2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第09讲 平面向量的数量积 （解析版）

第09讲平面向量的数量积内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：核心概念1.向量夹角：非零向量，，作，，则为与的夹角，范围；当时，称与垂直，记作.2.数量积定义：若非零向量，的夹角为，则与的数量积（也叫内积）定义为；特别地，零向量与任一向量的数量积为.3.投影：非零向量在方向上的投影为；同理，在方向上的投影为（投影为实数，可正、可负、可零）.4.投影向量：非零向量在方向上的投影向量为（投影向量是与共线的向量）.知识点2：核心性质（非零向量，，夹角为，为单位向量）性质公式说明单位向量关联性质建立数量积与投影的直接关联，是投影的代数表达形式垂直的充要条件判断两向量垂直的核心依据，需注意前提是两向量均为非零向量（零向量与任一向量垂直为定义）共线时的数量积同向（）：；反向（）：共线向量数量积的特殊情况，是判断向量同向/反向的辅助工具自身数量积与模的关系（可记作）求向量模的核心公式，将向量模的计算转化为数量积运算数量积模不等式等号成立的充要条件是与共线（同向或反向）知识点3：运算律（为实数，，，为向量）1.交换律：（由定义可证，因与向量顺序无关）.2.数乘结合律：（需注意的符号会影响向量方向，进而影响数量积符号）.3.分配律：（可借助几何意义或代数推导证明，是展开多项式型向量运算的关键）.4.常用展开式：；（由分配律推导得出，适用于向量模的关系推导）.易错辨析易错点错误表现正确结论规避策略数量积结果属性混淆认为是向量，或误将数量积与向量线性运算结果属性等同的结果是实数（可正、可负、可零），而向量线性运算（加、减、数乘）结果仍为向量牢记核心口诀：“向量乘向量得数量，向量加减/数乘得向量”，从结果类型上快速区分向量夹角范围错记将夹角范围误记为，或用锐角、钝角替代完整范围，忽略（同向）、（反向）的情况两向量夹角的标准范围是，其中和属于共线情况，非锐角或钝角判断两向量夹角类型时，先明确“共线≠锐角/钝角”，先排除共线情况，再判断锐角（且不与同向）、钝角（且不与反向）结合律与消去律误用错误套用实数运算律，认为（结合律），或由推出（消去律）数量积不满足结合律（与共线，与共线，与不共线时显然不相等）；无消去律（可推出，即，而非）类比实数运算时，明确向量运算的特殊性，可通过举反例验证：如设，，，计算与，直观感受不相等投影正负性忽略认为投影一定是非负数，误将投影与“长度”等同投影是实数，其符号由夹角决定：为锐角时投影为正，为钝角时投影为负，为直角时投影为零紧扣投影定义式“”，结合余弦函数在上的符号变化规律（在正、零、负）记忆投影符号零向量相关性质混淆忽略零向量与任一向量垂直的定义，或在使用垂直充要条件时未考虑零向量情况零向量与任一向量的数量积为，故零向量与任一向量垂直（定义）；非零向量垂直的充要条件才是遇到向量垂直问题时，先明确向量是否为零向量，分类讨论，避免因忽略零向量导致结论片面概念比较概念组概念1概念2核心区别联系数量积vs向量线性运算（加、减、数乘）数量积（）向量线性运算（，，）结果为实数；结果为向量；运算符号不同（数量积用“”，线性运算用“+”“-”“”）均属于向量运算，数量积可借助线性运算的分配律展开，如投影vs投影向量投影（）投影向量（）结果为实数，无方向；结果为向量，有方向（与共线）；二者类型不同投影是投影向量的模长（考虑符号时，投影的绝对值是投影向量的模）；投影向量是投影与方向单位向量的乘积向量垂直vs向量共线垂直（）共线（）夹角，数量积；夹角或，数量积；二者是向量位置关系的不同特殊情况均为两向量位置关系的特殊情形，除零向量外，垂直与共线无包含关系（零向量既与任一向量垂直，也与任一向量共线）数量积“”vs数乘“”数量积“”：两向量间的运算数乘“”：实数与向量间的运算运算对象不同（两向量vs实数+向量）；结果类型不同（实数vs向量）；运算符号不同（“”不可省略，数乘符号可省略）二者均满足数乘结合律，即，建立了数乘与数量积的关联四、重点记忆内容+常考结论1.重点记忆清单（核心必背）数量积定义式：（所有性质、运算的本源，必须熟练掌握）.