2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第6章 三角 （单元测评卷）（解析版）

第6章三角单元测评卷建议用时：120分钟，满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．某扇形的弧所对的圆心角为54∘，且半径等于5，则其面积为【答案】15π【分析】根据已知求出圆心角的弧度，再由扇形面积公式求面积.【详解】由题设，圆心角为π180°所以扇形面积为12故答案为：15π2．已知cosα=−817,α在第二象限，则【答案】−【分析】根据给定条件，利用同角公式求解.【详解】由cosα=−817所以tanα=故答案为：−153．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosB=bsinA【答案】π【分析】由正弦定理及同角三角函数的基本关系得解.【详解】∵3a∴由正弦定理得3sin又sinA≠0，故3∴tanB=∵0<B<π∴B=π故答案为：π4．已知cosα=15，则【答案】−15【分析】运用两角和的余弦公式展开cosπ+α并代入【详解】cosπ+故答案为：−15．若方程3x2+5x−7=0的两根为tanα与tan【答案】−12【分析】应用根与系数关系及和角正切公式求值即可.【详解】由题设，tanα+tanβ=−所以tanα+β故答案为：−6．函数f(x)=2sin(π【答案】5【分析】根据两角差的正弦公式，化简得到fx【详解】由f(x)=2=2当4x+π3所以fx的最大值为：故答案为：57．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，cosC=14【答案】10【分析】由余弦定理求出a+b的最大值及等号成立的条件，再结合诱导公式和半角公式求出sinB【详解】△ABC中，cosC=由余弦定理c2得64=a所以a+b≤1663此时△ABC为等腰三角形，A=B.由A+B+C=π，有A=所以sinA=故答案为：1048．已知θ∈R，若tanθ+cotθ=5，则【答案】25【分析】根据已知，应用商数关系及平方关系可得sinθ【详解】由tanθ+所以sinθcosθ=故答案为：29．如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为60∘，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AC的长为1.4m，BC与过A的水平线交于点D，AD的长为1.75m.则AB与水平线之间的夹角α的大小为【答案】6.39【分析】首先在△ACD中求CD和∠ADC，再在△ABD中，根据正弦定理，即可求解.【详解】△ACD中，根据余弦定理CDcos∠ADC=1.752△ABD中，根据余弦定理ABsin∠ADB=ADsin则B≈42.61∘，所以故答案为：6.3910．已知α,β∈π3,5π6，若sinα+【答案】16【分析】先利用同角的正余弦的平方关系可求得cosα+π6【详解】因为α,β∈π3,因为sinα+π6所以cosα+π6所以sin==−故答案为：1611．已知三角形ABC为等腰三角形，其中AB=AC=2，BC=23，在AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上.则线段AD的长度的最小值为【答案】3【分析】设∠BAP=θ,AD=x，求出∠BDP、DP、BD关于所设参数的表达式，在△BDP中应用正弦定理求DP，再根据θ的取值范围求最值．【详解】设A落在边BC的P处，则A,P两点关于折线DE对称，连接DP，由于AB=AC=2，BC=23，则cos∵∠ABC∈0,π,∴∠ABC=设∠BAP=∠APD=θ,θ∈π则∠BDP=2θ，AD=DP=x，BD=2−x．在△ABP中，∠APB=π在△BDP中，∠BPD=∠APB−∠APD=5π由正弦定理知：BDsin∠BPD=所以2−xx=2sin由于θ∈π4,故当5π6−2θ=π3，即sin5π故2x取到最大值1+3，进而x故答案为：3−112．若对任意的x∈R，存在θ∈0,π2，满足不等式|x+1|+|x−a|≥1【答案】−【分析】求出1sin2θ【详解】1sin因为θ∈0,π2，则2θ∈0,π故4sin22θ的最大值为4而|x+1|+|x−a|≥x+1−x+a当且仅当x+1x+a≤0时等号成立，故故a≥3或a≤−5，故答案为：−二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）.13．下列命题中，正确的是（

