2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第08讲 平面向量的概念及其线性运算 （原卷版）

第08讲平面向量的概念及其线性运算内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：核心概念精准辨析【核心要点】向量的本质是“既有大小又有方向的量”，把握“方向”与“大小”两个维度，是区分各类向量概念的关键.概念名称严格定义规范表示与核心性质名师易错提醒向量具有大小和方向的量（又称矢量），区别于只有大小的数量（标量）①几何表示：有向线段（为起点，为终点）；②字母表示：，，（黑体表示向量）；③模：或，取值范围为向量不可比较大小，仅模可比较零向量长度（模）为0的向量①记作；②方向任意；③性质：，与任意向量平行，，不可与数字0混淆，单位向量长度为1个单位长度的向量①与非零向量同向的单位向量：；②同一方向有且只有一个单位向量单位向量不唯一，不同方向有不同单位向量平行（共线）向量方向相同或相反的非零向量①表示：；②扩展：零向量与任意向量平行；③传递性：非零向量平行具有传递性向量共线≠直线共线，向量可平移相等向量长度相等且方向相同的向量①表示：；②性质：可平移重合，满足传递性、对称性、反身性必须同时满足“长度相等+方向相同”相反向量长度相等且方向相反的向量①表示：的相反向量为；②性质：，，零向量的相反向量是自身知识点2：线性运算规律精讲【核心思路】向量线性运算的本质是“等效替换”，加法看“合成”，减法看“分解”，数乘看“缩放与转向”，所有运算均遵循“方向优先，大小跟进”原则.2.1向量加法■定义：求两个或多个向量和的运算，核心是“等效合成”.■两大运算法则（高频考点）：三角形法则：首尾相接，起点到终点；即，可推广到多个向量：；适用场景：任意向量（含共线向量）.平行四边形法则：共起点，对角线为和；以，为邻边作平行四边形，从公共起点出发的对角线为；适用场景：不共线向量（共线向量无法构成平行四边形）.■运算律（化简核心依据）：交换律：（与顺序无关）；结合律：（可分组化简）；2.2向量减法■定义：减法是加法的逆运算，规定（转化为加法求解）.■核心法则：共起点，减向量终点指向被减向量终点；即（记忆口诀：“终减起，指向被减”）.■模的不等关系（高考常考不等式）：；等号成立条件：①左等号：与同向（或其中一个为）；②右等号：与反向（或其中一个为）.2.3向量数乘■定义：实数与向量的积是一个向量，记作，核心是“缩放向量+控制方向”.■三大核心性质（必考）：模的关系：（的绝对值控制缩放倍数）；方向关系：时，与同向；时，与反向；时，（方向任意）；特殊结论：或.■运算律（化简关键）：结合律：（先缩放再缩放=一次性缩放）；第一分配律：（实数相加，再乘向量=分别乘再相加）；第二分配律：（向量相加，再乘实数=分别乘再相加）；2.4共线向量定理（核心难点）■定理内容：向量与向量共线的充要条件是存在唯一实数，使得.■三大关键解读（名师总结）：条件限制：必须注明，否则不唯一（若，，无；若，无数）；双向性：①充分性：若，则；②必要性：若，则存在唯一使；应用场景：证明三点共线、求解向量系数、判断向量平行.知识点3：高频易错点突破【名师点睛】易错点本质是“概念混淆”或“规律滥用”，以下为高考高频易错清单，附辨析思路：1.零向量与数字0混淆；错例：；正例：；辨析：是向量（有方向），0是标量（无方向），运算对象必须统一.2.单位向量唯一性误判；错例：与共线的单位向量是；正例：有两个，；辨析：单位向量仅定长度，不定方向，共线包含同向和反向.3.平行向量传递性滥用；错例：若，，则；辨析：平行传递性仅适用于非零向量，零向量方向任意，无法传递方向关系.4.向量与有向线段等同；错例：就是向量；辨析：有向线段是向量的几何表示（有固定起点），向量可自由平移（无固定起点），二者是“表示与被表示”关系.5.向量比较大小；错例：；正例：；辨析：向量有方向，方向无优劣，无法比较大小，仅模（长度）可比较.6.数乘方向判断失误；错例：与方向相同；辨析：需看符号，同向，反向，无固定方向.7.共线定理遗漏；错例：若，则存在使；辨析：遗漏时，结论不成立，这是高考阅卷高频扣分点.知识点4：必记常考结论【提分关键】熟记以下结论，可快速求解选择、填空题，简化解答题步骤：1.三点共线结论：，，三点共线，存在实数，，使，且（为平面内任意不共线点）；特例：若为中点，则.2.重心性质：设的重心为（三条中线交点），则①；②（为中点）；③（为任意点）.3.向量化简常用结论：①；②；③；④若，则（同向取“+”，反向取“-”）.4.单位向量相关：①任意非零向量可表示为（为同向单位向量）；②若，为相反单位向量，则，.5.共线向量推论：若，，则，即非零共线向量可传递共线关系.【题型1向量的概念及其表示】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段：(1)向量a的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120°且a=3(2)向量b的模为4，方向与y轴的正方向反向；(3)向量c的方向与y轴的正方向同向，模为2．例2．（23-24高一·上海·课堂例题）指出下列各种量中的向量：（1）密度；

