原点对称，再结合才判定为偶函数.若将定义域限制为，则函数不再是偶函数（定义域不关于原点对称）.概念比较与正弦函数奇偶性比较：正弦函数是奇函数（），图像关于原点对称；余弦函数是偶函数，图像关于轴对称.两者奇偶性的差异源于单位圆上横、纵坐标的对称性不同（横坐标关于轴对称，纵坐标关于原点对称）.重点记忆+常考结论重点记忆：1.余弦函数是偶函数，核心关系式；2.奇偶性的定义域前提是“关于原点对称”.常考结论：1.利用偶函数性质化简：；2.若函数是偶函数，则必为偶函数（奇偶性的运算性质：偶+偶=偶，偶+奇=奇）.2.4单调性余弦函数的单调性以最小正周期为周期重复，在一个周期内的单调性如下：1.单调递减区间：，即当时，函数值从1单调递减到-1；2.单调递增区间：，即当时，函数值从-1单调递增到1.推广到全体实数域，单调区间通式为：-单调递减区间：（）；-单调递增区间：（）.易错辨析易错点1：单调区间书写时遗漏“”，或区间端点错误（如写成）.辨析：余弦函数在区间端点处有定义，且单调性包含端点（单调区间是闭区间）；“”是区间通式的必要条件，遗漏则仅表示一个周期内的区间，不完整.易错点2：误将“”当作余弦函数的递减区间.辨析：该区间是正弦函数的递减区间，余弦函数的递减区间核心是，可通过图像区分：余弦曲线在到之间下降，在到之间上升，与正弦曲线的升降区间错开.概念比较与正弦函数单调性比较：正弦函数的单调递增区间为（），递减区间为（）.两者的单调区间恰好相差，这是由两者的相位差决定的，体现了三角函数的对称性规律.重点记忆+常考结论重点记忆：余弦函数单调区间的通式（含），可结合图像“先降后升”的特征记忆（到降，到升）.常考结论：1.比较两个余弦值大小：若两个角均在递减区间，则角越大，余弦值越小（如）；若均在递增区间，则角越大，余弦值越大（如）；2.求余弦函数在闭区间上的最值时，需先判断区间与单调区间的关系，再取端点或最值点的函数值（如在上的最大值为，最小值为）.知识点3：余弦型函数的图像与性质余弦型函数的一般形式为：（其中，，、、、均为常数）.核心是通过对基本余弦函数进行“伸缩、平移”变换得到，各参数决定变换方式，进而影响函数的图像与性质.3.1参数的几何意义与图像变换1.振幅：决定函数图像的“纵向伸缩”程度，表示振幅（最大值与最小值的差的一半）.-当时，图像纵向伸长为原来的倍；-当时，图像纵向压缩为原来的倍；-当时，图像关于轴对称翻折（先伸缩再翻折，或先翻折再伸缩，结果一致）.2.角频率：决定函数图像的“横向伸缩”程度，进而影响周期.-当时，图像横向压缩为原来的倍；-当时，图像横向伸长为原来的倍；-当时，图像关于轴对称翻折，周期仍由决定.3.相位：决定函数图像的“横向平移”（左加右减，针对的变换）.-平移量为，方向：若，则，图像向左平移个单位（）或向右平移个单位（）；-若，建议先将化为正数（提取负号），再判断平移方向（如，图像向右平移个单位）.4.纵向平移量：决定函数图像的“上下平移”，不改变函数的周期、奇偶性、单调性，仅改变值域.-当时，图像向上平移个单位；-当时，图像向下平移个单位.易错辨析易错点1：横向平移时，直接将当作平移量（如认为是向左平移个单位）.辨析：横向平移的核心是“对本身进行变换”，必须将提取出来，平移量为.正确变换：，是向左平移个单位，而非个单位.易错点2：忽略或对图像的影响，直接按、判断单调性或平移方向.辨析：会使函数图像关于轴对称，单调性与原函数相反（如的递增区间是，对应的递减区间）；可通过诱导公式转化为正数（），再分析变换，避免方向错误.概念比较与正弦型函数的图像变换比较：两者的变换规律完全一致（振幅、角频率、相位、纵向平移量的作用相同），核心区别仅在于“基础函数”不同（一个是，一个是），故最终图像的初始位置不同（正弦型函数过平移后的“零点”，余弦型函数过平移后的“最大值点”或“最小值点”，取决于的符号）.重点记忆+常考结论重点记忆：1.余弦型函数图像变换的顺序：“先横向平移（针对），再横向伸缩（），或先横向伸缩，再横向平移”（纵向伸缩和上下平移的顺序不影响结果）；2.横向平移量的计算：，方向遵循“左加右减”（针对提取后的）.常考结论：图像变换的逆向应用——若将的图像先向右平移个单位，再横向压缩为原来的，最后纵向伸长为原来的3倍，得到的函数解析式为（逆向变换需反向操作，如“压缩为”逆向是“伸长为2倍”，但正向变换需按顺序推导）.3.2余弦型函数的性质（以为例，，）1.定义域与值域定义域：（与基础余弦函数一致，伸缩平移不改变定义域）；-值域：，其中：-最大值：当时，；-最小值：当时，.易错辨析易错点：值域计算时忽略的符号（如认为的值域是）.辨析：值域的核心是，与的符号无关，只需用计算.