2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第7章 三角函数 （单元测评卷）（解析版）

第7章三角函数单元测评卷建议用时：120分钟，满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．函数y=sinωx的最小正周期为π，则ω的值为【答案】±2【分析】根据正弦函数周期T=2【详解】函数y=sinωx的最小正周期为即π=2π故答案为：±22．函数fx=5sin【答案】−【分析】根据正弦函数对称中心列式即可得到答案.【详解】令3x+π4=k所以函数fx的对称中心为−故答案为：−π3．函数y=cosx在−π【答案】0,1【分析】利用余弦函数的单调性可得.【详解】由函数y=cosx在−π且f(−π故函数y=cosx在−π故答案为：0,1.4．函数y=2tanx+π4包含【答案】π【分析】根据正切函数的单调性求y=2tan【详解】令kπ−π可知函数y=2tanx+π又因为kπ−3π可知k=1，所以函数y=2tanx+π4包含故答案为：π45．方程sinx=14，x∈π2,π，则【答案】π【分析】根据反正弦函数的定义，可知arcsin14表示正弦等【详解】解：若锐角α满足sinα=14因此当x∈π2,π时，满足sin故答案为：π−6．不等式cosx≥12【答案】−【分析】画出y=cos【详解】

画出y=cos由图可知，不等式cosx≥12故答案为：−7．函数fx=Asinωx+φ，A>0，ω>0，【答案】2【分析】由“五点法”，结合图象分别求出A,ω,φ即可求解.【详解】由图象知A=2，T2=5π12由图象过点5π12,−2即5π6+φ=−π2所以fx故答案为：2sin8．函数fx=12【答案】−【分析】根据条件，利用余弦的倍角公式得到fx=−sin2x+sinx+a，令sinx=t∈−1,1，得到y=−【详解】因为fx令sinx=t∈−1,1，则y=−t2+t+a，令y=0令y1=t2−t,t∈−1,1，又因为函数fx所以y1=t2−t,t∈故答案为：−19．已知函数fx=2025a+cosωx,x∈[−π,π]（其中【答案】4,6【分析】由fx为偶函数，其图象关于y轴对称，得到fx一个零点为x=0，求得2025a=−1，得到函数fx=cos【详解】由函数fx可得f−x=fx，可得函数f因为fx有5个零点，所以必有一个零点为x=0则2025a+cos0=0，可得所以函数fx等价于函数y=cosωx与y=1的图象在由x∈[−π,π要使得函数y=cosx与y=1的图象在则满足4π≤ωπ<6π，解得4≤ω<故答案为：[4,6)10．数fx=Atanωx+φω>0,φ

【答案】33/【分析】由图象求得函数的解析式，然后计算函数值．【详解】由题意f(x)的最小正周期是T=2×(3π82×3π8+φ=kπAtanπ4=1，f(−π故答案为：3311．若不等式x2−ax+bcosπx+π【答案】−【分析】先分析当x∈−1,1时，函数y=cosπx+π6的对称轴，零点及函数值的变化情况，再分析二次函数【详解】当x∈−1,1时，函数y=cosπx+π6的对称轴为且当x∈−1,−23时，y<0，当x∈−23,函数y=x2−ax+b在−∞,所以要使不等式x2于是，a2=−16，132−故答案为：−512．已知函数f(x)=sinxcos①π2是y=f(x)②y=f(x)的图像关于x=π③y=f(x)在闭区间0,π④若y=f(ωx)（其中常数ω>0）在0,π2上是严格增函数，则ω的最大值为【答案】②④【分析】根据三角函数对称性，周期性得性质，和函数零点的定义，以及单调区间，分别判断各命题的正误.【详解】已知f(x)=sinxcos所以①错误，f(π当x∈[0,π2]当x∈(π2,所以f(x)=sin2x,x∈[0,π当x∈[0,π2]时，ωx∈[0,πω2]于是πω2≤π2，f(ωx)=sin2ωx，2ωx∈[0,π故答案为：②④.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）.13．下列函数中，既是偶函数又是周期为π的函数为（

