2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第11讲 平面向量的应用 （解析版）

第11讲平面向量的应用内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：线段的定比分点1.定比的定义若点在线段所在直线上，且，则称为点分所成的比：内分点：在线段内时，；外分点：在线段延长线上时，且.2.定比分点坐标公式设，，点分的比为，则：知识点2：三角形“四心”的向量表示设的顶点对应向量为、、，记，，，内角为，为零向量.1.重心（，三条中线的交点）基本形式：零向量性质：坐标形式：若、、，则2.垂心（，三条高线的交点）垂直性质：，，向量等式：（为原点时）与外心的关系：3.外心（，三边垂直平分线的交点）模长性质：（为外接圆半径）垂直平分线：若是中点，则4.内心（，三条角平分线的交点）基本形式：零向量性质：知识点3：平面几何中的向量方法1.证明线段垂直核心原理：步骤：设线段对应向量→计算点积→点积为0则垂直.2.解决夹角问题夹角公式：3.解决线段长度问题长度公式：4.几何最值与其他应用最值思路：转化为向量模长的最值；证明平行：；三点共线：共线.知识点4：向量在物理中的应用1.力的合成合力大小：若力、夹角为，则2.速度、位移的合成实际速度/位移=分速度/分位移的向量和（平行四边形法则）.3.功、动量的计算功：（为与的夹角）；动量：，动量变化量.五、易错辨析1.定比的符号：外分点时（非正数）；2.垂直与共线条件：对应垂直，对应共线；3.功的正负：由决定（时功为负）.六、重点记忆结论1.重心公式：；2.垂直条件：；3.夹角公式：；4.功的公式：.【题型1线段的定比分点】例1．（24-25高二下·上海嘉定·开学考试）已知A1,1，B4,0，点P在线段AB延长线上，且AP⃗【答案】7,−1【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解.【详解】因为点P在线段AB的延长线上，且AP=2PB，所以点B为设点Px,y，则x+12=4y+12=0，解得故答案为：7,−1.例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B两点的坐标分别是2,5、3,0，P是直线AB上的一点，且AP=−23【答案】0,15【分析】设Px,y【详解】设Px,y，由题意AP所以x−2=2x3−2y−5=2y3，解得变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）已知P13,2，P2−8,3，若点P12,y分P1P【答案】4922【分析】依题意可得P1P=λPP【详解】解：因为点P分P1P2所成的比为λ，所以P1P=λPP2，因为P1所以−172故答案为：4922；变式2．（23-24高一下·上海黄浦·期末）（1）已知P是直线P1P2上一点，P1P=λPP2（λ为实数，且λ≠−1（2）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是(0,1)、(−3,4)、(2,7)，小明在点B处休憩，有只机器狗沿着AC所在直线来回跑动．当机器狗在什么位置时，离小明最近？【答案】（1）x1+λx【分析】（1）利用向量的坐标表示得到方程组，求出点P的坐标；（2）当机器狗运动到点D，BD⊥AC时，离小明最近，由平面向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】（1）由题意得x−x故x−x1=λ故点P的坐标为x1（2）当机器狗运动到点D，BD⊥AC时，离小明最近，设AD=λAC所以BD=2λ+3,6λ−3则BD⋅AC=故当机器狗在35【题型2三角形的“四心”向量表示】例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知△ABC，若点P满足AP=λAB|AB|+AC|ACA．外心 B．内心 C．垂心 D．重心【答案】B【分析】先根据单位向量的加法得出点在角平分线上进而得出轨迹过内心即可.【详解】AB|AB|而λAB|AB|+所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上，所以点P的轨迹会经过内心.故选：B.例2．（2023·上海普陀·模拟预测）已知点O为△ABC的外心，且AO⋅AB+BO⋅A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】C【分析】取AB的中点N，BC的中点M，AC的中点E，可得ON⊥AB，OM⊥BC，OE⊥AC，分别利用AO⋅AB=12【详解】△ABC三个角所对的三边分别为a,b,c，取AB的中点N，BC的中点M，AC的中点E，连接ON，OM，OE，则ON⊥AB，OM⊥BC，OE⊥AC，所以AO⋅BO⋅CO⋅因为AO⋅所以12c2由余弦定理得cosB=c2+a即△ABC为钝角三角形.故选：C.