正确值域：中，，故值域为（此处结果正确，但逻辑需注意：无论正负，最大值都是，最小值都是）；若，值域同样是，仅取最值的条件不同.重点记忆+常考结论重点记忆：值域公式，无需考虑和的符号.常考结论：若余弦型函数的值域为，则，（利用最大值与最小值的和差求和）.2.周期性最小正周期：（周期仅与的绝对值有关，与、、无关）；-周期通式：（且）.易错辨析易错点1：误将周期公式记为，忽略的绝对值.辨析：周期是正数，的正负仅影响函数图像的左右翻折，不影响周期大小，故必须取的绝对值，正确公式为.例如的最小正周期是，而非.易错点2：认为或会影响周期.辨析：决定纵向伸缩，决定上下平移，两者均不改变函数的周期，周期仅由的绝对值决定.概念比较与正弦型函数周期性比较：正弦型函数的最小正周期同样是，与余弦型函数的周期公式完全一致.这是因为正弦函数和余弦函数的最小正周期均为，经过相同的横向伸缩变换后，周期变化规律相同.重点记忆+常考结论重点记忆：余弦型函数最小正周期公式，牢记“周期与的绝对值成反比，与、、无关”.常考结论：1.若的周期为，则；2.复合函数的周期：若，则，，故周期仍为，符合公式计算结果.3.奇偶性判定条件：余弦型函数为偶函数的充要条件是（），且定义域关于原点对称；为奇函数的充要条件是（），且定义域关于原点对称.-推导：若为偶函数，则对任意成立，即.由余弦函数性质可得（），化简得（）；奇函数推导类似，最终得（）.易错辨析易错点1：忽略定义域关于原点对称的前提，直接根据的取值判断奇偶性.辨析：奇偶性的首要前提是定义域关于原点对称，若定义域不满足该条件，无论取何值，函数都不是奇函数或偶函数.例如（，满足偶函数条件），若定义域限制为，则不是偶函数.易错点2：误将当作偶函数的唯一条件.辨析：（）均满足偶函数条件，如时，，仍是偶函数.概念比较与正弦型函数奇偶性比较：正弦型函数为奇函数的充要条件是（），为偶函数的充要条件是（），与余弦型函数的奇偶性条件恰好互换，这源于正弦函数和余弦函数的奇偶性差异及相位关系.重点记忆+常考结论重点记忆：余弦型函数奇偶性的充要条件（的取值）及定义域前提.常考结论：1.若是偶函数，则是奇函数（时，，为奇函数）；2.若，则余弦型函数一定不是奇函数或偶函数（常数项破坏奇偶性，如，？此处纠正：当时，若满足，仍可为偶函数，如是偶函数，之前结论错误.正确结论：时，函数仍可能是偶函数或奇函数，关键看的取值，常数项不影响奇偶性的判定，仅影响函数图像的上下平移）.4.单调性余弦型函数的单调性由的符号和的符号共同决定，核心是将代入基础余弦函数的单调区间，解出的范围：-当，时：单调递减区间：解不等式（），得（）；单调递增区间：解不等式（），得（）.-当，时：单调性与上述相反（因为相当于图像关于轴对称翻折），即单调递增区间为（），单调递减区间为（）.-当时：先将化为正数（提取负号），再按上述规则判断，例如（利用），再分析单调性.易错辨析易错点1：解单调区间时，两边同时除以忽略的正负，导致不等号方向错误.辨析：解不等式时，若，不等号方向不变；若，不等号方向必须反转.例如求的递减区间，先化为（），解，得，即（）.易错点2：未考虑的符号对单调性的影响，直接按求解.辨析：时，函数图像关于轴对称，单调性与时相反，例如的递增区间，对应的递减区间.概念比较与正弦型函数单调性比较：两者求解单调区间的方法一致（“整体代换法”，将代入基础函数的单调区间），核心区别在于基础函数的单调区间不同（正弦函数的递增区间是余弦函数的递减区间，反之亦然）.例如正弦型函数（，）的递增区间是解，而余弦型函数的递增区间是解.重点记忆+常考结论重点记忆：求解余弦型函数单调区间的“整体代换法”步骤：1.确保（若，利用诱导公式转化）；2.确定的符号（判断单调性与基础余弦函数是否一致）；3.将代入基础余弦函数的对应单调区间，解出的范围.常考结论：1.若（，）在区间上单调，则（单调区间长度不超过半个周期，因为余弦函数的单调区间长度为半个周期）；2.比较两个余弦型函数值的大小，需先判断自变量所在的单调区间，再结合的符号判断大小（如时，递增区间内自变量大则函数值大，递减区间内自变量大则函数值小）.5.对称性对称轴：余弦型函数的对称轴垂直于轴，且过函数图像的最高点或最低点，求解方法是令（），解得（）.-对称中心：余弦型函数的对称中心是函数图像与直线的交点，求解方法是令（），解得（），故对称中心坐标为（）.易错辨析易错点1：误将对称中心的纵坐标当作0，忽略的影响.辨析：基础余弦函数的对称中心纵坐标为0，但余弦型函数经过上下平移个单位，对称中心的纵坐标变为，横坐标仍由求解.例如的对称中心纵坐标为1，横坐标为（）.易错点2：求解对称轴时，令（混淆对称轴与对称中心的求解条件）.辨析：对称轴过最高点或最低点，此时，对应（）；对称中心对应，对应（），两者条件不可混淆.