）A．y=cosx B．y=sinx C．【答案】B【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可.【详解】对A，y=cosx是偶函数，周期为对B，设fx=sinx，定义域为因为y=sinx周期为2π，则y=sin对C，y=sin2x是奇函数，周期为对D，y=tan2x是奇函数，周期为故选：B.14．已知函数y=fx，其中y=x2+1，y=gxA．y=gxfC．y=fx+gx【答案】A【分析】根据函数图象和fx【详解】易知fx=xA.y=hx又h−x=4B.y=fxgC.y=hx但h−xD.y=hx但h−x故选：A15．已知ω>0，顺次连接函数fx=6sinωxω>0与A．2π8 B．π6 C．π【答案】D【分析】先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等腰直角三角形的斜边长即可，再根据sinπ4=【详解】如图所示，在函数fx=6|AC|=T=2令6sinωx=6不妨取ωx即|AC|=x因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形，当正弦值等于余弦值时，函数值为±2故等腰直角三角形斜边上的高为22×6所以|AC|=2πω故选：D．16．已知a∈R，不等式tanπ6x−atanπA．334 B．338 C．678 D．1012【答案】B【分析】由题设可得a<tanπ6【详解】由tanπ6x对于fx=tanπ6x，周期为所以f(x)在一个周期(0,6)内的大致图象如下，注意3−由2025=6×337+3，易知f(x)在区间(2022,2025)上的图象与区间(0,3)上的图象相同，结合图象知，f(x)在(0,2025)中，与区间(0,3)上的图象相同的区间有338个，f(x)在(0,2025)中，与区间(3,6)上的图象相同的区间有337个，当a≤−1−3时，不等式a<tanπ当−1−3<a<−3时，不等式a<tanπ当−3≤a≤−1−13时，不等式当−1−13<a≤−1时，不等式a<tanπ当−1<a<−13时，不等式a<tanπ6当−13≤a≤−1+13时，不等式a<当−1+13<a<0时，不等式a<tanπ当0≤a<13时，不等式a<tanπ6当13≤a≤3−1时，不等式当3−1<a<3时，不等式a<tanπ6当a≥3时，不等式a<tanπ故选：B.三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）.17．（14分）已知函数fx(1)求fx的值域，并写出f(2)求fx的对称轴方程，并求方程f【答案】(1)32−1,(2)x=5π12+k【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变形，然后借助正弦函数来求值域和单调区间即可；（2）然后借助正弦函数来求对称轴方程以及解三角方程即可.【详解】（1）由fx因为x∈R，所以函数fx=由−π2+2k所以函数fx=sin2x−（2）由2x−π3=即函数fx=sin由方程fx则2x−π3=解得x=π3+k故方程fx=3的解为x|x=18．（14分）已知y=fx为奇函数，其中f(1)求函数y=fx的最小正周期和f(2)若fα2=−【答案】(1)π，f(2)4−3【分析】（1）根据2cos2xcos（2）根据fα2=−45【详解】（1）因为y=fx所以fx化简得到求出2θ∈0,πfx=−sin2x（2）若f∵α∈所以sinα+π19．（14分）函数fx

(1)求函数fx(2)将函数fx的图象先向右平移π4个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数gx的图象，求【答案】(1)f(2)最大值为3，最小值为−2【分析】（1）先由图象和周期公式得A=2，ω=2，进而由fπ6=2（2）先由平移变换求出函数gx的解析式，接着由x∈−π12,π6【详解】（1）由函数fx的部分图象可知A=2，3所以T=π，所以ω=2π又fπ6=2解得φ=π6+2kπ,k∈Z所以fx=2（2）将fx向右平移π4个单位，得到再将所有点的横坐标缩短为原来的12，得到g令t=4x−π3，由x∈−因为函数y=2sint在−2又2sin−π2=−2所以gxmax=所以gx在−π12,π620．（18分）已知函数fx(1)若ω=2，求函数fx(2)若函数f(x)在区间0,π上为严格增函数，求ω的取值范围；(3)若函数f(x)在a,b（a,b∈R且a<b）上满足“关于x的方程fx=3在a,b上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的a,b中，b−a【答案】(1)π(2)0,(3)0,【分析】（1）先写出函数fx（2）由题意利用正切函数的单调性，求得ω的范围；（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得ω的范围．【详解】（1）由于fx=tan所以fx=tan2x+（2）由x∈0,π，且ω>0，得若函数y=fx在区间0,则只需保证ωπ+π3<则ω的范围为0,16（3）由关于x的方程fx=tan则关于x的方程ωx+π则至少存在2024个k∈Z使得x=因函数fx=tan故b−a至少包含2023个周期，即b−a≥2023⋅又在所有满足上述条件的a,b中，b−a的最小值不小于2024，则2023⋅π得0<ω≤2023所以ω的取值范围为0,2023π21．（18分）我们知道：对于函数y=fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有x+T∈D，且fx+T=fx成立，那么函数y=fx叫做周期函数．对于一个周期函数y=fx，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数y=fx的最小正周期．对于定义域为R的函数hx，若存在正常数T，使得(1)判断hx=x(2)已知函数fx(3)已知存在这样一个函数fx，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且fx是以T为周期的正弦周期函数．若f0=−π2，fT【答案】(1)hx=x(2)π是它的一个周期，且是此周期函数的最小正周期，理由见解析(3)f【分析】（1）结合所给定义及正弦函数性质推导即可得；（2）结合正弦、余弦函数性质由周期函数定义求解即可得；（3）由sinf【详解】（1）hx=x假设hx=x使得对任意x，有sinx+T即有x2+T即T2+2Tx=2kπ由T>0，则y=T2+2Tx与y=2故T2+2Tx=2kπ故不存在正常数T，使得sinx+T故hx由sin=sin即存在T=10π，使得sin故gx=2025x+（2