垂直充要条件：（高频考点，注意零向量的特殊情况）.模与自身数量积的关系：（求向量模的唯一核心公式，将模转化为数量积计算）.夹角公式：（注意，由的符号确定夹角类型）.核心运算律：分配律及常用展开式（向量多项式运算的基础）.2.常考结论（速记速用）1.单位向量数量积：若，均为单位向量，则，且（常用于单位向量夹角、模的相关计算）.2.三角形中的数量积：在中，（为的内角）；若，则为直角三角形（）.3.向量模的最值结论：若（定值），（定值），则的最大值为（当与同向时），最小值为（当与反向时）（由推导，取时达最值）.4.数量积的最值结论：，最大值为（与同向，），最小值为（与反向，）.5.平行四边形法则的代数表达：（可快速推导两向量模的平方和关系，无需单独计算数量积）.6.共线向量数量积推论：若，则；反之，若，则（共线与数量积绝对值的双向等价关系）.【题型1用定义求平面向量的数量积】例1．（25-26高三上·上海松江·期中）在等边△ABC中，D是边BC上的点.若AB=4,BD=1，则AB⋅AD【答案】14【分析】应用平面向量数量积定义及数量积运算律计算求解.【详解】在等边△ABC中，AB=4,BD=1，则AB⃗故答案为：14.例2．（25-26高三上·上海·期中）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形ABCDEFGH，如图所示，若AB=2，则AC⋅AE【答案】8+4【分析】连接CE，由正八边形的性质与余弦定理求出AC，再由对称性得到AC与AE的关系，从而根据向量的数量积的运算公式求得结果.【详解】连接CE，因为正八边形ABCDEFGH的每一个内角都是135∘，且AB=BC=2所以AC由正八边形的对称性知AC⊥CE，且∠CAE=45°，所以AE=2则AC⋅故答案为：8+4变式1．（24-25高一下·上海·期末）已知a=1，b=4，且a与b的夹角为3π4【答案】−2【分析】由向量数量积定义计算即可求解.【详解】因为a=1，b=4，a与b的夹角为所以a⋅故答案为：−2变式2．（24-25高一下·上海闵行·期末）如图，在△ABC中，D,E是BC上的两个三等分点，AB=12,AC=9,∠BAC=60∘，则AD⋅【答案】80【分析】根据三点共线的性质可得，结合向量的数量积运算即可求解.【详解】因为B,D,C三点共线，且D是BC上的三等分点，由三点共线的性质可得AD=同理因为B,E,C三点共线，且E是BC上的三等分点，可得AE=所以AD==2故答案为：80.【题型2平面向量数量积求模长】例1．（23-24高一下·上海·期中）已知a=6,b=8,a【答案】10【分析】利用平面向量的数量积运算求解.【详解】因为a=6,b=8,所以a2−2a∴a故答案为：10.例2．（24-25高一下·上海·期中）已知a=1，b=2，a⋅b【答案】7【分析】利用a+【详解】因为a=1，b=2，所以a=1故答案为：7变式1．（24-25高一下·上海·月考）已知a=1，b=3，a,【答案】1【分析】将2a【详解】根据题意，2=4×故答案为：1.变式2．（24-25高二下·上海·期末）已知向量a，b的夹角为5π6，a=1，b=【答案】1【分析】根据平面向量数量积的定义先求出a·b的值，将a·b，a，【详解】因为向量a，b的夹角为5π6，a=1所以a·所以2=4×1+4×故答案为：1【题型3平面向量数量积求夹角】例1．（25-26高二上·上海·月考）已知平面向量a,b,c满足a+b【答案】2【分析】结合题意与平面向量数量积的定义得到cos<a,【详解】因为a+b+可得(a+c得到9+2×3×8×cos解得cos<a,c>=−故答案为：2例2．（25-26高二上·上海·开学考试）已知平面向量a=2,(1)a⋅(2)向量a与a−2【答案】(1)−2(2)3【分析】（1）利用向量数量积的运算律化简条件等式计算即得；（2）利用两向量的夹角公式计算即得.【详解】（1）因a=则(2a可得a⋅（2）因|aa⋅(设向量a与a−2b的夹角为则cosθ=变式1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）设向量a、b满足a=1，b=2，且【答案】π【分析】由a−b⊥【详解】由a−b⊥a，可得a−所以cosa,b∴a故答案为：π4变式2．