2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第06讲 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 （原卷版）

第06讲函数y＝Asin（ωx+φ）的图象内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：正（余）弦型函数一般形式：正弦型：（）余弦型：（）其中（振幅）、（角频率）、（相位）、（纵向平移量）为常数.易错辨析易错点：混淆“相位”与“初相”辨析：相位是，初相是时的相位（即），需注意时，初相仍为，与无关.概念比较与基本正（余）弦函数比较：基本函数是的特殊情况；正（余）弦型函数是基本函数经“伸缩、平移”变换后的一般形式，性质由参数共同决定.重点记忆正（余）弦型函数是基本正（余）弦函数的“变换版”，参数对应不同的图像变换方式.知识点2：图像变换及解析式特征1.相位变换（横向平移）规则：，向左（）/右（）平移个单位；推广到：需提取，即，平移量为.易错辨析易错点：直接用作为平移量（如误判为向左平移个单位）辨析：平移是对“本身”的变换，需提取，正确平移量为（即）.重点记忆+常考结论平移量公式：，方向遵循“左加右减”（针对提取后的）.2.上下平移变换规则：，向上（）/下（）平移个单位.易错辨析易错点：认为上下平移会改变函数的周期、奇偶性辨析：上下平移仅改变函数值域的上下界，不影响周期、奇偶性、单调性等核心性质.常考结论上下平移后，函数的最值为：最大值，最小值.3.周期变换（横向伸缩）规则：，图像横向伸缩为原来的倍；周期公式：（绝对值越大，周期越小）.易错辨析易错点：周期公式遗漏的绝对值（如误算周期为）辨析：周期是正数，故公式中需取的绝对值，的周期为.概念比较与振幅变换的区别：周期变换是“横向伸缩”，影响的系数；振幅变换是“纵向伸缩”，影响的绝对值，两者互不影响.重点记忆+常考结论周期仅与有关，与均无关；若，则.4.振幅变换（纵向伸缩）规则：，图像纵向伸缩为原来的倍；振幅定义：（最大值与最小值的差的一半）.易错辨析易错点：认为会改变振幅大小辨析：振幅是，仅使图像关于轴对称，不改变振幅的数值（如的振幅仍为2）.常考结论若函数值域为，则振幅，纵向平移量.知识点3：图像变换的综合应用1.描述变换过程（以为例）步骤（两种顺序）：顺序1：相位变换→周期变换→振幅变换→上下平移；顺序2：周期变换→相位变换（注意平移量变为）→振幅变换→上下平移.易错辨析易错点：先周期变换后相位变换时，平移量未除以辨析：若先将横向压缩为，再向左平移个单位，得到（平移量需除以）.2.由图像求解析式步骤：1.求：；2.求：；3.求：由周期（通过图像相邻最值点/零点距离求）；4.求：代入图像上的已知点（优先选“五点法”中的点，如正弦型的起点、最高点）.易错辨析易错点：求时忽略的符号辨析：若，可先利用诱导公式将化为正数（如），再求，避免符号错误.重点记忆“五点法”选点：正弦型函数的五点为对应的点；余弦型为对应的点（起点为最大值点）.知识点4：图像与性质的结合应用核心方法：“整体代换法”——令，将正（余）弦型函数转化为基本正（余）弦函数（或），再结合基本函数的性质求解.常考结论1.单调区间：代入基本函数的单调区间，解关于的不等式（注意正负对不等号方向的影响）；2.对称轴/对称中心：正弦型对称轴为，对称中心为（）；余弦型对称轴为，对称中心为（）.【题型1根据图像变换求解析式】例1．（25-26高二上·上海·期中）将函数y=sin2x+3cos2x的图象沿x轴向右平移例2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数f(x)=3sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为π，将y=f(x)图像向左平移φ个单位长度(0<φ<变式1．（24-25高一下·上海·期末）把函数y=cosx的图象向右平移π2个单位得到曲线C1，再把曲线C1上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线CA．y=sin2x B．y=−cos2x C．变式2．（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数y=cosx图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移π6个单位长度，得到函数y=f【题型2描述正余弦函数的变换过程】例1．（24-25高一下·上海·期中）对于函数y=f(x)，fx=3cosA．向右平移π6 B．向右平移C．向右平移π3 D．向右平移例2．（24-25高一下·上海·期中）函数fx=3cos2x−πA．向右平移π6 B．向右平移C．向右平移π3 D．向左平移变式1．（24-25高二上·上海·月考）把函数y=cos2x+3sin2xA．向左平移π6个单位 B．向右平移πC．向左平移π12个单位 D．向右平移π变式2．（24-25高一上·上海·课前预习）（1）由y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)（方法1：方法2：（1）上面的两种三角函数的图象变换的流程图中，向左（右）平移多少个单位长度？（2）上面的两种三角函数的图象变换的流程有什么不同？【题型3振幅相位变换求解析式】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数y=Asinωx+φ（A>0，ω>0）的振幅是3，最小正周期是2π3例2．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数y=2变式1．（24-25高一下·上海·期中）函数fx=sin变式2．（23-24高三上·上海宝山·期中）函数y=sin(2x+【题型4由图像求解析式】例1．（25-26高二上·上海·开学考试）函数fx=Asinωx+φ