）A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角B．若α是第一象限的角，则π2C．若两个角的终边重合，则这两个角相等D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【答案】B【分析】由角度制和弧度制的定义，象限角的概念，判断各选项的正误.【详解】1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，A选项错误；若α是第一象限的角，则−α是第四象限的角，所以−α+π当α=30∘，β=390∘时，不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，D选项错误.故选：B14．在△ABC中，内角A,B,C满足2sinBcosC=sinA，则A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形【答案】B【分析】根据sinA=sinB+C得到sin【详解】2sin故sinBcosC−因为B,C∈0,π，所以故△ABC为等腰三角形.故选：B15．若cosxcosy+sinxsiny=A．23 B．C．13 D．【答案】A【分析】直接利用两角和与差的余弦公式得cos(x−y)=12【详解】因为cosx所以cos(x−y)=12所以2sin所以2sin(x+y)⋅1故选：A.16．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BCAC=5−12A．1−254 B．−3+58 【答案】C【分析】先求出∠ACB=72°，cos∠ACB=5−14，再根据二倍角余弦公式求出【详解】由题意可得：∠ACB=72°，且cos∠ACB=cos72∘=2所以cos36sin2034°=故选：C三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）.17．（14分）已知sinθ+(1)tanθ(2)求sin2【答案】(1)1(2)−【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可；（2）根据sin2【详解】（1）显然cosθ≠0，故sinθ+cosθsinθ−（2）sin=1218．（14分）已知α为第三象限角，fα(1)化简fα(2)若cosα−32【答案】(1)fα(2)−23【分析】（1）根据诱导公式化简即可；（2）由诱导公式可求sinα【详解】（1）f=−cos（2）cosα−32所以f2α=−19．（14分）已知△ABC的内角A,B,C所对边的长度分别为a,b,c．(1)若a=5,b=6,cosB=−45，求A和(2)若3b−acosC=ccos【答案】(1)A=π6(2)sin【分析】（1）首先求出sinB（2）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出cosC【详解】（1）因为cosB=−45，则B∈由正弦定理得asinA=bsinB=2R即sinA=12因为a<b，所以A∈0,因此A=π6，R=5（2）因为3b−acos由正弦定理可得3sin所以3sin又B∈0,π，所以sinB>0，所以3又C∈0,π，所以sin20．（18分）吴淞口灯塔AE采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度H（单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=3m，使A，B，D在同一直线上，也在同一水平面上，仰角∠ABE=α，∠ADE=β(1)该小组测得α､β的一组值为α=51.83°，β=47.33°，请据此计算H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离d（单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度.若灯塔的实际高度为20.1m，试问d为多少时，α−β【答案】(1)H≈20.4(2)d≈18.5【分析】（1）根据题目所给数据，解直角三角形并利用AD−AB=DB建立方程即可求解；（2）由两角差的正切公式，结合均值不等式求出tan(α−β)的最值，再根据角的范围即可求得α−β【详解】（1）由Rt△ADE可得：HAD同理可得AB=H因为AD−AB=DB，所以Htan可得H=htan（2）由题意可得d=AB，则tanα=所以tan(α−β)=而d+H(H−h)当且仅当d=H(H−h)故当d=18.5时，tan(α−β)因为0<β<α<π2，所以所以d=18.5时，α−β最大.（10分）21．（18分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边.(1)若acosC+2b+c(2)若BC边上的高等于a2，且0<A<π2(3)求实数t的取值范围，使得对任意实数x和任意角A（0<A≤π2），恒有【答案】(1)A=(2)(2,2(3)(−∞,【分析】（1）由正弦定理边化角可得cosA=−12（2）由三角形面积公式和余弦定理可得b2+c（3）利用二次函数的最小值可得f(x)min=12[(3+2sinA【详解】（1）因为acos所以由正弦定理可得sinA整理得sin(A+C)+2sinB因为B∈(0,π)，所以cosA=−12，因为A∈(0,π（2）因为BC边上的高等于a2由三角形面积公式得12a×1又由余弦定理可得a2=b从而有b2所以cb因为0<A<π2，所以π42<22