变式1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有．①若OA+OB+OC=②若OA⋅(AC|AC|③若(OA+OB)⋅AB【答案】①③【分析】根据向量的线性关系及数量积，结合对应的几何意义判断点线的位置关系，进而确定△ABC的心.【详解】①若OA+OB=−OC，即AB的中点与O,C三点共线，故O在AB中线上，同理O在BC,AC的中线上，故②由AC|AC|−AB|AB|、BC|BC|③由OA+OB、OB+OC表示O与AB、BC中点的连线，且分别与AB、BC垂直，即为AB、BC的垂直平分线交点为O，故故答案为：①③变式2．（24-25高一下·上海金山·月考）如图所示，点O是△ABC所在平面上一点，并且满足AO=mAB+n(1)若实数m=13,n=(2)若O是△ABC的外心，求m､(3)如果O是∠BAC的平分线上某点，则当m+3n达到最小值时，求【答案】(1)证明见解析(2)n=−(3)6【分析】（1）运用平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质进行证明即可；（2）根据三角形外心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可；（3）根据三角形内心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】（1）m=13,n=∴−3OA∴OB（2）设BA的中点为E，显然BA⊥OE，AO⋅由AO=m设AC的中点为F，显然CA⊥OF，AO⋅由AO=m即6m+n=33m+2n=1（3）∵O是∠BAC的平分线上某点，∴AO∴m=λ∴m+3n=λ6所以AO=⇒AO【题型3平面向量在物理中的应用】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，甲、乙分处河的两岸，欲拉船M逆流而上，需在正前方有3000N的力．已知甲所用的力f1的大小为2000N，且与M的前进方向的夹角为π

【答案】f2=100013−63N，【分析】设合力f，则f=f1+f2，得出【详解】根据题意，设合力f，则f=f1则f2所以f=9×10所以f2设<f由f1=所以cosθ=故乙所用的力f2=100013−63N，f例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知两个力（单位：N）f1与f2的夹角为60°，其中f1=2,0，某质点在这两个力的共同作用下，由点A(1)求f2(2)求f1与f【答案】(1)f(2)10【分析】（1）设f2=tcos60°,t（2）由W=f【详解】（1）由f1=2,0，f1与f2的夹角为60°因为质点在这两个力的共同作用下，由点A1,1移动至点B所以f1+f即2+12t=5m所以f2（2）f1与f2的合力对质点所做的功为：变式1．（24-25高一上·上海·课前预习）如图所示，在一个光滑的水平面上，我们拖动一个物体，如果拖力f的方向与物体移动的方向成θ角，而物体在力f的作用下产生的位移为s，那么力f所做的功是．

【答案】|【分析】根据力f所做的功ω=f【详解】根据力f所做的功ω=f故答案为：|变式2．（24-25高一·上海·课堂例题）已知质点O受到三个力OF1、OF2、OF3的作用，若它们的大小分别为OF【答案】合力的大小为103N，与OF【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即得.【详解】如图，以质点O为坐标原点，向量OF3所在的直线为

则OF1=20cos于是合力OF=OF1+OF所以合力的大小为103N，与OF【题型4用平面向量证明线段垂直关系】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：AD⊥BC．【答案】证明见解析【分析】用AC,AB表示出BC，【详解】证明：在等腰三角形ABC中，BC=AC−因为D为底边BC的中点，所以AD=所以AD⋅所以AD⊥BC，即例2．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，PE垂直AB于点E，PF垂直BC于点F．求证：PD⊥EF．