（2）体积；

（3）速度；

（4）能量；（5）电阻；

（6）加速度；

（7）功；

（8）力矩．你能找出更多向量的例子吗？变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）针对以下命题：①数量可以比较大小，向量也可以比较大小；②方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小；③向量的大小与方向有关；④向量的模可以比较大小说法正确的是（填序号）.变式2．（24-25高一下·贵州黔南·月考）对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（

）A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量【题型2向量的模长】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求：(1)AB；(2)CD；(3)EF．例2．（24-25高一上·上海·课后作业）按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量.（图中每个小正方形的边长均为1）(1)正北方向，且模为2的向量AE；(2)长度为22，方向为北偏西45°的向量BF(3)向量BF的负向量CF.变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设▱ABCD的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）如图，在2×4的矩形中，起点和终点都在小方格顶点且模与|AB|相等的向量共有多少个？（除（2）如果扩展到3×4的矩形呢？（除AB外）【题型3零向量与单位向量及相等向量】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如果把平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点，那么它们的终点构成的图形是什么？例2．（24-25高一下·上海·课后作业）若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a//b；③|aA．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形ABCDEF的中心，写出满足条件的向量.

(1)与OA相等的向量；(2)与OB相等的向量；(3)与OC的模相等且平行的向量（除OC外）.变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点A1、A2或A3，表示该“马”走“一步”的向量为AA1、A

【题型4共线向量】例1．（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（

）A．若a=bB．若a//bC．若a,bD．若a=b，则例2．（24-25高一下·上海长宁·期中）下列关于平面向量的说法正确的是（

）A．若a，b是共线的单位向量，则aB．若a=bC．若a≠b，则a，D．若a//b，b变式1．（23-24高一下·上海·期中）若a，b都是单位向量，则下列结论一定正确的是（）A．a=b B．如果aC．a//b D．如果a//b变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a、b是任意两个向量，下列条件：①a=b；②|a|=|b|；③a、b的方向相反；④a=0或b=0；⑤【题型5向量的加法运算】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）设向量a表示“向东走2km”；向量b表示“向西走1km”；向量c表示“向南走2km”；向量d表示“向北走1km”，试说明下列向量所表示的意义：(1)a+(2)a+(3)a+(4)c+例2．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量a、b、c，作出下列向量；(1)a+b，b+(2)a+b+变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）试说明，如果三个首尾相接的向量a、b和c所在的线段能拼接成三角形，那么一定满足条件a+b+c=0．反过来，如果a+变式2．（24-25高一·上海·随堂练习）给出下列等式：①AB+②AC=③OA+④AB+其中等式成立的个数为．【题型6向量的减法运算】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量a、b、c，作出下列向量：(1)a+c−(2)a−b+例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知正方形ABCD的边长为1，求：(1)AB+(2)AB+(3)AB−变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算；(1)AB+(2)AB−(3)AB+变式2．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知a,b，分别求作【题型7向量的数乘运算】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量x：(1)2x(2)2a(3)13例2．（24-25高一上·上海·课前预习）在△ABC中，已知D是BC的中点，G是△ABC的重心，记AB=a，AC=b，试用a、b表示AD、变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知AB=a，AC=b，AD是中线，G为重心，则AD=；AG=

