2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第8章 平面向量（单元测评卷）（解析版）

第8章平面向量单元测评卷建议用时：120分钟，满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．化简：OP−OA【答案】AC【分析】根据向量的线性运算求得正确答案.【详解】OP−故答案为：AC2．已知平面向量a=x,1,b=1−x,2x，若a∥【答案】2或5【分析】根据平面向量的坐标运算可得a+【详解】由题意知，a+又a⃗//a→+解得x=12或−1，所以a=(所以a=(1故答案为：2或523．已知e是单位向量，在四边形ABCD中，AB=2e，CD=−2e，|AD【答案】菱形；【分析】利用向量得到四边形对边和邻边的位置关系，判断四边形的形状.【详解】e是单位向量，在四边形ABCD中，AB=2e，则AB=−CD，在四边形ABCD中，AB//CD，又AB=CD=2，故答案为：菱形.4．向量a=1,3在b=【答案】2,1【分析】根据投影向量的求法求得正确答案.【详解】所求投影向量为a⃗故答案为：2,15．已知向量a，b满足a=3，b=5，且a，b的夹角为60°，则2【答案】31【分析】根据向量模的公式直接求解即可.【详解】因为a=3，b=5，且a，所以a所以2a故答案为：316．已知两个非零向量a，b不共线，若OA=2a+b，OB=a+tb，OC=−a【答案】5【分析】根据向量的减法运算可得AB=−a+t−1b，AC【详解】由已知可得AB=AC=因为A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使AB=λ则−a+(t−1)b=λ(−3a+2b故答案为：57．在△ABC中，AE=3EC，若BE=xAB+【答案】−1【分析】根据向量的线性运算化简即可得解.【详解】由已知AE=3EC，则即BE=又BE=x则x=−1，故答案为：−1.8．设O是△ABC内部一点，且OA+OC=−2OB【答案】1:1:2【分析】先作出草图，然后分析出O的位置，先考虑长度的比值，最后即可得到面积的比值.【详解】设D为AC的中点，如图所示，连接OD，则OA+又OA+OC=−2OB，所以OD=−则S△AOC=2S即S△AOB故答案为：1:1:2.9．在边长为6的等边三角形ABC中，BC=3BD，则AD【答案】24【分析】先将AD用AB与AC表示出来，再根据向量数量积的运算律计算AD⋅【详解】已知BC=3BD，因此又因为在三角形ABC中，BC=AD=等边三角形ABC的边长为6，因此|AB|=|AC|=6，且AB与则AB⋅AC⋅所以AD⋅因此，AD⋅故答案为：24.10．在△ABC中，∠BAC为锐角，AC=2AB，且对于t∈R，AB−tAC的最小值为【答案】−【分析】在三角形中过B作BD⊥AC于D，求出sin∠BAC，再利用余弦定理解出BC【详解】如图，过B作BD⊥AC于D，∵AB−tAC∴BD=4又∵∠BAC为锐角，∴cos∵AC=2AB则BC∴BC=655，故答案为：−6511．在△ABC中，过重心G的直线交边AB于点P，交边AC于点Q，设△APQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，且AP=λAB,【答案】[【分析】利用三角形面积公式求得面积比与参数λ,μ之间的等量关系，结合向量共线定理的推论，找到λ,μ之间的关系，构造函数，即可求得取值范围.【详解】根据题意，连接AG，作图如下：S1在三角形ABC中，因为G为其重心，故可得AG结合已知条件可得：AG=因为P,G,Q三点共线，故可得13λ+1由题设可知μ∈(0,1]，又μ=λ3λ−1∈(故S1S2=λμ=λ23λ−1则S1S2=19t+当t=1时，S1S2=49，当t=1故S1故答案为：[4【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量共线定理及其推论，处理问题的关键是正确应用定理以及推论，同时要注意参数范围的求解以及对勾函数单调性的应用，属综合中档题.12．已知正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则PM⋅PN的取值范围是【答案】8,12【分析】连接PO，根据向量的线性运算（或极化恒等式）可得PM⋅PN=|【详解】方法一：正六边形ABCDEF的内切圆半径为r=OAsin60°=4×3PM因为r≤PO≤R，即23≤PO方法二：连接PO，则由极化恒等式知PM⋅又易知23≤PO≤4，所以故PM⋅PN的取值范围是故答案为：8,二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）.13．已知a、b均为非零向量，有下列三个命题：①若m为任意实数，则a=b是②已知a、b为两个不平行向量，则λa+μb③“a//b”是“其中命题正确的个数（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据题意，由共线向量与相等向量的定义，结合充分性以及必要性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于①，若a=b，则ma=mb即m=0或a=b，故必要性不满足，即a=对于②，若a、b为两个不平行向量，则由λa+μb若λ=μ=0，则λa所以λa+μb对于③，若a//b，则a,若aa=bb可得所以“a//b”是“故选：B14．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λAB|AB|+ACA．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】根据AB|AB|+AC|AC|是以【详解】∵OP−令AB|则AM是以A为始点，向量AB|AB|即AM→在∠BAC∵AP=λAM故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选：B15．