（24-25高一下·上海·期末）已知两个向量e1⃗、e2⃗满足e1→=2，e2→=1，【答案】−20,−2【分析】根据条件转化为数量积小于0，以及两向量不平行，列式求解.【详解】若λe1+5e2和4所以λe1+5解得：−20<λ<−1，若向量λe1+5e2和4综上可知，λ取值范围为−20,−25故答案为：−20,−2【题型4平面向量表示垂直关系】例1．（25-26高三上·上海松江·期中）已知a=4，b=8，(1)求2a(2)求k为何值时，a+2【答案】(1)8；(2)k=−7.【分析】（1）应用向量数量积的运算律求2a（2）由向量的垂直表示及数量积的运算律列方程求参数值.【详解】（1）由2a+b（2）由题设a+2所以−16k=112，可得k=−7.例2．（2025·上海·三模）若向量a，b满足a=2，b=1，且b⊥a−b【答案】π【分析】根据数量积的运算律可得a⋅【详解】因为b⊥a−b，所以cosa由于a,b∈故答案为：π变式1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知两个单位向量e1→,e2A．e1→在e2→上的投影向量为C．e1→=【答案】D【分析】由投影向量定义计算即可判断A；由数量积定义和相等向量定义即可依次判断BC；由数量积运算律计算即可判断D.【详解】对于A，由题e1→在e2对于B，由题e1对于C，两单位向量的方向不知，当两向量方向不同时不相等，故C错误；对于D，e1→+故选：D变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知a=3，b=4，且a+kb⊥【答案】±【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得|a【详解】由题设a+kb⋅故答案为：±【题型5已知模长或夹角求参数】例1．（23-24高一下·上海·月考）已知平面向量a，b的夹角为π3，且a=1，b=2，c(1)若a⊥c，求(2)当λ=2，求c．【答案】(1)λ=1(2)c【分析】（1）由a⊥c可得（2）借助模长与数量积的关系计算即可得.【详解】（1）若a⊥c，则有即a⋅即λ−2×12=0（2）当λ=2时，c=2则c=例2．（24-25高二上·上海金山·期中）已知向量a和b的夹角为60∘，且a=3，(1)求a+(2)若ka−b【答案】(1)37(2)−∞,【分析】（1）利用平面向量数量积的运算可求得a+（2）利用平面向量的数量积可得出关于实数k的二次不等式，解之即可.【详解】（1）解：a+（2）解：∵ka−b≥整理可得3k2−4k+1≥0，解得k≤因此，实数k的取值范围是−∞,1变式1．（25-26高三上·上海松江·期末）已知平面内两个非零向量a、b相互垂直，|a|=2|b|，若cos〈【答案】−2【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律及夹角公式列式求解.【详解】由两个非零向量a、b相互垂直，得a⋅b=0则|a→−k因此cos〈解得k=−2，经验证符合题意，所以实数k的值为−2.故答案为：−2变式2．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知a=2，b=3，a,b=π3.若对任意的实数λ【答案】3【分析】问题化为m≤a【详解】对任意的实数λ，不等式a−λb≥m由m2对称轴λ=13，所以m2故答案为：3【题型6平面向量的投影向量】例1．（24-25高一下·上海·期末）设e为单位向量.若向量a满足：a=2，则a在e方向上的投影为【答案】−1【分析】由投影公式，代入已知条件即可求解【详解】向量a在e方向上的投影为：a故答案为：-1例2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知a=6，e为单位向量，它们的夹角为2π3，则a在e【答案】−3【分析】由题意可得a在e上的数量投影为，计算即可.【详解】因为a在e上的数量投影为，且a→所以，故答案为：−3变式1．