【答案】证明见解析【分析】设AP=λAC，借助正方形的性质与向量的线性运算可得PD=−λ【详解】设AP=λAC，由ABCD为正方形，则有AE=λ则PD=EF=故PD=λ=λ=0+0=0，故PD⊥EF.变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）菱形是四条边都相等的四边形，用向量方法证明菱形的对角线互相垂直．【答案】证明见解析【分析】由题意利用菱形的性质，平面向量的加减法运算及数量积运算证明即可.【详解】证明：如图，

ABCD为菱形，设其对角线AC与BD交于点O，则O为BD的中点，AB=AD，因为AC=AB+所以AC⃗所以AC⊥BD，即即菱形的对角线互相垂直.变式2．已知在△ABC中，点M是BC边上靠近点B的四等分点，点N在AB边上，且AN=NB，设AM与CN相交于点P．记AB=

(1)请用m，n表示向量AM；(2)若n=2m，设m，n的夹角为θ，若cosθ=【答案】(1)AM(2)证明见解析【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得；（2）以m，n为基底表示出CN,AB，结合已知求【详解】（1）BC=AC−所以AM=（2）由题意，CN=∵n=2m，cosθ=∴CN⋅∴CN⊥【题型5用平面向量解决夹角与线段长度问题】例1．（24-25高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，设AB=a，AD=b，已知|a|=5，【答案】13【分析】根据已知条件可得四边形ABCD为矩形，从而可求得答案.【详解】因为在平行四边形ABCD中，AB=a，所以AC=AB+AD=因为a=5，b=12，且所以AB2+B所以四边形ABCD为矩形，所以|AC即|a例2．（24-25高一上·上海·课后作业）一船自A岛出发向正东方向航行3海里到达点B后，又向北偏东30°的方向航行5海里，到达点C.在点C发现在船的北偏西方向上，距C处24海里的D处有一可疑目标，并测得∠ACD=90°，若要从A岛直接派遣一船到D处，试求该船的航行方向及航行距离（角度精确到【答案】该船应向北偏西22°的方向航行，航行距离为25海里.【分析】以B为原点，AB的方向为x轴的正方向，并将x轴正方向绕点B逆时针旋转90°，得y轴正方向，利用坐标运算，根据CD=24和CD⊥AC【详解】以B为原点，AB的方向为x轴的正方向，并将x轴正方向绕点B逆时针旋转90°，得y轴正方向，易知A、B、C的坐标分别为−3,0，0,0，52设点D的坐标为x,y，则AB=3,0，AC=112由已知CD=24，且CD⊥解得x=−∴AD=112∴cos∠BAD=因为∠BAD∈0°,180°，所以∠BAD≈112°即该船应向北偏西22°的方向航行，航行距离为25海里.

变式1．（24-25高一下·上海宝山·期中）如图，在△ABC中，AC=2，AB=4．点D在边BC上，且CD=t(1)t=12，A=2π(2)t=15，AD恰为BC边上的高，求角(3)AD=3，求t的取值范围．【答案】(1)3(2)π(3)1【分析】（1）由题易知AD=12（2）由AD为BC边上的高，则AD⊥BC，即AD⋅BC=0（3）易知AD=tAB+1−tAC，则AD【详解】（1）由题，因为t=12，所以CD=12所以AD=因为A=2π3，AC=2，所以AD=（2）由题，因为t=15，所以因为AD恰为BC边上的高，所以AD⊥因为AD=AC+且AC=2，AB=4，所以AD=4所以cosA=0，则A=（3）由题，CD=t则AD=因为AD=3，且AC=2，AB=4，所以AD2则9=16t所以cosA=因为−1<cosA<1，则因为0<t<1，则16t解得12变式2．如图所示，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=3，点D在线段BC上，且DC=2BD．求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小．【答案】(1)AD=(2)∠DAC=90°【分析】（1）设AB=a，AC=（2）利用向量的夹角运算公式求解即可.【详解】（1）设AB=a，则AD=∴|AD∴AD=3（2）设∠DAC=θ，则向量AD与AC的夹角为θ．∵cos∴θ=90°，即∠DAC=90°．【题型6平面向量与几何的最值】例1．（2025·上海普陀·一模）设P是边长为1的正六边形A1A2A3A4A5【答案】3【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，由PA1⋅PA【详解】以正六边形A1A2A3A4由A1A2=1，得y轴交A1A2由PA1⋅PA2=0，得P因此i=1=2(P则|i=1当且仅当P是圆B1与线段O所以|i=16P故答案为：3例2．（25-26高三上·上海·期中）平面内互不重合的点A1、A2、A3、B1、B2、B3，若A1【答案】2【分析】设O为△A1A2A3的重心，由重心性质化简可得A1Bi【详解】设O为△A1AA1因为A1Bi+A则Bi在以点O为圆心，r以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，则B1当且仅当B1,BB1B当且仅当O在线段B1B2上，且B综上所述，B1B2故答案为：23变式1．（24-25高一下·上海·月考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，AP=λAD+μAB（λ，μ为实数）则