如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量OP=a=xe1+ye2，则把有序数对x,y叫做向量①a⋅b②a=③a⊥b④a+b与a的夹角为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据向量在坐标系xOy中的坐标定义，建立向量与坐标的一一对应关系，利用向量的数量积定义，向量的模，向量的垂直判断，向量的夹角计算公式逐一判断即得.【详解】依题意，|e1|=|e2|=1，对于①，因a⋅对于②，|a对于③，由①已得a⋅b=0对于④，因a+则|a且(a则cos〈因0≤〈a+b,a〉≤π综上可得，有②，③，④共3个结论正确.故选：C.16．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则以下命题正确的个数是（

）①AH与CF能构成一组基底；②OA+③AD在AB向量上的投影向量为2④若P在线段BC（包括端点）上，且AP=xAB+yAHA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】可根据图形得出∠BAF=90°，建立平面直角坐标系，然后求出图形上各点的坐标，判断AH与CF是否共线；可求出向量OA,OB,OC的坐标，根据坐标即可判断②；根据投影向量的计算公式即可判断③；根据点P在线段【详解】连接AF，因为∠AOB=45°，所以∠OAB=180所以∠OAF=180所以∠BAF=67.5以AB所在直线为x轴，AF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.所以A0,0H−所以AH=−2即AH与CF共线，故①错误；因为OA=所以OA+因为AD=AD在AB向量上的投影向量为AD⋅若点P在线段BC上，设BP=λ所以AP=AB+由AP=xAB+y所以x+y∈1,2+故选：C.三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）.17．（14分）如图，在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，AB//CD，记AC，BD相交于点M．(1)试用MA、MB表示ME；(2)证明：E，M，F三点共线．【答案】(1)ME(2)证明见解析【分析】（1）根据向量的加减法证明即可；（2）根据向量平行得出AM=k【详解】（1）因为E为AB的中点，所以AE=则ME=MA+（2）设AB=kCDk≠0，又因为AB//CD，所以AM=kMC由（1）知ME=12其中12MA→ME//MF,ME,MF有公共点，故E，M，18．（14分）已知向量a，b满足a=3，b=1，设a与b(1)当θ=π6时，求a与(2)若对任意实数x，不等式a+xb≥【答案】(1)arccos(2)cos【分析】（1）分别求出a⋅（2）把不等式两边平方，将问题转化为一元二次不等式恒成立问题，即可得解.【详解】（1）向量a，b满足a=3，b=1，设a与b所以a⋅a+2|a+2b|2则cos〈a,故a与a+2b夹角为arccos（2）将不等式a+x得a2即x因为a=3,b=1，a则x2所以Δ=化简得cosθ+33219．（14分）已知向量a=cosx,(1)若3a−b与b共线，x∈π2(2)设函数fx=a⋅b【答案】(1)tan(2)0,【分析】（1）根据向量的共线得到tanx（2）根据向量数量积坐标公式以及辅助角公式化简fx【详解】（1）由题，可得3a−b=3∴3∵x∈π2,π，∴sin∴cos2x=（2）f=2=3∵x∈0,所以sin2x−π4所以函数fx的值域为0,620．（18分）如图所示：点O是△ABC所在平面上一点，并且满足AO=mAB+n(1)若实数m=n=13，求证：O是(2)若O是△ABC的外心，求m、n的值；(3)如果O是∠BAC的平分线上某点，则当m+3n达到最小值时，求【答案】(1)证明过程见解析；(2)n=−1(3)63【分析】（1）运用平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质和三角形重心的性质进行证明即可；（2）根据三角形外心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可；（3）根据三角形内心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】（1）当实数m=n=13时，设BC的中点为由AO=即AOOD=2，所以O是△ABC（2）设BA的中点为E，显然BA⊥OE，AO⋅由AO=m设AC的中点为F，显然CA⊥OF，AO⋅由AO=m即6m+n=33m+2n=1⇒n=−（3）因为O是∠BAC的平分线上某点，所以AO=λ(所以由AO=m由m+3n=16所以AO=⇒AO=21．（18分）定义非零向量OM=a,b的“相伴函数”为fx=asinx+bcos(1)设hx=2sinx−π(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量ON=32,−12的相伴函数为fx(3)已知D−2,3，E2,6，fx为（2）中的函数，φx=2fx2+2【答案】(1)OM=(2)3(3)存在点P【分析】（1）先把函数h(x)展开化简成3sinx−cos（2）先化简f(x)，由f(2B)=1求出B的值.再用正弦定理得到a、c关于角的表达式，进而得出a+c关于角A的式子，化简为23cos(A−π3).根据A的范围确定A−π（3）本题先根据已知函数f(x)求出φ(x)，进而得到点P坐标，再根据D、E坐标得出向量DP与EP.因为DP⊥EP，利用向量垂直性质得到等式DP⋅EP=0，展开后变形得到(2cosx2−92【