（24-25高一下·上海·期中）已知向量a在向量b方向上的投影向量为−2b，且b=2，则a⋅【答案】−8【分析】根据投影向量的概念结合已知条件，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，向量a在向量b方向上的投影向量为a⋅所以有a⋅故答案为：−8.变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知a=6,b=5，若a⋅b=−24，则【答案】−4【分析】由数量投影定义计算即可.【详解】已知a=6,b=5则，则b→在a故答案为：−4.【题型7平面向量数量积的几何意义】例1．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知△ABC中，AB=4，AC=22，A=3π4，则AC在AB【答案】−2【分析】借助向量投影定义与数量积公式计算即可得．【详解】AC⃗在AB⃗故答案为：−2．例2．（24-25高一上·上海·课后作业）如图所示，|OB|=2，|OC|=4，写出向量OB、【答案】1，−2【分析】根据向量OB、OC在OA方向上的数量投影公式直接计算即可．【详解】解：OB在OA方向上的数量投影为：OBcosOC在OA方向上的数量投影为：OCcos变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知圆O中，弦AB的长为3，圆上的点C满足OA+OB+OC=

【答案】−3【分析】连接BC，求出AC、AC与OA的夹角可得答案.【详解】连接BC，由OA+OB+OC=A、B、C三点均匀分布在圆周上，△ABC为正三角形，所以∠OAC=30∘，所以AC在OA方向上的数量投影为ACcos

变式2．（24-25高一下·上海闵行·期末）如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B是原来小正方形的其中两个顶点边，Pii=1,2,⋯,7是小正方形的其余顶点，在所有AB⋅A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】D【分析】根据数量积的几何意义，即可判断结果【详解】根据向量数量积的几何意义可知，AB⋅AP2=AB⋅故选：D一、核心知识脉络梳理根节点：数量积的本质核心定位：向量的“乘法”运算，结果为实数（区别于线性运算的向量结果），兼具几何意义（投影乘积）与代数意义（可运算性），是连接向量与实数的桥梁.一级分支1：基础核心概念（必背）向量夹角：定义（，时）+范围（）+特殊角（同向、反向、垂直）数量积定义：（非零向量）；零向量与任一向量数量积为0投影相关：投影（，实数）、投影向量（与被投影方向共线的向量）一级分支2：核心性质（解题关键工具）关联性质：与单位向量的数量积（，连接数量积与投影）位置关系判定：垂直（）、共线（）模的计算：（核心公式，将模转化为数量积）不等关系：（等号成立条件：共线）一级分支3：运算律（代数运算基础）三大核心律：交换律（）、数乘结合律（）、分配律（）常用展开式：、、一级分支4：应用（考点落脚点）求夹角：（注意范围与符号匹配）求模长：直接用，间接用展开式求判定位置关系：垂直、共线的数量积判定最值问题：模的最值、数量积的最值（利用共线时取极值）.一、单选题1．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，若AB⋅BC=−AB2A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】利用平面向量的数量积运算律计算即可.【详解】因为AB⋅BC=−则AB⋅故AB⋅∴AB所以△ABC是直角三角形故选：A.2．（24-25高一下·上海杨浦·月考）小张同学在学习了向量的数量积后，想出一道题考考同学们，题目和他给出的答案如下：题目：a=2,b=3,a+则他的数学老师小朱老师最有可能给出的评价为（