变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简下列向量：（1）12(3（2）(2AB+【题型8向量运算在几何中的应用】例1．（24-25高一上·上海·课后作业）在△ABC中，D为BC上的点，且BD=12DC，E为AD上的点，且AE=2ED，若AB=e1，AC=例2．（24-25高一上·上海·课前预习）已知△ABC，边BC、CA、AB的中点分别为D、E、F，则AD+BE变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知G是△ABC的重心，D、E、F分别为AB、AC、BC中点，求证：GD+变式2．（25-26高三上·上海·月考）设M是△ABC所在平面上的一点，且MB+32MA+32MC【题型9证明三点共线】例1．设e1→，e2→，e3→不共面，已知AB→=λe1→+2e2→A．6 B．12 C．﹣6 D．﹣12例2．已知e1→与e2→是两个不共线的向量，AB→=3e1→+2e2→A．﹣4 B．﹣12 C．4 D．5变式1．e1→，e2→是平面内不共线两向量，已知AB→=e1→+keA．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2变式2．设e1→，e2→是平面内两个不共线的非零向量，已知AB→=2e1→+ke2→，BC→=e1A．−12 B．2 C．8【题型10向量共线定理的应用】例1．在△ABC中，D是BC的中点，AE→=12AD→．若A．−12 B．−14 C．例2．在△ABC中，设AB→=a→，AC→=b→，若点A．13a→−16b→ 变式1．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，P是AM上一点，且BP→=2A．13 B．16 C．12变式2．如图，在△ABC中，已知BD→=12DC→，AE→=2EC→，P是线段A．37 B．67 C．1 1.1基础概念体系（区分关键：方向+大小）概念类别核心特征（必记）易错区分点向量有大小（模）、有方向；表示：、不可比较大小，仅模可比较特殊向量（零/单位）零向量：，方向任意；单位向量：，同向单位向量零向量≠数字0；单位向量不唯一（多方向）向量关系（平行/相等/相反）平行（共线）：方向相同/相反；相等：大小相等+方向相同；相反：大小相等+方向相反向量共线≠直线共线；相等需“双向满足”1.2线性运算核心法则（运算本质：等效替换）加法：①三角形法则（首尾相接，起点→终点：）；②平行四边形法则（共起点，对角线为和）；运算律：交换律、结合律减法：逆运算（）；法则：共起点，减向量终点→被减向量终点（）；核心不等关系：数乘：是向量；性质：，方向由符号决定（同向，反向）；运算律：结合律、两个分配律1.3核心定理与必记结论（应用核心）共线向量定理：与共线，存在唯一，使；关键：必须注明高频结论（速记）：①三点共线：共线且；②重心性质：，；③向量化简：，共线向量1.4核心解题方法（题型突破工具）1.向量化简：凑角法（平移向量，凑首尾相接/共起点）2.共线问题：定理法（紧扣，找唯一）3.模长范围：不等式法（直接用）4.系数求解：待定系数法（结合三点共线简化）2.2题型突破技巧（速记）看到“三点共线”：立刻想到且，设系数列方程看到“模长范围”：直接写出模的不等关系，判断向量方向（同向/反向）确定等号是否成立看到“向量化简”：优先平移向量凑“首尾相接”，无法凑则用“共起点减法”转化看到“参数求解”：用待定系数法设未知系数，结合共线定理或结论列等式求解一、单选题1．（24-25高三下·上海·月考）若向量a与b方向相反，则下列等式中必定成立的是（

）A．|a|+|b|=|a−b| 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若OA=a，OB=b，则∠AOB平分线上的向量A．a|a|+b|b| 3．（24-25高一·上海·随堂练习）已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC=a，CA=b，AB=c，则①AD=−A．1 B．2 C．3 D．04．（24-25高一下·上海长宁·月考）下列有关向量的说法正确的是（

）A．向量又称有向线段B．平行向量一定相等C．平行向量一定共线D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量二、填空题5．（24-25高一上·上海·课后作业）化简：（1）OB−OA（2）BC−BD（3）AB−AC（4）OA−OD（5）AB−AD（6）NO+OP6．（2025高三·上海·专题练习）与向量a→同方向的单位向量a7．（24-25高二·上海·课堂例题）设e1、e2是平面内不共线的向量，已知AB=2e1+ke2，CB=e1+38．（24-25高一下·上海·期中）已知向量a与b不平行，ka−b与a+29．（23-24高一下·上海奉贤·期中）四边形ABCD为菱形，其中∠ABC=120°，AB=1，则BC−10．（25-26高一上·上海黄浦·月考）在菱形ABCD中，若∠DAB=60°，则AB−AD11．（24-25高一下·上海浦东新·月考）化简AE+EB12．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简