概念比较与正弦型函数对称性比较：正弦型函数的对称轴求解条件是（），对称中心求解条件是（），与余弦型函数的对称性条件恰好互换.这是因为正弦函数的最高点/最低点对应（），零点对应（），与余弦函数的对应条件相反.重点记忆+常考结论重点记忆：余弦型函数对称轴和对称中心的求解条件：1.对称轴：（）；2.对称中心：（），对称中心纵坐标为.常考结论：1.若函数的图像关于直线对称，则（）；2.若函数图像关于点对称，则且（）.【题型1五点作余弦型函数图像】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像：(1)y=2cosx−1，(2)y=cosx，例2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数f(x)=sinx,cos变式1．（23-24高一·全国·课后作业）作出函数y=cosx+π变式2．（24-25高一下·上海·月考）定义在区间0,2π的函数y=sin2x与y=【题型2含绝对值的余弦函数图像】例1．（24-25高三上·山东淄博·期中）在0,2π内，使sinx>cosA．π4,3C．π4,π变式1．（24-25高一上·广东佛山·期末）函数fx=minA．−1,1 B．−1,22 C．0,1 【题型3解余弦不等式（定义域问题）】例1．（24-25高一下·上海·期中）函数fx=log例2．（23-24高一·上海·课堂例题）在0,2π内，求使sinx>cosx变式1．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知α∈0,π2，若cosα+2nπ5变式2．（23-24高一下·河北承德·月考）函数f(x)=1−2cosxA．[−4π3C．[π6+2k【题型4余弦型函数的单调性】例1．（23-24高一下·上海·期中）求下列函数的单调区间．(1)y=sin(2)y=cos2x例2．（24-25高一下·上海·期中）函数y=2cos2x−π变式1．（24-25高一下·上海·期中）函数y=cosπ3变式2．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知函数y=cosωxω>0在区间0,π2【题型5比较余弦值大小】例1．（24-25高一下·上海闵行·月考）在△ABC中，若A>B，则下列结论错误的是（

）A．sinA>sinB B．cosA<cosB例2．（24-25高一上·上海·课后作业）三个数cos32，sin110，变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列不等式中成立的是.（填编号）①sin②sin③sin④sin变式2．（23-24高一下·浙江·期末）已知△ABC是锐角三角形，若A>B>C，则（

）A．cosA>cosB且sinB>cosC．cosB>cosC且sinA<cos【题型6余弦型函数的值域最值及求参数】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数y=cos2x，例2．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数y=cosx的定义域为a,−π3，值域为−1,变式1．（2025·海南·三模）已知函数fx=2cos2ωx−π6−1ω>0在变式2．（24-25高三上·上海·月考）对任意x均有asinx+bcos2x≤1【题型7换元法求余弦型函数最值问题】例1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数y=sin2x−例2．（24-25高一下·上海·月考）函数f(x)=sin2x+4cosx变式1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知函数y=sin2x+变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列函数的值域.(1)y=1−3cos2x+π(2)y=cos2x+2cos【题型8求余弦型函数的奇偶性】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由：(1)y=sin(2)y=2sin(3)y=x例2．（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（