例2．（24-25高一下·上海·月考）已知函数fx=Asinωx+φω>0,0<φ<变式1．（2025高三·上海·专题练习）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图，将函数f(x)的图象向右平移π3个单位，得到函数g(x)的图象，则

变式2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数fx=Asinωx+φ【题型5由图像变换求三角函数的性质】例1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）将函数y=3cos2x+π3的图象向右平移φ例2．（23-24高三上·天津·期末）已知函数fx=Asinωx+φω>0,A>0,φ<π2的对称中心到对称轴的最小距离为π4，将①x=π6是fx的一个对称轴；②−③fx在0,π2上单调递增；④若fx以上四个说法中，正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4变式1．（24-25高三上·上海徐汇·月考）已知函数fx=2sin2x+π6，将y=fx的图像向左平移φ0<φ<π个单位后得到函数y=gx变式2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数f(x)=sin(2x+φ)（0<φ<π），其图像的一个对称中心是(−π6,0)，将f(x)图像向左平移π3个单位长度后得到函数g(x)的图像.若对任意x1,【题型6三角函数图像变换的综合题型】例1．（25-26高三上·上海·月考）已知函数y=fx的表达式为f(1)求函数y=fx(2)将函数y=fx的图象向右平移π6个单位，得到函数y=gx的图象，求函数y=g例2．（24-25高一下·上海·月考）已知定义域为R的函数y=fx的解析式为f(1)求函数y=fx(2)已知方程fx=a在区间−π(3)将函数y=fx的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18个单位长度，得到函数y=gx的图象．函数y=hx的解析式为hx=mfx−m，x∈变式1．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知函数f(1)写出fx(2)若不等式fx−m<2对任意x∈(3)将fx的图象先向左平移π12个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数gx的图象.若关于x的方程gx=a变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数fx

(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)=f(mx)(m>0)在−π2,(3)将函数y=fx的图象向右移动π6个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的a0<a<1倍得到y=gx的图象，若y=gx在区间−1,1【题型7三角函数的实际应用】例1．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，摩天轮上一点P距离地面的高度ym关于时间tmin的函数表达式为：y=Asinωt+φ+b，A>0，ω>0(1)根据条件具体写出y关于t的函数表达式：(2)在摩天轮转动的一圈内，点P有多长时间距离地面超过55m例2．（24-25高一下·上海·月考）声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数ht=Asin(ωπt)．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为y=Ht，部分图像如图所示，图像过点(1,0),(3,0),(5,0)．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数变式1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）奉贤中学生物创新实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：y=10−Asinπ12t+θ，其中A>0，t∈0,24(1)若设定θ=π3，且要求实验室一天的最大温差不超过8℃，求(2)若设定A=2，且要求实验室温度不高于11℃.由两个实验小组分别设定参数如下：①θ=π3；②θ=4π3，两个小组一天需要降温的时长分别为L1和变式2．（24-25高一下·上海·期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动t（单位：分钟）后距离地面的高度为H（单位：米），转一周大约需要15分钟.