）A．题目正确，答案正确 B．题目错误，答案错误C．题目错误，答案正确 D．题目正确，答案错误【答案】B【分析】根据向量加法的几何意义，有：|a+b【详解】根据向量加法的几何意义，有：|a代入已知条件a=2,b=3但题目中给出的a+因此题目条件自相矛盾，题目错误．若强行按公式计算：a+b2虽然计算过程正确，但由于题目条件本身不成立，此结果无实际意义，答案错误．综上，题目条件矛盾且答案无意义．故选：B．二、填空题3．（24-25高二上·上海·月考）单位向量a,b满足a+b【答案】9【分析】利用向量模的平方运算即可求数量积.【详解】由a+故答案为：94．（23-24高三上·上海杨浦·月考）已知平面向量a，b满足a→=3,b→=4且向量a，b的夹角为π3，【答案】8【分析】利用数量积来计算投影数量即可.【详解】因为a→=3,b→=4且向量所以2a则2a+b在a故答案为：8.5．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知|a|=1，|b|=3，|a−b【答案】arccos【分析】由已知等式两边平方可求得a⋅【详解】由|a−b|=23，可得a所以1−2a⋅b所以cosa,b故答案为：arccos−6．（24-25高一下·上海金山·期末）已知向量a、b满足|a|=|b|=2，且a+b【答案】2π3【分析】根据数量投影的计算公式得到a⋅b=−2【详解】a+b在则|a+b故a⋅b=−2所以cos〈又〈a,b故答案为：27．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知a=4，b=9，sin〈a,b〉=0.6【答案】±7.2【分析】根据给定条件，利用向量投影的定义求解.【详解】依题意，由sin〈a所以b在a方向上的投影为|b故答案为：±7.28．（25-26高三上·上海·开学考试）若单位向量a,b满足a+b=2a【答案】1【分析】对已知等式进行平方，结合平面向量的数量积运算公式、数量投影定义进行求解即可.【详解】∵|∴a则a在b方向上的数量投影为acos故答案为：19．（25-26高三上·上海松江·期中）已知平面向量a，b，b=2，向量a在向量b上的投影向量为−14b【答案】−1【分析】根据投影向量的公式求出结果即可.【详解】因为向量a→在向量b→上的投影向量为所以a→所以a→故答案为：−1.10．（2025·上海黄浦·三模）已知非零向量a在向量b上的投影向量为12b，b=【答案】−1【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的运算性质可求出a⋅b的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求出【详解】因为非零向量a在向量b上的投影向量为，所以a⋅bb所以a−故答案为：−1.11．（24-25高一下·上海·月考）在边长为1的等边△ABC中，O为边AC的中点，BG=2GO，设CD//AG.若AD=【答案】7【分析】利用图形中向量的加减运算和共线运算可求出λ=2，再由向量的平方等于模的平方，可利用数量积求模长.【详解】由题意：AB=AC=1由BG=2GO，可得又因为O为边AC的中点，所以AG=而CD=因为CD//AG，所以即13故AD=故答案为：712．（24-25高一下·上海闵行·期末）已知a=3，b=4，且b在a上的数量投影为−2，则a【答案】13【分析】根据平面向量数量投影的概念可得a⋅b的值，再根据数量积与模长的关系求解【详解】因为a=3，b又b在a上的数量投影为a⋅ba所以a+故答案为：13.13．（24-25高一下·上海·月考）已知单位向量a,b的夹角为π3,O为原点，OA=2【答案】5【分析】根据向量的运算可得OA⋅OB，代入平面向量夹角公式计算cosOA⃗,【详解】因为|OA所以|OA|OB所以|OBOA⋅所以cosOA⃗,所以sin∠AOB=所以ΔOAB的面积为1故答案为：5314．（24-25高二下·上海浦东新·期末）在△ABC中，A=120°,AB=3,AC=6,，D在线段AC上（包括端点），则DA⋅DB的取值范围是【答案】0,45【分析】根据平面向量数量积运算律结合模长化简，结合二次函数值域计算求解.【详解】设AD=λAC，其中因为A=120°,AB=3,AC=6，所以AC→则DA=故答案为：0,45.15．（2025·上海·一模）在△ABC中，D是BC边的中点.若AB=2，BC=4，AC=3，则AB⋅AD【答案】54/【分析】利用余弦定理计算cos∠A，再利用AB【详解】如图所