）A．y=sinx⋅ex B．y=x3变式1．（2024·四川雅安·三模）已知函数fx=ex变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数f(x)=4cos(2x+φ)为奇函数，判断函数【题型9由奇偶性求参数】例1．（24-25高一下·上海·期末）已知常数φ∈R，函数y=sinx+3cos(x+φ)例2．（23-24高一下·上海·月考）函数y=cos(2x+φ),φ∈[0,π]变式1．（23-24高一下·上海·期中）已知函数y=3cosx+θ−变式2．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）若函数fx=cos2x+φ+πA．−π3 B．−π6 C．【题型10求余弦型函数的周期性】例1．（24-25高一下·上海·月考）函数y=cosx2例2．（24-25高二上·上海·期中）函数y=cosx的最小正周期是（A．π2 B．π C．2π D．变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的周期：(1)y=2cos(2)y=|cos变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数y=cos（2）函数f(x)=asinωx+bcosωx+1（ab≠0）的最小正周期为【题型11求余弦型函数的对称轴对称中心】例1．（24-25高一下·上海·期中）已知x=x0是函数f(x)=cos(2x+π6)A．34 B．C．34或54 D．1+例2．（24-25高三上·上海·期中）已知函数fx=2sin(A．−32+6k,0C．32+3变式1．（23-24高一下·上海·期末）已知函数fx(1)求fx(2)求fx的单调区间，最值以及取得最值时x变式2．（24-25高二下·江西宜春·月考）已知函数f(x)=2cos3x−πA．f(x)的最小正周期为πB．f(x)的图象关于点−πC．f(x)在区间−πD．若f(x)的图象关于直线x=x0对称，则x【题型12余弦型函数的综合问题】例1．（2025·上海长宁·一模）已知函数fx(1)若函数y=fx的最小正周期为π，求ω的值及y=f(2)设ω=1，gx=f2x例2．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知函数y=f(x)，其中f(x)=cos(1)求函数y=f(x)的最小正周期及单调减区间.(2)求函数y=2sin2x+f(x)，x∈[−变式1．（24-25高一下·上海徐汇·月考）已知函数fx=sinx+(1)求证：π2是函数f(2)当k=0时，求：Fx在区间π(3)若函数Fx在区间0,π内恰好有奇数个零点，请直接写出所有满足条件的实数变式2．（24-25高一下·上海黄浦·月考）已知fx=4sin(1)若fx1≤fx≤fx2(2)当ω=3时，设a>0，记hx=acos2x−π6−2a，若对任意x一、核心基础：余弦函数（）1.定义与图像定义：对应单位圆上点的横坐标，定义域关键图像特征：关于轴对称的周期性平滑曲线；内5个关键点：、、、、图像变换：由向左平移个单位得到（）2.核心性质（必记）值域：；最值点：最大值1（）、最小值-1（），周期性：最小正周期，周期通式（）奇偶性：偶函数（），图像关于轴对称单调性：增区间，减区间，对称性：对称轴，对称中心，二、拓展应用：余弦型函数（）1.参数意义与图像变换：振幅（纵向伸缩，决定最值差）；时图像关于轴对称：角频率（横向伸缩，决定周期，越大周期越小）：相位（横向平移，平移量，左加右减，需提取）：纵向平移（不改变周期、奇偶性，改变值域上下界）2.核心性质（推导与应用）值域：；周期：（仅与有关）奇偶性：偶函数；奇函数（，定义域关于原点对称）单调性：整体代换法——令，结合、符号，代入单调区间求解对称性：对称轴；对称中心（纵坐标为），三、高频考点与易错提醒1.高频考点图像变换：根据变换规则求解析式，或根据解析式描述变换过程性质应用：求最值、周期、单调区间、对称轴/对称中心奇偶性判定：结合取值与定义域判断2.易错提醒平移量计算：需提取，平移量为，非周期公式：勿忘的绝对值，单调性：解不等式时注意正负对不等号方向的影响；时单调性反转对称性：对称中心纵坐标为，非0；对称轴与对称中心的求解条件不可混淆一、单选题1．（25-26高三上·上海·期中）若函数y=3sinx+θ+cosx+θ的图像关于y轴对称，A．π6 B．π3 C．2π2．（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数fx①fx是周期函数；

②fx在区间③若fx1+fx2=2则上述结论中正确的序号为（

）A．① B．①③ C．①②③ D．②③④3．（2025·上海嘉定·二模）已知关于x的不等式