(1)已知H关于t的函数关系式满足Ht=Asinωt+φ+B（其中A>0，ω>0(2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？一、核心概念一般形式：正弦型：；余弦型：（）参数意义：（振幅）、（周期）、（初相）、（纵向平移量）二、图像变换（4类）变换类型规则（以正弦型为例）易错提醒相位变换平移量，左加右减需提取，勿直接用作平移量周期变换横向伸缩倍，周期周期公式必取振幅变换纵向伸缩倍，振幅为仅翻折，不改变振幅上下平移平移个单位，值域变为不影响周期/奇偶性三、核心应用（2类高频考点）1.由图像求解析式（步骤）1.求：；2.求：；3.求：由周期得4.求：代入“五点法”点（如正弦型的起点/最高点）2.性质结合（整体代换法）令，转化为基本正（余）弦函数：单调区间：代入基本函数区间，注意正负对不等号的影响对称性：正弦型：对称轴，对称中心余弦型：对称轴，对称中心（）一、单选题1．（24-25高一上·上海·课堂例题）为了得到函数y=2sin2x+π6的图象，只需把函数A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的12C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的122．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知fx=sinx+πA．函数y=fxgB．函数y=fxC．将fx的图象向左平移π2单位后得D．将fx的图象向左平移3π23．（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数y=sin2x+π3的图象向右平移π3①函数y=fx的最小正周期为2②函数y=fx的图象关于x=−③x=7π6④函数y=fx在−A．①③ B．②④ C．②③ D．③④4．（23-24高一下·上海普陀·期末）为了得到函数y=sin(2x+π3)A．向左平移π2个单位 B．向左平移πC．向右平移π2个单位 D．向右平移π5．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知函数f(x)=2sinωx+π6（ω>0），有下列结论：①若ω=2，则f(x)在0,π3上单调递增；②若fπ3+x=fπ3−x，则正整数ω的最小值为2；③若ω=1，函数y=f(x)的图像向右平移π6个单位长度得到A．1 B．2 C．3 D．46．（24-25高一下·上海嘉定·期末）在物理学中简谐运动可以用函数fx=AsinA．函数y=fx的图象关于点πB．函数y=fx的解析式可以为C．函数y=fx在0,πD．若把y=fx图象上所有的点向右平移π12二、填空题7．（24-25高一上·上海·课后作业）要得到函数y=sin4x−π3的图象，只需将函数y=sin8．（24-25高一上·上海·课堂例题）要得到y=cos2x−π4的图象，只要将y=sin9．（23-24高一下·上海长宁·期中）函数y=Asinωx+φA>0,ω>0的振幅是2，最小正周期是π2，初始相位是10．（23-24高一下·上海闵行·期中）将函数f(x)=sinx的图象向右平移π6个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，则11．（24-25高一下·上海浦东新·月考）将函数fx=cosωx+π6ω>0的图象向左平移π三、解答题12．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表：x（时）03691215182124y（米）5.07.55.02.55.07.55.02.55.0(1)请从y=ax+b，y=Asinwx+φ+B，y=coswx+φ这3个函数中选择一个函数近似描述某天(2)请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式；(3)依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？13．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知函数fx(1)求函数y=fx(2)写出函数fx(3)当x∈−2π14．（24-25高三上·上海·月考）设fx(1)若ω=1(2)某同学用“五点法”画函数y=fxωx+φ0ππ3π2πx▲π5π2π11πsin01▲−10请将上表▲处的数据补充完整，并求出函数y=fx(3)设ω=1，φ=0，gx=f15．（2025·陕西·模拟预测）已知函数fx(1)求fx(2)先将fx图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移5π12个单位长度，得到函数gx的图象，若对任意的x∈0,16．（25-26高二上·四川资阳·开学考试）已知函数fx=3(1)求fx(2)将函数fx的图象向右平移π6个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=gx的图象．若g(x017．（24-25高一下·上海浦东新·月考）已知f(1)某同学用“五点法”画出函数y=fxx−π7ωx+φ0ππ32f0200根据表格，直接写出函数y=fx(2)若fx=103sinx2cosx2(3)