【答案】2−【分析】建立平面直角坐标系后结合向量性质可表示出λ+2μ，再利用三角函数的有界性计算即可得.【详解】以A为原点建立直角坐标系，AB方向为x轴正半轴，AD方向为y轴正半轴，

则A0,0，B4,0，D0,4，则AB设Q4,b（b∈[0,4]），则圆Q方程为x−4设P4+cosθ,b+AP=λ可得μ=1+cosθ4所以λ+2μ=b4+当b=4，sin(θ+φ)=1，λ+2μ取得最大值3+当b=0，sin(θ+φ)=−1，λ+2μ取得最小值2−所以λ+2μ的取值范围为2−5故答案为：2−5变式2．（24-25高一下·上海·期末）如图，点P是以A为圆心，半径为1的圆弧BC（包含B,C两个端点）上的一点，且∠CAB=2π3

(1)若P为圆弧BC的中点，求λ和μ的值；(2)若P在圆弧BC（包含B,C两个端点）上运动，求λ+μ的取值范围.【答案】(1)λ=μ=1(2)1,2【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果；（2）由平面向量的坐标运算表示出λ,μ，然后结合三角函数的值域，即可得到结果.【详解】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

由AB=1可得B1,0又∠CAB=2π3即C−因为P为圆弧BC的中点，所以∠PAB=π3,又则Pcos所以AP=12,3由AP=λAB+μ即λ−μ2=（2）设∠PAB=θ,θ∈0,23π，则由AP=λAB+μ可得λ−μ2=所以λ+μ=3因为θ∈0,23当θ+π6=π2时，即θ=π3时，sin当θ+π6=π6或56π时，即θ=0此时λ+μ的最小值为1，所以λ+μ的取值范围为1,2.【题型7平面向量在几何中的综合应用】例1．（24-25高一下·上海黄浦·期末）在△ABC中，∠BAC=90°，|AB|=1，|AC|=3，若点P满足PA【答案】3【分析】根据题设条件可得P为△ABC的费马点，如图，以BC为边作等边三角形△BCD可证△PAB~△BAD,再过点B作BM⊥AD交AD于M,在△BPM【详解】根据题意，PA,PB,PC方向上的单位向量之和为零向量，结合向量加法几何意义，易知∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,（P为如图，以BC为边作等边三角形△BCD,过点B作BM⊥AD交AD于M,则∠BPC+∠BDC=180°,故B,P,C,故∠PBC=∠PDC，且∠ABC=∠BDC=60°，故∠PBA=∠ADB,故△PAB~△BAD⇒PAPB在△BPM中，∠MPB=60°,PM=12所以tan∠BAP=故答案为：3例2．（24-25高三上·上海·月考）已知在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B=23AB，且对于边AB上任意一点PA．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定【答案】A【分析】取BC的中点D，DC的中点E，连接P0D，AE，根据向量的线性运算计算向量P0B,根据不等关系可得出对于边AB上任意一点P都有|PD|≥P【详解】取BC的中点D，DC的中点E，连接P0D，

则P=P同理PB⋅因为PB⋅PC≥即PD2≥P0D2，所以对于边因此P0又P0B=23AB，D为所以P0BAB即∠BAE=90°，所以∠BAC>90°，即△ABC为钝角三角形.故选：A．变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上不共线的三点Ax1,y1、Bx2【答案】证明见解析【分析】由题得出AB，AC，根据向量夹角公式得出cos<AB,AC>【详解】证明：AB=x2则cos<AB,所以△ABC的面积S=======1变式2．（23-24高一下·上海·月考）如图，点G是△OAB重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．(1)设PG=λPQ，将OG用λ、OP、(2)设OP=xOA，OQ=y(3)在（2）的条件下，记△OAB与△OPQ的面积分别为S、T，求TS【答案】(1)OG(2)是定值，1(3)4【分析】（1）在△OPG中，利用向量的加法法则知OG=OP+PG，再根据（2）根据（1）结合OP=xOA，OQ=yOB 可知OG=1−λ（3）根据三角形的面积公式，TS=xy，由（2）知y=x3x−1，所以xy=x【详解】（1）OG=（2）1x由（1）可知OG=1−λOP+λOQ所以OG=因为点G是△OAB重心，所以OG=而OA，OB不共线，所以1−λx=13所以1x（3）TS由（2）知y=x所以xy=x由点P、Q分别是边OA、OB上的动点，G为重心且P、G、Q三点共线，所以12≤x≤1，12设a=x−13，则TS因为当a∈16,当a=13时，即x=23，y=2a=16时，即x=12，y=1，TS=12，当所以TS的最大值为1所以TS一、核心模块1：线段的定比分点1.定比的定义关系：符号：内分点，外分点且2.坐标公式（考点）二、核心模块2：三角形“四心”的向量表示（高频考点）心的类型核心向量公式/性质重心；垂心；外心；内心；三、核心模块3：平面几何中的向量方法1.三大基础应用（必考点）垂直：夹角：长度：2.拓展应用平行：三点共线：几何最值：转化为向量模长的最值四、核心模块4：向量在物理中的应用物理量向量运算公式力的合成向量和速度/位移向量和实际速度=船速+水速（示例）功向量点积动量数乘+向量差；五、易错点警示1.定比的符号（外分点）；2.垂直（点积为0）与共线（数乘关系）的条件混淆；3.功的正负（由符号决定）一、单选题1．（24-25高一下·上海黄浦·月考）在△ABC中，动点P满足CA2=CB2−2AB⋅A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】A【分析】由CA2=CB2−2AB⋅CP变形得AB⋅(BP+【详解】因为CA2所以2AB所以AB⋅(2设AB的中点为E，则BP+AP=2

所以AB⊥EP，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过故选：A二、填空题2．（24-25高一上·上海·课前预习）△ABC三个顶点的坐标分别为：x1,y1，x2,y【答案】x【分析】略【详解】略3．（24-25高一下·上海松江·期末）已知A、B、C是单位圆上的三个点，若AB=2，则AB⋅【答案】2【分析】由题可知，表示点的坐标，然后将向量坐标化使用辅助角公式计算判断即可.【详解】由题可知：A、B、C是单位圆上的三个点，且AB=2，不妨设所以AB=−1,1,当θ−π4=π2，即θ=故答案为：24．（23-24高三上·上海虹口·期末）设a1，a2，a3，b1，b2，b3是平面上两两不相等的向量，若a1−a2【答案】3【分析】作出图形，根据图形的几何意义求解即可.【详解】由a1−a2=a2−a以A,B,C为终点的向量，且△ABC是边长为2的正三角形，O为正△ABC的中心，

由对任意的i,j∈1,2,3，均有ai−bj∈1,3，得向量△ABC各边中点E,F,G为终点的向量，则b1所以b1故答案为：3【点睛】思路点睛：涉及向量的模探求向量问题，可以借助向量的几何意义，作出符合要求的图形，数形结合求解作答.5．（23-24高一下·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形A1A2A3A4【答案】−50【分析】作出图形，由图可得点P在A3A4上运动，A1A2⋅【详解】分别过A3，A8作A1A2的垂线，垂足为M，N因为点P在正八边形上运动，所以A1P在A1A2则当点P在A3A4上运动，A则当点P在A7A8上运动，A所以A1A故答案为：−506．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E,F分别在直线BC,CD上，BE=aBC，DF=bDC.若a+b=23，【答案】5【分析】将求向量的模的最小值转换为求向量的平方的最小值，进而用a的代数式表示，最后利用配方法求解.【详解】AP2进而化简得AP将BC=得AP2又因为a+b=23，故得AP故当a=−16时，AP2=AP2取最小值故答案为：537．已知点P在△ABC所在的平面内，则下列各结论正确的有．①若P为△ABC的垂心，AB⋅AC②若△ABC为边长为2的正三角形，则PA⋅PB③若△ABC为锐角三角形且外心为P，AP=xAB+yAC④若AP=1ABcosB【答案】①③④【分析】①由AB⋅PC=0得到AP⋅AB=AB⋅AC+AB⋅PC=2；②建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设Pm,n，表达出PA⋅PB+PC=2m2+2n−322−32，求出最小值；③变形得到【详解】对于①，若P为△ABC的垂心，则AB⋅PC=0所以AP⋅对于②，取CB的中点O，连接OA，以O为坐标原点，BC，OA所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，

则B−1,0,C1,0则PA⋅PB+PC=−m,3−n⋅对于③，有题意得AP=xAB+y即BP=y如图，设D为AC的中点，则BA+BC=2BD，故

因为P是△ABC的外心，所以BD垂直平分AC，所以AB=BC，③正确；对于④，AP=AB==−BC所以2AP如图，设E是BC的中点，则AB+AC=2即AP−AE⋅BC=

故答案为：①③④8．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知a1,a2,b1,b2,⋯,【答案】7【分析】根据给定条件，令OA【详解】设OA1=a1,O由ai−bj∈1,2知，所以点Bj在以A如图，作出以点A1观察图形知，这4个圆两两的公共点有B14个圆上到点A1和到点A所以n的最大值为7.故答案为：7.9．（24-25高一下·上海·月考）已知A，B，C为单位圆上任意不同的三点，则AB⋅AC的取值范围为【答案】−【分析】设A1,0，Bcosα,sinα【详解】不妨设A1,0，Bcosα,则AB=sin令2−2cosα=t则AB⋅取α=π3，当AB为直径时，点C趋向于B时，AB⋅故AB⋅AC的取值范围为故答案为：−1三、解答题10．（24-25高一上·上海·课堂例题）一条河的两岸平行，河宽d=500m.一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处.航行的速度v1=10【答案】所用的时间是3.1min【分析】作出示意图，设该船航行时的速度为v1，水流的速度为v2，合速度为v，由题意可得【详解】若行驶航程最短，则航行方向与河岸垂直，如图所示，设该船航行时的速度为v1，水流的速度为v2，合速度为已知v1=10km

则|v所以t=d所以行驶航程最短时，所用的时间是3.1min.11．（23-24高一·上海·课堂例题）已知ABCD是正方形，M是AB边的中点，点E在对角线AC上，且AE:EC=3:1．求证：∠MED=π【答案】证明见解析【分析】根据条件得AE=34AB+34AD，【详解】证明：如图，AE=EC=∴=1ED=1设AB=AD=1，∵ABCD是正方形，∴AB∴=3∴EM∴∠MED=π12．（23-24高一·上海·课堂例题）已知点M3,−2、N−5,−1，且MP=【答案】1【分析】设点P的坐标为x,y，利用平面向量的坐标